Chuyên đề I các phương pháp giải phương trình mũ

DangTuan09@Gmail.com Chuyªn ®Ị I: Các Phương Pháp Giải Phương Trình Mũ. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: • n n thua so a a.a .a= 123 (n Z ,n 1,a R) + ∈ ≥ ∈ • 1 a a= a∀ • 0 a 1= a 0∀ ≠ • n n 1 a a − = { } (n Z ,n 1,a R/ 0 ) + ∈ ≥ ∈ • m n m n a a= ( a 0;m,n N> ∈ ) • m n m n m n 1 1 a a a − = = 2. Các tính chất : • m n m n a .a a + = • m m n n a a a − = • m n n m m.n (a ) (a ) a= = • n n n (a.b) a .b= • n n n a a ( ) b b = 3. Hàm số mũ: Dạng : x y a= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : D R= • Tập giá trò : T R + = ( x a 0 x R> ∀ ∈ ) • Tính đơn điệu: * a > 1 : x y a= đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x y a= nghòch biến trên R Trang -1- a>1 y=a x y x 1 0<a<1 y=a x y x 1 DangTuan09@Gmail.com II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x Ví dụ: Giải PT sau: a) 2 4 16 4 4 2 x x x= ⇔ = ⇔ = b) 1 5 7 1 5 7 1 5 7 2 3 2 2 2 (1,5) 3 2 3 3 3 x x x x x x + − + − + + −           = ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           5 7 1 6 6 1x x x x⇔ − + = − ⇔ = ⇔ = Bài tập tương tự: 1. 9 81 x = 2. ( 3) 27 x = 3. 3 3 9 2 4 x−   =  ÷   4. 2 1 4 x = 5. 10 5 10 15 16 0,125.8 x x x x + + − − = 6. 2 5 6 5 1 x x− − = 7. 5 2 3 1 (0,75) 1 3 x x − −   =  ÷   8. 2 2 3 1 1 7 7 x x x − − +   =  ÷   9. 5 17 7 3 32 0,25.125 x x x x + + − − = 10. 7 5 5 7 x x = Phương pháp 2: Logarit hóa (lấy logarit 2 vế) Ví dụ 1: Giải PT sau: 2 3 .2 1 x x = Lấy logarit cơ số 3 hai vế: 2 3 3 log (3 .2 ) log 1 x x = 2 3 3 log 3 log 2 0 x x ⇔ + = 2 3 .log 2 0x x⇔ + = 3 2 3 0 (1 log 2) 0 1 log 3 log 2 x x x x =   ⇔ + = ⇔ −  = = −   Chú ý: Có thể logarit theo cơ số bất kì cả hai vế. Trong ví dụ trên chọn cơ số 3 cho tiện Phương pháp logarit hóa tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế phương trình có dạng tích các lũy thừa. Ví dụ 2: Giải PT: 2 1 2 .5 .7 245 x x x− − = Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: Trang -2- DangTuan09@Gmail.com 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log (2 .5 .7 ) log 245 log 2 log 5 log 7 log 245 2 ( 1)log 5 log 7 log 245 (1 log 5 log 7) 2 log 5 log 245 (1 log 5 log 7) 2(1 log 5 log 7) 2 x x x x x x x x x x x x − − − − = ⇔ + + = ⇔ − + − + = ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + ⇔ = Chú ý: Đối với một số PT cần thiết rút gọn trước khi logarit hóa. Ví dụ 3: giải PT 1 3 1 1 2 2 2 7 7 7 x x x x x x+ + − + + + = + + Biến đổi PT về dạng: 1 2 (1 2 8) 7 (1 7 7) x x − + + = + + 2 7 2 57 57 log 7 77 77 x x   ⇔ = ⇔ =  ÷   Bài tập tương tự: Giải các PT sau 1. − − − = = 2 1 4 2 2 5 4)5 .8 500 x x x x x 2. − − = = 2 2 4 2 4 .3 1 5)2 5 x x x x 3. 2 9 .7 1 x x = Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về phương trình hoặc bất phương trình đại số quen thuộc(chú ý khi đặt ẩn phụ thì phải đi tìm điều kiện cho ẩn phụ) Ví dụ: giải PT: 4 3.2 4 0 x x − − = Đặt 2 t x = >0. khi đó PT đã cho có dạng: 2 t 1(lo¹i) t 3t 4=0 t 4 = −  − − ⇔  =  Với t=4 2 4 2 x x⇔ = ⇔ = Bài tập tương tự: 1. 2 1 3 9 4 x x+ + + = 2. 2 1 3 2 2 64 0 x x+ + − − = 3. 8 4(4 2 ) x x = − 4. 6 3 3. 2 0 x x e e− + = 5. 2 2 4. 3 x x e e − − = 6. 8 2.4 2 2 0 x x x − + + − = 7. 1 2 4 1 x x− − = 8. 4 2.6 3.9 x x x − = 9) 4.9 12 3.16 0 x x x + − = 10) 6.9 13.6 6.4 0 x x x − + = 11) 3 1 125 50 2 x x x+ + = 12) 2 4.3 9.2 5.6 x x x − = 13) 5.25 3.10 2.4 x x x + = 14) ( ) ( ) 3 8 3 8 6 x x − + + = 15) (5 24) (5 24) 10 x x + + − = Trang -3- DangTuan09@Gmail.com 16) (7 4 3) 3(2 3) 2 0 x x + − − + = 17) 3 (7 3 5) 12(7 3 5) 2 x x x+ + + − = 18) 2 ( 5 1) 6 ( 5 1) 2 x x x+ − + + = 19) 3 (5 21) 7(5 21) 2 x x x+ − + + = 20) 1 7 7 8 0 x x− + − = Phương pháp 4: Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất nhất nghiệm của PT(phương pháp hàm số). Ví dụ 1: Giải PT: 4 5 9 x x + = Ta thấy x=1 là nghiệm của PT vì 1 1 4 5 9+ = , bây giờ ta chứng minh x=1 là nghiệm duy nhất của PT. thật vậy: Với x>1: 1 1 4 4 5 5 x x >   >  (vì cơ sô 4;5 lớn hơn 1) 4 5 1 x x ⇒ + > nên x>1 không phải là nghiệm của PT Với x<1: 1 1 4 4 5 5 x x <   <  4 5 1 x x ⇒ + < nên x<1 không phải là nghiệm của PT Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT trên. Ví dụ 2: Giải PT: 3 5 2 x x= − (1) Cách 1: + vế trái của PT là một hàm đồng biến(vì cơ số 3>1) + vế phải của PT là một hàm nghịch biến(vì -2<0) + do vậy nếu PT có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Nhận xét rằng x=1 là nghiệm của PT vì: 3 1 =5-2.1 Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT Chú ý: Nếu PT có nghiệm 0 x , một vế của PT là hàm số đồng biến, vế kia là hàm số nghịch biến(hoặc hàm hằng) thì nghiệm 0 x là duy nhất. Bài tập tương tự: 1. 3 4 5 x x x + = 2. 2 1 8 3 x x + = 3. 2 1 3 2 x x + = 4. 2 15 1 4 x x + = 5. 2 3 4 5 x x − = 6. 1 1 2 2 x x   = −  ÷   7. 2 3 10 x x − = + 8. 1 3 3 x x   = −  ÷   9. 1 1 3 x x   = +  ÷   10. 1 2 5 3 x x −   = − +  ÷   11. 3 11 x x= − Bài tập tổng hợp: Bài 1: Hăy giải các pt sau : 1) 722.3 1 )12(3 = + − x x x 2) 1 32 2 − = xx 3) 50085 1 = − x x x 4) 2lg .1000 xx x = Trang -4- DangTuan09@Gmail.com Bài 2: Hăy giải các pt sau 1) 322 22 2 =− −+− xxxx 2) 7)7,0.(6 100 7 2 += x x 3) 082.124 515 22 =+− −−−−− xxxx 4) 093.283 22 122 =+− +++ xxxx 5) 32 2 )32()32( 1212 22 − =−++ −−+− xxxx 6) 308181 22 cossin =+ xx 6) 922 432 =+ − xx Bài 3: Hăy giải các phương trình sau: 1) 10)245()245( =−++ xx 2) )32(4)32)(347()32( +=−+++ xx 3) 4)32()32( =−++ xx 4) xxx 21212 2.6)53(4)53( =++− ++ 5) 2 2)15(6)15( + =+++ xxx Bài 4: Hăy giải các phương trình sau: 1) xxx 27.2188 =+ 2) 02.96.453 2242 =−+ ++ xxx 3) 016.536.781.2 =+− xxx 4) 2 6.242.33.8 x xx =+ 5) 02.1010.1332.50 12 =+− +xxx 6) 16224 241 +=+ +++ xxx Bài 5: Hăy giải các phương trình sau: 1) x x 4115 2 =+ 2) 0)21(2)32( 2 =−+−+ xx xx 3) 0663 2 =−+ x x 4) x x cos3 2 = 5) 2543 +=+ x xx 6)2 2 )1(21 2 −=−− − xx xx 7) 0523)2(29 =−+−+ xx xx 8)3.16 034).103(2 2 =−+−+− − xxx x 9) 2112212 532532 +++− ++=++ xxxxxx Bài 6: Giải các phương trình sau: 1) 1 2 5 2 .5 2.10 x x x+ + = (x=-5) 2) (4 15) (4 15) 62 x x + + − = ( 2)x = ± 3) 3.49 2.14 4 0 x x x + − = 7 2 ( log 3)x = − 4) 2 3 .8 6 x x x+ = 3 { 1; 2(1 log 2)}x x= = − + 5) 2 4 2 2 3 x x+ − = 2 { 2; log 3 2}x x= = − 6) 5 3 3 log x x= − { 1}x = 7) ( 2 1) ( 2 1) 2 2 0 x x − + + − = 8) 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = 9) 8.3 3.2 24 6 x x x + = + 10) 2 2 3 3 6 x x− + = 11) 2 3 4 2 2 6 x x− + = 12) 2 1 25 10 2 x x x+ + = 13) 1 3 3 4 0 x x− − + = 14) 8.3 3.2 24 6 x x x + = + 15) 1 4 2 4 2 2 16 x x x+ + + + = + 16) 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = 17) 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = 18) 2 2 2.2 9.14 7.7 0 x x x − + = 19) 2 2 sin cos 2 4.2 6+ = x x . Trang -5- . DangTuan09@Gmail.com II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIA I Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x Ví dụ: Gia i PT sau: a). pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Mục i ch của phương pháp này là chuyển các ba i toán đã cho về phương trình hoặc bất phương trình đa i số