Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chương “Ứng dụng đạo hàm” là một phần quan trọng nhất của giải tích 12 chương trình toán học THPT Các dạng bài tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tương giao, tìm số nghiệm phương trình rất đa dạng và phong phú Qua thực tiễn trình dạy học đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh trường THPT Tĩnh Gia 2, tơi thấy giáo viên khó khăn việc giúp học sinh vận dụng kiến thức vào giải một số bài tập vận dụng cao Học sinh chưa xác định được hướng giải quyết đúng ý tưởng của bài, một số học sinh mơ hồ, rối rắm thấy kiện nhiều, phức tạp, từ nhụt ý chí, dẫn đến ngại suy nghĩ để đưa ý tưởng giải bài tập loại này Mặt khác, đề thi THPT QG hàng năm, bài tốn này là mợt bài trọng điểm để phân loại lực học sinh, giải được dạng bài này em mới đạt vào top giỏi Để giúp học sinh hệ thớng và nắm vững cách tư giải dạng bài sử dụng tính đơn điệu của hàm số chương trình tốn 12 nên tơi nghiên cứu đề tài này Năm học 2019-2020 được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm mũi nhọn của trường kỳ thi TN THPT 2020, qua nghiên cứu giảng dạy thấy việc triển khai sáng kiến “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12 ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng kỳ thi THPT tới Do vậy chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường 1.2 Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh một số lý thút, mợt sớ dạng và cách giải bài tốn Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12 - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao kỹ tư sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các bài tập bài toán sử dụng tính đơn điệu của hàm sớ để giải nằm chương trình tốn học 12 trung học phổ thông, đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này - Thông qua việc kiểm tra đánh giá lực tiếp thu của học sinh - Thông qua trao đởi góp ý và học tập kinh nghiệp từ đồng nghiệp - Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo - Thông qua đề thi tham khảo, minh họa, chính thức THPT QG 2017, 2018, 2019, 2020 của bộ, đề tham khảo của trường toàn quốc NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Căn cứ vào lý thuyết chương I: ’’Ứng dụng đạo hàm để khảo sát một số và vẽ đồ thị của hàm số’’ chương trình giải tích 12 bản , chương III: “ Phương trình, hệ phương trình” và chương IV: “ Bất đẳng thức, bất phương trình, hệ bất phương trình” đại sớ 10 bản Tơi tóm tắt nội dung lý thuyết bản sau: 2.1.1 Định nghĩa sự đồng biến , nghịch biến hàm số [1] Giả sử hàm số xác định tập ( là một khoảng đoạn nửa khoảng) Hàm số được gọi là đồng biến K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số được gọi là nghịch biến K nếu Hệ quả: Nếu hàm số đồng biến nghịch biến K thì x1 , x2 �K , f ( x1 )  f ( x2 ) � x1  x2 2.1.2 Định lý sự đồng biến , nghịch biến hàm số [1] Cho hàm số xác định tập và có đạo hàm (là mợt khoảng đoạn nửa khoảng) Nếu ( dấu bằng chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến Nếu ( dấu bằng chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến 2.1.3 Định nghĩa giá trị lớn nhất , nhỏ nhất hàm số [1] Cho hàm số xác định tập *) Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số tập nếu và tồn tại cho Kí hiệu : *) Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số tập nếu và tồn tại cho Kí hiệu : 2.1.4 Điều kiện để phương trình chứa tham số có nghiệm x �D Min f ( x) m Max f ( x) D D Phương trình f ( x)  m có nghiệm 2.1.5 Điều kiện để bất phương trình chứa tham số có nghiệm x �۳ D *) Bất phương trình f ( x) �m có nghiệm m �۳ x D *) Bất phương trình f ( x) �m nghiệm đúng x�  D *) Bất phương trình f ( x) �m có nghiệm x � m D Min f ( x ) D m Max f ( x ) D Max f ( x) D m *) Bất phương trình f ( x) �m nghiệm đúng 2.1.6 Định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị [1] Min f ( x) D Cho hàm số liên tục khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm K K |  x0  với h  Nếu f '( x)  0, x �( x0  h; x0 ) và f '( x )  0, x �( x0 ; x0  h) thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f ( x) Nếu f '( x)  0, x �( x0  h; x0 ) và f '( x)  0, x �( x0 ; x0  h) thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f ( x) Từ sở lý thuyết định hướng giải tốn dùng tính đơn điệu hàm số để giải mợt số dạng tốn giải tích 12 tiết ôn tập: - Phân loại các dạng bài tập toán giải tích 12 có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số - Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán đó 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình dạy ôn tập THPT QG năm 2017, năm 2019, ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2020 cho học sinh lớp 12 phần Giải tích Học sinh chỉ mới sử dụng tính đơn điệu vào giải quyết được một sớ bài tốn mức đợ nhận biết, thơng hiểu và chỉ được một lượng nhỏ em biết giải qút bài tốn mức đợ vận dụng thấp , gặp mợt sớ bài tốn u cầu cao đa số em chưa đưa được hướng giải quyết ngay, đưa lời giải sai, có em đưa được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và chưa triệt để bài toán Trước áp dụng đề tài, cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút chương ứng dụng đạo hàm Kết quả : 9-10 7-8 5-6 3-4 0-2 Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A2 (2016 47 0 12 25,5 25 53,2 10 21,3 0 2017) 12C8 (2018 43 0 9,3 15 34,9 19 44,2 11,6 2019) 12A1 (2019 44 4,5 15 34,1 22 50,0 11,4 0 2020) Với vấn đề của thực trạng trên, mạnh dạn triển khai cho em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt bất cập nói 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3.1 Giải pháp - Tổ chức buổi (12 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, tốt nghiệp THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi xét tuyển đại học - Nêu dạng bài tốn, đưa cách giải cho dạng, hệ thớng bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ làm bài - Nêu cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính toán nhanh kết quả - Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra 2.3.2 Nội dung giải pháp Phương pháp chung: - Đưa các dạng toán về hàm số , hàm số đặc trưng, sử dụng tính đơn điệu để kết luận bài toán, hoặc đưa bảng biến thiên để giải quyết bài toán một cách nhanh nhất - Đưa về một các dạng bản sau A DẠNG BÀI XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SƠ Phương pháp chung: - Tìm tập xác định, tính đạo hàm - Lập bảng biến thiên, kết luận   Hàm sớ   có đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số hình bên Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên m dương của tham số để hàm số y f x g ( x)  f  x  m   y f ' x  x  m  1  2020 đồng biến khoảng (5;6) Tổng tất cả phần tử của S bằng A B 11 C 14 D 20 ( Đề thi khảo sát lực 2020- Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú yên) Hướng dẫn: - Xét đạo hàm, tìm các khoảng đồng biến rồi suy giá trị của m Bài giải: Hàm số g ( x)  f  x  m    x  m  1  2020 � g '( x)  f '( x  m)  ( x  m  1)  0, x � 5;6  đồng biến khoảng (5; 6) 1  t  � � f '(t )  (t  1)  � � t 3 � Đặt x  m  t g '( x)  f '( x  m)  ( x  m  1)  0, x � 5;  1  x  m  x 1  m  x  �m �6 � � � �� , x �(5; 6) � � , x �(5;6) � � xm 3 m  x3 m �2 � � � Vì m  0, m �Z � m � 1, 2,5, 6 � �m      14 Ví dụ 2: Cho hàm sớ y = f ( x) Đồ thị hàm số f( - 2) = ( 2) = (đáp án C) y = f ( x) hình vẽ bên dưới và Hàm số g ( x)   f ( x)  đồng biến khoảng nào khoảng sau ? - 4;- 3) - 3;1) 2;4 0; A ( B ( C ( ) D ( ) ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh) Hướng dẫn: - Xét đạo hàm tìm các giá trị của x để đạo hàm bằng 0, lập BBT Từ đó suy các khoảng đồng biến Bài giải: Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) � 2 x f'(x) + - � + 0 f(x) Ta có: g '( x)    f ( x)   x  2 (boi 3) � �f ( x)  � �� �� x  (boi 3) �f '( x)  '  f ( x) f '( x)  � x 1 � Bảng biến thiên hàm số g ( x )   f ( x) � 2 x g'(x) + � - + g(x) Vậy hàm số g ( x )   f ( x)  2;4 đồng biến khoảng ( ) B BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SƠ Phương pháp chung: - Tìm tập xác định, tính đạo hàm - Lập bảng biến thiên rời kết luận y Ví dụ 3: Cho hàm sớ  f ( x) liên tục R và có đồ thị hàm số giá trị f  x 1 y f�  x điểm hình vẽ bên Tính tổng cực tiểu của hàm số 2020 2020 f  x 1  A 4 C y B 3 D ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Đông sơn 1, Thanh Hóa) Hướng dẫn: - Xét đạo hàm tìm các giá trị của x để đạo hàm bằng rồi lập BBT Từ đó suy các khoảng đồng biến Bài giải: g�  x  2020 y  g  x  f  x 1 2020  Ta có Xét hàm sớ f  x 1 2020 f  x 1 ln 2020 � 2020 f  x 1  1� � Do �  0, x �R nên f�  x  1 2020 f  x 1 ln 2020 f x 1 � 2020    1� � � g�  x  � f �  x  1  3  x   2 4  x   � � � � 1  x   2  x   f� ��  x  1  � � � �  x 1   x 1 � � � x 1  x2 � � Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy y  g  x Ta có bảng biến thiên sau của hàm số 3 � 4 2 X + g'(x) + sau: 1 - � + - + g(x) 2020 f  x 1 y 2020 f  x 1  có điểm cực tiểu là Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số x  4, x  2, x  0, x  Do tởng giá trị điểm cực tiểu của hàm số bằng 4 C BÀI TỐN TƯƠNG GIAO HAI ĐỜ THỊ Phương pháp chung: - Xét phương trình hồnh đợ giao điểm - Xét hàm số, hàm đặc trưng - Lập bảng biến thiên kết luận Ví dụ 4: Cho hai hàm số y  x  x  x  (C1 ); y  x m  15 x (m   15 x) (C2 ) Có  cho đồ thị (C1 );(C2 ) giá trị nguyên của m thuộc đoạn  cắt tại hai điểm phân biệt A 2005 B 2008 C 2007 D 2006 ( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An) Hướng dẫn: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa về hàm đặc trưng, xét tính đơn điệu của hàm số rồi lập BBT, từ đó suy kết quả Bài giải: 2019; 2019 Số gđ đồ thị chính là số nghiệm pt: x  x  x   x m  15 x ( m   15 x) Ta thấy x  không phải là nghiệm của phương trình, chia cả vế phương trình cho x ta được: 1   m  15 x ( m   15 x) � ( x  )3  3( x  )  ( m  15 x )  m  15 x x x x x Vì f (t )  t  3t; f '(t )  3t   � f (t ) đồng biến R nên 1 pt � f ( x  )  f ( m  15 x ) � x   m  15 x x x � m  ( x  )  15 x  g ( x), ( x  0) x (2 x  1)( x  x  x  2) g '( x)  0� x x x3  x  Bảng biến thiên: X g'(x) � g(x) � - + � 55 Để đồ thị cắt tại điểm phân biệt thì pt có nghiệm phân biệt thì m 55 , mà m � 2019; 2019 , m �Z nên m � 14;15;16; ; 2019 � có 2006 giá trị (đáp án D) y  ln x2 y   4m  2020 x và x2 x Tổng tất cả giá Ví dụ 5: Cho hai hàm số trị nguyên của tham số m để đồ thị hai hàm số cắt tại một điểm nhất bằng A 506 B 1011 C 2020 D 1010 ( Đề thi thử THPT QG lần 2020, Sở GD và ĐT Ninh Bình) Hướng dẫn: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tính đạo hàm, xét tính đơn điệu của hàm số rồi lập BBT, từ đó suy kết quả Bài giải: Số gđ đồ thị chính là số nghiệm pt: ln x2    4m  2020 x x2 x x2    2020  g ( x ) x x2 x x( x  2)  x  ( x  2) g '( x)     � 0 2 x ( x  2) ( x  2) x x ( x  2) Xét : � x   � x  �1 Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) 4m  ln x g'(x) � - 1 + - ln  2020 � + � + � 2020 g(x) 2020 � 2024 � Để đồ thị cắt tại điểm nhất thì pt có nghiệm 4m  2024 � m  506 � � �� 4m  2020 �� m  505 � 4m  ln  2020 (l ) � � �m  1011 � (đáp án B) D DẠNG BÀI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SÔ HOẶC BIỂU THỨC Phương pháp: - Đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức hoặc đánh giá biểu thức - Xét tính đơn điệu lập BBT rồi đánh giá , đưa kết luận Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x)  x  3x  m  (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp max f ( x) �3min f ( x)  cho  1;4  1;4 số thực nguyên thuộc đoạn  Số phần tử của S là A 4003 B 4001 C 4004 D 4002 ( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An) 2020; 2020 � 1;4� Hướng dẫn: - Xét hàm f(x) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đoạn � � - Xét các trường hợp max, của hàm tại các đầu mút và cực trị Bài giải: f '( x)  x  x  � x  0; x  Bảng biến thiên hàm số X y = f ( x) f'(x) - + m  17 m 1 f(x)  m3  � max f ( x) ; f ( x)   0; f (2) ; f (4)    0; m  ; m  17   1;4  1;4 TH1: TH2: max f ( x) �0 � m  3; m  17 (ko t / m)  1;4 max f ( x )  m  17 �3min f ( x )  3(m  3)  1;4  1;4 m �13 �m  17 �3( m  3) � ��۳ m 13 � � �m  �0 �m �3 max f ( x )   m �3min f ( x )  3(m  17) TH3:  1;4  1;4  m �3( m  17) m �13 � � � �� m � � m  17 �0 � �m �17 m �Z , m � 2020; 17  � 13; 2020 Vậy 17 nên m có 4002 giá trị 22 xy  x  y   xy x  y Khi P  xy  xy Ví dụ 7: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị của biểu thức x  y bằng A B C D ( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An) Hướng dẫn: -Đưa về hàm đặc trưng, rút một ẩn và thế vào biểu thức P rồi tìm gtln của P Bài giải:  xy � ( x  y )2 x  y  22 xy.(2  xy )  0, x, y  � xy  x y t t t Xét hàm số f (t )  t.2 (0  t  1), f '(t )   t.2 ln  0, t  22 xy  x  y  pt � f ( x  y )  f (2  xy ) � x  y   xy � x  2 y 0� y2 1 y Khi đó: P2 2 y 2 y 2 y  y  y y  y  g ( y ),  y  1 y 1 y 1 y y 1 � 8 y  y  � g '( y )  0� � (1  y )2 y   (l ) � Bảng biến thiên: y g'(y) + g(y) Pmax  Max g ( y )  � y  � x   0;1 Khi đó: 3x  y  (đáp án C) Ví dụ 8: Cho x, y là số thực thỏa mãn ln y �ln( x  2)  ln Tìm giá trị nhỏ nhất H  e4 y  x  x2  x2  y2  x( y  1)  y của biểu thức ( Đề kiểm tra chất lượng 2020 lần 2- Trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội) Hướng dẫn: - Đánh giá H đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm max Bài giải: ln y �ln( x۳3۳2) � ln 3� ln y ln( x 2) 3y x3 x3 3y 3( y  x) �x  x   ( x  1) ( x  2) �0, x   Khi đó: x2  y x2  y y 3 y  x H e   x( y  1)  y �e   xy  x  y 2 ( y  x)2 H �e y  x   ( y  x) t2 t H �e   t  f (t ) Đặt y  x  t , t �0 Ta có: y  x3  x  10 t f '(t ) �e t �1; � f ''(  t ) et 0, t H Vậy f '(t ) f '(0) 0, t �x  y �  Min f (t )  f (0)  � t  � �� x 1 0: �   �� x  2 �� (đáp án C) Ví dụ 9: Xét số thực dương a,b, x, y thỏa mãn a  1, b  ax  by   ab và 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x  y thuộc tập hợp nào dưới ? A �  B  6;10  C   D  4;6  ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai) Hướng dẫn: - Đánh giá P đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm Bài giải: � 10;15 1; Đặt loga b  t, doa  1, b  1� t  ax  by   ab � x2  loga(ab)2  2(1 loga b)  2(1 t) � x  2(1 t) 2 1 y2  logb(ab)2  2(1 logb a)  2(1 ) � y  2(1 ) t t 1 P  2 2(1 t)  2(1 )  1 t  2(1 )  f (t) t t f '(t)  1 t  t2 2(1 ) t  0� 2t t  t t  2t  0� t  Bảng biến thiên: t g'(t) g(t) Vậy � � - + � 6 1 � �x  Pmin  Min g (t )  g ( )   � t  � �  0;� 2 �y  log (đáp án B)  x  y  xy  xy   x  y   10 x  2y Giá Ví dụ 10: Xét sớ dương x, y thỏa mãn trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y thuộc tập hợp nào sau đây? A ( - 3;0) B ( 0;2) C ( 2;5) D ( 5;10) ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh) Hướng dẫn: - Đánh giá H đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm max 11 Bài giải:  x  y  xy  3xy   x  y   10 x  2y � log 3(3  x  y  xy )  3(3  x  y  xy )  log ( x  y )   x  y  log Xét hàm số f (t )  log t  t , t  � f '(t )    , t  t ln pt � f (3  x  y  xy )  f ( x  y )  4x 0�  x 3x  4 �  11 x �  4x 11 � P  x  g ( x) � g '( x )    �  4x (3  x) �  11 x � � Khi đó: �  x  y  xy  x  y � x  y  3xy  � y  Bảng biến thiên: x 4  11 3 g'(x) - + � g(x) 11 Pmin  Min g ( x)  g ( �3 � �; � �4 � Vậy  11 11  11 ) �x 3 (đáp án C) E GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SÔ Phương pháp: - Đặt ẩn phụ, đưa hàm đặc trưng - Cô lập m, xét hàm số rồi lập bảng biến thiên, suy giá trị m Ví dụ 11: Cho hàm sớ f ( x)  x  x  Có tất cả giá trị nguyên của tham f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  số m để phương trình có nghiệm x �[1; 2] ? A 1750 B 1748 C 1747 D 1746 ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai) Hướng dẫn: -Đưa về hàm số đặc trưng, cô lập m về hàm mới, xét tính đơn điệu của hàm số mới, rồi kết luận Bài giải: Ta có : f '( x)  3x   , x nên hàm số đồng biến R Đặt f ( x)  f ( x )  m  t 12 f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  � f (t )   x  x  � f (t )  f ( x) � t   x � f ( x)  f ( x)  m   x � m   x  f ( x)  f ( x)  g ( x ) (*) � g '( x)  3x  f ( x) f '( x)  f '( x)  , x �R 2 Bảng biến thiên: 1 x g'(x) - 1748 g(x) Để phương trình f   f ( x)  f ( x )  m   x  x  có nghiệm x �[1; 2] thì pt (*) có nghiệm x �[1; 2] � 1748 �m �1 ; m �Z � m � 1748, 1749,  2, 1, 0,1 Vậy có 1750 giá trị m   liên tục � và có đồ thị hình vẽ bên dưới Ví dụ 12: Cho hàm sớ Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình y f x f  sin x   m   2sin x có nghiệm tḥc khoảng  0;   Tổng phần tử của S bằng A B 1 C D ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai) Hướng dẫn: - Đặt ẩn phụ, đánh giá giá trị của ẩn phụ, xét tính đơn điệu của hàm sô tập mới, lập BBT và kết luận Bài giải: Đặt s inx  t , x � 0;   � t � 0;1 Phương trình f  sin x   m   2sin x trở thành f  t   m   2t � m  f (t )  2t   g (t ) (**) 13 g '(t )  f '(t )   ; t � 0;1 Xét Bảng biến thiên: t g'(t) - f (0)  g(t) f (1) Để phương trình f  sin x   m   2sin x t � 0;1 �f(1) ��� m � f (0)  � có nghiệm x �[1; 2] thì pt (**) có nghiệm m ; m Z m  1, 0,1, 2 �m (đáp án D) �x  x  m � log � � x  x   m x  x 1 � (m là tham sớ) Có � Ví dụ 13: Cho bất phương trình giá trị nguyên của m để bất phương trình cho nghiệm đúng với mọi x � 0;  ? A B C D ( Đề thi khảo sát lực 2020- Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú yên) Hướng dẫn: - Đưa về hàm đặc trưng, xét tính đơn điệu của hàm số đặc trưng rồi đưa về bất phương trình bậc 2, cô lập m, xét bảng biến thiên hàm từ đó dùng tính chất nghiệm đúng của pt để tìm đk của m Bài giải: �x  x  m � log � � x  x   m �x  x 1 � � log ( x  x  m)  ( x  x  m)  log (2 x  x  2)  (2 x  x  2) f (t )  log t  t , t  � f '(t )    , t  t ln Xét hàm số pt � f ( x  x  m)  f (2 x  x  2) , x �(0; 4) � m   x2  x �  x  x  m  x  x  , x �(0; 4) � � , x �(0; 4) m  x2  4x  � 2 Bảng biến thiên x x  2x 8 14 34 x2  x  Vậy bất phương trình cho nghiệm đúng với mọi x � 0;  m 1 � �� , m �Z � m � 2 m �2 � (đáp án B) Ví dụ 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục R và có đồ thị hình vẽ Hỏi có sớ ngun dương m m3 + 4m để phương trình f ( x) +1 = f ( x) + có nghiệm  phân biệt thuộc đoạn  A B C D ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh) Hướng dẫn: - Đặt ẩn phụ, đưa về hàm đặc trưng, xét tính đơn điệu của hàm số rồi dựa vào đồ thị kết luận 2;6 Bài giải: Đặt m + 4m f ( x) +1 f ( x)   t = f ( x) + � m3  4m  8t (t  1) � m3  4m  (2t )3  4(2t ) Xét hàm số f (t )  t  4t � f '(t )  3t   , t �R pt � f (m)  f (2t ) � m  2t � m  f ( x)  m  � 0� f ( x) m2  4 � m2  �f ( x )  � , m 2 � m 4 �f ( x )   � 2;6 Dựa vào đồ thị hàm sớ pt có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  � m2  � 0 �2  m �20 � � � �� �� 185 �  m �2 m2  � 13 �4  m � �  � 0 � � m �Z � m � 3, 4 (đáp án A) Ví dụ 15: Cho hàm sớ y = f (x) có bảng biến thiên sau 1 � x � 15 f'(x) + - + 16 f(x) 12 Hỏi có sớ ngun m để phương trình log ( f ( x) + m) + log = log ( f ( x)) có nghiệm phân biệt? A B C D ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh) Hướng dẫn: - Đưa về hàm mũ, xét tính đơn điệu của hàm số mới, lập BBT và kết luận Bài giải: Đặt Với Với Với log  f ( x)   t ; f ( x) � 0;16 � t � �;  f ( x) � 0;  � 16 � t � �;1 � 2 thì có mợt nghiệm x f ( x ) � 12;16  � 4 � t � log 12;  � 1 f ( x) � 4;12 � t � 1;log 12 thì có hai nghiệm x thì có ba nghiệm x log  f ( x)  m   log  log  f ( x)  � log  f ( x)  m   log  f ( x)   t �f ( x )  4t �� � 2m  6t  2.4t  g (t ) t 2( f ( x)  m)  � (***) t �6 � ln �2 ln �  2.4  g (t ) � g '(t )  ln  2.4 ln  � � � � t  log � � �4 � ln �ln � Xét t �2 ln � log � � log  12  �ln � � 1 g'(t) + t g(t) t t t log ( 12) - 2.4 log ( 12) 2 �2ln � log � � �ln �  2.4 �2ln � log � � �ln � Để pt cho có nghiệm phân biệt thì (***) có nghiệm thỏa mãn � t1 � 1;log 12  � t2 � log 12;  � 2m  2 � m  1 �� �� t2  �� (đáp án A) 16 Bài tập vận dụng: x  y 1  2 x   y  3 Bài 1: Cho số thực x , y thỏa mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức M  3x  y    x  y  1 27  x  y   x  y  148 A bằng 193 C B 76 D ( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 2- Trường THPT Đội Cấn, Vĩnh Phúc) Bài 2: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3x 3 m x  9476 243   x  x  24 x  m  3x 3  3x  có ba nghiệm phân biệt bằng A 38 B 34 C 27 ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Kỳ Lâm, Hà Tĩnh) D 45   có đồ thị Bài 3: Cho hàm số hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x F  x  f  x  f  x  A C B D ( Đề thi thử THPT QG lần 1,2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương) Bài 4: Cho hàm số f  x    x2  x  m  với m là tham sớ Có giá trị f  x   max f  x   10 [ 2;1] nguyên của tham số m cho [ 2;1] ? A B C ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh) Bài 5: Có giá trị nguyên của tham số y   x   m   x   m  4m  x  A m � 20; 20  D để hàm số 3;3 nghịch biến khoảng  ? B C 32 D 30 ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh) 17 Bài 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục R và có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên của tham số m để phương trình �m � f  sin x   f � � �2 �có 12 nghiệm phân biệt tḥc   ;2  là A C B D ( Đề thi thử THPT QG,2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Huệ, Hà Tĩnh) Bài 7: Cho số thực x, y, z  thỏa mãn xyz  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  log 32 x  log32 y  log32 z bằng 1 A 32 B C 16 D y  x3  mx  12 x  2m Bài 8: Có sớ ngun của tham sớ m để hàm số (1; � ) đồng biến khoảng A 18 B 19 C 21 D 20 2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp nhà trường Với sáng kiến kinh nghiệm đây, bản thân rút được bài học kinh nghiệm công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập dạng và phương pháp giải dạng bài tốn có sử dụng tính đơn điệu của hàm số chương trình thi THPT QG, thi TN THPT , thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì giáo viên cần phải hệ thống kiến thức trọng tâm và cách giải mợt sớ dạng bài tốn này chương trình giải tích 12 Đồng thời giáo viên phải là người tạo động để học sinh cùng tham gia giải quyết vấn đề đặt Sau cùng giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho em biết định hướng giải bài toán này Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động việc giảng dạy ôn tập cho học sinh khối 12 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ dạng bài tập sử dụng tính đơn điệu để giải, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinh phát triển tư và rèn lụn kỹ giải tốn Từ học sinh có nhìn toàn diện và tự tin tiếp cận dạng toán này Khả ứng dụng và triển khai: Sáng kiến được trình bày trước tổ chuyên môn và học sinh lớp 12 ba năm học khác nhau, ôn tập thi HSG cấp trường, cấp tỉnh, THPTQG dưới dạng chuyên đề Tôi triển khai áp dụng vào dạy lớp 12A2 ( năm học 2017-2018), 12C8 ( năm học 2018-2019), 12A1 ( năm học 18 2019-2020), và thu được kết quả tốt, đa số học sinh nắm bắt tốt chuyên đề, biết vận dụng vào giải loại bài tốn có sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp thích hợp và vận dụng sáng tạo cho mỡi bài tốn Sau áp dụng đề tài, cho làm bài kiểm tra 45 phút chương “Ứng dụng đạo hàm” Kết quả nâng lên rõ rệt, cụ thể: 9-10 7-8 5-6 3-4 0-2 Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A2 (2016 47 10,6 16 34,1 26 55,3 0 2017) 12C8 (2018 43 4,7 20,9 22 51,2 10 23,2 0 2019) 12A1 (2019 44 14 31,8 17 38,6 13 29,6 0 0 2020) - Cụ thể đối với bài vận dụng cao đề thi THPT QG năm 2017 lớp 12A2 có em đạt điểm, 15 em đạt điểm, năm 2018 lớp 12C8 (ban bản khới D thứ 2) có em đạt điểm Đối với đề thi giao lưu của trường Quảng Xương năm 2020 lần 2, lớp 12A1 có em đạt 10 điểm , em đạt 9,8 điểm Đối với đề khảo sát học kỳ của trường THPT Tĩnh gia ( ngày thi 3/7/2020) có 15 em đạt điểm em đạt 9,6 điểm, đa số em lớp 12A1 làm đúng câu vận dụng cao đề thi này - Đặc biệt kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2020, 44 học sinh 12A1 đạt kết quả tốt điểm sớ mơn Tốn Trong có em đạt 9,8 điểm, em đạt 9,6 điểm, và 29 em đạt điểm trở lên, trung bình điểm toán lớp 12 A1 đạt 9.01 góp phần nâng điểm TB TN 2020 mơn Tốn của trường Tĩnh gia lên 7.0 điểm Quan trọng có em Hồ Linh Giang đạt 29,1 điểm ( Tốn 9,6; Hóa 10, Sinh 9,5) được nhận bằng khen của chủ tịch Tỉnh Các em Lâm Anh Quân đạt 28,8 điểm ( Toán 9,8; Hóa 9,75, Lý 9,25), em Hoàng Bá Tâm đạt 28,3 điểm ( Tốn 9,8; Hóa 9,25, Lý 9,25), em Trần Khánh Lương đạt 28,05 điểm ( Tốn 9,8; Hóa 9, Lý 9,25) Em Nguyễn Thị Trang đạt 28,2 điểm ( Tốn 9,2; Hóa 9,75, Sinh 9,25) được nhận giấy khen của giám đốc sở Các em này hiện học trường Đại học Bách Khoa và Đại học Y Hà Nội, Y Huế 19 KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Với đề tài "Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giiar tích 12.'' giúp học sinh có hướng giải qút nhanh chính xác trước mợt sớ dạng bài tốn mức độ vận dụng cao chương trình Giải tích 12 Sau triển khai sáng kiến này vào dạy học ôn tập cho học sinh lớp 12 thấy mang lại hiệu quả học tốt Đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, bổ sung kinh nghiệm đề và giảng dạy phần “Ứng dụng đạo hàm” cho đồng nghiệp, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường Tuy nhiên với kinh nghiệm còn ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế nhất định Rất mong nhận được nhiều góp ý của Hợi đồng khoa học nhà trường THPT Tĩnh gia và Hợi đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa 3.2 Kiến nghị Với đề tài này triển khai trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN và lớp ban Cơ bản học theo khối, mang lại hiệu quả là rất tốt Vì vậy hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán nêu trên, và được đồng 20 nghiệp khai thác mở rộng nữa, là tài liệu tham khảo cho em học sinh lớp 12 trình học tập cũng ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia THPT hàng năm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 15 tháng năm 2021 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan là SKKN chính bản thân mình viết, không chép nội dung của người khác Lê Thị Dung TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) [2] Sách bài tập Giải tích 12 bản, NXB Giáo Dục, Vũ Tuấn (Chủ biên) [3] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) [4] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) [5] Đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 mơn Tốn trường THPT toàn quốc [6] Đề thi tham khảo, minh họa, chính thức THPT QG, tốt nghiệp THPT từ năm 2017 đến 2020 của bộ GD&ĐT 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNGKIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ CẤP C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Dung Chức vụ: Giáo viên, Chi ủy viên Chi bộ Đảng bộ THPT Tĩnh gia Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia TT Tên đề tài Cấp đánh Kết quả Năm học giá xếp loại đánh giá đánh giá xếp loại xếp loại Ứng dụng đạo hàm để giải phương Ngành GD C 2010-2011 trình, bất phương trình, hệ phương cấp tỉnh trình và hệ bất phương trình Sử dụng một số bất đẳng thức bản Ngành GD C 2014và đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và cấp tỉnh 2015 giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến bằng cách đưa hàm số một biến Phân loại cách viết phương trình mặt Ngành GD B 2015phẳng không gian tọa độ theo cấp tỉnh 2016 22 hướng phát triển tư từ dễ đến khó Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu phương pháp giải một số dạng bài tốn sớ phức Kỹ tḥt giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu thức chương trình toán 10 THPT Phân loại phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài tốn Tở hợp – Xác śt Ngành GD cấp tỉnh C 20162017 Ngành GD cấp tỉnh C 20172018 Hội Đồng KH SK tỉnh B 20172018 Ngành GD cấp tỉnh C 20182019 23 ... dùng tính đơn điệu hàm số để giải mợt số dạng tốn giải tích 12 tiết ơn tập: - Phân loại các dạng bài tập toán giải tích 12 có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số - Nêu cách... giải pháp Phương pháp chung: - Đưa các dạng toán về hàm số , hàm số đặc trưng, sử dụng tính đơn điệu để kết luận bài toán, hoặc đưa bảng biến thiên để giải quyết bài toán. .. vận dụng vào giải loại bài tốn có sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp thích hợp và vận dụng