Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 Chuyên đề 5 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 Các kiến thức vận dụng * a2 + 2 ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b * a2 – 2 ab + b2 =[.]
Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Chuyên đề : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1.Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 với a,b * a2 – ab + b2 = ( a – b)2 với a,b *A2n với A, - A2n với A * A 0, A , A 0, A * A B A B , A, B dấu “ = ” xẩy A.B * A B A B , A, B dấu “ = ” xẩy A,B Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 với a,b Và a2 – ab + b2 = ( a – b)2 với a,b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2 với x , nên P(x) 2010 Vậy Min P(x) = 2010 ( x - 1)2 = hay x = b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 - 3500 với x Vậy Min Q(x) = -3500 Từ ta có tốn tổng qt : Tìm GTNN đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) b b b2 + ( )2 ) + ( c ) 4a 2a 2a b 4ac b2 4ac b 4ac b = a( x )2 ( x = ) , x Vậy Min P(x) = 2a 4a 4a 4a HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x b 2a Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + b) B = x – x2 3 25 3 25 25 Do (a ) 0, a nên A , a Vậy Max A = a = 2 4 2 2 c) B = x x ( x 2.x.1 ) ( x 1) Do ( x 1) 0, x B 1, x HD : a) A = - a2 + 3a + = (a 2.a ( )2 ) (4 ) (a )2 Vậy Max B = x = Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2012 a) P = x x 2013 a 2012 2013 b) Q = 2012 a 2011 * Dạng vận dụng A2n với A, - A2n với A Bài : Tìm GTNN biểu thức : Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) ( x y)2 0, x, y ( y 2012)2012 0, y suy : P với x,y x y x 4024 Min P = y 2012 y 2012 b) Ta có ( x y 3) 0.x, y ( x y)2 0.x, y suy : Q 2012 với x,y x ( x y 3) Min Q = 2012 y 1 ( x y ) 2013 Bài : Tìm GTLN R = Bài : Cho phân số: C ( x 2)2 ( x y ) 3x 2 x 5 (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x Z để C số tự nhiên x 2 4.(3 x 2) 12 x 23 (1 ) x 3.(4 x 5) 12 x 15 12 x 15 23 C lớn lớn 12 x 15 nhỏ 12 x 15 x 12 x 15 HD : C Vậy Max C = 23 (1 ) x = 7n có giá trị lớn 2n 7n 2(7n 8) 14n 16 HD : Ta có (1 ) 2n 7(2n 3) 14n 21 14n 21 7n Để lớn lớn 14n 21 14n – 21 có giá trị nhỏ 14n 21 2n 21 n n nhỏ n = 14 * Dạng vận dụng A 0, A , A 0, A Bài : Tìm số tự nhiên n để phân số A B A B , A, B dấu “ = ” xẩy A.B A B A B , A, B dấu “ = ” xẩy A,B Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = ( x – 2)2 + y x + b) B = 2011 2012 x 2010 HD: a) ta có ( x 2)2 với x y x với x,y A với x,y ( x 2) x Suy A nhỏ = y x y b) Ta có x 2010 với x 2012 x 2010 2012 với x Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, BB 2011 2011 với x, suy Min B = x = 2010 2012 2012 Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A x 2011 x 2012 b) B x 2010 x 2011 x 2012 c) C = x x x 100 HD : a) Ta có A x 2011 x 2012 = x 2011 2012 x x 2011 2012 x với x A với x Vậy Min A = Khi ( x 2011)(2012 x) 2011 x 2012 b) ta có B x 2010 x 2011 x 2012 ( x 2010 2012 x ) x 2011 Do x 2010 2012 x x 2010 2012 x với x (1) Và x 2011 với x (2) Suy B ( x 2010 2012 x ) x 2011 Vậy Min B = BĐT (1) ( x 2010)(2012 x) x 2011 x 2011 (2) xẩy dấu “=” hay c) Ta có x x x 100 = ( x 100 x ) ( x 99 x ) ( x 50 56 x ) x 100 x x 99 x x 50 56 x = 99 + 97 + + = 2500 Suy C 2050 với x Vậy Min C = 2500 ( x 1)(100 x) 1 x 100 ( x 2)(99 x) 2 x 99 50 x 56 ( x 50)(56 x) 50 x 56 ... n = 14 * Dạng vận dụng A 0, A , A 0, A Bài : Tìm số tự nhiên n để phân số A B A B , A, B dấu “ = ” xẩy A.B A B A B , A, B dấu “ = ” xẩy A,B Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu... kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) ( x y)2 0, x, y ( y 2012)2012 0, y suy : P với x,y x y x 4024... x ) ( x 99 x ) ( x 50 56 x ) x 100 x x 99 x x 50 56 x = 99 + 97 + + = 250 0 Suy C 2 050 với x Vậy Min C = 250 0 ( x 1)(100 x) 1 x 100