Đang tải... (xem toàn văn)
Timgiasuhanoi com Trung tâm Gia sư tại Hà Nội 0987 109 591 Chuyên đề 5 CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị[.]
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Chuyên đề 5: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn : - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A chưa thể kết luận minA = không tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + A = x -2 = x = Vậy minA = khi x = II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a Tìm GTLN P a Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Đặt c - b b b2 x ) + c = a( x + ) +c- a 2a 4a b b2 =k Do ( x + ) nên : 2a 4a - Nếu a a( x + b ) 0 , P k MinP = k x = 2a b 2a -Nếu a a( x + b ) ` P ` k MaxP = k x = 2a - b 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 y = x2 – 7x + = x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : A = = 6x 9x2 x x2 = (3x 1)2 9x 6x 1 Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) +4 (3x 1)2 theo tính chất a b minA = - 1 A với a, b dấu) Do (3x 1) a b 3x – = x = Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài tập áp dụng: HD giải: x 4x 1 1 A max A= x 2 x 4x x 5 Tìm GTLN BT : A HD Giải: x 6x 17 1 1 A max A= x 3 x 6x 17 x 3 8 Tìm GTLN BT : A (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 x 2x b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức Ví dụ : Tìm GTNN A = 3x x x2 2x Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm A = x2 x 1 x2 x x2 x 1 ( x 2) = + ( x 1) minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : 3( y 1)2 8( y 1) y y y y y 1 1 A = = + -1)2 2 = ( y y y y y y y y y +2 minA = y = x – = x = Bài tập áp dụng: 1, (13/200) Tìm GTNN GTLN bt: P x2 1 x2 x 1 x x 2006 2, (36/210) Tìm GTNN bt : B x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt: C x2 x2 5x Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN bt : a, D x2 2x x2 2x b, E x2 2x 2x2 x c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = 4x x2 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : A = x2 4x x2 ( x 2) = - -1 x2 x2 Min A= -1 x = Tìm GTLN A = (2 x 1) x2 x2 4x = x2 1 x2 1 Bài tập áp dụng: 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: x a, A x 2 b, B 2, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: Q 3, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: S x2 x 2 x x 17 Với x > x 1 x 2000 Với x > x III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A x2 + 2xy + y2 = (1) (x – y)2 Hay: x2 - 2xy + y2 (2) x+y =1 Mà Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) x2 + y2 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1 x = y = 2 minA = Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = 1 ) + 2 1 x = y = 2 Cách 3/ Sử dụng điều kiện cho để dưa biến + a y = Đặt x = x2 + y = ( - a Biểu thị x2 + y2 ta : 1 + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 2 1 => MinA = a = x=y = 2 Bài tập 1: Tìm Min A = a ab b 3a 3b 2014 Cách Ta có: A= a 2a b2 2b 1 ab a b 2011 = a 2a b 2b ab a b 2011 = = a 1 a 1 b 1 a b 1 b 1 2011 b 1 a 1 b 1 2011 a 1 a 1 b 1 b 1 2 b 1 2 b 1 b 1 2011 2011 = a + b 0 a a b 1 Min A = 2011 b 0 Cách 2: 2A 2 a ab b 3a 3b 2014 = a 2a b 2b a 2ab b 2.2 a b 4022 2 = a 1 b 1 a b 4022 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a 0 a b 1 => Min A = 2011 Min 2A = 4022 b 0 a b 0 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài CMR : Min P = Với P = a ab b 3a 3b Bài CMR: khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn ĐT: x y z x y z 15 0 Hướng dẫn Ta có: 2 VT x x y y z z 1= x-1 y z 1 Bài 3: Có hay khơng số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau: 1) x y z x y z 22 0 2) x y z x 12 y 12 z 1994 Hướng dẫn Ta có: 1) VT x x y y 1 z z 16 2 = x+2 y 1 z 1 2) VT = x x y 12 y z 12 z 1986 2 = x 1 y z 1986 1986 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m 4mp p 10m 22 p 28 Hướng dẫn Ta có: A = m 4mp p p p 10m 20 p 27 2 = m p 2.5 m p 25 p 1 2 = m p p 1 2 Bài 5: CMR: Max B = Với B a 5b 2a 4ab 10b Hướng dẫn Ta có: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 B a 4ab 4b b2 6b 2a 4b 2 = - a 4ab 4b b 6b a 2b 1 = - a 2b a 2b b 3 2 = - a 2b 1 b 3 4 Bài 6: Tìm GTNN 2 a) A=a 5b 4ab 2b ( Gợi ý A = a - 2b b 1 ) b) B = x y xy 3x y 2029 ( Gợi ý B = x-y y 3 x 3 2011 2 ) c) C x y z x 12 y 24 z 30 2 ( Gợi ý C = x+2 y 3 3z ) d) D= 20x 18 y 24 xy x 12 y 2016 ( Gợi ý D= 4x-3y x 1 y 2011 ) 2 2 Bài 7: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : a b c d a b c d (*) a b c d ab a b c a b c d a b c d 0 Ta có : a b c d ab ac ad 0 a b c d ab ac ad 0 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 0 2 a 2b a 2c a 2d a 0 Dấu “=” sảy : a 2b 2c 2d 0 a b c d 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ: 2 2 Bài 1: Tìm số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a b c d e a b c d e Bài 2: Tìm số a, b, c, thỏa mãn : a b2 ab a b Bài 3: Tìm số a, b, thỏa mãn : 4a 4b2 4ab 4a 4b 0 Bài 4: Tìm số x, y, z thỏa mãn : x y z 2 x y z 14 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 5: Tìm số m, p, thỏa mãn : m2 p 4mp 10m 22 p 25 IV Các ý giải toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 minA= y=0 x=2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn A nhỏ lớn B nhỏ với B > B Ví dụ : Tìm GTLN A x4 1 nhỏ 2 (Chú ý A> nên A lớn ( x 1) A ngược lại) 1 ( x 1) x x x2 Ta có : = Vậy 4 A A x 1 x 1 x 1 = x = Do maxA =1 x = A 3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng BĐT biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > a.c > b d b) a > b c > a.c > b.c c) a > b c < a.c < b.c d) a > b a, b, n > an > bn BĐT Cô si: a + b ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 x 3 y 2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 x y 0 Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 x =4 , y = 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn x – y nhỏ nhất ; xy nhó x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y=1 Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A= x y Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x y xy (1) Lại có: x y xy (2 ) 2 Từ (1) (2) suy : A= 4 8 Vậy Min A = x y xy Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x y x y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL khơng có giá trị nhỏ KL sai 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = nên A = x+y 5 y x x y 4x y 4x y 4x y 2 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số khơng âm y , x Ta có : y x y x 4x y y 2 x Dấu “=” xẩy y x x y x y 1 x y 2 Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu khơng Có hướng giải tốn 2, Sai lầm khơng sử dụng hết điều kiện toán: VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : 1 1 A = x+ y x y 10 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm x, x+ Ta có: x 1 2 x 2 (1) x x 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ 2 y 2 y y (2) Từ (1) (2) =>A => Min A = Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x x 1 x Đẳng thức sảy (2) y y y 1 Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y xy 1 xy xy 2 1 1 1 Ta có : A = + x +y + Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy - = (1) 2 x y 2 1 25 25 2 2 8 (2) Từ (1) (2) =>A + +4 = =>Min A = x y x y xy 2 x=y = Lưu ý: Khi giải toán mà không sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải tốn 3, Sai lầm chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN bt: A = x x 17 2 Lời giải sai: A đạt Max x x 17 đạt Min Ta có : x x 17 x 3 8 Do Min x x 17 8 x 3 Vậy Max A = x 3 11 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử khơng đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử mẫu số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x x 17 x 3 8 nên tử mẫu A dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 x y 2 xy x y 2 Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN x y 4 2 Khi MinA = Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) g(x,y) chưa c/m f(x,y) m với m hắng số Chẳng hạn: Từ x2 4x – => x2 đạt nhỏ x2 = 4x – (x – )2 = x =2 Đi đến x2 = x = Dễ thấy kết phải Min x2 = x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 x + y =16 (1) Ta lại có : x - y x -2xy+y2 0 (2) Từ (1) (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 8 Vậy Min A = x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số ngun … Có hướng giải toán 4, Sai lầm chứng minh điều kiện VD1: Tìm GTNN bt: A = x + Lời giải sai : x + x = x x 1 1 1 1 +2 x x Vậy: Min A = 4 2 4 12 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 P/tích sai lầm: sau c/m f(x) x 1 chưa trường hợp xảy f(x)= 4 (vơ lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x x 0 : A = x + x 0 => Min A = x 0 VD2: Tìm GTLN A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z số không âm x +y+ z =1 4x z+y x+y+z 1 2 Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy x y ta có : 4y z+x x+y+z 1 4z x+y x+y+z 1 => 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x 1 Vậy Max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” z+y = x y+x = z ĐK để Max A = : x+z = y 64 x + z + y = x, y, z x y z 0 x + z + y = ( vơ lí ) x, y, z Lời giải đúng: Ta có : = x +y+ z 3 x.y.z (1) = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z (2) 2 Từ (1) (2) => x y.z x +y z+x y+ z hay: A A 9 3 x +y = z+x = y+ z 2 x y z Max A = x y z 1 9 x, y, z 0 VD3: Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b) với x > 0, a, b số x dương 13 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x a 2 ax Lời giải sai: Ta có: x b 2 bx Do đó: A x a x b 2 ax.2 bx 4 x ab (x a)(x b) 4x ab 4 ab Min A = ab x a b x x Phân tích sai lầm: Nếu a b khơng có: A = ab Lời giải : Ta có A (x a)(x b) x2 ax+bx+ab ab x (a b) x x x Theo bất đẳng thức Cauchy : x A = a b ab 2 ab nên A ≥ ab + a + b = x chi a b ab x x x ab x VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk x y Tìm GTNN bt: A = x y 1 1 Do x > 0, y > nên x 0, y áp dụng bất đẳng thức cơsi cho số x , y ta có: 1 1 1 2 x y x y Mặt khác ta có: x > 0, y > => x y 2 Hay xy => xy 4 x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: xy 2 4 x y Vậy: Min A = : x y 4 x y VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A x x x x 1 3 Ta có: x x x x R 2 4 14 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1 3 x x x x R 2 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho số x x x x 1 2 x x 1, x x ta có : x x x x 2 x x 2 x x 1 x 0 Max A = 2 x x x x x y y z VD3 Tìm giá trị nhỏ : A z với x, y, z > x Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: x y z x y z A 33 y z x y z x x y z x y z Do 3 x y z y z x y z x Cách : Ta có : x y x y z x y y z y Ta có 2 (do x, y > 0) y x y z x y x z x x nên để chứng minh x y z y z y 3 ta cần chứng minh : 1 y z x z x x (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z y z x VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 15 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khơng âm x+y, y +z, z + x ta có : = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x y)(y z)(z x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A A ≤ 9 3 2 max A = x = y = z = 9 VD 5: Tìm GTNN A xy yz zx với x, y, z > , x + y + z = z x y Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz 2 2y z x z x yz zx zx xy 2z ; 2x Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = x y y z A = với x = y = z = VD 6: Tìm GTNN A 2 4xy với : x > 0, y > 0, x + y < x y xy Tương tự : x y xy x y 4 xy 1 1 1 x y 2 xy 4 Ta có: 1 xy x y xy x y 2 x y xy Ta có: A => A 1 4xy 4xy 2 x y xy 2xy 4xy 4xy x y 5 11 4xy 2 11 2 2 x 2xy y 4xy x y x y x y x y VD 7: : Cho x , Tìm GTLN A = 2x x + x+3 - 2x 16 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải : Ta có : A = 2x x + x+3 - 2x = 2x 1 x + x+3 - 2x Với x ta có: 2x 0 x 2x x+2 2x 1 x+2 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x 1, x+2 Ta có: Hay : 3x 2x 1 x+2 Dấu “ = ” xảy 2x x+2 x=1 x 3 x 3 2 x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x 3, Ta có: Hay : x 7 2 x Do đó: A Dấu “ = ” xảy x 4 x=1 x 7 3x - 2x = Dấu “ = ” xảy x=1 2 9x z VD 8: : Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x y z 1 9 y 4x 4z 9y Ta có: S = x + y + z =1+4+9+ z z x x y y x y z y 4x y 4x y 4x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x , y ta có : 2 4 x y x y Tương tự ta có : 4z y 4z y 2 12 ; y z y z 9x z 9x z 2 6 z x z x S + + + + 12 + =36 y 4x x y 4z y Dấu “=” sảy : y z 9x z x z x y z 1 Vậy Min S = 36 y , x , z y 4 x 2 z 9 y 2 9 x z x y z 1 y 3 y 2 x x z 3 x x y z 1 z 2 17 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cơ-si tìm cực trị nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức 3x 0 x 3 7 x 0 VD1 : Tìm giá trị lớn A 3x 3x , ĐKXĐ : Bình phương hai vế ta có : A2 = + 3x x Với x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3x 3x ta có: 3 3x 5 x 2 x 3x hay 2 3x 5 3x A2 =>A Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x = VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x x -x x (*) -x x 0 ĐKXĐ : -x x 0 x x 0 x 1 x 0 x 4 x 2 x 2 2 Khi -x x -x x x => A > 2 2 Từ (*) => A = -x x -x x -x x -x x = -2x 3x 10 x x x 1 x = x x x 1 x = x2 x2 2 x x x 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 2 2 A = x x 1 x x 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số : y x x 18 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 2: Tìm GTLN hàm số : A x 23 x Bài 3: Tìm GTLN hàm số : A x 17 x Bài 4: Tìm GTNN : A = x y z với x, y, z dương x + y + z 12 y z x Bài 5: Tìm GTLN, GTNN : A x y biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác khơng VD Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: A = x-9 = 5x x-9 5x 1 x -9 x-9 3 x 3 6 1 5x 5x x 30 x - 3 x 18 Dấu “=” xảy x 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 7x - 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x3 - 27x Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số: 1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử VD1: cho x > Tìm GTNN biểu thức: A = Giải : Ta có A = 3x 16 x3 3x 16 16 16 3x x x x 3 x x x Áp dụng BĐT Cơ-si Ta có : A = x+x+x+ 16 16 4 x.x.x 4.2 8 x x 16 x 2 x3 Vậy Min A = x 19 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max Min A = x y( - x - y ) với x, y 0 x + y x x +y+ - x - y x x x y Xét Ta có : A = y( - x - y ) 4 2 Dấu “=” xẩy 4 x = y = - x - y y = ; x =2 Xét x y 6 Rễ thấy: – x - y ( 1) Dấu ‘=’ xảy x + y = => A = x y( - x - y ) đạt GTNN x2y đạtGTLN x+y x+x+2y Ta có : =32 hay x y 32 (2) x.x.2y x y= 2 x y 6 x 2 y Từ (1) (2) => x y( - x - y ) -64 Dấu ‘=’ xảy x 4 y 2 VD3 Tìm GTLN A = x2(3 – x) biết x ≤ x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng 2 Giải : Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = thức Cauchy cho số không âm x x x x , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤ 2 2 x x 3 x 1 Do A ≤ (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > , y > x + y Tìm GTNN P 5 x y x y Bài 2( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN Q x x 17 2( x 1) 20 ... 2 .5 m p 25 p 1 2 = m p p 1 2 Bài 5: CMR: Max B = Với B a 5b 2a 4ab 10b Hướng dẫn Ta có: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 59 1... biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác khơng VD Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: A = x-9 = 5x x-9 5x 1 x -9 x-9 3 x 3 6 1 5x 5x x 30 x... 2, (36/210) Tìm GTNN bt : B x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt: C x2 x2 5x Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 59 1 4, ( 47, 48 /2 15) Tìm GTNN bt : a, D x2 2x x2