KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH (2-8-2016) (đây dạng tài liệu: MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ ) Từ viết tác giả: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DNG PHNG TRèNH Vễ T C BIT Toán học tuổi trẻ (thỏng nm 2015) Khi gặp ph-ơng trình có dạng u.m P v.n Q w (với u,v, w,P,Q biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc số e,f biĨu thøc P0 , Q0 chøa Èn tho¶ m·n: u.P0 v.Q0 w (*) m n e.( P0 ) f (Q0 ) e.P f Q ta xử lí ph-ơng trình nh- sau: Đặt m P a ; n Q b suy a m P ; b n Q u.a v.b w Ta cã hÖ PT: m n e.a f b e.P f Q (**) Giải hệ PT(**) ta tìm đ-ợc nghiệm (a;b) Đến PT,hệ PT đà cho trở nên đơn giản ! L-u ý: từ (*) ta thấy hƯ PT(**) lu«n cã nghiƯm (a,b) = ( P0 ; Q0 ) Sau l ví dụ Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 4x x 2x 6x x Ph©n tÝch: x x Ta cã: 2 ( x 1) (2 x x ) (2 x x 7) nên PT ta nhẩm đ-ợc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x 1;2) Lời giải Đặt x x a ; x x b Suy a b x 2x (1) Tõ PT ®· cho ta cã a b x a x b (2) Thay vào (1) ta đ-ợc: ( x b) b x x x b x 2b 2bx b x x b b 2b 2bx x (b 2)(b 3b x) b hc b 3b x (3) +Tõ (2) cã x a b thay vào PT(3) đ-ợc b 3b 2(a b 1) b b 2a (4) 23 Cã VT (4) (b ) VP(4) 2 x x ( x 2) Suy PT(4) v« nghiƯm Do PT(3) vơ nghiệm +Víi b = thay vµo (2) đ-ợc a x x x x x Suy 2 x x ( x 1) 2 2 x x 2x 6x x 11 x 2 x x VËy PT ®· cho cã nghiƯm x 11 VÝ dơ 2: Gi¶i ph-ơng trình x 20 x 86 x 31 x x 3x Phân tích: Với PT ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 ( P0 ; Q0 ) = (2 x 2;1) 2 x x.1 3x v× 2 2 (2 x 2) 3.1 (7 x 20 x 86) 3.(31 x x ) Lời giải Đặt a = x 20 x 86 , b = 31 x x Suy a 3b 4x 8x (1) Tõ PT ®· cho cã: a +xb = 2x + a = 3x + – bx Thay vào (1) ta đ-ợc (3x bx) 3b x 8x x b x 12 x 4bx 6bx 3b x 8x ( x 3)b (6 x x)b 5x x (b 1)[( x 3)b x x 3] b b x x x2 +Víi b = th× a = 2x+2, ®ã cã hƯ x 20 x 86 x 31 x x x 1 3x 12 x 90 x 4 x 30 +Víi b = 2 x 2 7 x 20 x 86 (2 x 2) 31 x x x 1 x 2 34 x 34 5x x x2 16 ( x x 15) x x 15 (2) x2 + NÕu x x 15 th× VT(2) < < VP(2) + NÕu x x 15 th× VT(2) > > VP(2) + NÕu x x 15 th× VT(2) = = VP(2) Khi x x 15 th× b 31 x x a 3x x x 20 x 86 x 2 x x x 31 x x 16 x x 15 x 2 19 7 x 20 x 86 (2 x) 6( x x 15) x= 19 VËy PT ®· cho cã nghiƯm x 2 34 , x 2 19 VÝ dô 3: Giải hệ ph-ơng trình 20 x 11x y (1) xy y.3 x y x.(2) Phân tích: Với PT(2) ta nhẩm đ-ợc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1) x y y.1 x v× 2 2 (x y ) (1 xy ) ( x y ) Lời giải: điều kiện xy Đặt xy a ; x y b Suy a b x y xy (3) Tõ (2) ta cã a + yb = x a x yb (4) thay vào (3) đ-ợc ( x by) b x y xy b xy(b 1) y (b 1) (b 1)[b b xy y (b 1)] b hc b b xy y (b 1) (5) +Cã x y b nªn b b ; b xy NÕu 1 xy y (b 1) th× (v« lý) y VËy số không âm xy y (b 1) không đồng thời nên xy y (b 1) ®ã VT (5) Suy PT(5) vô nghiệm +Với b = thay vào (4) đ-ợc a x y x y xy x y Suy 1 xy ( x y ) 2 x y x y 1 x y (*) x y kÕt hỵp hƯ PT(*) víi PT(1) ta cã hƯ: x y x y 3 20 x 11x y 20 x 11x 4(1 x ) x y y2 1 x2 x y x y 20 x x 11x (2 x 1) (5 x 4) y2 1 x2 y2 1 x2 x y x y 1 (I) hc x (II) x y y 25 4 3 1 Gi¶i hệ PT (I) (II) ta đ-ợc nghiệm (x;y) là: ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 5 5 4 3 1 VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm (x;y) lµ : ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 5 5 tập Giải ph-ơng trình a) c) 12 x 12 x 4x3 x 3 x x.3 x x 2 b) 3x 5x x ( x 1) x x d) x 48x 27 x x 24 x 67 x Giải hệ ph-ơng trình 65 3 x y a) x y y xy x 3 3 3x y x y 35 b) 2 x y x xy y 8 xy x c) x2 y2 2 2 x y x Sau phần bổ xung thêm thí dụ dạng này: Dạng :đặt ẩn phụ khơng hồn tồn kiểuVũ Hồng Phong Một số thí dụ dạng tác giả nêu phần đặt ẩn phụ phần Sau thí dụ bổ xung Thí dụ Giải phương trình x 3x x x x x Hướng dẫn x 3x x x x x Dễ thấy x=1 nghiệm phương trình Xét x Đặt x 3x x a 0; x x b Suy mối liên hệ: a b x x ( x 1)(2 x x 1)(*) Pt cho trở thành: a b x 1(**) (a b)(a b) ( x 1)(2 x x 1) Giải (*) (**) suy ra: a b x a x x a b x x a b x b x x x 1 x x x x 3x x ( x 1) 2 ( x 1)( x x 1) x x ( x 1) PT cho có nghiệm x 1; x 1 Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu Việc tạo phương trình loại khơng q khó khăn Xin nêu cách tạo phương trình đơn giản dạng sau: Đầu tiên ta định hướng sau biến đổi Thí dụ tác giả muốn x Cịn thí dụ ta chọn : x 3x x x x; x x x Bước chọn mối liên hệ ẩn (cần tạo PT khó phải khéo léo),tác giả xin nêu liên hệ đơn giản là: a b ( x 1) ( x 1) x x 2(*) Còn thí dụ ta chọn : a b x x ( x 1)(2 x x 1) Bước quan trọng khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để nghiệm theo ý muốn Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a : a x4 x2 x Từ (*) suy b x 3x x Song song với việc chọn a,b việc tạo PT cho việc khống chế PT sau biến đổi hợp lí Thí dụ tác giả tạo PT nhẹ nhàng sau: Thí dụ Giải phương trình x x x x 3x x x Hướng dẫn Đặt a x x x b x 3x x Suy mối liên hệ: a b ( x 1) ( x 1) x x 2(*) Pt cho trở thành: a b x 1(**) Giải hệ gồm (*) (**) phương pháp ta a x4 x2 x x2 b x 3x x x Giải tiếp suy PT cho có nghiệm x 1; x Chú ý: Việc chọn mối liên hệ phức tạp có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: 2a b 2a 3b 2a 3b 2a b 2 a b Việc chọn phƣơng trình tạp có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: a 2b 3a 2b 3a 2b a 2b ( x 1)a 2b a xb Việc chọn bậc ba, bậc 4,… hƣớng tạo tƣơng tự Một số thí dụ khó Đầu tiên ta định hướng a,blần lượt x ; x Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Chọn a x8 x x x b 2x4 x Thí dụ Giải phương trình x8 x x x ( x 1) x x Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn chi tiết tạo PT Chọn dạng m ( x 1) n p Chọn sau biến đổi: m x ; n x 1; p Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Chọn: n x 1; n x x Từ(*) suy ra: m x8 x x x Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí Đến tác giả tin ngƣời tự tạo đƣợc nhiều phƣơng trình dạng !!! Hướng dẫn giải: Đặt a x8 x x x b 2x4 x Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) X=0 không làm cho b=0 Suy b 2x x x Thay vào (**) đƣợc: a x8 x x x x Suy x 0; x 1; x 1 PT cho có nghiệm x 0; x 1; x 1 Thí dụ Giải phương trình x x ( x 1) x x x Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt a x8 x b x x3 2x Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) X=0 không làm cho b=0 Suy b x x3 2x x Thay vào (**) đƣợc: a x8 x3 x Suy x3 PT cho có nghiệm x Thí dụ Giải phương trình x8 x ( x 1) x x x Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn x8 x a Đặt x5 x 2x b Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) X=0không làm cho b=0 Suy x5 x 2x x Thay vào (**) đƣợc: x8 x x Suy x 5 PT cho có nghiệm x 5 Thí dụ Giải phương trình x12 x 3x ( x x 1) x x 3x Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt x12 x 3x a x x 3x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x x 3x x Thay vào (**) đƣợc: x12 x 3x x Suy x 0; x 3 PT cho có nghiệm x 0; x 3 Thí dụ Giải phương trình x12 x 3x ( x x 1) x x 3x Hướng dẫn Đặt x12 x 3x a x x 3x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x x 3x x Thay vào (**) đƣợc: x12 x 3x x Suy x 0; x 3 PT cho có nghiệm x 0; x 3 Thí dụ Giải phương trình x12 x x ( x x 1) x x Hướng dẫn Đặt x12 x x a x4 x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x x2 1 Thay vào (**) đƣợc: x12 x x x Suy x 1; x PT cho có nghiệm x 1; x Thí dụ Giải phương trình x12 x x ( x x 1) x x Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt x12 x x a x4 x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x x2 Thay vào (**) đƣợc: x12 x x x 10 Thay a vào (*) ta (b 1)3 3b x 3x x 3(1) (b x 1)( x x 2b x b b 4) b x2 ( x x 2b x b b 0.x, b) Cách khác giải (1): (b 1)3 3b x 3x x 3(1) b3 3b ( x 1)3 3( x 1) f (b) f ( x 1) b x Vì f (t ) t 3t f ' (t ) 3t f(t) hàm đồng biến Suy x 11 x 2x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 a x3 Suy 3 x x x x 6x x 11 x 2x3 2x x x PT cho có nghiệm x ; x Thí dụ 50 Giải hệ phương trình xy y.3 x y x(1) y ( x x 1) x x (2) x4 2x2 Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn tạo PT Chọn dạng m y3 n p Chọn sau biến đổi: m x y; n 2; p x Suy mối liên hệ: a b3 x y xy 8(*) Pt cần tạo trở thành: a x yb(**) Thử giải hệ PT gồm(*) (**) ta thấy cần chọn để có đk xy b dương loại bỏ trường hợp phức tạp nên chọn: m 3xy Từ(*) suy ra: n x y Việc chọn n hay m trước ta phải linh động Hướng dẫn Đặt xy Đặt xy a 38 x2 y2 b Suy mối liên hệ: a b3 x y xy 8(*) Pt (1)đã cho trở thành: a x yb(**) Thay a vào (*) ta ( x yb) b3 x y xy b3 xyb xy y 2b y (b 2)(b 2b xy y 2b y ) b2 xy ; b b 2b (4 xy ) y 2b y b a x 2y Ta có: xy x y x y y2 x2 2 3 x y x y Thay vào PT(2) có x ( x x 1) x x x4 2x ( x 1) x x (2 x x 2) x x ( x 1)3 ( x 1) (2 x x 1) x x x x f ( x 1) f ( x x 1) f (t ) t t f ' (t ) 3t Suy f(t) đồng biến nên f ( x 1) f ( x x 1) x x x x x( x 2) x 3 y 3 ) Đối chiếu đk xy ; x y ta lấy ( x 0; y Với x y Với x y 33 33 y Đối chiếu đk xy 33 ; x y ta lấy ( x ; y ) Hệ PT cho có cặp nghiệm ( x 0; y 33 ) ) ; ( x 2; y 2 Thí dụ 51 Giải hệ phương trình xy y.3 x y x(1) x 3 x 2 x2 1 x 3x 16 y (2) Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 39 Hướng dẫn 5 Đặt xy Đặt xy a x2 y b Suy mối liên hệ: a b3 x y xy 8(*) Pt (1)đã cho trở thành: a x yb(**) Thay a vào (*) ta ( x yb) b3 x y xy b3 xyb xy y 2b y (b 2)(b 2b xy y 2b y ) b2 5 xy ; b b 2b (4 xy ) y 2b y b a x 2y Ta có: xy x y x y y2 x2 2 x y x y Thay vào PT(2) có x 3 x x 3x x x 1 x 3 x 2 Với ( 8x 3x x 2) x 1 8x 3x 2( x 1) x 3 x 2 x 1 ( 8x 3x x 2) 2 Với 8x 3x 2( x 1) x 3 x 2 x 1 ( x 3x x 2) 2 Với 8x 3x 2( x 1) x 3 x 2 ( x 3x x 2) 2 x 2 x 3x 2( x 1) x(4 x 3) x x 1 5 y 5 ; x y ta lấy ( x 0; y ) Đối chiếu đk xy Với x y Với x 3 y2 9 53 16 16 y 53 40 Đối chiếu đk xy 5 ; x y ta lấy ( x ; y 4 Hệ PT cho có cặp nghiệm ( x 0; y 53 ) ; (x ; y 16 53 ) 16 ) Thí dụ 52 Giải hệ phương trình x xy y x xy y (1) x2 11x2 6 x4 x y 11x xy (2) 2 4( x x 5) Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 1 ĐK: xy Đặt x xy y a xy b Suy mối liên hệ: a b x y xy 4(*) Pt (1)đã cho trở thành: a xb y(**) Thay a vào (*) ta ( xb y) b x y xy 4(*) ( x 1)b xyb 2(2 x xy 2) b 2 b (2 x xy 2) 0(loai ) x2 b a 2x y Ta có: xy 2 x y 2 xy x xy y x y Thay vào PT(2) có 2 11x x x 11x 6 x4 4( x x 5) 2 1 ( x 2) 2 x 2 1 11x x 2 11x 6 x f ( x 2) f ( 11x x ) x khơngcóy x 3 y (loaivi x y 0) x 11x x ( x 3x)( x 3x 2) x y x y Cách khác: 41 2x 11x 6 x 2x 11x x 4( x x 5) 2 11x 6 x ( x 3 x )( x 3 x ) 2 x 2 11x 6 x 11 11x x 0 x4 4x2 ( x 3x)( x 3x 2) 1 0 x4 4x2 Xét trƣờng hợp…………… Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta tạo hệ PT gồm PT thứ đặt ẩn phụ khơng hồn tồn kiểu tác giả PT thứ đơn giản,quen thuộc chẳng hạn: Thí dụ 53 Giải hệ phương trình 2 x xy y x xy y y (1) x xy y x x 3(2) 2 Tác giả:Vũ Hồng Phong (ToánB K35 ĐHSP.TN) Hướng dẫn ĐK xy 1 y xy 1 Đặt x xy y a xy y b Suy mối liên hệ: a b x y xy 4(*) Pt (1)đã cho trở thành: a xb y(**) Thay a vào (*) ta ( xb y) b x y xy 4(*) ( x 1)b xyb 2(2 x xy 2) b 2 b (2 x xy 2) 0(loai ) x2 b a 2x y Ta có: xy y 2 x y y xy x xy y x y Thay vào PT(2) có x 33 x x x 33 x x f (t ) x 33 x x f ' (t ) x ln 33x ln f " (t ) x ln 2 33x ln Suy f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa nghiệm suy f(t) có tối đa khoảng đơn điệu Vì f(t) có tối đa nghiệm suy x=2,x=3 tất nghiệm f(t) y 1 Với x=2 có: y y y Với x=3 có: y y y 42 Thí dụ 54 Giải hệ phương trình x xy y ( x y ) y xy y (*) 3x xy y x xy y 3x (**) x2 x 3x Tác giả:Vũ Hồng Phong Hướng dẫn Đk y xy 0;9 x 8xy y Đặt x 8xy y a y xy b Suy mối liên hệ: a b x 12 xy y 9(1) Pt (*)đã cho trở thành: a ( x y)b y Thay a vào (1) ta ( x y)b y 2 b2 9x 12xy y ( x y) 1b y( x y)b 3(3x xy y 3) b 2 b (3x xy y 3) ( x y) có y xy 0;3x y xy 3;3x không đồng thời với b=3 suy a 3x y Ta có: y xy y 3x y 3x y y xy y xy Thay vào PT(**) có 3x x 3x 15 x x 3x 3x (4 x 3x 1)( x 3x 4) x2 x 3x 3x x 3x x 3 x 3x ( x 2) x 3x 2( x 1) x x 3x x x( x 3) x 3 x 3x 2 x 3x x 33 Với x có: y y Với x 3 có: y 43 y y 23 43 33 24 33 33 Với x có: y (3 33 ) y y 43 33 24 33 33 Với x có: y (3 33 ) y y Kiểm tra đk: 3x y ta lấy cặp nghiệm: x0;y 33 24 33 33 ;y x 33 24 33 33 ;y x Thí dụ 55 Giải hệ phương trình 2 2 2 x y x y x y y x x y x y x(*) y 2 2 y y x y x y 1(**) Tác giả:Vũ Hồng Phong Hướng dẫn Đk x y x y Đặt x2 y2 x2 y x2 y y a x2 y x2 y 1 b Suy mối liên hệ: a b x y y y 1(1) Pt (*)đã cho trở thành: a xb x Thay a vào (1) ta ( xb x) b x y y y x 1b x 2b ( y 1)( x y x y 1) b y 2 b ( x y x y 1) 0(l ) x2 Ta có: xy y 1 2 2 x y x y x y y xy y x2 y x2 y y x y y y 1 Thay x y x y y vào PT(**) có 2y y2 y f ( y) y y y f ' ( y) y ln y ln 2 suy f’(y) có tối đa khoảng đơn điệu suy f’(y) có tối đa nghiệm suy f(y) có tối đa khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa nghiệm suy y=1;y=2;y=3 tất nghiệm f(y) ta loại y=1 Với y có: x x 2 f " ( y) y ln 2 f " ( y) y ln 2 y ln Với y có: x x 44 Đối chiếu điều kiện suy hệ Pt cho có cặp nghiệm: ( x 2; y 2), ( x ; y 3) Thí dụ 56 Giải hệ phương trình ( y 1) xy y x 1(*) 1 x y xy xy x y x2 1 5( xy y 1) 3 x x1 (**) x 1 2 xy x y 2 x x1 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn Đk xy y x y xy xy x y a Đặt xy y b Suy mối liên hệ: a b x y xy x (1) Pt (*)đã cho trở thành: ( y 1)b x a ( y 1)b x 1 a Thay a vào (1) ta ( y 1) y x 12 b x y 2xy x ( y 1) 1b 2( x 1)( y 1)b x( xy y 2) b x a xy b ( xy y 2) 0(l ) ( y 1) Ta có: xy 1 x y xy xy x y xy x xy y x xy y x Thay xy y x vào PT(**) có x 1 x x 1 Đặt 2 2 x 1 x x 1 x2 2x2 2x 5( x 1) 2x2 2x 0 t 0 Có: 3t 22t 5t f (t ) 3t 22t 5t f ' (t ) 3t ln 22t ln f " (t ) 3t ln 22t ln 2 suy f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa nghiệm suy f(t) có tối đa khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa nghiệm suy t=1;t=2 tất nghiệm f(t) 45 Với t có: Với t có: x y 1 y (loaivixy 1) x 1 x( x 2) x 2x2 2x 1 y 1 (loaivixy 1) y x 3 x 1 ( x 3)( x 1) 1 2x2 2x y x 1 0(loai ) 1 1 ) ), (3; 3 Sau tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng phương pháp đặt ẩn phụ tác giả nghĩ ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép Ơ-le tính tích phân) Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép Ơ-le bạn tìm tạp chí: hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y): (0;0), (3 ; Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hồn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh) Thí dụ 57 Giải hệ phương trình x2 2 x x y y y x 1(*) y 16 y 16 y (8 x 1) x 15 (**) x 16 x Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh) Hướng dẫn Đk y x y x y 0(đk : y 0) Đặt 2x 2x y y a y x4 b Suy mối liên hệ: a b x y x 1(1) Pt (*)đã cho trở thành: x2 b 1 a y Thay a vào (1) ta x2 b 1 b x y x 1(1) y x 2x2 1b b ( x4 y 2x2 ) y y x4 2x2 1b b ( x4 y 2x2 ) y y x4 y 1b x 2b y( x y x ) y 46 b y a x (x4 y 2x2 ) b 0(l ) x4 ( 1) y y Ta có: x x y y x y 4 y y x y x y Thay y y x vào PT(**) có 15 9 16 x3 (8 x 1) x Điều kiện x 16 x 16 30 32 x (16 x 2) x (* * *) 16 x Ta có (2 x x 1)3 x 12 x x x(4 x 1) (4 x 1) x 32 x x (16 x 1) x Suy VT (***) 32 x x (16 x 1) x 3(2 x x 1) (2 x x 1)3 3(2 x x 1) t x t x (i) 2 4 x (t x) 4tx t Đặt x x t x t x + Dễ thấy t = không thoả mãn (i) + Xét t 1 t t 2t (i ) t2 1 x t x 4t 4t Khi PT(***) trở thành 30 t 1 16 9 4t 30t t 3t 4t 9t 30 t2 (do t ) 4t 9t (t 3)(4t 9t 4) 30 t 3t 4t 9t 16t 27t 18 (t 2)(t 3)(4t 5t 3) t t 3 4t 5t Xét phƣơng trình 4t 5t có nên vô nghiệm 47 Do t nên ta lấy t -Với t thay vào (1) ta đƣợc x Vậy PT(***) có nghiệm x 8 81 32 943 y có: y y 4096 64 32 943 hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y): ; 64 8 Thí dụ 58 Giải hệ phương trình 3x y x x y x y 1(*) 11x 10 x 30 y 2 x x (**) 1 3 Với x Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn Dễ thấy x y (*) x y x y (không xảy ra) (*) x y Đặt 3x y x a 2x y b Suy mối liên hệ: a b ( x 1) (2 y) Pt (*)đã cho trở thành: a b x 1 y Ta có hệ: (a b)(a b) ( x y )( x y ) a b x y a b x y a b x y x 1 2 a x 3x y x x y 2 b y y 2x2 2x 3y y Thay y 2x vào PT(**) có : 11x 70 x 2 1 x x (* * *) 3 +Dễ thấy x không thoả mãn PT (***) + Xét x 2 x x tx Đặt 3 tx 7 2 x x t x xt 3 tx tx 2 (1) (do x ) t x x tx x ( t ) x t Dễ thấy 3t t 48 không thoả mãn (1) 6t x 3t (1) t 6t 3t 6t x 3t 6t x 3t t 3t 2t 3t t Khi t (2) Với cách đặt thay vào PT cho ta đƣợc 11x3 70 x 11x 70 t x3 x 3t x 11x 70 6t 6t 3t 11 70 3t 3t 3(6t 2)t 11(6t 2) 70(3t 7) (1 tx 1)3 18t 6t 210t 66t 468 6(t 3)(t 2)(3t 4t 13) t t t 2 t 2 3t 4t 13 t 43 đối chiếu điều kiện t (2) ta loại t 43 Với t lại thay vào (2) ta đƣợc x 1; x 2; x 43 0,775 13 43 đối chiếu điều kiện x 1 x 1; x 43 0,775 13 43 y Với x y x y 0(l ) 43 86 y ( y 0) Với x 13 43 13 43 hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y): 43 86 ; ) (1 : ) ( 13 43 13 43 ; 49 Thí dụ 59 Giải hệ phương trình x y x x y x y 2(*) x y 17 x 11 27 41 x (**) 2 28 14 x y 17 x 11 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn Dễ thấy x y (*) 5x y x x y x y x x 0(vn) (không xảy ra) (*) x y Đặt 5x y x a 4x y b Suy mối liên hệ: a b x x y y ( x 3) ( y 1) Pt (*)đã cho trở thành: a b x y 1 Ta có hệ: (a b)(a b) ( x y 1)( x y 1) a b x ( y 1) a b x y a b x y x 3 2 a x 5x y x x y b y y 4x2 4x y y Thay y 4x vào PT(**) có : x 17 x 11 27 41 x 14 ( x 1)(6 x 11) 28 Dễ thấy x 1 khơng nghiệm phƣơng trình Với x 1 đặt ( x 1)(6 x 11) ( x 1)t (1) ( x 1)(6 x 11) ( x 1)2 t x 11 ( x 1)t (t 6) x 11 t (2) Dễ thấy t không thoả mãn (2) 11 t Với t suy x (3) t 6 thay vào (1) ta đƣợc: 5t ( x 1)(6 x 11) 0 t 6 t (4) Suy t Phƣơng trình cho trở thành 5t t 27 11 t 41 700t (55t 195)(2t 5t 12) 5t 28 t 14 2 t 6 140t (11t 39)(2t 5t 12) 50 22t 55t 350t 195t 468 (t 1)(t 3)(22t 143t 156) t t t 143 6721 44 Kiểm tra điều kiện (4) ta lấy t 143 6721 t 44 Thay giá trị t vào (3) ta đƣợc x 286 6721 5874 143 6721 2937 x 15554 286 6721 7777 143 6721 16 Với x y x ; y y 286 6721 5874 286 6721 5874 Với x ; y 4x ; y y 15554 286 6721 7777 143 6721 hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y): x ;y 3 143 6721 2937 286 6721 5874 x ;y 7777 143 6721 7777 143 6721 Thí dụ 60 Giải hệ phương trình 4x2 y y (*) xy 15 x y 1 e y 2 y 1 y 20 x y 75(**) e Hướng dẫn 15 Đk: xy Đặt: xy 15 a 4x2 y b0 Suy mối liên hệ: a 2b3 (2 x y) 16 (1) Từ phƣơng trình (*) có: a xb y Thay vào (1) đƣợc: xb y 2 2b3 (2 x y) 16 (b 2) x2b x2 2b2 4b xy b x 2b x 2b 4b xy Suy a 2x y Ta có : 51 xy 15 x y 2 x y 4x y 1 2 4 x y 15 3 15 y x2 Thay vào(**) đƣợc: ey 1 e ey 1 y 2 y 1 y4 5y2 2y ( y 1) e y 2 y 1 (3 y y 1) f ( y 1) f ( y y 1) f (t ) et t f ' (t ) et 2t f ' ' (t ) et f ' ' (t ) et x ln t Ln2 f”(t) - + f’(t) 2-ln4>0 f(t) Nhƣ f(t) hàm đồng biến suy f ( y 1) f ( y y 1) y y 1 y2 3y2 y y 1 y ( y 2)( y y 1) y x2 11 11 x y 1 x 12 2 12 2 x Đối chiếu đk suy nghiệm hệ cho: 11 12 2 , ; ; 52 ... phƣơng trình ta tạo nhiều phƣơng trình tƣơng tự Tác giả: Vũ Hồng Phong Thí dụ 38 Giải phương trình 3x x x 3x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 3x a x x... x x b 2x4 x Thí dụ Giải phương trình x8 x x x ( x 1) x x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn chi tiết tạo PT Chọn dạng m ( x 1) n... nghiệm x 0; x 1; x 1 Thí dụ Giải phương trình x x ( x 1) x x x Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt a x8 x b x x3 2x Suy