Đặt ẩn phụ để giải phương trình hệ phương trình trần trí quốc

Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN CHUYÊN ĐỀ ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Như bạn biết chương trình Tốn THPT phương trình hệ phương trình vơ tỷ chủ đề kinh điển, nên ln xuất kì thi lớn thi Đại học kì thi học sinh giỏi lớn nhỏ Trong phương pháp dùng ẩn phụ để giải tốn ln cơng cụ mạnh hữu ích Hơm viết trình bày số phương pháp đặt ẩn phụ để giải toán Nội dung: Đặt biểu thức chứa biểu thức mà ta gọi ẩn phụ, chuyển phương trình theo ẩn Giải phương trình ẩn phụ thay vào biểu thức tìm nghiệm ban đầu Phương pháp: Gồm có bước sau: Bước 1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định ẩn phụ Để làm tốt bước phải có quan sát, nhận xét mối quan hệ biểu thức có mặt phương trình đưa biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ Bước 2: Chuyển phương trình ban đầu phương trình theo ẩn phụ, thường phương trình biết cách giải, tìm nghiệm cần ý đến điều kiện ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ vừa tìm kết luận nghiệm Thành viên tham gia chuyên đề: 1-Trần Trí Quốc 11TL8 THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên 2-Hồ Đức Khánh 10CT THPT Chuyên Quảng Bình 3-Đồn Thế Hịa 10A7 THPT Long Khánh, Đồng Nai 4-Thầy Mai Ngọc Thi THPT Hùng Vương, Bình Phước 5-Thầy Nguyễn Anh Tuấn THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh Đầu tiên ta giải ví dụ sau: Có lẽ nhiều bạn quen với tập dạng loại nên muốn nhắc lại tý I-Đặt ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ: Dạng a b Pt có dạng ax2 + bx + c = px2 + qx + r = p q Cách giải : Đặt t = px2 + qx + r, t ≥ Tôi đưa vài ví dụ để bạn ơn lại phần dễ Giải phương trình sau √ 1/(ĐH Ngoại Thương-2000) (x + 5)(2 − x)√ = x2 + 3x 2/(ĐH Ngoại ngữ 1998) (x + 4)(x + 1) − x2 + 5x + = 3/(ĐH Cần Thơ 1999) (x + 1)(2 − x) = + 2x − 2x2 √ 4/ 4x2 + 10x + = √ 2x2 + 5x + 5/ 18x2 − 18x + = 3√ 9x2 − 9x + 6/ 3x2 + 21x + 18 + x2 + 7x + = Dạng quen thuộc Dạng PT có dạng P (x) + Q(x) + ( P (x) ± Q(x)) ± P (x).Q(x) + α = ( α số thực) Cách giải Đặt t = P (x) ± Q(x) ⇒ t2 = P (x) + Q(x) ± Page P (x).Q(x) Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ Bài 1: Giải phương trình + PHÚ YÊN √ √ 2√ x − x2 = x + − x Giải ĐK ≤ x ≤ 1, Ta đặt t = √ √ √ t2 − x + − x x − x2 = , phương trình trở thành bậc với ẩn t t2 − = t ⇔ t2 − 3t + = ⇔ t = 1; t = √ √ TH1 t = ⇔ √x + √1 − x = (VN) TH2 t = ⇔ x + − x = ⇔ x = 0; x = 1✷ Giải phương trình sau ⇔1+ √ √ √ 3x − 2√+ x − = 4x − + 3x2 − 5x + 1/(HVKTQS-1999) √ √ 2/√ 2x + +√ x + = 3x + 2√ 2x2 + 5x + − 16 3/ 4x + + 2x +√1 = 6x + √ 8x2 + 10x√+ − 16 4/(CĐSPHN-2001) x − − x + = x2 − − 2x + Thế xong ví dụ ta xét đến ví dụ mà cần biến đổi khéo léo chút có quan sát đánh giá đưa dạng để đặt ẩn phụ II-Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích Xuất phát từ số đẳng thức đặt ẩn phụ: x + = (x + 1)(x √ − x + 1) √ x + = (x − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) 4x4 + = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) Chú ý: Khi đặt ẩn phụ xong ta cố gắng đưa dạng sau u + v = + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = x Phương trình đẳng cấp bậc hai ax2 + bxy + cy = ⇔ at2 + bt + c = với t = y Lại lấy Bài lần Giải √ √ 2√ Giải phương trình + x − x2 = x + − x √ √ Nhận xét: Ta thấy ( x) + ( − x)2 = 1(**), mà từ phương trình đầu ta rút thức qua thức lại Giải √ √ √ √ 1−x−3 3t − ⇔ x= √ Do đặt t = − x ⇒ x = 2t − 1−x−3 Thay vào (**) ta biến đổi thành t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = ⇔ t = 0; t = hay x = 0; x = nghiệm phương trình.✷ Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Ta xét ví dụ sau √ √ √ Bài 2: Giải phương trình x + + x + = + x2 + 3x + Giải Ta thấy (x + 1)(x + 2)√= x2 + 3x + √ Đặt u = x + 1; v = x + PT⇔ u + v = + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = Giải tiếp ta x = 0; x = −1✷ Ta xét ví dụ sau, giống khó √ √ √ Bài 3: Giải phương trình x2 + 3x + 2( x + − x + 2) = Nhận xét: Cách làm giống phải để ý thật kĩ bên VP ta tách VP thành biểu thức "liên quan" đến biểu thức ẩn phụ Giải Lời giải: Phương trình cho tương đương √ với √ √ 3 (x + 1) − (x + 2) + x + 3x + 2( x + − x + 2) = √ √ Ta đặt x + = a; b = − x + 2, phương trình tương đương a3 + b3 − ab(a + b) = ⇔ (a + b)(a −√b)2 = √ ⇔ a = ±b ⇔ x + = ± x + ⇔x=− 3 Thử lại thấy x = − thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = − ✷ 2 Ví dụ tương tự √ √ √ Bài 4: Giải phương trình (x + 2)( 2x + − x + 1) + 2x2 + 5x + − = Giải  x ≥ − ĐK ⇒ x ≥ −1 x ≥ −1 √    + = a2 − b2 √2x + = a x √ Đặt ⇒ x+1=b 2x2 + 5x +     a; b ≥ = a2 − 2b2 Nên PT ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + ab = a2 − 2b2 ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a2 − b2 ) = Vì a + b > nên ta chia vế cho a + b ⇔ (a − b)(a − 2b) − √(a − 2b) =√0 ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) = • Với a = b + ⇒ 2x + = x + + (VN) √ √ • Với a = 2b ⇒ 2x + = x + ⇔ x = − (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm S = − Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Bài tập đề nghị Giải√các phương √ trình sau √ 1/(√x + − √x + 2)(1 + √x2 + 7x + 10) = 2/(√ x + + √x − 2)(1 − x2 − x √ − 2) = 3/√x − x + − x =√1 + (1 − x) x 4/ 3x2 − 18x + 25 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − Bài 5: Giải phương trình √ 2+ 2+ √ x 2− √ +√ 2+ x 2− √ x √ = 2− x √ Giải √ √ Thoạt nhìn ta đưa√ra đánh giá √ dễ thấy + x + − x = Nên ta đặt √ + x = a; − x = b Ta có ab = − x; a2 + b2 = Ta viết lại phương trình sau: √ a2 b2 √ +√ = 2 +√a 2−b √ √ √ √ 2 ⇒√ a − a b + b2 + ab2 = 2(2 − b + a − ab) ⇔ √2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab√+ 2) Để ý a2 + b2 = Vì ab + = nên a − b = √ ⇔ a2 + b2 − 2ab = ⇒ ab = ⇒ − x = Nên x = Vậy phương trình có nghiệm S = 3✷ √ √ √ Bài 6: Giải phương trình (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x2 − 15 Nhận xét: Dễ thấy (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, nhị thức ngồi ta khơng thể biểu diễn hết theo ẩn phụ được, ta đặt ẩn phụ cố đưa phương trình tích Giải Lời giải: ĐK ≤ x ≤ 2 √ Đặt √ u = 2x − ⇒ u2 = 2x − 3; 2u2 + = 4x − v = − 2x ⇒ v = √ − 2x; 2v + = 13 − 4x 2 ⇒ u + v = 2; uv = 16x − 4x2 − 15(1) ⇒ P T ⇔ (2v + 3)u + (2u2 + 3)v = + 8uv = u2 + v + 8uv ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = T H1 : u + v = √ ⇔ 16x − 4x2 − 15 = (VN) T H√ : u + v = 2uv ⇔ 16x − 4x2 − 15 = ⇒ x = (Thỏa ĐK) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2✷ Bài 7: Giải phương trình x2 + √ x + = (*) Giải Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x + = t; t ≥ PT(*) ⇔ (t2 − 1)2 + t = ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = TH1 Với t = x = −1 TH2 Với t = x√= √ −1 + 1− TH3 Với t = x = ✷ 2 Ta tự làm khó với kiểu lên tý nhé, nâng bậc lũy thừa, ta xét ví dụ sau Bài 8: Giải phương trình x4 + √ x2 + = Giải Để đơn giản√hóa, ta đặt x2 = a, a ≥ PT ⇔ a2 + a + = 3, √ta tách để đưa phương trình tích sau: ⇔ a2 − √ (a + 3) + (a + √ a + 3) = ⇔ (a + a + 3)(a − a + + 1) = √ Vì a ≥ ⇒√a + a + > (VN) Ta có a + = a + ⇔ a2 + a − = ⇒ a = 1(a ≥ 0) nên x = ±1✷ √ Bài 9: Giải phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + x2 + 2x + = (2x − 1)2 + (Đề thi chọn đội tuyển 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Nhận xét: Bài có lũy thừa bậc cao 4, có bậc nên ta cố nhóm biểu thức lũy thừa giống để đặt ẩn phụ Giải √ ⇔ x4 + 4x2 + + 4(x3 + 3x√ + 3x + 1) + x2 + 2x + = 4x2 − 4x + ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + + = (Cơng đoạn nhóm lại quan trọng) √ Đặt t = x2 + 2x + 5, t ≥ ⇒ t2 − = x2 + 2x Ta viết lại PT cho tương tương với (t2 − 5)2 + 8(t2 − 5) + t + = ⇔ t4 − 2t2 + t − 10 = ⇔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = Vì t ≥ nên t3 + 2t2 + 2t + > Ta √ có t = ⇒ x2 + 2x + = Vậy x = −1✷ Bài 10: Giải phương trình √ √ x2 − 2x + + x − = Giải Đặt:t = √ x − 1, với x ≥ 1, t ≥ ⇒ t2 = x − Phương trình cho viết lại: (x − 1)2 + = − √ Trở thành: t4 + = − t(t ≤ 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = √ x−1 Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Vì t ∈ [0; 2] nên t3 − t + > Vậy t = ⇒ x = 1✷ √ Bài 11: Giải phương trình (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y = Giải Điều kiện y ≤ 2√ Đặt a = 2x b = − 2y (b ≥ 0) ta có phương trình viết lại thành a3 + a − (b3 + b) + =0⇔a=b 2 √ − 4y − 4y Vậy x = nghiệm phương trình Hay 2x = − 2y ⇔ x = 2 Nhận xét Một lời giải thật đẹp phải không ! Chắc bạn thắc mắc mà ta lại đặt ẩn phụ √ − b2 − (b2 + 1) Trước tiên ta đặt − 2y = b ⇒ y − = −3= 2 √ − (b2 + 1) b ⇒ (y − 3) − 2y = a (a3 + 1) Bây ta muốn (4x2 + 1) x = ⇒ (4x2 + 1) 2x = a3 + a ⇒ 8x3 + 2x = a3 + a ⇒ a = 2x Từ ta có cách đặt ẩn phụ lời giải ✷ Bài 12: Giải phương trình x+2 −1= 3(x − 3)2 + 9(x − 3) Giải Điều kiện x ≥ −2 Đặt t = (x − 3) ta có x = t3 + 27 x+2 t3 + 45 t2 = ; 3(x − 3)2 = 18 Phương trình cho trở thành t3 + 45 t2 −1= +t 18 t3 + 45 ⇔ = t2 + 3t + (1) 2 3 Ta có t + 3t + = t + + > nên phương trình (1) tương đương với t3 + 45 = (t2 + 3t + 3)2 ⇔ 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t − 27 = (2t − 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = ⇔ t = ; t = −3 t3 + 27 217 • Với t = x = = 72 Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN t3 + 27 • Với t = −3 x = =0 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện toán Vậy phương trình có hai nghiệm x = 217 x= ✷ 72 √ √ Bài 13: Giải phương trình x x + x x = Giải √ √ + x4 = x Phương trình cho tương đương với: √ √ 15 15 ⇔ x6 √ + x4 = 15 Đặt:y = x2 với y ≥ ta có: 5y + 3y − = ⇔ (y − 1)(5y + 8y + 8) = ⇔y−1=0⇔ √y = 15 Do ta có: x2 = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 Vậy: tập nghiệm phương trình cho là:S = {−1; 1} ✷ Bài 14: Giải phương trình √ x4 − √ + =0 x2 x Giải ĐK x = Ta có phương trình cho tương đương với √ √ √ 5 − x3 + = 0(∗) √ x4 − √ + = ⇔ x 5 x2 x5 √ Đặt:y = x3 , y = 0, phương trình (*) trở thành: y − 7y + = ⇔ (y√− 1)(y + y − 6) =    x = 1√ x =1 y=1 √    y = ⇔ ⇔ √x = ⇔ x=23√ y = −3 x = −3 x3 = −3 √ √ Vậy tập nghiệm phương trình cho 1; 4; −3 ✷ Bài 15: Giải phương trình √ 4x − + √ 4x2 − = Giải 4x − ≥ ⇔x≥ 2 4x − ≥ Bình phương hai vế phương trình cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + (4x − 1)(4x2 − 1) = ⇔ (4x − 1) (4x2 − 1) = − 4x2 − 4x = − (2x + 1)2 Đặt y = 2x + ⇒ 4x − = 2y − 3, 4x2 − = y − 2y Phương trình trở thành (2y − 3)(y − 2) = − y − y2 ≥ ⇔ 4(2y − 3)(y − 2)y = (4 − y )2 ĐK Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN   −2 ≤ y ≤ ⇔ y−2=0   4(2y − 3)y = (y + 2)2 (y − 2)   −2 ≤ y ≤ ⇔ ⇔y=2 y=2   y − 6y + 8y − = Hàm số G(y) = y − 6y + 8y − lấy giá trị âm toàn miền [−2; 2] Do ta có 2x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ √ Bài 16: Giải phương trình 2x − + x2 − 3x + = (D-2006) Giải √ t2 + PT ⇔ t4 − 4t2 + 4t − = ⇔ (t − 1)2 (t2 + 2t − 1) = * Với t =√ 1⇒x=1 √ *Với t = − ⇒ x = − 2✷ Đặt t = 2x − ⇒ x = Bài 17: Giải phương trình 2x2 − 6x − = √ 4x + Giải √ √ − 11 + 11 ĐK x ≤ ;x ≥ 2 √ t2 − Đặt t = 4x + ⇒ x = PT⇔ t4 − 22t2 − 8t + 27 = ⇔ (t2 + 2t − 7)(t2 − 2t − 11) = √ √ Đối chiếu điều kiện ta tìm nghiệm phương trình x = − 2; x = + 3✷ √ √ Nhận xét: Đối với có dạng ax + b+cx +dx+e = cách giải đặt ax + b = t, sau đưa phương trình bậc 4, dùng đồng thức để phân tích nhân tử Nhưng có số khơng giải cách đó, ta nhắc lại vấn đề phần sau √ √ Bài 18: Giải phương trình (x + x + 2)(x + x + 18) = 168x Đối với mà phân tích thành nhị thức tam thức ta thường nhẩm nghiệm hữu tỷ đẹp, đồi với nghiệm vơ tỷ? Ta xét tốn sau: √ √ Bài 19: Giải phương trình (x − 2) x − − 2x + = √ Nhận xét: Ta thấy có x − 1, nên ta cố gắng thêm bớt tách phương trình theo ẩn Giải Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x − = t, t ≥ √ √ √ √ Ta biến√ đổi phương trình sau : [(x − 1) − 1] x − − 2[(x − 1) − 2] − 2=0 √ ⇔ t3 − 2t2 − t + − = Phương trình ta bấm máy khơng có nghiệm hữu tỷ, bạn tinh ý tý thấy t = 0.4142 ? √ Nhìn vào số quen nhỉ, − Áp dụng sơ√đồ Horner, tích sau :(t√+ − √ ta phân √ *TH1 Với t = − ⇒ x − = − ⇒ x = − 2 *TH2 t2 − t − Ta có t = 1+ √ √ 2)(t2 − t − 2) = √ = 0, nhận t > √ √ 1+4 1+ 1+4 ⇒x= 2 + 1✷ III- Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba √ Bài 20: Giải phương trình 2(x2 + 2) = x3 + (Đề nghị Olympic 30/4/2007) Đối với tốn ta phân tích nhân tử x3 + = (x + 1)(x2 − x + 1) cố ý biến đổi vế trái thành tổng hiệu hai thừa số Giải Ta biến√đổi sau 2(x2 √ + 2) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) Ta đặt x2 − x + = a; x + = b PT ⇔ 2a2 + 2b2 = 5ab a Đến giải nghiệm t = ; t = với t = ( ) b √ ± 37 ✷ Vậy x = Sau số tập tương tự Giải PT √ 1/2(x2 − 3x + 2) =√ x3 + 2/2x√ + 5x − = x3 − 3/10√x3 + = 3(x2 − x + 6) 4/10 x3 + = 3(x2 + 2) Ngồi bạn sáng tạo thêm PT đẳng thức nêu thú vị đấy, để có phương trình đẹp ta phải chọn hệ số a, b, c cho PT at2 + bt + c = có "nghiệm đẹp" được, bạn thử xem √ √ Ví dụ chằng hạn 4x2 − 2x + = x4 + Cùng thử sức với tốn sau nhé, khó so với ví dụ tơi nêu Bài 21: Giải phương trình √ √ √ 5x2 − 14x + − x2 − x − 20 = x + (HSG Quãng Ngãi 2012) Giải ĐK x ≥ 5, chuyển vế bình phương ta có : 2x2 − 5x + = (x2 − x − 20)(x + 1) Đến lại gặp vấn đề ta khơng thể tìm hai số √ α, β cho √ 2 α(x − x − 20) + β(x + 1) = 2x − 5x + nên ta đặt a = x2 − x − 20; b = x + Page Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN ví dụ Nhưng lại thấy x2 − x − 20 = (x − 5)(x + 4) PT ⇔ 2x2 − 5x + = (x2 − 4x − 5)(x + 4) Ta thử lại lần tìm α, β thỏa mãn, ta biến đối lại PT sau ⇔ 2(x2 −√4x − 5) + 3(x + 4)√= (x2 − 4x − 5)(x + 4) Đặt a = x2 − 4x − 5; b = x + PT ⇔ 2a2 + 3b2 = 5ab Từ ta a = b; a = b √ + 61 Với a = b ⇒ x = (x ≥ 5) Với a = b ⇒ x = 8; x = − √ + 61 Đối chiều với điều kiện ta nhận x = 8; x = nghiệm phương trình.✷ BÀI TẬP Giải phương trình sau: √ √ √ √ 23 ± 341 1/ x2 + x − + x − − 3x2 − 6x + 19 = ĐS: x = √ √ √ √ 21 ± 161 2 2/ x + 4x − + x − − 11x + 25x + = ĐS: x = √ √ √ √ √ 61 + 11137 3/ 7x2 + 25x + 19 − x2 − 2x − 35 = x + ĐS: S = ;3 + 18 √ Bài 22: Giải phương trình 3x2 − 2x − = √ x + 3x2 + 4x + 30 Nhận xét:Bài khác chút so với biểu thức khơng có dạng đẳng thức, ta√xem √ phương trình hữu tỷ nhẩm nghiệm 1+ 1− ;x ≥ ĐK 3x2 − 2x − ≥ ⇔ x ≤ 3 Để ý: x3 + 3x2 + 4x + = (x + 1)3 + (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) Giải Ta viết lại PT sau 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ (x + 1)(x2 + 2x + 2) 30 √ √ Đến dễ rồi, ta đặt a = x2 + 2x + 2; b = x + nên PT viết lại sau 3a2 − 8b2 = √ ab 30 Đáp số : x = − ✷ √ √ Bài 23: Giải phương trình (x2 − 6x + 11) x2 − x + = 2(x2 − 4x + 7) x − Giải Lời giải: √ ĐK x ≥ √ Đặt x2 − x + = a; x − = b với a, b ≥ Ta biểu diễn biểu theo a b sau √ thức √ x2 − 6x + 11 = α( x2 − x + 1)2 + β( x − 2)2 Page 10 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ  k2π t =  ⇔ cos 4t = cos t ⇔  k2π t= 2π Kết hợp với điều kiện t, ta giải x = ∨ x = ± sin ✷ MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC √ √ √ Bài 1: Giải phương trình 7x + − x2 − x − + x2 − 8x + = Giải √ √ 7x + 1; b = + x − x2 ; c = x2 − 8x + a+b+c=2 (a + b + c)3 = Ta có hệ sau ⇔ a3 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 = • a = −b ⇒ x = −1 ∨ x = • b = −c ⇒ x = • c = −a ⇒ x = ∨ x = Vậy phương trình có nghiệm S = {−1; 1; 0; 9} ✷ Đặt a = √ Bài tập tương ứng √ 3x + + Bài 2: Giải phương trình √ 5−x+ ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) = √ √ 2x − − 4x − = √ 15 (30x2 − 4x) = 2004( 30060x + + 1) Giải √ PT ⇔ (30x √ − 4x) = 4008( 30060x + + 1) √ 30060x + + Đặt y = ⇒ 15y − = 30060x + 15 ⇔ 15y + 2y = 2004x Mặt khác từ phương trình đầu ta có 30x2 − 4x = 4008y ⇔ 15x2 − 2x = 2004y 15x2 − 2x = 2004y Ta có hệ phương trình 15y + 2y = 2004x Trừ vế theo vế ta có (x − √ y)(15(x + y) + 2002) = • Với x = y ⇒ 15x − = 30060x + 2006 ⇔x=0∨x= 15 Với x = phương trình đầu vơ nghiệm √ 30060x + + 1 • Với 15(x + y) + 2002 = Ta có 30060x + ≥ ⇒ y = ≥ 15 15 −1 Nên x + y ≥ + >0 30060 15 Vậy 15(x + y) + 2002 = vô nghiệm✷ √ √ √ Bài 3: Giải phương trình − x = x + + − x + − x2 Giải Page 29 PHÚ YÊN Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ Đặt x =√cos t; t ∈ [0; π] √ PT⇔ + cos t = cos t + + − cos t + sin t √ √ t t t t ⇔ cos = cos t + + sin + sin cos 2 2 √ √ t t t t t ⇔ cos = − sin + sin + sin cos 2 2 √ √ t t t t ⇔ cos 2 − sin + sin − sin − = 2 2 √ √ t t t t √ ⇔ cos 2 − sin + sin − 2 sin + 2 2 √ t t √ t sin − cos + = sin − 2 2 √ t • Với sin = 2 (PTVN) t t √ • Với sin − cos + = 2 t t ⇔ sin − cos = − √ 2 t π ⇔ sin − =−   t π π π t= − = − + k2π 6    ⇔ ⇔   17 7π t π t = π(l) − = + k2π 6 PHÚ YÊN =0 √ π Đối chiếu với điều kiện t, phương trình có nghiệm x = cos = ✷ √ Bài 4: Giải phương trình (x3 − 3x + 1) x2 + 21 + x4 − 3x2 + x = 21 (Trích viết anh Lê Phúc Lữ) Giải √ Đặt t = x2 + 21 > √ ⇔ (x2 + 21) − (x3 − 3x + 1) x2 + 21 − (x4 − 2x2 + x) = ⇔ t2 − (x3 − 3x + 1)t − (x4 − 2x2 + x) = ∆ = (x3 − 3x + 1)2 + 4.(x4 − 2x2 + x) = x6 − 2x4 + 2x3 + x2 − 2x + = (x3 − x + 1)2 Suy phương trình có nghiệm là: x3 − 3x + 1) ± (x3 − x + 1) t = −x(1) ⇒t= ⇒ t = x3 − 2x + 1(2) √ x2 + 21 = x2 x2 + 21 = −x ⇔ ⇔ Phương trình vô nghiệm x0) u + v = x2 + Ta viết (2) dạng √ u2 + v = (u + v) uv√⇔ ( u − v)2 (u + v + uv) = ⇔ u = v (Vì u + v + uv > 0) √ Với u = v ⇒ x(x√ + 1) = − x ⇔ x2 + 2x − = PT có nghiệm x = −1 ± Đối chiếu điều kiện có x = −1 + thõa mãn √ Vậy phương trình có nghiệm x = −1 + 2✷ √ Bài 6: Giải phương trình 10x2 + 3x + = (6x + 1) x2 + Giải Đặt u = 6x + 1; v = √ x2 + Mà ta biểu diễn VT theo ẩn phụ sau 10x2 + 3x + = (6x + 1)2 + (x2 + 3) − 4 2 Vậy ta viết lại phương trình u + v − = uv ⇔ (u − 2v) = ⇔ u − 2v = ±9 4 √ √ 3x − ≥ • Với u − 2v = ⇒ + 6x − x2 + = ⇔ 3x − = x3 + ⇔ ⇔x=1 x2 + = (3x − 1)2 √ √ 3x − ≥ 7−3 • Với u − 2v = −3 ⇒ 3x + = x2 + ⇔ ⇔x= 2 (3x + 2) = x + √ 7−3 Vậy phương trình có nghiệm x = ∨ x = ✷ PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn Giải hệ phương trình √ √ (x − y) (1 + 4xy) = x2 + y = (2) Giải Đặt : x = sin α y = cos α Khi đó, phương trình (2) thỏa mãn với α Page 31 (1) Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Phương trình (1) tương đương với phương trình √ √ 2(sin α − cos α)(1 + sin 2α) = √ √ √ + sin 2α = ⇔ 2 sin(α − 450 ).2 √ ⇔4 sin(α − 450 )(sin 2α + sin 300 ) = √ ⇔8 sin(α − 450 ) sin(α + 150 ) cos(α − 150 ) = √ ⇔4 cos(α − 150 )[cos 600 − cos(2α − 300 )] = ⇔2 cos(α − 150 ) − cos(α − 150 ) cos(2α − 300 ) = √ ⇔ − cos(3α − 450 ) = ⇔ √ α = 650 + k1200 (k, l ∈ Z) α = −350 + l1200 Vậy hệ cho có sáu nghiệm sau: x1 = sin 650 y1 = cos 650 x2 = sin 1850 y2 = cos 1850 x3 = sin 3050 y3 = cos 3050 x4 = sin 850 y4 = cos 850 x5 = − sin 350 y5 = cos 350 x6 = sin 2050 ✷ y6 = cos 2050 Bài Giải hệ phương trình: x + y + x2 + y = xy(x + 1)(y + 1) = 12 Giải Biến đổi hệ trở thành x(x + 1) + y(y + 1) = x(x + 1).y(y + 1) = 12 Đặt: u = x(x + 1) v = y(y + 1) Khi đó, hệ cho trở thành:   u+v =8= ⇔  u.v = 12 u=2 v=6 u=6 v=2 Trường hợp u=2 ⇔ v=6 x2 + x − = ⇔ y2 + y − = Page 32 (1; 2), (1; −3) (−2; 2), (−2; −3) Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Trường hợp u=6 ⇔ v=2 x2 + x − = ⇔ y2 + y − = (2; 1), (−3; 1) ✷ (2; −2), (−3; −2) Bài Giải hệ phương trình (x − y)(x2 − y ) = (x + y)(x2 + y ) = 15 Giải Biến đổi hệ cho ta thu x3 + y − xy(x + y) = x3 + y + xy(x + y) = 15 Đặt u = x3 + y v = xy(x + y) Hệ cho trở thành u + v = 15 ⇔ u−v =3 u=9 v=6 Khi đó, ta có:  3 x +y =9 ⇔ xy(x + y) =  x+y =3 ⇔  xy = x=1 y=2 x=2 y=1 ✷ Bài Giải hệ phương trình   (2x + y)2 − 5(4x2 − y ) + 6(2x − y)2 = =3  2x + y + 2x − y Giải Điều kiện: 2x − y = Đặt u = 2x + y v = 2x − y Hệ cho trở thành   u  =3 v   2  u − 5uv + 6v = u+ =3  v  ⇔   u u+ =3 =2  v v   u+ =3 v  ⇔  u = 2v =  ⇔  2v − 3v + =  Trường hợp    x= 2x + y = ⇔ 2x − y =   y= Page 33 u=2 v=1 u=1 v= Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Trường hợp    x= 2x + y = ⇔  2x − y =  y= Đáp số: (x; y) = ; , ; ✷ Bài Giải hệ phương trình     √ + x+y−3=3 y    2x + y + = y x+ Giải Điều kiện   y=0   x+ ≥0  y   x+y−3≥0 Biến đổi hệ cho trở thành     x+ (∗) √ + x+y−3=3 y    x+ +x+y−3=5 y Đặt   với y √  v = x+y−3 u= u≥0 v≥0 x+ (∗∗) Khi hệ cho trở thành  u+v =3= ⇔ u2 + v =  u+v =3 ⇔  uv = u=2 v=1 u=1 v=2 thỏa mãn (∗∗) x=3 y=1 x=5 y = −1 thỏa mãn (∗) Trường hợp    1  x+ = u=2 ⇒ ⇔ y  v=1  x+y−3=1 Trường hợp √ x = − √ 10  x+ =1 u=1 y = + √10 ⇒ ⇔ thỏa mãn (∗) y  v=2  x+y−3=4 x = + √10 y = − 10 √ √ √ √ Đáp số: (x; y) = (3; 1), (5; −1), (4 − 10; + 10), (4 + 10; − 10)✷    Page 34 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ Bài Giải hệ phương trình 4log3 (xy) = + (xy)log3 x2 + y − 3x − 3y = 12 Giải Điều kiện: xy > Đặt: u = log3 (xy) ⇔ xy = 3u Khi đó, hệ cho trở thành xy = x2 + y − 3(x + y) = 12 xy = (x + y)2 − 3(x + y) − 18 = ⇔  x+y =6 xy = x + y = −3 (vô nghiệm) xy = √ x = + √6 y = − √6 x = − √6 y =3+  ⇔    ⇔  Đáp số: (x; y) = (3 + √ 6; − √ 6), (3 − √ √ 6; + 6) ✷ Bài Giải hệ phương trình x2 + y + x + y = x(x + y + 1) + y(y + 1) = Giải Hệ cho tương đương với hệ sau x2 + y + x + y = x2 + y + x + y + xy = ⇒ xy = −2 Đặt S = x + y; P = xy(S ≥ 4P ) ⇒ S = x2 + y + 2xy ⇒ x2 + y = S − 2P Vậy   P = −2 S − 2P + S = S=0 ⇔ S2 − P + S =  S = −1 Trường hợp   x+y =0 ⇔  xy = −2 √ x= √ y = − √2 x=√ − y= Trường hợp   x+y =1 ⇔  xy = −2 Page 35 x=1 y = −2 x = −2 y=1 PHÚ YÊN Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ √ √ √ √ Đáp số: (x; y) = ( 2; − 2), (− 2; 2), (1; −2), (−2; 1) Bài Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = 4y − y x+y = +2 x +1 Giải Hệ cho tương đương với    x +1 +x+y =4= y y   x+y = +2 x +1 Đặt u = x2 + , v = x + y Hệ phương trình có dạng y u+v =4 v = +2 u Giải hệ ta thu u = 1, v = 3   x +1  u=1 =1 ⇔ Với ⇒ y  v=3  x+y =3 x=1 y=2 x = −2 y=5 Đáp số: (x; y) = (1; 2), (−2; 5) ✷ Bài Giải hệ phương trình 2y + =1 +y −1 x 2x   x2 + y − =4 y    x2 Giải Điều kiện: xy = x Đặt a = x2 + y − 1, b = với ab = y Hệ cho trở thành   + =1 ⇔ a b  a − 2b = a=1 b = −1 a=9 b=3 Trường hợp   a=1 ⇒  b = −1 x=1 y = −1 x = −1 y=1 Trường hợp   a=9 ⇒  b=3 Page 36 x=3 y=1 x = −3 y = −1 PHÚ YÊN Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Đáp số: (x; y) = (1; −1), (−1; 1), (3; 1), (−3; −1) ✷ Bài 10 Giải hệ phương trình sau x2 + xy − 3x + y = x4 + 3x2 y − 5x2 + y = Giải Xét x = ⇒ y = Vậy (0; 0) nghiệm hệ Xét x = 0, chia hai vế phương trình đàu cho x, hai vế phương trình thứ hai cho x2 , ta hệ phương trình sau   y y  x+ +y =3  x+ +y =3 x2 x ⇔ y  x2 + y + 3y =  x+ +y =5 x x y Đặt z = x + , ta thu hệ x z+y =3 z2 + y = Giải hệ này, ta có: z = 2, y = z = −1, y = Giải trường hợp đầu x = y = 1, trường hợp thứ hai vô nghiệm Đáp số: (x; y) = (0; 0), (1; 1) ✷ Bài 11 Giải hệ phương trình sau √ √ x √3x + y + 5x + 4y = 12 5x + 4y + x − 2y = 35 Giải Điều kiện√3x + y ≥ 0, 5x√+ 4y ≥ Đặt u = 3x + 4y; v = 5x + 4y Suy x − 2y = 2(3x + y) − (5x + 4y) = 2u2 − v Hệ cho trở thành u=5−v ⇔ 2(5 − v)2 − v + 12v − 35 = u+v =5 ⇔ 12v + 2u2 − v − 35 = Trường hợp v=3 ⇒ u=2 5x + 4y = ⇔ 3x + y = x=1 y=1 Trường hợp v=5 ⇒ u=0 Đáp số (x; y) = (1; 1), − 25 75 ; 7    x = − 25 5x + 4y = 25 ⇔ 75 3x + y =   y= ✷ Bài 12 Giải hệ phương trình x2 y + 2x2 + 3y − 15 = x4 + y − 2x2 − 4y − = Giải Page 37 u=5−v v − 8v + 15 = Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ N Hệ phương trình cho tương đương với hệ sau (x2 − 1)(y − 2) + 4(x2 − 1) + 4(y − 2) = (x2 − 1)2 + (y − 2)2 = 10 Đặt u = x2 − 1, v = y − Hệ trở thành  u2 + v = 10 ⇔ uv + 4(u + v) =  (u + v)2 − 2uv = 10 ⇔  uv + 4(u + v) = u + v = −10 uv = 45 u+v =2 uv = −3 Trường hợp u=3 v = −1 Khi đó, có hai nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−2; 1) Trường hợp u = −1 v=3 Khi đó, hệ có nghiệm là: (x; y) = (0; 5) Đáp số: (x; y) = (2; 1), (−2; 1), (0; 5) ✷ Bài 13 Giải hệ phương trình sau √ √ 2x −√1 − y + 2x − = −8 y + y 2x − + 2x = 13 Giải √ Điều kiện: x ≥ Đặt t = 2x − với t ≥ Hệ phương trình trở thành t − y (1 + 2t) = −8 ⇔ y + yt + t2 = 12 t − y − 2ty = −8 (t − y)2 + 3ty = 12 Từ (1) (2), suy ra: 2(t − y)2 + (t − y) = ⇔ t − y = t − y = − √ Với t = y, ta có: t = y = Khi đó: 2x − = ⇔ x = Vậy hệ có nghiệm ;2 √ −3 + 61 Với y = t + , có 4t2 + 6t − 13 = ⇔ t = ( t ≥ 0) Khi đó: 4 √ √  −3 + 61 + 61 √    y= +  y= −3 + 61 √ √ t= ⇒ ⇔    √2x − = −3 + 61  x = 43 − 61 16 √ √ 43 − 61 + 61 Đáp số: (x; y) = ;2 , ; ✷ 16 Bài 14 Giải hệ phương trình sau  √   x− y+2= √   y + (x − 2) x + = − Page 38 (1) (2)   ⇔  u=3 v = −1 u = −1 v=3 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Giải Điều kiện: √ x ≥ −2, y ≥ √ −2 Đặt u = x + 2, v = y + với u, v ≥ (∗) Hệ cho trở thành    u2 − v = (1)  2  v + (u − 4) u = (2) Từ (1) (2), thu được: + 2u3 − 8u = 4 ⇔ u + 2u − 7u − 8u + 12 = u2 − ⇔ (u − 1) (u − 2) u2 + 5u + = ⇔u=1∨u=2 Với u = thay vào (1) có v = − , không thỏa (∗) Vơi u = thay vào (1) có v = , thỏa (∗) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = 2; ✷ Bài 15 Giải hệ phương trình 2x2 − x(y − 1) + y = 3y x2 + xy − 3y = x − 2y Giải Xét y = ⇒ x = x Xét y = Đặt t = ⇔ x = ty Hệ cho trở thành y y (2t2 − t + 1) = y(3 − t) y (t2 + t − 3) = y(t − 2) (1) (2) Từ (1) (2) được: t = −1  3t3 − 7t2 − 3t + = ⇔  t = t=  Hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 1), (−1; 1), ; 43 43 ✷ Bài 16 Giải hệ phương trình + x + xy = 5y + x2 y = 5y Giải Với y = 0, hệ vô nghiệm Với y = 0, hệ có dạng   1 x     x+ + =5  x + + x = y y y y ⇔ 1    x2 +  =5 − 2x =  x+ y y y Page 39 Trần Trí Quốc Đặt x + THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN 1 = u x = v, hệ trở thành: y y u2 − 2v = u+v =5  u = −5  v = 10 ⇔  u=3 v=2 Với    x + = −5 u = −5 y Hệ vô nghiệm ⇒ v = 10   x = 10 y Với     x+ =3  u=3  y ⇔ ⇒  v=2    x = y Đáp số: (x; y) = (2; 1), 1; x=2 y=1 x=1 y= ✷ Câu 17: Giải hệ phương trình: x2 + + y (y + x) = 4y (1) (I) (x2 + 1) (y + x − 2) = y (2) Giải  x +1    +y+x=4 y +) Do y = không nghiệm hệ nên: (I) ⇔ x2 +   (y + x − 2) =  y  x2 +  u= +) Đặt Hệ trở thành: y  v =x+y    x +1  u+v =4 u=4−v u=1 =1 ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ y  u (v − 2) = (4 − v) (v − 2) = v=3  x+y =3 Vậy hệ cho có nghiệm: (1; 2) , (−2; 5) ✷ Câu 18: Giải hệ phương trình: − x2 y + 2xy − y + = − x − y2 + x = √ − x y (1) (I) (2) Giải x≤3 x2 + y − 7x + = √ +) (1) ⇔ − (xy + y + 1) (xy − y + 1) = − √2 − x y ⇔ (xy + y + 1) (xy − y + 1) = − − y + xy (∗) +) (2) ⇔ x − y2 = − x ⇔ Page 40 x=1 y=2 x = −2 y=5 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ u = xy + Phương trình (*) trở thành: v = y2 √ (u + v) (u − v) = u − − v √ u− 3− v ≥0 √ ⇔ u2 − v = u − − v √ u − − √v ≥ √ ⇔ 3u2 − − uv + 45 − 24 v • Ta thấy v = khơng nghiệm (II) nên:  √ √ u u + 45 − 24 = ⇔  −8 3− (∗∗) ⇔ v v PHÚ YÊN +) Đặt = (∗∗) u =3 v u =5− v (II)  √ xy + =3  y  ⇒ xy + =5− y2 √ √ xy + v) = (Do u ≥ − y2 ⇒ xy + = 3y ⇔ (x − 3) y + = (∗ ∗ ∗) • Từ (1) ta có: y = −x2 + 7x − thay vào (***) ta được: ⇒  x=2 √ (x − 3) (−x + 7x − 9) + = ⇔ −x + 10x − 30x + 28 = ⇔  x = + √2(loại) x=4− 2 • Với x = ⇒ y = ⇒ y = ±1 √ √ √ • Với x = − ⇒ y = + ⇒ y = ± + Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: √ √ √ √ (x; y) = (2; 1) ; (2; −1) ; − 2; + ; − 2; − + ✷   = (1)  4xy + (x2 + y ) + (x + y)2 Câu 19: Giải hệ phương trình: (I)   2x + = (2) x+y Giải +) Điều kiện: x + y =    2   =  3(x + y) + (x − y) +  x + y + + (x − y)2 = 13 (x + y) x + y +) (I) ⇔ ⇔    x+y+ +x−y =3   x+y+ +x−y =3 x+y x+y 3a2 + b2 = 13 (3) +) Đặt a = x + y + (|a| ≥ 2) ; b = x − y ta hệ: a+b=3 (4) x+y • Từ (4) ta có: b = − a thay vào (3): a=2 3a2 + (3 − a)2 = 13 ⇔ 4a2 − 6a − = ⇔ a = (loại) • Với a = ⇒ b = từ ta có hệ: x + y + x+y =2 x+y =1 x=1 ⇔ ⇔ y=0 x−y =1 x−y =1 +) Vậy hệ cho có nghiệm (1; 0)✷ Page 41 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN    x2 + y = (1) Câu 20: Giải hệ phương trình: (I) 57   4x2 + 3x − = −y (3x + 1) (2) 25 Giải    (x2 + y ) = 10 (x2 + y ) = 25 57 ⇔ +) (I) ⇔ 47  4x2 + 3x + 3xy + y = 2  2x − 2y + 3x + 3xy + y = 25 25 47 47 +) Ta có: 2x2 − 2y + 3x + 3xy + y = ⇔ (2x − y) (x + 2y) + (2x − y) + (x + 2y) = 25 25 +) Đặt 2x − y = a, 2x + y = b ta có hệ: (a + b)2 − 2ab = 47 ⇔ 94 ab + a + b = 2ab + (a + b) = 25 25     a+b=  (∗)  12    ab = 2ab = (a + b) −  25  144 ⇔    (a + b + 1) =   a + b = − 17 25  25 (∗∗)  132   ab = 25 a2 + b2 = ⇔ +) Ta thấy hệ (**) vơ nghiệm, cịn hệ (*) có hai nghiệm là: (a; b) = Tương ứng ta có: (x; y) = ; 5 , ; 5 , ; 5 11 ; 25 ; 5 11 ; ✷ 25 x2 + y = Nhận xét: Bài xuất phát từ hệ đối xứng 47 Sau thay x, y tương ứng xy + x + y = 25 2x − y, 2x + y tốn trở nên phức tạp địi hỏi người giải phải có biến đổi khéo léo để kết x4 − 2x = y − y (1) Câu 21: Giải hệ phương trình: (I) (x2 − y ) = (2) +) Vậy hệ cho có hai nghiệm: (x; y) = , Giải    x= a+b +) Đặt x + y = a, x − y = b, = c ⇒ a−b   y= +) Từ (2) ta có: (ab)3 = c3 ⇔ ab = c a+b a−b + 2 a−b a + 3b a+c b +) Mặt khác: 2x − y = a + b − = = 2 ab a + c3 b +) Khi (1) trở thành: (a + b ) = ⇔ c (a2 + b2 ) = a + c3 b 2 +) Ta có: x4 − y = (x − y) (x + y) (x2 + y ) = ab Page 42 = ab (a + b2 ) Trần Trí Quốc +) Từ ta có hệ: ⇒ c a2 + c2 a2 =a+ THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN c (a2 + b2 ) = a + c3 b (II) ab = c c4 ⇔ ca4 + c3 = a3 + ac4 ⇔ (ca − 1) (a3 − c3 ) = ⇔ a ;c Suy hệ (II) có hai nghiệm là: (a; b) = (c; 1) , c √    x= c+1 = 3+1 a=c 2 √ • Với ⇒ b=1   y = 3−1  + c3 1   + c2 = = √  x= a= c 2c • Với c2 ⇒ − c 1   b=c −c = = −√  y= c 2c √ √ 3 3+1 3−1 ; , √ ; −√ +) Vậy hệ cho có hai nghiệm: (x; y) = 3 2 3 Page 43 c a=c a= ✷