Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM HỮU QUYỀN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành : Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm bất phương trình hàm chuyên đề quan trọng giải tích, đặc biệt chương trình chun tốn Trung Học Phổ Thông (THPT) Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế thường xuất toán sử dụng tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược, tốn khó mẻ với học sinh THPT Những sách tham khảo cho học sinh lĩnh vực không nhiều Đặc biệt tài liệu sách giáo khoa dành cho THPT hàm lượng giác ngược chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Xuất phát từ thực tế đó, với hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài “ Phương trình bất phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn thạc sĩ Ngồi kiến thức lý thuyết bản, luận văn có thêm số tập phương trình bất phương trình, đồng thời đưa vào tốn sử dụng tính chất hàm lượng giác ngược Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Phương trình bất phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược” nhằm cung cấp thêm cho em học sinh THPT, đặc biệt em học sinh khá, giỏi tài liệu tham khảo phương trình bất phương trình hàm Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm lượng giác ngược bất phương trình hàm lượng giác ngược 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất hàm lượng giác ngược toán liên quan lĩnh vực phương trình bất phương trình hàm Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại vấn đề cách lơgic, tìm hiểu tốn, ví dụ minh họa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu phương trình bất phương trình hàm Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương : Chương 1: Hàm lượng giác ngược hệ thức liên quan Chương trình bày số tính chất hàm số, tính chất hàm lượng giác ngược, đẳng thức hàm sinh hàm lượng giác ngược Chương 2: Một số dạng phương trình hàm lớp lượng giác ngược Chương trình bày phương trình hàm sinh hàm arcsin, arccos, arctan arccot Chương 3: Bất phương trình hàm hàm lượng giác ngược Chương trình bày bất phương trình hàm bản, bất phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược số dạng toán liên quan đến bất phương trình hàm CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC VÀ CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Xét hàm số f ( x ) với tập xác định D f Ì ¡ tập giá trị R( f ) Ì ¡ Định nghĩa 1.1 Nếu với phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn giá trị x Î X cho y = f ( x ) f gọi đơn ánh Định nghĩa 1.2 Hàm f ( x ) gọi hàm chẵn M, M Ì D f (gọi tắt hàm chn trờn M) nu "x ẻ M ị - x Î M f ( - x) = f ( x ), " x Ỵ M Định nghĩa 1.3 Hàm f ( x ) gọi hàm số lẻ M, M Ì D f (gọi tắt hàm l trờn M) nu "x ẻ M ị - x Î M f ( - x) = - f ( x ), " x Ỵ M Định nghĩa 1.4 Cho hàm số f ( x ) tập M( M Ì D f ) Hàm f ( x ) gọi hàm tuần hoàn tập M tồn số dương a cho ì"x Ỵ M ị x a ẻ M (1.1) ợ f ( x + a ) = f ( x), "x Ỵ M Số a dương nhỏ thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở hàm tuần hoàn f(x) Định nghĩa 1.5 Cho hàm số f ( x ) tập M( M Ì D f ) Hàm f ( x) gọi hàm phản tuần hoàn tập M tồn số dương a cho: ỡ"x ẻ M ị x a Ỵ M (1.2) í ỵ f ( x + a ) = - f ( x), "x Ỵ M Số a nhỏ thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn f ( x ) Định nghĩa 1.6 Hàm f ( x ) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a M M Ì D f a ẻ Ă \{0; -1;1} ỡ"x ẻ M ị a x ẻ M ợ f (a x) = f ( x), "x Ỵ M (1.3) Số a dương nhỏ thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ sở hàm tuần hồn nhân tính f ( x ) Định nghĩa 1.7 Hàm f ( x ) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ a M M Ì D f v ỡ"x ẻ M ị a x ẻ M í ỵ f (a x) = - f ( x), "x Ỵ M (1.4) Số a nhỏ thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hồn nhân tính f ( x ) Định nghĩa 1.8 Hàm số g gọi hàm số ngược hàm số f ký hiệu f -1 nếu: f ( g ( x )) = x với x thuộc miền xác định g g ( f ( x )) = x với x thuộc miền xác định f Mọi hàm số đơn ánh có hàm ngược Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt có hàm ngược Định nghĩa 1.9 Tập A Ì ¡ gọi trù mật ¡ , ký hiệu A = ¡ "x, y Ỵ ¡ , ( x < y ) tồn a Ỵ A, cho x Cho y = x , suy f ( x ) = f ( x ) , "x Ỵ ¡ Giả sử với k nguyên dương, f ( kx ) = kf ( x ) , "x Ỵ ¡ Khi f ( ( k + 1) x ) = f ( kx + x ) , "x Ỵ ¡, "k ẻ Ơ T ú theo nguyờn lý quy np, ta có f ( nx ) = nf ( x ) , "x Ỵ ¡ Ta kết hợp với tính chất f ( - x ) = - f ( x ) thu f ( mx ) = mf ( x ) , "m ẻ Â, "x ẻ Ă æxö è2ø æ x ö = = n ÷ è2 ø Lại có f ( x ) = f ỗ ữ = 22 f ỗ ổ x fỗ nữ ố2 ứ ổ x = n f ( x ) , "n ẻ Â, "x ẻ Ă n ữ ố2 ứ T ú suy ra: f ỗ Kt hp cỏc iu trờn li ta c ổmử m f ỗ n ữ = n f (1) , "m ẻ Â, n ẻ Ơ + è2 ø 13 Sử dụng giả thiết liên tục hàm f ( x) suy f ( x ) = ax, "x Ỵ ¡, a = f (1) Thử lại, ta thấy hàm f ( x) = ax thỏa mãn yêu cầu đề Vậy, hàm f ( x) = ax hàm cần tìm Bài tốn (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định hàm f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện sau: f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ; "x, y Ỵ ¡ Bài giải Ta nhận thấy f º nghiệm toán Xét trường hợp f ¹ , tồn x0 Ỵ ¡ cho f ( x0 ) ¹ Theo đề ta có f ( x0 ) = f ( x + ( x0 - x)) = f ( x) f ( x0 - x) ¹ "x ẻ Ă Suy f ( x) 0, "x Ỵ ¡ ỉ x x é ỉ x ửự Mt khỏc f ( x) = f ỗ + ữ = f ỗ ữ ỳ > 0, "x Ỵ ¡ è 2 ø ë è øû Ta đặt g ( x) = ln f ( x) Þ f ( x) = e g ( x ) Khi g ( x) hàm liên tục ¡ 14 g ( x + y ) = ln f ( x + y ) = ln [ f ( x) f ( y )] = ln f ( x) + ln f ( y ) = g ( x) + g ( y ), "x, y Ỵ ¡ Theo tốn g ( x) = bx, b Ỵ ¡ tùy ý Suy f ( x) = ebx = a x , a > Vậy nghiệm toán f º f ( x) = a x , a > Bài tốn 3: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = cos x cos y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 4: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 5: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 6: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) - f ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 7: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = cos x sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 8: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + g ( x - y ) = cos x sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 9: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn 15 f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2sin x cos y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 10: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2sin x cos y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 11: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = f ( x) cos y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 12: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x - y ) - f ( x + y ) = g ( x) sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 13: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn sin( x + y ) = f ( x) sin y + f ( y ) sin x, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 14: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn sin( x + y ) = f ( x)sin y + g ( y ) sin x, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 15: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) = g ( x) sin y + g ( y ) sin x, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 16: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) f ( x - y ) = sin x - sin y, "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 17: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) f ( x - y ) = f ( x) - sin y, "x, y Ỵ ¡ 16 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCSIN Bài tốn 18 Tìm hàm f ( x) xác định liên tục [-1,1] thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( y ) = f ( x - y + y - x ), "x, y Ỵ [-1,1] 2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOS Bài tốn 19 Tìm hàm f ( x) xác định liên tục [-1,1] thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( y ) = f ( xy - - y - x ), "x, y Î [-1,1] 2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCTANG Bài tốn 20 Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện x+ y f ( x) + f ( y ) = f ( ), "x, y ẻ Ă, xy 1 - xy Bài toán 21 Xác định hàm f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện 17 x- y f ( x) - f ( y ) = f ( ), "x, y Ỵ ¡, | xy |< 1 + xy 2.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOTANG Bài tốn 22 Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( y ) = f ( xy - ), "x, y ẻ Ă : x + y x+ y 2.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Bài tốn 23 Tìm tất hàm f ( x) liên tục R thỏa mãn f ( x ) f ( y ) - f ( x + y ) = sinxsiny,"x,y Ỵ ¡ Bài tốn 24 Tìm tất hàm f ( x) xác định liên tục R thỏa mãn ìï f ( x + y ) + f ( x - y ) = f ( x ) f ( y ) , "x, y ẻ Ă ùợ f ( ) = 1, $x0 Ỵ ¡ : f ( x0 ) < Bài toán 25 ( IMO 2002) Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa f ( f ( x) + y ) = x + f ( f ( y ) - x ) 18 Bài tốn 26.(IMO 2004)Tìm tất hm f : [1; +Ơ ) đ [1; +Ơ ) thỏa f ( xf ( y )) = yf ( x); "x, y ẻ [1; +Ơ ) Bi toỏn 27 ( IMO 2005) Tìm tất hàm f : ¡ + ® ¡ + thỏa f ( x) f ( y ) = f ( x + yf ( x) ) "x, y Ỵ ¡ + Bài tốn 28 ( IMO 2007) Tìm tất hàm f : ¡ + ® ¡ + cho f ( x + f ( y ) ) = f ( x + y ) + f ( y ), "x, y Ỵ ¡ + Bài tốn 29 ( IMO 2008) Tỡm cỏc f : (0; +Ơ) đ (0; +Ơ) tha mãn f ( p) + f (q)2 p + q = f (r ) + f ( s ) r + s Bài tốn 30 ( IMO 2009) Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn với x, y thuộc ¡ thì: f ( [ x ] y ) = f ( x) [ f ( y ) ] [ x ] số nguyên lớn không vượt x hàm 19 CHƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 3.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN Tương tự dạng tốn phương trình hàm chuyển đổi phép tính số học đối số đại lương trung bình, mục ta xét lớp bất phương trình hàm tương ứng Bài tốn 31 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (t ) ³ 0, "t Ỵ ¡, f ( x + y ) ³ f ( x) + f ( y ), "x, y Î ¡ Bài toán 32 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡, f ( x + y ) ³ f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 33 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (t ) ³ 0, "t Ỵ ¡ + , f ( xy ) ³ f ( x) + f ( y ), "x, y Ỵ ¡ + 20 Bài tốn 34 Xác định hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + , f ( xy ) ³ f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡ + Bài toán 35 Xác định hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (0) = f (t ) ³ 0, "t Ỵ ¡, x+ y f( ) ³ f ( x) + f ( y ) , "x, y Ỵ ¡ 2 Bài tốn 36 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (0) = f (t ) ³ 1, x+ y "t Ỵ ¡, f ( )³ f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡ Bài tốn 37 Xác định hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (1) = f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + , f ( x) + f ( y ) f ( xy ) ³ , "x, y Ỵ ¡ + Bài toán 38 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 21 f (1) = f (t ) ³ 1, "t Î ¡ + , f ( xy ) ³ f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡ + Bài toán 39 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: xy ) ³ f ( x) + f ( y) , "x, y Ỵ ¡ + x+ y Bài toán 40 Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời f (1) = f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + , f ( điều kiện sau: f (1) = f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + , xy f( ) ³ f ( x) f ( y), "x, y Ỵ ¡ + x+ y Bài toán 41 Cho trước hàm số h(t ) = at , a Ỵ ¡ Xác định hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (t ) ³ h(t ), "t Î ¡, f ( x + y ) ³ f ( x) + f ( y ), "x, y Ỵ ¡ 3.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 3.2.1 Bất phương trình hàm sinh hàm arcsin Bài tốn 42 Tìm hàm f ( x) xác định liên tục [-1,1] thỏa mãn điều kiện 22 ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( x - y + y - x ), "x, y ẻ [-1,1] ùợ f (t ) 0, "t Ỵ [-1,1] Bài tốn 43 Tìm hàm f ( x) xác định liên tục [-1,1] thỏa mãn điều kiện ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( x - y + y - x ), "x, y Ỵ [-1,1] í ïỵ f (t ) ³ 2arcsin t , "t Ỵ [-1,1] 3.2.2 Bất phương trình hàm sinh hàm arccos Bài tốn 44 Tìm hàm f ( x) xác định liên tục [-1,1] thỏa mãn điều kiện ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( xy - - y - x ), "x, y Ỵ [-1,1] ùợ f (t ) Ê 0, "t ẻ [-1,1] Bài tốn 45 Tìm hàm f ( x) xác định liên tục [-1,1] thỏa mãn điều kiện ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( xy - - y - x ), "x, y Ỵ [-1,1] í ùợ f (t ) Ê 3arccos t , "t ẻ [-1,1] 23 3.2.3 Bất phương trình hàm sinh hàm arctan Bài tốn 46 Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện x+ y ì ), "x, y Ỵ ¡, xy ¹ ï f ( x) + f ( y ) £ f ( - xy í ï f (t ) Ê 0, "t ẻ \ Ă ợ Bi tốn 47 Cho a Ỵ ¡ Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện x+ y ì ), "x, y Ỵ ¡, xy ¹ ï f ( x) + f ( y ) £ f ( - xy í ï f (t ) £ a arctan t , "t Ỵ ¡ ỵ 3.3 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trong phần ta trình bày số toán liên quan đến bất phương trình hàm từ kỳ thi Olympic nước quốc tế 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn“Phương trình bất phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược” thu kết sau: Trình bày phương trình hàm sinh hàm lượng giác ngược Trình bày bất phương trình hàm sinh hàm lượng giác ngược Tổng hợp số toán đề thi học sinh giỏi Olympic Toán Kết luận văn nhằm tạo tài liệu tham khảo cho em học sinh THPT, giúp em hệ thống kiến thức dễ dàng tiếp cận với hàm lượng giác ngược ... cứu: Phương trình hàm lượng giác ngược bất phương trình hàm lượng giác ngược 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất hàm lượng giác ngược tốn liên quan lĩnh vực phương trình bất phương trình hàm Phương. .. QUAN ĐẾN BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trong phần ta trình bày số tốn liên quan đến bất phương trình hàm từ kỳ thi Olympic nước quốc tế 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn Phương trình bất phương trình... Mậu, chọn đề tài “ Phương trình bất phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn thạc sĩ Ngồi kiến thức lý thuyết bản, luận văn có thêm số tập phương trình bất phương trình, đồng