Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 Chuyên đề TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC 1 Định nghĩa Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a[.]
Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: a c = b d Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số (hoặc a : b = c : d) Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: a c = Tính chất 1: Nếu b d ad=bc Tính chất 2: Nếu ad=bc a, b, c, d ¿ a c a b = = b d , c d , ta có tỉ lệ thức sau: d c = b a d b = c a , Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c = b d a c a+c a−c = = = b d b+ d b−d -Tính chất: Từ suy ra: -Tính chất cịn mở rộng cho dãy tỉ số nhau: a c e a c e a+b +c a−b+c = = = = = = = b d f suy ra: b d f b+d + f b−d+ f (giả thiết tỉ số có nghĩa) a b c = = * Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, Ta viết a : b : c = : : B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x y = =k x y = x+ y=20 Đặt , suy ra: x=2 k , y=3k Theo giả thiết: x+ y=20 ⇒2 k +3 k =20 ⇒5 k =20⇒ k =4 Do đó: x=2 4=8 y=3 4=12 KL: x=8 , y=12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 20 = = = =4 2+ x =4 ⇒ x=8 Do đó: y =4 ⇒ y =12 KL: x=8 , y=12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y = ⇒ x= Từ giả thiết 2y x+ y=20 ⇒ + y=20 ⇒ y =60 ⇒ y=12 mà 12 x= =8 Do đó: KL: x=8 , y=12 Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: Giải: x y = , y z = x −3 y+z=6 x y x y = ⇒ = Từ giả thiết: 12 (1) y z y z = ⇒ = 12 20 (2) x y z = = Từ (1) (2) suy ra: 12 20 (*) x y z x y z x−3 y +z = = = = = = = =3 Ta có: 12 20 18 36 20 18−36+ 20 x =3 ⇒ x=27 Do đó: y =3 ⇒ y=36 12 z =3⇒ z=60 20 KL: x=27 , y =36 , z=60 x y z = = =k 12 20 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt VD1) Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z = ⇒ y= 5 3z x y 3y 9z = ⇒ x= = = 4 20 ( sau giải cách Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, mà 9z 3z z −3 + z=6 ⇒ =60 ⇒ z=60 20 10 60 60 y= =36 x= =27 20 , x −3 y+ z =6 ⇒2 Suy ra: KL: x=27 , y =36 , z=60 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) x y = x y=40 x y = =k Đặt , suy x=2 k , y=5k 2 Theo giả thiết: x y=40⇒ k k =40 ⇒10 k =40⇒ k =4 ⇒k =±2 + Với k =2 ta có: x=2 2=4 y=5 2=10 + Với k =−2 ta có: x=2 (−2 )=−4 y=5 (−2)=−10 KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Hiển nhiên x ¿ Nhân hai vế x y = x xy 40 = = =8 5 với x ta được: ⇒ x =16 ⇒ x=±4 y 4.5 = ⇒ y= =10 + Với x=4 ta có −4 y −4 = ⇒ y= =−10 + Với x=−4 ta có KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z = = 10 21 a) x+3 y−z=124 x+ y−2 z=28 2x y 4z = = c) x+ y+ z=49 x y = 2 e) x − y =4 x y z = = =x+ y+ z y +z +1 z+x +1 x+ y−2 Bài 2: Tìm số x, y, z biết rằng: b) d) x y = x y = , y z = và xy=54 f) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, x y z = = 10 21 a) x+3 y−z=124 x+ y−2 z=28 b) 2x y 4z = = c) x+ y+ z=49 x y = 2 e) x − y =4 d) x y = và f) x− y +z=32 b) c) x=3 y=5 z x+ y−z=95 y + z +1 z+x +2 x+ y−3 = = = x y z x+ y+ z e) Bài 4: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x=2 y , y=5z x +3 y−z=50 , y z = xy=54 x y z = = =x+ y+ z y +z +1 z+x +1 x+ y−2 Bài 3: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x=2 y , y=5z x +3 y−z=50 x y = d) x−1 y−2 z−3 = = x y z = = và xyz=810 2 f) 10 x=6 y x − y =−28 x− y +z=32 b) c) x=3 y=5 z x+ y−z=95 y + z +1 z+x +2 x+ y−3 = = = x y z x+ y+ z e) Bài 5: Tìm x, y biết rằng: d) x−1 y−2 z−3 = = x y z = = và xyz=810 2 f) 10 x=6 y x − y =−28 1+2 y 1+4 y 1+6 y = = 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 1+2 y 1+4 y 1+6 y = = 18 24 6x a b c d = = = Bài 7: Cho a+b +c +d≠0 b+c +d a+c +d a+b +d a+b+ c a+ b b+ c c +d d+ a A= + + + c +d a+d a+b b+ c Tìm giá trị của: a b c d a b c d Giải: b c d a c d a b d a b c 3(a b c d ) ( Vì a+b +c +d≠0 ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm số x; y; z biết rằng: x y 5x – 2y = 87; a) x y b) 19 21 2x – y = 34; Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, x y3 z3 b) 64 216 x2 + y2 + z2 = 14 2x 3y 2x 3y 6x c) Bài 9: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 10: Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 Bài 11 Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng a b ? Giai Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75 a b c , , b c c a a b Bài 12: Cho ba tỉ số nhau: Biết a+b+c 0 Tìm giá trị tỉ số ? Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? Bài 14: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ ab ( ab−2 cd ) +c d ] [ ab ( ab−2 ) +2(ab +1)]=0 chúng lập thành tỉ lệ thức ab ab 2cd c d ab ab 2(ab 1) 0 Giải: => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C = B D Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng số phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C A B C D Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức Một số kiến thức cần ý: +) có giá trị a na = (n≠0 ) b nb a c a n c n = ⇒ = b d b d +) Sau số ví dụ minh họa: ( giả thiết tỉ số có nghĩa) () () Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức Giải: a c = b d Chứng minh rằng: a+b c+ d = a−b c−d Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Cách 1: (PP1) Ta có: (a+b )(c−d )=ac−ad +bc−bd (1) (2) (a−b )( c+d )=ac+ad−bc−bd a c = ⇒ad =bc Từ giả thiết: b d (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (a+b )(c−d )=(a−b)( c+d ) ⇒ a+b c+ d = a−b c−d (đpcm) Cách 2: (PP2) a c = =k b d Đặt Ta có: , suy a=bk , c=dk a+b kb+b b( k+ 1) k +1 = = = a−b kb−b b(k −1) k −1 (1) c+ d kd +d d (k +1) k +1 = = = c−d kd−d d (k −1) k−1 (2) a+b c+ d = a−b c−d Từ (1) (2) suy ra: (đpcm) Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a+b a−b = = = c d c +d c−d ⇒ a+b c+ d = a−b c−d (đpcm) Hỏi: Đảo lại có khơng ? Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c = b d Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Từ giả thiết: a c = ⇒ad =bc b d (1) ab a2 −b = cd c 2−d Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Ta có: ab ( c −d )=abc −abd =acbc−adbd (2) cd ( a2 −b ) =a2 cd −b2 cd =acad−bc bd ⇒ a c = =k b d (3) ab a2 −b = cd c 2−d (đpcm) , suy a=bk , c=dk Ta có: ab ( c −d )=cd ( a −b ) Từ (1), (2), (3) suy ra: Cách 2: Đặt 2 ab bk b kb b = = = cd dk d kd d (1) a2 −b2 ( bk )2−b2 b k −b2 b ( k −1 ) b2 = = = = c2 −d2 ( dk )2−d2 d k −d d ( k 2−1 ) d Từ (1) (2) suy ra: Cách 3: Từ giả thiết: ab a2 −b = cd c 2−d (2) (đpcm) a c a b ab a2 b a 2−b = ⇒ = ⇒ = = = b d c d cb c d c −d ab a2 −b = cd c 2−d ⇒ (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c = b d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa) a+5 b c +5 d = 1) a−5 b c−5 d 3) a−b c−d = a+b c+d a+5 b c+5 d = 5) a−4 b c−4 d 2005 a−2006 b 2005 c−2006 d = 2006 c +2007 d 2006 a+2007 b 2) 4) 6) 2 a+b a +b = 2 c+ d c +d ( ) ab ( a−b ) = cd ( c−d )2 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, a c = a+b c +d 7) 8) Bài 2: Cho tỉ lệ thức: a c = b d a2 +5 ac b +5 bd = a2 −5 ac b 2−5 bd Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa) a+5 b c +5 d = a) a−5 b c−5 d ( ) b) ab ( a−b ) = cd ( c−d )2 d) a+b a2 +b = 2 c+ d c +d c) a+5 b c+5 d = e) a−4 b c−4 d a−b c−d = a+b c+ d f) 2008a 2009b 2008c 2009d 2009c 2010d 2009a 2010b a c = a+b c +d g) a2 +5 ac b +5 bd = a2 −5 ac b 2−5 bd h) i) 7a 3ab 7c 3cd 2 11a 8b 11c 8d Bài 3: Cho a b c = = b c d Bài 4: Cho a b c = = b c d Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: ( a+ b+c a = b+c +d d ( a+ b+c a = b+c +d d ) ) a b c = = Bài 5: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: (a−b )(b−c)=(c−a ) Bài 6: Cho dãy tỉ số nhau: a1 a a a 2008 a2 a3 a4 a 2009 a1 CMR: Ta có đẳng thức: Bài 7: Cho a 2009 a a a a 2008 a a a a 2009 a1 a a8 a = = = = a2 a3 a9 a Chứng minh rằng: a1 =a 2= .=a a b c = = Bài 8: Cho 2003 2004 2005 2008 a1 + a2 + +a9 ≠0 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Chứng minh rằng: (a−b )(b−c)=(c−a ) a b = b d Bài 9: Chứng minh : Bài 10: Cho a1 a a a = = = = a2 a3 a9 a a2 + b2 a = b2 + d2 d a1 + a2 + +a9 ≠0 Chứng minh rằng: a1 =a 2= .=a Bài 11: CMR: Nếu a =bc a b = b d Bài 12: Chứng minh : Bài 13: Cho a+b c+ d = a−b c−d Giải Ta có : ⇒ a2 + b2 ab = c2 +d cd CMR: Đảo lại có không? a2 + b2 a = b2 + d2 d a c = b d a c Chứng minh rằng: b d 2 ab a +2 ab+ b2 ( a+ b ) ab ( a+ b ) ( a+b ) a b = = = ⇒ = 2 cd cd ( c +d ) ( c+ d ) c d ; c +2 cd+ d ( c +d ) = Bài 14 Cho tỉ lệ thức : a+b c+ a = a−b c−a a b ab 2 c d cd c ( a+b ) b ( c +d ) ca+ cb bc+ bd ca−bd a c = = = = =1 ⇒ca +cb=ac +ad ⇒ cb=ad ⇒ = b d a ( c +d ) d ( a+b ) ac +ad da+db ca−bd u+2 v +3 = Bài 15: Chứng minh nếu: u−2 v−3 Bài 16: CMR: Nếu a =bc a+b c+ a = a−b c−a u v = Đảo lại có khơng? Bài 17: CMR a( y +z )=b( z +x )=c ( x+ y ) a, b,c khác khác : Bài 18: Cho Bài 19: Cho a+b c+ d = a−b c−d y− z z−x x− y = = a(b−c ) b(c −a ) c (a−b ) CMR: a c = b d a c = b d Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 Chứng minh rằng: xa+ yb xc+ yd = za+tb zc +td zc+td≠0 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, u+2 v +3 = Bài 20: Chứng minh nếu: u−2 v−3 u v = 2 Bài 21: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b =ac ; c =bd 3 b +c + d ≠0 Chứng minh rằng: a3 +b3 +c a = b3 + c3 +d d Bài 22: CMR a( y +z )=b( z +x )=c ( x+ y ) Trong a, b,c khác khác y− z z−x x− y = = a(b−c ) b(c −a ) c (a−b ) : P= Bài 23: Cho ax + bx+ c a1 x + b1 x+ c Chứng minh a b c = = a1 b1 c giá trị P khơng phụ thuộc vào x Bài 24: Cho biết : Bài 25: Cho a b' b c' 1; 1 a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = a c = b d Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 Chứng minh rằng: zc+td≠0 xa+ yb xc+ yd = za+tb zc +td 2 Bài 26: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b =ac ; c =bd 3 b +c + d ≠0 Chứng minh rằng: P= a3 +b3 +c a = b3 + c3 +d d ax + bx+ c a1 x + b1 x+ c Bài 27: Cho P không phụ thuộc vào x Chứng minh Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b 2c 13d 3a 7b 3c 7d Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz cy cx az ay bx a b c ; a b c = = a1 b1 c Chứng minh ; CMR: giá trị a c rằng: b d x y z a b c ... có: x=2 (−2 )=−4 y=5 (−2)=−10 KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Hiển nhiên x ¿ Nhân hai vế x y = x xy 40 = = =8 5 với x ta được: ⇒ x =16 ⇒ x=±4 y 4.5 = ⇒... Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75 a b c , , b c c a a b Bài 12: Cho ba tỉ số nhau: Biết a+b+c 0 Tìm giá trị tỉ số ? Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8... ) a b c = = Bài 5: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: (a−b )(b−c)=(c−a ) Bài 6: Cho dãy tỉ số nhau: a1 a a a 2008 a2 a3 a4 a 2009 a1 CMR: Ta có đẳng thức: Bài 7: Cho a 2009 a a