Bộ giáo duc va dao tạo
Trường đại học sư phạm hà nội 2
Luận văn tốt nghiệp
Trang 2Mục lục
Mé đầu 1
Chương 1: Phương trình dao động của dây 3 1 Thiết lập phương trình dao động của dây 3
2 Dao động tự do của sợi dây 4
2.1 Phương trình goa động tự do của sợ dây hữu hạn 4
2.2 Một số bài tốn hoạ 8
2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn 13 2.3.1 Xét phương trình đao động khơng thuần nhất của sợi dây 13
3 Một số bài tốn hoạ 14
4 Tống kết chương 1 24
Chương 2: Phương trình dao động của màng 25 1 Thiết lập phương trình dao động của màng 25 2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật 26
3 Một số bài tốn minh hoạ 29
4 Giao động cưỡng bức của màng chữ nhật 32
5 Phuong trinh Bessel 33
6 Phuong trình dao động của màng 36
7 Tơng kết chương 2 38
Chương 3: Phương trình truyền nhiệt 39
1 Thiết lập phương trình 39
2 Bài tốn Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều 40 trong thanh dài vơ hạn
3 Phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất 43 4 Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn 45
4.1 Khi khơng cĩ nguồn nhiệt 45
Trang 34.2 Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn - Điều kiện tổng quát 46
Trang 4Lời cảm ơn
Bản khố luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khĩ khăn khi mới làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cơ giáo và của các bạn sinh viên trong khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hồn thành khố luận này
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nghiệm khoa Vật lý đã tạo
điều kiện cho em cĩ cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Dịu
Trang 5
Lời cam đoan
Khố luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu Bên cạnh đĩ em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cơ
giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị Minh Hạnh
Trong khi nghiên cứu hồn thành bản khố luận này em cĩ tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “áp dụng phương pháp tách biến Fourier đễ giải các phương trình vật lý tốn” khơng cơ sự trùng
lặp với kết quả của các đề tài khác
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Dịu
Trang 6Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các bộ mơn khoa học khơng thể tồn tại, phát triển
và vững mạnh nếu khơng dựa trên sự phát triển của các mơn khoa học khác Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và
tốn học Tốn học là cơng cụ đắc lực để cho Vật lý nĩi chung và vật lý lí
thuyết nĩi riêng phát triển
Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh
viên thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều mơn tốn như vậy
Tốn cao cấp A¡, A¿, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời đần được hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý Bộ mơn phương pháp Tốn — Lý là một ví dụ sớm nhất Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các cơng cụ tốn học, phương trình tốn để giải bài tập Vật lý Nhưng phương pháp tốn học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương
trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân,
phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ cĩ nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ Các phương trình mơ tá sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong đĩ chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của nĩ và các số biến số độc lập Từ cơ sở là các phương trình vật lý — tốn cơ bản ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm của các phương trình này khơng đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nĩ mà phải kết hợp phù hợp và nhuần nhuyễn các cơng cụ tốn học, vận dụng nĩ một
cách linh hoạt Chính vi li do dé việc triển khai đề tài “ Một số ứng dụng của
Trang 7
phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử ” là rat cần thiết
Mỗi dạng bài nêu được
- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng
- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thé của các bài tập đĩ
Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ mơn “phương pháp tốn lý” nĩi chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nĩi riêng Bước đầu tạo cho em thĩi quen cũng như khả năng giải bài tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ đĩ các cĩ cái nhìn hệ thống về lý thuyết cũng như bài tập mơn phương pháp tốn — lý
Qua đĩ cĩ cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muơn màu 2 Mục đích nghiên cứu
Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý — tốn và hệ thống bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier
3 Giả thiết khoa học
Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến
Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt khơng những rèn luyện kỹ năng giải bài tập mà cịn cĩ tác dụng gĩp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2
4 Đối tượng nghiên cứu
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt
5 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thiết lập một số phương trình Vật lý — Tốn
- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài tốn - Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này
6 Phạm vi nghiên cứu
Trang 8Đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tứ” nhằm rèn luyện kĩ năng giải phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt
Trang 9Chương Í
Phương trình dao động của dây
1 Thiết lập phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây rất mảnh, cĩ độ đài £, căng, gắn chặt ở hai nút Gia str
sợi dây rất đẻo, do đĩ lực căng T tại mỗi điểm của sợi day đều hướng theo đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy Tại mỗi điểm T = Const
Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm dọc theo trục ox Trong quá trình dao động sợi dây dao động theo phương vuơng gĩc với trục Ox VỊ trí sợi dây
tại mọi thời điểm như nhau Lập
phương trình cho ham U(x,t)
Xét đoạn dây từ x¡ đến x¿, xác định các lực tác dụng 7, 7, (T¡ =T;),
ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)
áp dụng phương trình định luật II Newton cĩ T+ T + P=ma (6) Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động -Tysin @ (x1) + T;sinø (%;)= Í øg(x,f)dxdx (7) Coi soi day đồng chất thì Ø =Cconst %5 2
pla khối lượng của một đơn vị độ dài của sợi day do (7) = [ Poe ok
- T, sin @ (Xi) + T›sinø (x¿)= T[sin ø (x¿)-sin ø (Xị)]
Trang 10
ou Trongđĩ sinz= Ox _°u dược + xã au Ox ae % đu Do đĩ T [sina (x2)-sina@ (x;)] M Thay vào (7) cĩ (Lou, — TU, + PAX, t) |ax= 0 X Vì với xị, x; bất kì nên pt,— TỪ, + og(x,f) = = Ư,~ TƯ, =—g(x,0) p
= Ư; - đU; =—g(x,†) (8) là phương trình dao động của sợi dây
Với =-T-xa= b thứ nguyên [a] = “ là vận tốc truyền sĩng
2 2 s
* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây khơng
cĩ ngoại lực
* Nếu ø «0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi đây 2 Dao động tự do của sợi dây
2.1 Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn
Xét một sợi dây cĩ chiều dài £, khi ở trạng thái cân bằng thì 0 < x </ dọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình đao động
Trang 11Điều kiện biến Ux = U,- ¿ =0 (11) t>0
Bài tốn này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài
tốn hỗn hợp đối với phương trình đao động của sợi đây Giải bài tốn này bằng phương pháp tách biến Fourier
Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với một hàm chỉ phụ thuộc t U(x,t) = X(x) TH) (12) Ta cĩ U,=XT”: Ư =XT Thay vào (9) ta cĩ XT-aXT=0 1 _ #X( 1 X2) Do Jo khơng phụ thuộc vào x va x0) khơng phụ thuộc vào t nên 1% X(x) T ch X(x) Const = C a lạ X(x) Dat C=-Atacéd XL A > X'(x) + AX(x) =0 (13) X(x) tho 1 ->T (+ ÃẫˆT@)=0 (14) a T, ú * Giải phương trình (13) X” + 2X =0
Tuỳ theo dấu của 4, xét các trường hợp sau : + Â =-C”<0 nghiệm tổng quát của (13) là : X(x) = C; e* + Cp e™ 3 Cy, Cp vì hằng số tuỳ ý
Từ điều kiện biên (11) ta cĩ
Trang 13> T +acCT=0 Datac= wv? Nghiệm tổng quát của phương trình (14) cĩ đạng kat _ rat +P.sn——— Txay = B,cos Từ nghiệm của hai phương trình trên ta cĩ nghiệm riêng của 2 phương trình là : U(X, 0) = (a,008 22 bs n Ty n Với a, = A, By; by = Ax Dự (k= 1,2,3 )
ý nghĩa của nghiệm riêng
*U (x,Ð0 là nghiệm riêng và mơ tả sĩng đứng ( sĩng dừng) Mỗi điểm x
› ; 1a TA A sh sore yk UK kta , ,
của sợi dây thực hiện các dao động điêu hồ với tân sơ øk = — va với biên
d6 J&+O sin A,.x
krax| a, krat b, _ kat
U(x,t) = sin cos + =—sn Va +o af 1 Jẩg Chị J4! Tất cả các điểm của sợi dây đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía này hay phía khác KzrX k-1 sin——=0 >x = —] / k
Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sĩng sn 1 tần sốøk = =ẽ k = I là tần số âm cơ bản k # l ứng với
các hoạ âm
* Nghiệm tổng quát của phương trình
Ucx.t) = YU,(%t) = - nao ‘ban |
Trang 14Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại Ư”, Ư và hàm U(x,t) thố mãn
điều kiện biên như mỗi một U, với các giá trị bất kì của a; va by
áp dụng điều kiện ban đầu đề tìm các hằng số Uco=0 >šasn“*- f(x) k=1 —> ay là hệ số khai triển Fourier của hàm f(x) theo Sin trong [0,1] 2; _ Ký a, = —| f(e)sin—edœ k i! (z) i Š Tak n KrXx_ ia Í Ị Man ala krat kab, sin + cos “4i Va Uw=Fx) > F(x) F(x) = sin > FO il 1 / / / 1
tương tự cĩ bụ= mai Fle)sin“ (e)d)
Trang 15> X"-CX=0 (16) freee (15) Trường hợp 1: C= 4” >0 Phương trình (16)—> X”'- ÂÃÌX =0 (17)
Nghiệm của phương trình (17) cé dang X = A; e* + Ae"
Trang 16Nghiệm tơng quát của phương trình là U;, = Xx Ty
Trang 17U,-aU.,=0 (a=const)
Diéu kién ban đầu U¿o=x: U¿s=/
Điều kiện biên U,-o=0; U,-¿ =0 Bài giải 6 = Xo Tụ, +> XT'-a X'T=0 sit -* aT X Gia sử nghiệm cĩ dạng: U/ =C =consf Vì hai vế là hàm của hai biến khác nhau chúng chỉ bằng nhau khi là hằng số Suy rà tr " cx =0 (18) T"-Ca’°T =0 (19) Xét trường hợp sau Trường hợp 1: C= 4”>0 Phương trình (18) ©>X” - 4?X = 0 cĩ nghiệm dạng ; X=A, e+ Ape” Từ điều kién bién U,_, = X7_, =0> X'_, =0 > X'_,=AA-AA=094,=A,=A X_, =Ae“ +Ae“ = Ale“ +e“) =0 > A=0>X=U=0 Truong hop 2: C=0 >
Phuong trinh (18) @X =0 > X=A,x+ A, Từ điều kiện biên X” „„ = A, =0 —> A,= A; =0
X.„=A+A,=0->X=U=0
Trường hợp 3: C = -4?<0 ->X + Â?X = 0 cĩ nghiệm đạng X= A¡icos 2x + Azsin 4x
Trang 18Từ điều kiện biên: _ạ= X”,_ạ=0->X „=0 -o=A,=0->X =A,cosÃx
X' =A cos At =0->cos2t =0-»21{ Sk
> A=(2k +1) 20 x, = A,cos CATV 2 mm 2/
Phương trình (19) <>7” + 4”a”T =0cĩ nghiệm dạng —> T=B¡cos 2at+B; sin2at (2k +1)zat (2k +1)zat kZ +Bsín —>Ä+= > T,=B¡cos ì 2 i Nghiém cua phuong trinh co dang U, = X,T, Nghiệm tổng quát U= SU,= š[m.eo 2k +1)zat +N, sin(2k + Dest cos (2k +)ax ^ 2/ 2/ 2/
Điều kiện ban đầu cĩ U, „ => M,co 5 Ck ae =ƒ/@)=x
Trang 19-_ + | 2) (2k +1)z (2k +1)z £ [eco RD ge 2.2, 2 Me Shapes 0 0 (2k+1)za (2k+l)z gin 2k + D2 | 8(-I# 2 9 az(2k+1) £ U=Š Ae (-1)k - 2 cos 2k + tat, 807(-1) (2k+z 2/ 4m (2k +1) ._(2k+l)zat (2k+1)zx sin — |Ccos —————_ 2¢ 2/
2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn
2.3.1 Xét phương trình dao động khơng thuần nhất của sợi dây
Ư- a” Ư, = - g(x,0 (2)
Với điều kiện ban đầu U_-o=fŒ&): 7 Uj-o=F@) Điều kiện biên : U,-o=0 ; U,ä=0
Chọn các sĩng đứng là U¿ = Tx(t) sin <
Phuong phap giai
Trang 20
Phương trình này lên được vơ số nghiệm —> điều này là vơ lý
Tính z\0=2 |dx0sn“ Xứ
0
Từ điều kién ban dau cho ham U(x,t) cĩ
U = Fix) =¥ T(0)sin “7 2? x 7(0)==] f(x)sin—* dx= a, > ° (23) 2) kx 7,(0)= ¡]fU)án— %=b, 0 Bây giờ hàm T,(t) cĩ thể hồn tồn xác định từ phương trình (22) và các điều kiện (23) Thay kết quả vào phương trình U = Š (0n ta sẽ nhận được k= 1
nghiệm của bài tốn
Trang 21Ug.) = 0; Ugo=0 U 0 và các điêu kiệnbiên (0,t) = U„„=0 Bài làm Phương trình đã cho được viết dudi dang U; =U), +M, OU, -U'.=M., (24) Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dạng U =U„ =VW(¿ + S2
Trong đĩ Vụ; là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây So là phương trình của dao động tự do của sợi dây Uj=S, ¬ Suy ra m „ > Si ~~ Si, ~~ V = M, U, =V, +S, ` V.==M, (25) >) §,-S,=0 (26)
Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và
điều kiện của (25) như sau
Trang 22+ Xét điều kiện ban đầu U, ạ =Ÿ, ¿ + Š,_ạ =Ũ—>V,_y =—Š, ạ =V,_y = V() ' ' ' ' Vio =V Sin =V, U 4 =Vin tS, = 948.9 =0>4 : > ` Vio =0 Si =0 sài ` -M , Giai phuong trinh (25) V= -g* +Œx+Œ, Vig =C, =0 M Điều kiện biên “Ms MoV, = My Vout =F +Ol=09G = , 6 6 Giải phương trình (26): 5; —S; =0 phương trình cĩ nghiệm dạng S(x,t) = X(x)T(t) > XT -XT -0 > -7 _¢=const xX T 5 i -CX=0 (27) T"-CT=0_ (28) Xét 3 trường hợp sau e Truong hop 1: C= 2 >0 >X=U=0 e Trường hợp 2: C=0 >U=X=0
e Trường hợp3: C =-/’<0 Nghiém dang
X =A, cosAx+ A, sin Ax
T = B, cos At+ B, sin At *) Từ điều kiện biên
X, 9A, =0
X,_,= Asin A, =0-» 4, =k > 4= "= (k=+1;+2 )
Trang 23
“ca
Nghiệm tơng quát của (2b) " S⁄\X¿.Tk
“ “ ka kat
= = cos A Tp sin sin —
S= Jose = DG sin) sin
+ Tw diéu kién ban dau 9 = Da sin k=l =x, =f) s=b, sin“ sin A 0=F,, 7b, =0 (x) k=l 6 £ a, he, sin t9 ( ge = 2 FL _ Ố ‘ ( 2-0 [ 2 kax =i —|— (00° - 0d cos a, = rkz] Sứ Jd cos ? Moe —f?x xe 1 " —/?)dx _3kz 0 a 1 —0)d — ` 3kz ka Ele da _ kz Mt Ị >|(x`—f 2) gin 7% ( — fsin a Ix 3 (kay £ ù a 2 l /?-1# see AD si kzx l5 1) —3?z b| — gx 2M 0 (-1)* mx kax
Trang 24Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 cịn mút kia chuyển động theo quy luat Ug, = Asin wt và các điều kiện ban đầu bằng 0
Bài làm
Bài tốn dẫn tới việc giải phương trình:
- aˆ Ư; = 0 thoả mãn điều kiện bién U, =o = 0; U, = Asinat
và điều kiện ban đầu U,-g=0 ; Ư,-; = 0
Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dạng U =U(x,t) = V(x,t) + S(xt)
V(x,t) la phuong trinh dao dong cudng buc o biên cua day; S(x,t) 1a phương trình dao động tự do của dây
U,=V/+§— V,+§$~#(V.+8)=0
| VY = Veet §,
V-ấV=0 (23
>| A zs.o (24)
Xác các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của V, S + Điều kiện biên Use Veo + So 0-9 {09 x=0— Vx=0 x=0— S, _ 0 ULL, =V,., +S, = Asin ot V_,=Asinot V_,=0 S,=0 > ; S,=0 V,=Asnøf |S,=0
+ Điều kiện ban đầu
Trang 25V = Vx Vạ= V S$ =- Vx
*{s. wx ”|V,,=Vx |S,=-Vx t=0
Giải phương trình (29) VỶ„— a” VÏ„= 0
Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dạng: V = X(x) T(t) V.=X,.-ø”Snøf Dat T, = sin ø@f—> V = X, sin at > V, = X sinot —> -X,@’*sin @t—a’ X’ sin at =0 @ ,_@ X= A¡icos —X + Ä¿ sin—x a a @ Oo > V=(A,cos —x+A) sin—x) sin ot a a + Diéu kién bién V,-0=Ajsinat=0 > A,;=0 _ ol A Vya1= Ad sin sin wt = Asinøt A= —al sin— a Asin? x > Vit = ——4sinat ° _ ol sin— a
Giải phương trình (24) S7 - a'S”, =0
Trang 26Điều kiện S,-0= 0; S,1= 0 Giải sử nghiệm cĩ dạng S = S(x,t) = X,T; "yn X"-CX=0 (31 3 TT C-eong In C#T=0 là (*) Trường hợp: C= 4?>0->X”-4”x=0
Nghiệm của phương trình dạng X=A,e*+A,e”
Từ điều kiệnbiên: = Syn = XTy-p = 0 ->X,-s= Ai+ Aa=0 S.a = XT =0 > X,)=0= A, e* +A, 0 >A,= A=0>5 X=S=0 (*) Truéng hop 2: L=0 — X” =0 9 Cx +C, Xo =G =0 X,=GI=0>G=0 Điều kiện biên | > X=S=0 (*®)Trường hợp 3: C=- 4? ->X”+ 4?X=0
Nghiệm phương trình dạng X = A¡cos 4x + A» sin 2x
Từ điều kiện biên X,-o= A¡ =0 k KzrX X= Ap sin #=0 320 =0 9 A= X= An sin Ta cĩ T”'+ 4?a”T=0 cĩ nghiệm dạng T = Bị cos 24at + B; sin4at —>T¿v = Bị cos al Bp sin aa 7S, =X, Tk = [moos 21, sin! *
[m, cos +N, sin Cat sin
Diéu bién ban dau S.o= Y° M,sin 2% F(x) =0-— M, =0
k=l
Trang 28
_ (0X, = 2Aøal(—1)“ _ kraf_._ krax
—>U=V+S= sin—sinot+ >) —.~—; sn—— sn——
gna ed alt | /
a
3.3 Bài tốn 3
Hãy xét đao động tự do của một sợi đây gắn chặt ở các mút x = 0, x=1 trong một mơi trường cĩ sức cản tỉ lệ với vận tốc Cho biết các điều kiện ban
đầu
oU
U(%,0) = f(%) ; | ,.0= F(X) ot
Loi giai
Luc can tac dung lén soi day — g(x,t) = - hU’t
Trang 29* Trường hợp 2:C=0; X=T=0 * Trường hợp 3:C=- 4?<0 - X”+ 4°X=0 Cĩ nghiệm dạng X = A¡Cos 4x +A; sin Âx =A=0 Điều kiện biên kz =Asndl=0> 4=—- —> X,= Ad sin id
Giải phương trình (35): T + hT + 2?a° T=0
Phương trình dic trung r° + hr + 77a’ =0 4k ra _ t2 2,2 42 A =h-42ˆa=h“- Ệ Va a rat lớn; k tr 1 > o> A <0 >Az=-aore= wht ie 2
-hưg —h~ia =3 +€je 3 )
Trang 30U¿o= > M, = sn “TT = f(x) ._ s[ h at, Uw= 3|-2e" (M, cos + N.sn)+ +e? kal / at kx sn——— "- (M, 4 gn 2` 2 +N,— *2 = wos 2 >U'_s= €Í CTM,+#N, Ìsn““X= F(x (2 * 2 / +M, = 2 [rc psin 2 a (36) Ta cĩ - tụ, + `N, —7 [Feosint * dx 2 2 I L + En, ="M, +=] rosin ax 2 2 lì i TN= HE [40 ) sin “Tan 7 roosts] 1 = +22 (A + Fe sin as als 2 1 - 4 (1G kax = 2Í 2 +FƑ(x) sin dx (37) Thay (36) (37) vao Ugt) tacd 2 ht Uns = de 2 [™ cos oN, sin in k=l 2 2 1 4 Tổng kết chương I
Trong chương I về dao động của sợi dây, tơi đã trình bày việc thiết lập
phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây Trong đĩ phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của
Trang 31
sợi đây hữu hạn được trình bày chỉ tiết và cĩ lời giải Mỗi đạng phương trình đĩ cĩ các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp
Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đĩ giúp bạn đọc cĩ cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự
Trang 32Chương 2:
Phương trình dao động của màng 1 Thiết lập phương trình dao động của màng
Giả sử, ta cĩ một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động cĩ thể bỏ qua Khi đĩ mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng
Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y cịn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuơng gĩc với mặt phẳng
này kí hiệu độ lệch này là U, U là hàm của các toạ độ x.y và thời gian t
U=U(xy.)
+ Phương trình dao động của màng
là phương trình sĩng hai chiều
U,— äˆ(U „+ U wy) = -gŒ.) z 2_ T Trong đĩ: a” = —=const pP ds T: Mat độ phan bố của mặt căng a: Van tốc truyền sĩng s: Mật độ khối lượng mặt
(Khối lượng của một đơn vị điện tích)
* Néu g(x,t) = 0: dao động tự do khơng cĩ lực ngồi
* Nếu g(x,t) #0: đao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực
+ Điều kiện ban đầu
U,-p = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên màng Ư°¿-o=F(&x,y): vận tốc ban đầu
+ Điều kiện biên (cĩ biên gắn chặt)
Trang 33Ủ_,=0 U¡ là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L
2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật
Xét màng hình chữ nhật lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm miền G {0 < x<l;0 < g < m} Phương trình dao động Ư—a(Ux+U»)=0 Thoả mãn điều kiện biên gắn chặt Ux-0 = 0; U¿-= 0 Uy=0= 0; Uy-m= 0 Diéu kién ban dau Uo = f(xy) O< x<l U eo = F(x.y) 0< y<m * Lời giải: Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến Fourier Đặt U(x,y,) = XŒ) y(g) TŒ)
C6 Uy=X YT 3Uy=X YT;Uy=XYT
Thay vào phương trình dao động tự do cĩ
Trang 34Y+¿/Y =0
Nghiệm của các phương trình là
Trang 35Day là nghiệm riêng của phương trình vi phân * ý nghĩa vật lý
Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hồ với cùng một tần số
@xik2 VOi pha ban dau 1a Ur
kx kw sin——y m
ta aa _ 2 2 ¡
Biên độ @ = G2 + By SIN
Moi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác
định và đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía này hay phía kia
Nĩi trên màng cĩ sĩng đứng với những điểm cĩ định khơng dao động gọi là
kyax _ 0:
>
nút Tập hợp nut tạo thành đường nut Phương trình đường nút là sin
sin #Z” = 0, Điểm mà màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là bụng m kịZx sin sin m =1; : SE =i
Tân sơ âm cơ bản của màng ứng với |k, =1,k, =1 Nghiệm tổng quát của phương trình
U= U(x,y,Ð = > Die (x y,0) k2
* Xác định âk1k2? brik từ điêu kiện ban dau
Trang 36= Š au,„sin oe (0<x<]) kal Qt k,zx => tg2= 5 facosin dx 0 Thay vao f (x,y) @ f(x,y) = Š yyy SiN kzx sin ny kyky=l m Lm my
> AIK = in| [fe y)sin 223 sin# 7% dy dx
Mat khac: Unw= F(x,y) nén ~ kx kwy O<x<l F(x,y) = » Oppo) 4.9 sin—“!—sin—?—— cm kk 2=1 m Tương tự đối voi f(x,y) cĩ im L4 min ysin 2 A sin SE ay a burke = x2 m 3 Một số bài tốn minh hoạ 3.1 Bài tốn 1
Trang 37U=U rị = Xe Yon To Ư= XYT”;U”„=X YT; Uy = XY'”T => XYT -a (XYT+XYÏT)=0 XYT”-a°(X Y+XY )T=0 4 IT XY+XY x VY —>-;— =—+—=C=const aT XY xX Y T`~Ca?T =0 T~CZT=0 oly ÄX =c_-" -c > JX-CX=0 x Y Y'-(C-C)Y =0 X"-C,X =0 > 4¥'-cCY=0 T -a@(C,+C,)T =0 Giải phương trình X”- C¡X =0
*Trường hợp l: a=4?>0: -> Aie+A;e“ Điều kiện biên — U,j=0 -> X;-o=0= Ai+A¿ U,-¡=0 —> X;=0= Aief#+Ase 2 > A; +A,=0 > X=U=0 *Trường hợp2: C¡ =0 — X”=0 > X=Aix+A; X›=A,=0 Điều kiện biên X,_, =Al=0 + A, =A,=0-X =U =0 * Trường hợp 3: C¡ = -22< 0 > X'+ VX =0 5X = A, cosax + Agsin’a x x pen ten [X= 4, =0 Diéu kién bién {0 X,_, = A, sin Al =0 '- > dl=kx 1-82 ._ kZX
—>X\i = A¿ sin —
* Giải phương trình 2: Y”— CạY =0
- Trường hợp 1: C)= 7 >0 > Y - wY=0
Trang 38Nghiệm tơng quát dạng Y = Bie”' + Bye” Điều kiện biên: Uy-=0_—› Yy-= 0= Bị + Bạ
Uy=0 — Yy-=0 = Bịce/?+ Bạe 2 — B, =B,=0 > Y=U=0 - Truéng hop 2:C,=0 > Y =0 > Y=Byy+B, 3 en, Youn = By =0 Diéu kién bién > B,=B,=0 > Y=U=0 Y,, =Bl=0
- Trường hợp 3: C¿ = - w’<0 > Y=B, coswy + B;/y Điều kiện biên: Y/„„o =B,=0; Y/⁄~¡= B;sinlz; =0
> ue a, => Y,, =B,sin kay
* Giải phương trình: 3: TỶ — aˆ (C¡ + Cạ) T=0 eT -a(-2-)T=0 OT +a’? (27+ w)T=0 22 2,2 2 oe Ta? | S24" Ir—o ‹y 7 +Í ##Ì @?+k?yr =0 U lạ 1 1 2 2 6 an ST 4+@ ppl =0 VOI 4° -(4) (k? +k,’) > Tri =Dicos a,,,t + Dosin @,,,,t : « kx k zy _> Unie = (Mụy¿ cos Oot + Nu SIN O.;,5 t) sin XIẾX n5} %= —>U= Ga => (Muik2 cos Out + Nui SIN ø@,„; Ð kị=l kạ=I kị=lk;=l
* sin Aas sin S73 :
Điều kiện biên: C_ạ= YM yy, sin A in OE = Awy(—x)~ y)
k=l k=l
> = a «KX kax k,ax KyAX _
Uceo= YY Meurer i i sin =0 kị=l k;=l Ị
Trang 40
Bài tốn về đao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng
phương pháp tách biến tương tự như bài tốn cưỡng bức của dây hữu hạn
Nghiệm của phương trình:
U¿~a?(U,„ +U,,)=~g(x, y.)
Với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài tốn trên ta cĩ: =>>T II (0n “ in ky =l ¡=l Về phải —g(x,y,t) được khai triển thành chuỗi hai lớp theo sin ._ K„ZX na g(x, y,f)= > ()sin^ k;=l =I Đối với hàm7, „„ Œ) ta rút ra được phương trình vi phân thơng thường r
kia + Ou Tis, = Vie, O
Với điều kiện ban đầu 7, (0) =a,, 7„(0) = Ø,„ bu,
Trong đĩ a,„ và b,, được xác định ở trên Thay T,„ (Ð) vào cơng thức của U ta sẽ tìm được nghiệm của bài tốn dao động cưỡng bức của màng 5 Phương trình Bessel
Xét dao động của một màng trịn giả sử màng chiếm một hình trong D bán kính q trên mặt phẳng x0y
Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng U = UŒ,ø.0)
Điều kiện biên U, „=0