Kĩ năng tìm biểu thức liên hợp hoặc nhân tử của phương trình vô tỉ vũ hồng phong

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016) PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐƢA VỀ DẠNG TÍCH KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ CỦA PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh BẢN CHÍNH THỨC Lƣu ý trƣớc sử dụng tài liệu +Bài viết gồm chuyên đề: Chuyên đề phƣơng trình khơng dùng Casio Chun đề thí dụ dùng máy tính Casio có hƣớng dẫn sơ lƣợc, chuyên đề lí thuyết hƣớng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức liên hợp tìm nhân tử cần xuất phƣơng trình chuyên đề Trong có chuyên đề phụ cách tạo phƣơng trình tích từ biểu thức phù hợp +Do có nhiều phƣơng trình lạ phức tạp nên viết không tài liệu để ôn tập cho kì thi +Các PT viết có nghiệm nghiệm PT bậc 3,bậc nên phức tạp dạng PT khác +Các phƣơng trình chƣa đƣợc xếp thành hệ thống hợp lí có sai sót +Tài liệu cung cấp số ý tƣởng để tạo phƣơng trình vơ tỷ đƣa dạng tích Chun đề PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ KHƠNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ Chun đề gồm PT có nghiệm đẹp ta hồn tồn nhẩm Dù vất vả việc nhẩm tính tốn giúp tiến học mơn Tốn A.Các Phƣơng trình tìm biểu thức liên hợp khơng dùng Casio Một số ví dụ ngồi cách nhân liên hợp làm theo hướng đưa tích tìm tổng hiệu tìm theo x Thí dụ Giải phƣơng trình 6x  2x   2x  x   2x  2x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  x  x  1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT  x  x   x  x   x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Nâng cấp: Giải phƣơng trình a) 6x  x   x b) 6x  x   x   2x  x   x 2x  x   x PTcó nghiệm x  0; x  (lƣu ý coi t  c) x  x    2x  x  3x   5x  x  3x  2 x  3 nghiệm ngoại lai) x  8x3  x3  x  x  5x  x  Hƣớng dẫn pt  (6 x  x   x  x  1)( x  x   x  x  1)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3; x  1     3 d ) 6x2  2x   x2  x  2x2  x   x2  x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3     e) x  x   x  2 x  x   x  x  x  3x  3x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 2x  2x2  2x  f)  x 1 2 x x2 2x2  x  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn x  2x2  2x  x2  x  x  2( x  1) PT  x     2x2  x  x2  x  x2  x  2 2x2  x       x  x  x   x  ( x  x  2)  x  x   2 x  x  ( x  1)  Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Chú ý: biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  biểu thức liên hợp cần tìm x   x  x  x  h) 2x 2x  2x3  x   2 x2  x  2x2  x  Hƣớng dẫn PT  2x  2x3  x  2x2  x   x2  x2  x  Biến đổi tƣơng tự trƣớc nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 k) 6x2  2x  x2  x   x2  2x  Hƣớng dẫn    PT  x  x   x  x    x  x  ( x  x  1)  nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  1; x  3 p) x  10 x  13 x4  2 6x  2x  x x4 Hƣớng dẫn Nhận thấy x  4    PT  ( x  x  4) x  10 x  13  x   x  x   x  x  ( x  4)  nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  1; x  3 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 8x  x q) x  x   x  x   3x  3x  2 Hƣớng dẫn 2( x  x   x  x  1)( x  x   x  x  1) PT  x  x   x  x   3x  3x   6x2  2x   2x2  x   PT   2 x  x   2 x  x   3x  3x  4(*) 2 Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT cho có nghiệm x  0; x  1; x  3; x   s ) 2 x  x   3x   x  x   x  x  3(*) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm 2 x  x   3x   (ax  b) b  a   a  b  b  Do 0;1 nghiệm PT nên ta có hệ  Biểu thức liên hợp cần tìm 2 x  x   3x   ( x  2) x  x   x  ( x  1) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm Do VT (*)  suy x  Xét   x   3 có: 3 6x2  2x   x  4x2  x  x  x  4x2  2x2  2x   x x 1 suy VT (*)  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 3 suy VP(*)  x   Do   x  Vì PT(*) có nghiệm x  1 Khi x  x   x  ( x  1)  2 x  x   3x   ( x  2)  PT (*)  2 x  x   ( x  x  2) x  x   ( x  x  1)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT cho có nghiệm x  0; x  t )2 x  x   x  x   12 x  x  10 x  x  10 Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   2(2 x  x   x  x  1)(2 x  x   x  x  1) x  x  10 2 x  x   x  x   PT   4 x  x   x  x   x  x  10(*) Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT cho có nghiệm x  0; x  1; x  3; x   *Một cách tạo phƣơng trình từ biểu thức liên hợp Dạng PT: A a A b hay   b a B B Cách giải A b   B ( A  a )  a ( B  b)  a B Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhân liên hợp ta giải đƣợc PT cho Thí dụ minh họa Giải phƣơng trình 6x2  2x  x2  x   x2  x  2 2x2  x  Hƣớng dẫn   6x  PT  x  x  2 x  x   x  x   Nhân liên hợp PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  2x   2x2  x   4x2  4x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT  3[ x  x   x  x  1]  x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x2  x   2x2  2x  2x  6x  2x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta có x  x   x  x  ( x  1)  x  x  2 x   x   x  x  ( x  x  2)  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) nên đkxđ: x  R pt  x  6x  x 1    x   (2 x) 2x  6x  2x   3x  x   x  x   x  x   x  3x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT  x  x   x  x   2[ x  x   2 x  x  1]  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x2  x   15 x x   6x  2x   4x2  x  Hƣớng dẫn pt  2 x  6x  x     x   ( x  1) x   6x  2x   4x2  x   6x2  2x   2x2  x   4x2  4x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  x  x  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT  3[ x  x   x  x  1]  x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  6x  2x  x   x  5x  x  6x  2x   x  4x2  9x  Hƣớng dẫn 2 pt   2 x  x   ( x) 2 2x  x   2x  6x    x   ( x) x  6x  2x   4x2  9x   6x2  2x   2x2  x   4x2  4x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT  3[ x  x   x  x  1]  x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016) Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  8x   x  12 x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  12 x  PT  2( x  x   5x  8x  )  x  x   x  12 x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Nâng cấp: Giải phƣơng trình a) b) 5x  x   x 5x  x   x   x  12 x   x x  12 x   x  2x  x  3x   3x  x  3x  2 PTcó nghiệm x  0; x  1; x  c) 5x  8x   x2  2x  x2  2x  x  12 x  Hƣớng dẫn   7x  PT  x  12 x  5x  8x   x  x   Nhân liên hợp PTcó nghiệm x  0; x  1; x    12 x   x  x  ( x  x  2)  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 13x  20 x  d )2 x  x   x  12 x   3x  x  2 Hƣớng dẫn PT  x  x   x  12 x  (2 x  x   x  12 x  )(2 x  x   x  12 x  ) 3x  x  2 x  x   x  12 x   PT   2 x  x   x  12 x    PT cho có nghiệm x  0; x  1; x  3; x  e) 5x  8x   x   13 x  12 x   x   x  3(*) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm 5x  8x   x   (ax  b) b  a   Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b    b  3a  b   Biểu thức liên hợp cần tìm 5x  8x   x   ( x  1) x  12 x   x   ( x  2) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm ĐKXĐ: 5x  8x   x   0(1) Có: (1)  x  Khi x  12 x   x   0(2)  12  94 3 3 suy x  (2)  x  29 11 11 5x  8x   x   ( x  1)  x  12 x   x   ( x  2)  10 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) ( x  2)  ( x  3x  6)  x  5x  3x  Thật vậy,sử dụng kĩ chia đa thức ta đƣợc x  3x  3x3  12 x  x   ( x  5x  3x  2)( x  2) Do PT (1)  ( x  5x  3x  2)( x  2)  4( x   x  3x  )   ( x   x  3x  )( x   x  3x  )( x  2)  4( x   x  3x  )     ( x   x  3x  ) x  ( x  2) x  3x    x  3x   x  2(3)   x  ( x  2) x  3x   0(4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm  x   x    PT (3)        x  3x   x  x  ( x  2)( x  x  x  1)  23 Giải tiếp ta nghiệm x  x  61  29 61  29  2 23 Vậy PT cho có nghiệm: x  ; x  61  29 61  29  2 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x  x  2x  6x  ( x  2) x  x  3 1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x  x   ( x  2) 8x  x   0(1) Nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm SHIFT SOLVE 192 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm SHIFT STO A Nhập biểu thức VT (1) : ( X  A) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm = , chờ gần phút máy Can’t Solve Khi ta chuyển sang hướng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT cách đổi dấu trước PT cho.Dẫn tới tìm nghiệm PT sau: x  x  x  x   ( x  2) 8x  x   0(2) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(2) sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi xem bảng ta thấy X  `1 F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm x= -1 Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax  bx  c  8x  x  Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nghiệm PT: ax  bx  c  8x  x   suy a  b  c    c  a  b  Nhân tử PT(*) trở thành: ax  bx  a  b   8x  x   a( x  1)( x  1)  b( x  1)   8x  x  Xét a( x  1)( x  1)  b( x  1)   8x  x   suy b  8x  x    a( x  1)  Z x 1 Ta tìm a,b cách bấm máy tính sau: 193 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh MODE máy f(X)= ,ta nhập ( Hoàn thành 28-5-2016) A3  A    ( A  1) X bấm = A 1 Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1 F(X)=3 số nguyên Nhƣ a=1,b=3,c=0.Ta nhân tử x  3x  8x  x  Mà ( x  3x)  (8x  x  3)  x  x  PT(1) trở thành: x  x   ( x  2)( x  3x  8x  x  )   ( x  3x  8x  x  )(2 x  3x   8x  x  3)   x  x   x  3x(3)   2( x  )   x  3x   0(4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm   x  3x   x  1 PT (3)    ( x  1) ( x  1)     Vậy PT cho có nghiệm x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình x  3x   x  36 x  44 x  17 x  x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: 5x  3x   36 x  44 x  17 x  x   x   0(1) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(1) sau: Bấm MODE máy f(X)= 194 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi ta thấy X=1 F(X)=0 Nhập biểu thức VT(1):( X-1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi X=? ta bấm =, máy cho ta nghiệm X  0,629960524 x  3x    a( x  1) x 1 Làm tương tự thí dụ ta được: b  b 36 x  44 x  17 x  x    a( x  1) x 1 5x  3x   (2 x  x  1) x  3x   36 x  44 x  17 x  x  Nên biểu thức cần xuất phƣơng trình PT(1) trở thành: 2( 5x  3x   x  x  1)  (4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  )   2    4 x x  3x   x  x  x  3x   x  x   4 x  x  x  1[   3x   36 x  44 x  17 x  x  4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  2 x  3x   x  x   5 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  x   x  x  x    ( x  1)(4 x  1)     x  3  4 3 Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy PT cho có nghiệm x  ; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 195 0 ]0 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh x  x  14  x  x  x  x  x   x  x  16 x  12 x  11 ( Hoàn thành 28-5-2016) 1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x   x  x  16 x  12 x  11  x  x  x  5x   0(1) Bấm máy tính thí dụ để tìm nghiệm ngun ta thấy khơng có Tìm lưu nghiệm ta nghiệm A  2,732050808 ; B  1,414213562 ; C  0,732050807 Chú ý: Nếu máy Continue:[=] ta bấm = ,đợi lúc ta đƣợc nghiệm Giả sử biểu thức thứ có dạng ax  bx  c  x  x  x  Do A,B,C nghiệm biểu thức nên ta có aA2  bA  c  A3  A2  A  aB  bB  c  4B  B  2B  aC  bC  c  4C  7C  2C  Bấm MODE bấm để giải hệ ẩn a,b,c gồm PT trên.Ta đƣợc a=1;b=1;c=1 Nhƣ biểu thức thứ cần tìm x  x   x  x  x  Tƣơng tự biểu thức thứ hai cần tìm x   x  x  16 x  12 x  11 PT (1)  x  x   x  x  x   x   x  x  16 x  12 x  11  x  x  x  x    ( x  x  x  x  4) P( x)  0(2) với P( x)  x  x   4x  x  2x  3  x   x  x  16 x  12 x  11 196 1  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x   Suy PT (2)  x  x  x  x    ( x  x  2)( x  2)     x   Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy PT cho có nghiệm x   ; x   Chú ý: Do A  C  ; AC  2 nên PT có nhân tử x  x  Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c nghiệm PT số hữu tỉ ta đƣa tìm biểu thức dạng nk P( x)  ( px  qx  r ) ,với p,q,r số nguyên n số nguyên dƣơng ta tìm đƣợc ta thử chọn Vấn đề đặt liệu có phƣơng trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp chẳng hạn nhƣ k P( x)  (ax  bx  cx  d ) Hãy làm tập dƣới bạn rõ Bài tập Giải phương trình 1) x  13x  x  x  16 x  x  1 x  7x3   x3  9x  2)  3 x  3x  3) 4) 5) 6) 7) 8) x  x  3x  x  ( x  x  1) x  3x  14 1 3x  x  x   3x  x  1 3x  x  16 x  12 x  x  24 x  23  x 3x  x  14 x  13  x   x  12 x  x  1  12 x  x  x  3  x  x  3x  x   x  x  3x  x  1 1 1 x  x   x  27 x  x  20 x  x   x  26 x  x  1 197 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh 9) x  x  x  x  10 x  x  10)  ( x  2)3 x  x  12 x  x ( Hoàn thành 28-5-2016) 1 18 x  12  20 x  x  30 x  20 2 x  x   x  3x  x  ( x  x) x  x  x  x  x  11) 1 3x  x  x  x  x  12) 13) x  x  3x  21x  15 x  27 x  x  14 x   x  11x  x  11x  1 (28 x  29 x  11) x  43x  x   x x x   (36 x  25 x  11) x  35 x  x  1 14) 21x  19 x  13x  x  x  x   x  x  20 x  19 x  19 x  12 x  x  x  Chuyên đề PHƢƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Điều kiện sử dụng phƣơng pháp: Bấm máy tính tìm đƣợc nghiệm A,B phân biệt Nếu PT có chứa P(x) giả sử biểu thức cần xuất có dạng: ax  bx  c  P( x) ,trong a,b,c số nguyên Do A,B nghiệm biểu thức nên aA2  bA  c  P( A)  0(*) aB  bB  c  P( B)  Chú ý: Nếu B nghiệm ngoại lai ta có aB  bB  c  P( B)  (các bạn tự xử lí TH này) Trừ vế với vế ta đƣợc: a( A  B)( A  B)  b( A  B)  P( A)  P( B) 198 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Suy b  ( Hoàn thành 28-5-2016) P( A)  P( B)  ( A  B)a A B Trƣờng hợp 1: A  B  b  Nhập biểu thức P( A)  P( B) A B P( A)  P( B) bấm = máy giá trị b cần tìm A B Từ (*) suy c  P( A)  aA2  bA Ta tìm a,c máy tính nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  XA  bA bấm = Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Suy a=X,c=F(X) Trƣờng hợp 2: A  B  Do b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b máy tính nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị ngun Từ suy a=X,b=F(X) Từ PT(*) ta tìm c  P( A)  aA2  bA 199 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Nhập biểu thức ( Hoàn thành 28-5-2016) P( A)  aA2  bA bấm = máy giá trị c cần tìm Sau thí dụ Thí dụ Giải phƣơng trình x  x  6x  6x  2x  2x  1 3x  12 x  x  10 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  x  3x  12 x  x  10  0(1) Với P( x )  x  x  x  x  x  Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lƣu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lƣu nghiệm vào A Bấm nút mũi tên lên để VT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm SHIFT STO B Bấm máy A+B máy suy b  Nhập biểu thức P( A)  P( B) A B P( A)  P( B) bấm = máy -1 Vậy b=-1 A B Do b= -1 nên c  P( A)  aA2  (1) A  P( A)  aA2  A Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  A X  A bấm = Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = 200 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=3 F(X)=1 nguyên Suy a=3,c=1 Biểu thức cần tìm là: x  x  x  x  x   (3x  x  1) P( x)  (3x  x  1)  x  3x  x   PT(1) trở thành P( x)  (3x  x  1)  P( x)  x  x  x  3x  x   P( x)  x  x  [  x  3x  x   P( x)  x  x   x  3x  x    1]( x  3x  x  9)   x  3x  x    ( x  3x)  (3x  3)   ( x  3x  3x  3)( x  3x  3x  3)  ( x  1)  2  ( x  1)  ( x `1)      x  (1  ) ( x  1)     Vậy PT cho có nghiệm x  (1  ) Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  x  x  5x  x  x  x  x  x  10 x  12 x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  Q( x)  3x  x  4(1) Với P( x)  x  x  x  10 x  12 x  Q( x)  x  x  x  5x  x  201 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016) Tìm lưu nghiệm thí dụ ta nghiệm A  0,793700526 ; B  1,25992105 Ta có A  B  0,4662205239  Có b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 X=1 Suy a=1,b= -2 Khi c  P( A)  A2  A Nhập biểu thức P( A)  A  A bấm = máy số Ta đƣợc c=3 P( x)  ( x  x  3) Biểu thức cần tìm Tƣơng tự biểu thức cần tìm Q( x)  (2 x  x  1) PT(1) trở thành   P( x)  ( x  x  3)  Q( x)  (2 x  x  1)  P( x)  ( x  x  3) P( x)  x  x  x  3x  P( x)  x  x   ( x  2)(2 x  1)[   Q( x)  (2 x  x  1) Q( x )  x  x  x  3x  Q( x)  x  x  1 P( x)  x  x   0 0 ]0 Q( x)  x  x  202 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016)  x  3  Vậy phƣơng trình có nghiệm x  3 ; x   ( x  2)(2 x  1)     x  Vấn đề đặt liệu với biểu thức P(x) có có nhiều lựa chọn biểu thức dạng ax  bx  c  P( x) hay khơng.Ví dụ sau làm sáng tỏ điều Thí dụ Giải phƣơng trình x  2x  x  2x  12 x  24 x  x   12 x  51x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x  x   P( x)  Q( x)  0(1) Với P( x)  12 x  24 x  x  Q( x)  12 x  51x  Tìm lƣu nghiệm ta đƣợc nghiệm A  3,449489743 ; B  1,449489743 Bấm máy tính có A  B   ; AB  5 (Theo Định lí Vi-ét PT có nhân tử x  x  ) Có b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy tất giá trị F(X) nguyên Vì ta chọn cặp X=2;F(X)= Suy a=2,b=1  c  P( A)  A2  A 203 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) P( A)  A2  A bấm = máy số 1.Ta đƣợc c=1 Nhập biểu thức Suy x  x   P( x) biểu thức cần tìm Tƣơng tự ta chọn đƣợc 3x  x   Q( x) biểu thức cần tìm Phƣơng trình(1) tƣơng đƣơng với PT: x  x   P( x)  3x  x   Q( x)  x  x  x  x    x  x   P( x)  3x  x   Q( x)  ( x  x  5)( x  1)    4x  9x   ( x  x  5)   x  1   x  x   P ( x) x  x   Q( x )     x  x    x  1 Vậy phƣơng trình có nghiệm x  1 Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn x  3x   P( x) ; 3x  x   Q( x) ta giải đƣợc PT theo cách nhân liên hợp Chú ý: +Việc chọn biểu thức thí dụ tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng đƣợc cách nhân liên hợp Xin dành cho ngƣời tìm hiểu điều + Một số phƣơng trình ta tìm biểu thức phức tạp chẳng hạn P( x)  (ax  bx  cx  d ) giải theo cách viết nêu điều kiện nghiệm PT ta tìm đƣợc nhiều hơn(kể nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) Bài tập Giải phƣơng trình 3x  24 x  x  x  1) 1 x  8x  x  2) 3) x  x  5x  x  x  x  12 x  x   3x x  x  18 x  x  12 x  3x  10 x   x 2 x  x  1 204 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh 4) 5) 6) 7) 8) 9) x  x   x  16 x  x  1 x  x  20  16 x  49 x  26 x  21 x  x   x  x  x  12 x  x   x  x 11x  x  15 x  3x   x  x  x  x  17 x  x  x 5 x  x  20 x  x  x  x  14  x  x  x  3x  x  `1  x  x 5 x  x  x  3x  24 x  x  x   x  33x  x  x  x  10) 11) 12) 1 1  1 3x  3x   x  x  x  x  1  x3 3x  3x   x  x  x  12 x  16 x  x  x 4 x  x  x  15 x  x  x  18 x  x  16 x  x  x  18 x  3x  x  15 ( Hoàn thành 28-5-2016) 1  2x  x  15 x  18 x  x  11x  x  x  x  x  19 x  22 x  14 x  x  8 1 205 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016) Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự,Hồn Sơn,Tiên Du,Bắc Ninh TốnBK35 ĐHSP Thái Ngun 206 ...Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 nghiệm... 3x  3x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 2x  2x2  2x  f)  x 1 2 x x2 2x2  x  Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hồn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn x  2x2  2x  x2... x  13  x   x  x   x  x  ( x  4)  nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  1; x  3 Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 8x  x q) x  x   x  x 