Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  LÊ THÚY AN PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƢỜI Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 2: PGS TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng ✶ ▼Ð ✣❺❯ ✶✳ ❚➼♥❤ ❝➜♣ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ t♦→♥ ❤å❝✳ ❑❤✐ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳✱ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥❤÷ ❧➔ ởt t tr ộ ữợ t♦→♥ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❦❤✐ rí✐ r↕❝ ❤â❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝ơ♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t t õ tữợ ợ é tổ ợ ✽✱ ✾✱ ✶✵✱ ♠➦❝ ❞ị ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❦❤→ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ♥❤÷♥❣ ✤➣ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ t❤➜② ✤÷đ❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔♦ ✤í✐ sè♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠æ♥ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❆✶ ð ❤➺ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ ✤↕✐ ❤å❝ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ✹✺✲✻✵ t✐➳t ♥➯♥ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❤❛✐ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss✱ tø ✤â ❣✐ó♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❝õ♥❣ ❝è ❝→❝ ❦ÿ ♥➠♥❣ ✈➲ ✤à♥❤ t❤ù❝✱ ✈➲ ❤↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠ỉ♥ ❤å❝ ♥➔② t❤➸ ❤✐➺♥ rã ♥❤➜t t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝ tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ỵ tt ữỡ tr t t õ ự ❞ư♥❣ ✷ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤ú♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ♠➔ ❝á♥ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ✈➔ ❝↔ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳✳ ▲➔ ♠ët ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ tr÷í♥❣ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ tỉ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ q ữỡ tr t t ỗ ỡ s ỵ tt ữỡ ự ♥❤➡♠ ♥➙♥❣ ❝❛♦ tr➻♥❤ ✤ë ❝❤✉②➯♥ ♠ỉ♥ ✈➔ ✤÷đ❝ sü ữợ t Pữỡ ữỡ tr t t ự ữợ tổ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✏ ✑ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t ữủ tỗ t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✣÷❛ r❛ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠æ♥ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣❀ t➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦✐♥❤ t➳❀ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ P ự t ỵ tt ♥❣❤✐➺♠ sè ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✸ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤ñ♣✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚❤❛♠ ❣✐❛ sr t ữợ tr ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ●â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ rã þ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ð ❜➟❝ ❝❛♦ ✤➥♥❣✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉✱ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❚r♦♥❣ ♠é✐ ❝❤÷ì♥❣ s➩ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t✐➯✉ ❜✐➸✉✳ ✹ ❈❍×❒◆● ✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❇❷◆ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ♥❤÷ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝➛✉✱ ❝✉♥❣ tr t t trữớ Pì ❚❘➐◆❍ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ✭P❚❚❚✮ ❧➔ ♠ët ❤➺ ỗ m ởt ữỡ tr t t ữỡ tr ❜➟❝ ♥❤➜t ✈ỵ✐ n ➞♥ ✈➔ ❝â ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ♥❤÷ s❛✉✿  a11 x1 +      a21 x1 +      a12 x2 + + a1n xn = b1 a22 x2 + + a2n xn = b2 ✳ ✳ ✳ ✭✶✳✶✮ am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm , tr♦♥❣ ✤â aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ➞♥✱ bi ∈ R, i = 1, m ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè tü ❞♦✱ xi , i = 1, n ❧➔ ❝→❝ ➞♥✳ ✺ ◆➳✉ b1 = b2 = = bm = t❤➻ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ❧➔ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❚❛ ♥â✐ ♠ët ❜ë ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉ t❛ t❤❛② ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ (α1 , α2 , , αn ) x1 = α1 , , xn = αn ❧➔ ♠ët ✈➔♦ ❤➺ ✭✶✳✶✮ t❤➻ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ✤➲✉ t❤ä❛✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✳ ✭◆❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✮ ✶✳✷✳ ❉❸◆● ▼❆ ❚❘❾◆ ❱⑨ ❉❸◆● ❱❊❈❚❒ ❈Õ❆ ❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❳➨t ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✳ ❚❛ ✤➦t  a11   a12 a1n   a21 a22 A= ✳  ✳✳ ✳ ✳  ✳ am1 am2   a2n   x2   ✳ , X = ✳   ✳ ✳ ✳   ✳ amn xn ✳✳ ✳  x1       b  , B =  ✳2   ✳   ✳ bm a1n b1   a21 a22 A = [A |B ] =  ✳  ✳✳ ✳ ✳  ✳ am1 am2 a2n ✳✳ ✳ ✳ ✳  b2   ✳  ✳ ✳  bm ▼❛ tr➟♥ A, X, B, A ✳ amn    ,    a12 a11 b1 ❧➛♥ ❧÷đt ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè✱ ♠❛ tr➟♥ ➞♥✱ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè tü ❞♦✱ ♠❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✳ ✻ ❍➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿     a12 a1n b1    a21 a22  ✳ ✳  ✳ ✳ ✳  ✳ am1 am2    a2n   x2   b2  ✳  =  ✳ ✳  ✳   ✳ ✳ ✳  ✳   ✳ amn xn bm      a11 ✳✳ ✳ x1 ✭✶✳✷✮ ❤❛② A.X = B ✭✶✳✸✮ ❉↕♥❣ ✭✶✳✷✮ ❤❛② ✭✶✳✸✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚✳ ▼ët ❝→❝❤ ❦❤→❝ P t ữợ n aij xj = bi , i = 1, , m ✈❡❝tì✳ ❚ø ❤➺ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â✿ j=1 ◆➳✉ ❝♦✐ ♠é✐ ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❣✐❛♥ Rm A ♥❤÷ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿ αj = (a1j , a2j , , amj )T , j = 1, n, β = (b1 , b2 , , bm )T t❤➻ t❛ ụ õ t t ữợ a11   a21 x1    am1 ❤❛②   a12      + x2  a22     am2  a1n      + + xn  a2n     amn α1 x1 + α2 x2 + + αn xn = β ✭✶✳✶✮✳  ✈➔ ❣å✐ ❧➔ b1      b2 =     bm        ❞↕♥❣ ✈❡❝tì ❝õ❛ ❤➺ ✼ ✶✳✸✳ ❈⑩❈ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚×❒◆● ✣×❒◆● ❱⑨ ▼➮■ ▲■➊◆ ❍➏ ❱❰■ ❈⑩❈ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❙❒ ❈❻P ❱➋ ❍⑨◆● ❈Õ❆ ▼❆ ❚❘❾◆ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ ❍❛✐ ❤➺ P❚❚❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝ị♥❣ t➟♣ ❤đ♣ ♥❣❤✐➺♠✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳ ▼ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ữỡ ố ợ P õ ổ t ✤ê✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ tữỡ ữỡ ố ợ P ộ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺✳ ✭✷✮ ◆❤➙♥ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ✈ỵ✐ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳ ✭✸✮ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ët tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❤➺✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✶✳ ❚÷ì♥❣ ự ợ tữỡ ữỡ tr P❚❚❚ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣✿ ✭✶✮ ✣ê✐ ❝❤é ❤❛✐ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✳ ✭✷✮ ◆❤➙♥ ♠ët ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳ ✭✸✮ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♠ët ❤➔♥❣ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♥❣ ❦❤→❝✳ ✽ ✶✳✹✳ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ✭❉❯❨ ◆❍❻❚✮ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ Pì ỵ ỵ rr ✲ ❈❛♣❡❧❧✐✮ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✶✳✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ tr♦♥❣ ✤â  a1n b1   a21 a22 A = [A |B ] =  ✳✳✳  ✳✳  ✳ am1 am2 ✳✳✳ a2n amn  b2  ✳✳✳   bm ứ ỵ t s r ã ◆➳✉ r (A) < r A • ◆➳✉ r (A) = r A = r = n t❤➻ ❤➺ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳ • ◆➳✉ r (A) = r A = r < n t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠✳ ú ỵ a12 ú ỵ a11 r (A) = r A t❤➻ ❤➺ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✳ ✭✣à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝ì sð✱ ➞♥ ❝ì ❜↔♥✱ ➞♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝ì ❜↔♥✮ ❈→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✶✳✺✳ ▼❆ ❚❘❾◆ ✣➮■ ❳Ù◆●✱ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❉×❒◆● ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✶✳ ✭▼❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✷✳ ✭▼❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✮ ✶✵ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✷✳ ✭❈ü❝ trà t♦➔♥ ❝ư❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳✶✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝õ❛ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✸✳ ✭❉↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➜✉✮ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳✷✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝õ❛ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ ●✐↔ sû t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ♥➔♦ ✤➜② ❝õ❛ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ xo ❤➔♠ f (x) ❦❤↔ ✈✐ ❤❛✐ ❧➛♥ ✈➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐ ∂ f (x) o ∂x ∂x (i, j = 1, , n) ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x ✳ ◆➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠ ♥➔② ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ n ∂ f (x) ❤❛✐ d2 f (xo ) = ∂x ∂x dxi dxj ❧➔ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ i,j=1 ❞➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ dx1 , , dxn t❤➻ t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ✤÷đ❝ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ d2 f (xo ) < t❤➻ t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❝á♥ ♥➳✉ d2 f (xo ) > t❤➻ t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ i j i j ỹ tr õ ỗ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✹✳ ✭❈ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✺✳ ✭❈ü❝ trà t♦➔♥ ❝ö❝ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ ỹ t ữỡ ỗ tr t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✻✳ ✭✣÷í♥❣ t❤➥♥❣✱ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣✮ ✶✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ỗ ỗ ✶✳✻✳✸✳ ❈❤♦ f ∈ C 2✳ ❑❤✐ ✤â f ❧➔ ỗ tr t ỗ ự t t ởt tr ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♠❛ tr➟♥ ❍❡ss✐❛♥ F ✭♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐✮ ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ữỡ tr ỗ f : Rn R {+} t ỗ ❦❤→❝ ré♥❣ D⊆ Rn ✳ ❑❤✐ ✤â✿ ◆➳✉ x∗ ∈ D ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ f t❤➻ x∗ ❝ơ♥❣ ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f ởt t ỗ t trữớ ỵ tt ✶✳✼✳✶✳ ✭❈➛✉ ❤➔♥❣ ❤â❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✷✳ ✭▲÷đ♥❣ ❝➛✉✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✸✳ ✭✣÷í♥❣ ❝➛✉✮ ◗✉✐ ❧✉➟t ❝➛✉✿ ❑❤✐ ❣✐→ ♠ët ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❤↕ ①✉è♥❣ ✭tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✮ t❤➻ ❧÷đ♥❣ ❝➛✉ ♠➦t ❤➔♥❣ õ s t ữủ ỵ t❤✉②➳t ✈➲ ❝✉♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✹✳ ✭❈✉♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✺✳ ✭▲÷đ♥❣ ❝✉♥❣✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✻✳ ✭✣÷í♥❣ ❝✉♥❣✮ ◗✉✐ ❧✉➟t ❝✉♥❣✿ ❑❤✐ ❣✐→ ♠ët ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ t➠♥❣ ❧➯♥ ✭tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✮ t❤➻ ❧÷đ♥❣ ❝✉♥❣ ♠➦t ❤➔♥❣ ✤â s➩ t➠♥❣ ❧➯♥ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳ ✶✳✼✳✸✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ ✣à♥❤ t trữớ ỵ t÷ð♥❣ ♠➔ ð ✤â ❝↔ ❣✐→ ❝↔ ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛✱ ❞à❝❤ ✈ö ✤➲✉ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❈â ✷ ♥❤➙♥ tè ✤➸ ✤↕t ✤➳♥ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ t❤à tr÷í♥❣✿ ●✐→ ❝➙♥ ❜➡♥❣✿ ▼ù❝ ❣✐→ t↕✐ ✤â ❧÷đ♥❣ ❝➛✉ ✤ó♥❣ ❜➡♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝✉♥❣✳ ▲÷đ♥❣ ❝➙♥ ❜➡♥❣✿ ▲÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛ ❤♦➦❝ ❞à❝❤ ✈ư ♠➔ ♥❣÷í✐ t✐➯✉ ❞ị♥❣ s➤♥ s➔♥❣ ♠✉❛ ✈➔ ♥❣÷í✐ ❜→♥ s➤♥ s➔♥❣ ❜→♥ t↕✐ ✤✐➸♠ ❣✐→ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❳→❝ tr t ỗ t ỹ t trữớ ì Pì PP Pì ữỡ tr ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t ỗ ữỡ rr ữỡ ss ữỡ tỷ ữỡ s ợ ộ ữỡ ợ t ỡ s ỵ tt ữỡ ữợ ữỡ tr t t Pì PP ỡ s ỵ tt ữỡ rr ỵ ỵ ❈r❛♠❡r✮ ❈❤♦ ❤➺ ❈r❛♠❡r AX = B ✱ tr♦♥❣ ✤â  a11   a12 a1n   a21 a22 A= ✳✳✳  ✳✳  ✳ an1 an2   a2n   x2  ✳✳✳  , X =  ✳✳✳   ann xn ✳✳✳ x1   b1       b   , B =  ✳2    ✳    ✳  bn ❍➺ ❈r❛♠❡r ❧✉ỉ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ✤÷đ❝✱ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜➡♥❣ A ❝æ♥❣ t❤ù❝ xj = det det A , (1 ≤ j ≤ n) , tr♦♥❣ ✤â Aj ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ s✉② r❛ tø A ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ❝ët t❤ù j ❜ð✐ ❝ët tü ❞♦ B ✳ j ✶✹ ữợ ữỡ tr ữỡ rr Pì PP Pữỡ rr ❞ư♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➺ P❚❚❚ ❦❤ỉ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✳ ❚❤➳ ♥❤÷♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ ❤➺ P❚❚❚ ♠➔ ♥❣÷í✐ t❛ ❣➦♣ ❧↕✐ s✉② ❜✐➳♥✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss ♠➔ t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ữợ õ ữ õ t P tũ ỵ ữủ ữỡ ♥➔② ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷❛ r❛ ✤÷đ❝ t❤ỉ♥❣ t✐♥ ♥➔♦ ✈➲ ữỡ tr trữợ õ ỡ s ỵ tt ữỡ ss ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ❤➺ P ởt ữỡ tr ợ tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr ụ tr rë♥❣ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❜➟❝ t❤❛♥❣✳ ❳➨t ❤➺ P❚❚❚ tê♥❣ q✉→t✿  a11 x1 +      a21 x1 +      a12 x2 + + a1n xn = b1 a22 x2 + + a2n xn = b2 ✳ ✳ ✳ am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm ●✐↔ sû ❝â ♠ët ❤➺ sè aij = 0✳ ◆➳✉ ❝➛♥ ❝â t❤➸ ✤ê✐ ❝❤é ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ✤→♥❤ sè ❧↕✐ ❝→❝ ➞♥✱ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐ a11 = 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✶✺ i1 − aa11 ợ rỗ ữỡ tr tự i = 2, , m t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn     a22 x2 + + a2n xn      a x + + a x i ữủt ợ ữỡ õ = b1 = b2 mn n = bm ▲➦♣ ❧↕✐ ❧➟♣ ❧✉➟♥ tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➺ ❝♦♥ ỗ (m 1) m2 tr ố ợ ➞♥ ♣❤÷ì♥❣ x2 , , xn ❙❛✉ ♠ët sè ỳ ữợ P AX = B ữủ ữ ởt tữỡ ữỡ ợ tr rở ❝â ❞↕♥❣✿  a11 ∗ ··· ··· ∗ ∗ ··· ∗ b1                 a22 ··· ··· ∗ ∗ ··· ∗ b2 0 a33 · · · ∗ ∗ ··· ∗ b3 ··· ··· ··· ∗ ∗ ··· ∗ 0 · · · arr ∗ ··· ∗ br 0 ··· ··· br+1 ··· ··· ···        ,        0 tr♦♥❣ ✤â ··· · · · · · · · · · · · · ··· bm aii = (i = 1, , r)✱ ··· ❝→❝ ❞➜✉ ∗ ❝â t❤➸ ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤→❝ 0✳ ◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ sè br+1 , , bm ❦❤→❝ t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✳ ◆➳✉ br+1 = = bm = 0✱ t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳ ▼é✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣→♥ ❝❤♦ ỳ tr tũ ỵ tở xr+1 , , xn R n > r rỗ t x1 , , xr ✶✻ t❤❡♦ ♥❤ú♥❣ ❣✐→ trà ✤➣ ❣→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù x1 r✱ xr−1 xr+1 , , xn ✳ ❈ư t❤➸ xr ✤÷đ❝ t➻♠ tø ✤÷đ❝ t➻♠ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù r − 1✱✳✳✳✱ ✤÷đ❝ t➻♠ tø ữỡ tr tự t t ữỡ ự ợ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ❤➺ P❚❚❚ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ tr➯♥ ♠❛ tr➟♥ ♥➯♥ ✤➸ ❝❤♦ ❣å♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ ❤➺ P❚❚❚✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❣❤✐ ♥❤➟♥ sü ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ♠ð rë♥❣✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✷✳ ◆➳✉ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n ❝â ✤à♥❤ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❤➺ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ ❝â ❞↕♥❣✿   ¯b1 ¯b2      ¯bn a ¯11 a ¯12 · · · a ¯1n     ···  a ¯22 · · · a ¯2n ··· ··· ··· 0 a ¯nn ❑❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝    xn = bn ann   xk = akk n bk − akj xj j=k+1 , k = n − 1, , ✶✼ ữợ ữỡ tr ữỡ ●❛✉ss ✷✳✸✳ P❍×❒◆● P❍⑩P ◆❍❹◆ ❚Û ▲❯ ▲❯ ✷✳✸✳✶✳ ❈ì s ỵ tt ữỡ tỷ P❚❚❚ AX = B ✱ tr♦♥❣ ✤â A = (aij )n ✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤➙♥ tû LU ❝õ❛ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ❝â ❞↕♥❣ ❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè A t❤➔♥❤ t➼❝❤ A = L.U ✱ L tr t ữợ U tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ❝ị♥❣ ❝➜♣ ✈ỵ✐ ❱✐➺❝ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ A✳ AX = B s➩ ✤÷❛ ✈➲ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❤❛✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ❧➔ ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝✿ LY = B UX = Y ỵ ởt tr ♥❣❤à❝❤ ❝➜♣ ♥ t❤ä❛ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ▲❯ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ ❝❤➼♥❤ ❝➜♣ k, k = 1, , n − ❝õ❛ ♥â ✤➲✉ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ P❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥➳✉ t❛ ②➯✉ ❝➛✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ▲ ✭❤♦➦❝ ❯✮ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ✶✳ ✶✽ ✷✳✸✳✷✳ P❤➙♥ r➣ ♠❛ tr ữỡ rt ợ ữỡ rt t❛ ❝❤♦ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ lij         uij tø ✤â t➻♠ L, U ✳ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ lij  li1 = ai1 ,     1j  u = al11 ,    1j uii = 1, i = 1, n✱ (i ≥ j) , uij (i < j) ♥❤÷ s❛✉✿ ∀i = 1, n ∀j = 2, n j−1 = aij − 1 j)✱ uij (i ≤ j) ♥❤÷ s❛✉✿ ∀j = 1, n = a1j , = = 1, i = 1, n✱ tø ✤â t➻♠ ai1 u11 , ∀i = 2, n i−1 = aij − lik ukj , 1