Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Tác giả: Hoàng Thị Hiền Mã môn: 52 Năm học 2019 -2020 SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Tác giả: Hoàng Thị Hiền Mã môn: 52 Năm học 2019 -2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trình toán phổ thông, dạng bài toán: Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là các dạng bài toán đòi hỏi tư đới với học sinh THPT và thường gặp các đề thi đại học Nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán Giúp học sinh phát triển lực tư sáng tạo, lực tư thuật giải Đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông chọn đề tài: “Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” Tên sáng kiến: “Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” Tác giả sáng kiến: - Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Hiền - Địa tác giả: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại:01668804899 E_mail:Hien7376@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 10 năm 2019 Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Về nội dung của sáng kiến: CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phần I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Các phép biến đổi đồ thị a.Các phép tịnh tiến đồ thị Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với số thực a > ta có: • Hàm sớ có đờ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy lên a đơn vị • Hàm sớ có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy x́ng a đơn vị • Hàm số qua trái a đơn vị có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua phải a đơn vị b Các phép biến đổi đồ thị khác Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với sớ a > ta có: • Hàm sớ có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox • Hàm sớ có đờ thị (C’) là đới xứng của (C) qua trục Oy • Hàm sớ có đồ thị (C’) cách: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả những điểm nằm trục Oy) - Bỏ phần đồ thị của nằm bên trái trục Oy - Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua trục Oy • Hàm số có đồ thị (C’) cách: - Giữ ngun phần đờ thị (C) nằm phía trục Ox (cả những điểm nằm Ox) - Lấy đối xứng phần đờ thị (C) nằm phía trục Ox qua trục Ox - Bỏ phần đồ thị của (C) nằm trục Ox Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f (x) xác định tập hợp D và x0∈ D + x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn khoảng (a;b) chứa x cho (a;b) ⊂ D và + x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn khoảng (a;b) chứa x cho (a;b) ⊂ D và PHẦN II : NỘI DUNG DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số ba cách sau: ta có dùng một Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị Ta có Từ đồ thị suy đồ thị cách: + Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trục hoành (kể cả những điểm nằm phía trục hoành) + Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía trục hoành qua trục hoành + Bỏ phần đờ thị của (C) phía trục hoành Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau: Nhận xét 1: Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0, thì số điểm cực trị của hàm số bằng k + h + e Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu điểm tới hạn hàm số y = f(x) hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh bổ đề: điểm tới hạn + Ta có + Theo giả thiết, là điểm tới hạn của hàm số nên xác định và không xác định +) Ta có Vì xác định Vậy xác định nên xác định (*) + Ta có Vì không xác định Vậy không xác định nên không xác định.(**) Từ (*), (**) suy là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh nhận xét Thật vậy + Theo giả thiết, y = f(x) có k điểm cực trị nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k (*) + Theo giả thiết, h là số nghiệm đơn của phương trình bội lẻ của phương trình + có m nghiệm đơn, n ; e là số nghiệm (**) ; Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị của hàm số k + h + e Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số của hàm số y = f(x) Thật vậy bằng số điểm cực trị +) Theo giả thiết y = f(x) có k điểm cực trị có m nghiệm đơn, n nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k Giả sử các nghiệm đó là +) có ; có k giá trị (gồm nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, điểm tới hạn) Vậy cực trị Hay số điểm cực trị của hàm số y = f(x) 1.1.Bài toán bản: “Cho hàm số có k điểm số điểm cực trị của hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số ” Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C) hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) của hàm số Cách 1: (theo phép suy đồ thị ) Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số có điểm cực trị Cách 2: + Hàm số y = f(x) có điểm cực trị + Phương trình f(x) = có nghiệm đơn + Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ Vậy số điểm cực trị của hàm số Bài : Cho hàm số + + = có đồ thị (C) hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải Cách 1: Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) của hàm số Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có điểm cực trị Cách 2: + Hàm số y = f(x) có điểm cực trị Phương trình f(x) = có nghiệm đơn Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ Vậy số điểm cực trị của hàm số Bài 3: Cho hàm số + + = x -1 có bảng biến thiên y’ y + hình vẽ Đồ thị hàm số có điểm cực trị? Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị + Phương trình f(x) = có nghiệm đơn + Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ - + Vậy số điểm cực trị của hàm số + + = Bài 4: Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số có điểm cực trị ? x y’ y -1 - 0 + - + Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị + Phương trình f(x) = có nghiệm đơn (Phương trình f(x) = có nghiệm bội chẵn) + Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ Vậy số điểm cực trị của hàm số Bài 5: Hàm số Lời giải Xét là + + = có điểm cực trị? có + x y’ y - + - -1 + Hàm số -1 có điểm cực trị + Phương trình có nghiệm đơn + Phương trình có nghiệm bội lẻ Suy số điểm cực trị của hàm số Bài là + + = 6: Tính tởng các giá trị cực đại của hàm số Lời giải Xét có x y’ y - + -6 + Hàm số - -6 có điểm cực trị + Phương trình có nghiệm đơn + Phương trình có nghiệm bội lẻ Suy ra, số điểm cực trị của hàm số Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A( Tổng các giá trị cực đại của hàm số Bài 7: Biết đồ thị hàm số Hàm số -2 là ;6), B( ;6) là 12 cắt trục hoành điểm có điểm cực trị? Lời giải + Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm nên cứ vào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số + Mặt có hai điểm cực trị khác Do đó phương trình có nghiệm đơn và nghiệm kép Vậy số điểm cực trị của hàm số Bài + = 8: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành Sớ điểm cực trị của hàm số Lời giải Đồ thị hàm số hoành nên có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục có nghiệm đơn Vậy số điểm cực trị của hàm số là + =5 Bài 9: Cho hàm số với Hàm số có điểm cực trị? Lời giải Theo giả thiết ta có Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình để có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số phải có điểm cực trị Vì vậy, hàm số có + = điểm cực trị 10 Do đồ thị hàm số số nằm hoàn toàn bên trục hoành nên đờ thị hàm là đờ thị của hàm số Khi đó số điểm cực là trị của hàm số ( ) có đồ thị hình vẽ Tìm tất Bài 8: Cho hàm số cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= f x có điểm cực trị Lời giải Vì hàm trị cho có điểm cực trị nên Để hàm số có điểm cực trị có điểm cực số giao điểm của đồ thị với trục hoành là Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3, có trường hợp xảy Tịnh tiến đồ thị đơn vị theo phương Oy x́ng phía đoạn có độ dài nhỏ Tịnh tiến đồ thị đơn vị theo phương Oy lên đoạn có độ dài nhỏ Vậy Bài 9: Cho hàm số thoả mãn Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải 21 Xét , ta có Do đó đồ thị hàm số số cắt trục hoành ba điểm phân biệt và suy hàm có hai điểm cực trị Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG Câu 1: Đồ thị hàm số A B là + = có điểm cực trị? C D Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số A B là: C Câu 3: Cho hàm số xác định xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số A D và liên tục từng khoảng có điểm cực trị? B Câu 4: Cho đồ thị của hàm số C D hình vẽ 22 Số cực trị của đồ thị hàm số A là: B C D Câu 5: Cho đồ thị của hàm số hình vẽ Số cực trị của đồ thị hàm số A B là: Câu C D 6: Cho hàm số bậc ba với và A , Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số B C Câu 7: Cho hàm số trị của hàm số A , biết với D , và là: B C Số cực D Câu 8: Cho hàm số , với m là tham số Tìm số cực trị của hàm số A B Câu 9: Có số nguyên điểm cực trị A 12 B 15 C D để hàm số C.16 có D 17 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số cách sau: ta dùng một ba Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số 23 Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị: Từ đồ thị suy đồ thị Cách 3: Để giải các bài toán ta vận dụng nhận xét sau: Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số trị của hàm số Thật vậy thì số điểm cực bằng 2k + + Theo giả thiết k là số điểm cực trị dương của hàm số nghiệm dương có k + Vì đồ thị nghiệm âm có k và đồ thị đối xứng qua Oy + Vì đồ thị hàm số và đồ thị hàm số Oy nên f’(x) đổi dấu qua điểm x = Vậy số điểm cực trị của hàm số 2.1 Bài toán bản đối xứng qua trục 2k + “Cho đồ thị của hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số Bài 1: Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ bên có điểm cực trị? Lời giải 24 Cách 1: + Từ đồ thị hàm số ta suy đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị hàm số có cực trị Cách 2: + Hàm số + Vậy hàm số Bài có điểm cực trị dương có 3.2 + = điểm cực trị 2: Cho hàm số xác định và liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số x -2 y’ + y - f(-2) + - f(4) f(1) Lời giải Hàm số có hai điểm cực trị dương, suy số điểm cực trị của hàm số 2.2 + = Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là với Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải Ta có Vì cực trị có nghiệm bội lẻ (x = -3 và x = 2) nên hàm số y = f(x) có điểm Hàm số y = f(x) có điểm cực trị dương nên cực trị có 2.1 + = điểm 25 Bài 4: Có số nguyên để hàm số có điểm cực trị Lời giải Hàm số có điểm cực trị có hai điểm cực trị dương có hai nghiệm dương có hai nghiệm dương (vì 2.2 Bài toán mở rộng ) “Cho đồ thị của hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số Bài 1: Cho hàm số Hàm số Lời giải có đồ thị hình vẽ bên có điểm cực trị? Cách 1: + Từ đồ thị của hàm số suy đồ thị hàm số Nhìn đồ thị ta thấy,hàm số có điểm cực trị Cách 2: 26 Bảng xét dấu g’(x) x -a+1 -1 y’ + - + || Vậy đồ thị hàm số cho có điểm cực trị Bài 4: Cho hàm số đa thức bậc bốn có điểm cực trị Có số nguyên Lời giải Hàm số + a+1 để hàm số có cực trị Các điểm cực trị của hàm số - + có điểm cực trị có điểm cực trị lớn -m là Vậy ta có điều kiện là 2.3 Bài toán mở rộng “Cho đồ thị của hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số Bài 1: Cho hàm số Đồ thị hàm số Lời giải Cách 1: + Từ đồ thị hàm số có đồ thị hình bên có điểm cực trị ? suy đồ thị hàm số 27 + Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số Nhìn đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số có điểm cực trị Cách 2: Dựa vào nhận xét 2: Từ đồ thị ta thấy hàm số dương nên hàm số có điểm cực trị có điểm cực trị Suy hàm số thay đổi cực trị) có điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm Bài 2: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số Lời giải có điểm cực trị ? Từ đồ thị suy đồ thị cách: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số ở bên phải trục tung (kể cả những điểm nằm trục tung) + Bỏ phần đồ thị hàm số ở bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số trục tung Từ đồ thị suy đồ thị Tịnh tiến đồ thị hàm số ở bên phải trục tung qua cách: theo phương trục Ox sang phải đơn vị 28 Dựa vào đồ thị, suy hàm số Bài 3: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số Lời giải Cách 1: có điểm cực trị có điểm cực trị ? Xét hàm số Ta có Ta có g’(x) không xác định Bảng biến thiên x g’ g - + || -2 - -3 Dựa vào BBT của hàm số Bài : Cho hàm số + -3 ta thấy hàm số có điểm cực trị liên tục và có bảng xét dấu hình vẽ: x f’ f + f(0) - + f(2) Hàm số có điểm cực trị? Lời giải 29 Bảng xét dấu g’(x) x g’ + || Vậy hàm số cho có điểm cực trị 2.4 Bài toán mở rộng + “Cho đồ thị của hàm số - + Hỏi số điểm cực trị của hàm số Bài 1: Cho hàm số hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số Lời giải y = f ( x) xác định, liên tục ¡ và có bảng biến thiên g ( x) = f ( x ) có nhiều nhất điểm cực trị ? - Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa điểm có hoành độ dương Khi đó f x - Đồ thị hàm số ( ) cắt trục hoành tối đa điểm f x - Hàm số ( ) có điểm cực trị g( x) = f ( x ) - Suy hàm số sẽ có tối đa điểm cực trị Bài 2: Biết phương trình phân biệt Hỏi đồ thị hàm số Lời giải: có hai nghiệm thực dương có điểm cực trị? 30 Vì phương trình có hai nghiệm thực dương phân biệt nên đồ thị hàm số phải cắt hai điểm có hoành độ dương Trong đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là hai điểm đó Bằng phép suy đồ thị ta có đồ thị hàm số có dạng hình vẽ bên Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số có điểm cực trị Bài 3: Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và B(2; -1) làm hai điểm cực trị Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số Lời giải Hàm số có điểm cực trị dương x = nên đồ thị hàm số có điểm cực trị Đó là A(0;3), B(2; -1) và C(-2;-1) (Điểm A ở trục hoành, điểm B, C ở trục hoành) Suy hàm số BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG Câu 1: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số A B Câu 2: Cho hàm số Đồ thị hàm số trị ? A.2 có điểm cực trị y = f ( x) là: C có đồ thị hình bên h ( x ) = f ( x ) + 2018 B.3 D có điểm cực C.5 D.7 31 Câu 3: Số cực trị của hàm số A B C Câu 4: Đồ thị hàm số A B y = f ( x) Câu 5: Cho hàm số của hàm số A C có đạo hàm là: D có điểm cực trị? D f ′ ( x ) = x ( x + 2) (x + 4) Số điểm cực trị y= f ( x) là B Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) C D.1 −∞;0 ) xác định và liên tục các khoảng ( , ( 0; + ∞ ) và có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số A có cực trị? B C D Câu 7: Cho hàm số m để hàm số A Tìm tất cả các giá trị của có cực trị? B C D f ′ x = x + 1) Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ( ) ( (x + m − 3m − ) ( x + 3) với x ∈ ¡ Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x) = f ( x ) A.3 có điểm cực trị? B.4 C.5 D.6 Câu 9: Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cực đại điểm nào? A.3 B.4 C.5 D.6 Câu 10: Cho hàm số bậc ba đạt có đồ thị nhận hai điểm 32 A(-1;4) và B(3; 2) làm hai điểm cực trị Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số A.3 B.4 C.5 D.6 CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích, nội dung và tổ chức thực nghiệm Tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm tra tính khả thi, tính hiệu quả của việc dạy học được trình bày ở chương II Đối tượng là hai lớp đại trà 12A4 và 12A5 của Trường THPT Nguyễn Thái Học Lực học của học sinh ở hai lớp là tương đương Mỗi lớp có 36 học sinh Tôi chọn lớp 12A5 là lớp thực nghiệm, 12A4 là lớp đối chứng Kết quả thực nghiệm Tôi vận dụng sớ phương pháp dạy học tích cực vào giảng dạy nội dụng này Tôi nhận thấy học sinh có đủ khả tiếp nhận, nắm vững nội dung kiến thức Học sinh vận dụng kiến thức linh hoạt, nhạy bén Học sinh hứng thú, tích cực, chủ động vận dụng phương pháp vào giải bài toán Tôi nhận được những phản hồi từ học sinh rằng: vận dụng phương pháp trên, dễ phát hiện hướng giải bài toán, lời giải ngắn gọn, các phép toán đơn giản so với giải các phương pháp khác Sau dạy dạy nội dung này, cho học sinh làm bài kiểm tra Kết quả kiểm tra Điểm 10 Lớp 12A4 4 10 12A5 10 6 Số bài 36 36 Nhận xét: Nhìn vào bảng ta thấy học sinh ở lớp 12A5 có kết quả cao Trong bài kiểm tra học sinh ở lớp 12A5 trình bày ngắn gọn, lôgic bộc lộ khả nắm vững kiến thức tính sáng tạo của tư học sinh lớp 12A4 KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm của thu được các kết quả sau: 33 Tôi phân loại các dạng bài tập, rút phương pháp giải cho từng loại Với mỗi dạng bài tập, lựa chọn các bài tập nhằm rèn luyện cho học sinh lớp 12 THPT kỹ giải bài toán Làm rõ được tầm quan trọng của giải bài toán việc phát triển lực tư thuật giải, lực tư sáng tạo cho học sinh Phương pháp giải bài toán đưa đều viết dạng các thuật toán với các bước giải rõ ràng Đặc biệt là dễ nhớ Với cách đó có thể giúp cho học sinh định hướng tốt các bước giải và trình bày lời giải rõ ràng Trình bày lời giải số bài toán theo hai phương pháp giúp cho học sinh trở nên tự tin, linh hoạt việc định hướng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán Tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu cho thấy tính đắn, hiệu quả, khả thi của bài viết 7.2 Về khả áp dụng của sáng kiến: Bài viết có thể áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi THQG Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Không có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh nắm vững lí thút hàm sớ 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có thể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có thể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: +) Giúp học sinh phát triển tư lôgic, sáng tạo, thuật giải, Tạo được tính tự tin, niềm say mê học tập +) Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và kết quả học tập, và rèn luyện của học sinh 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có thể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: Tôi nhận được những phản hồi từ học sinh rằng: Vận dụng phương pháp trên, dễ phát hiện hướng giải bài toán, lời giải ngắn gọn, các phép toán đơn giản so với giải các phương pháp khác 34 11 Danh sách tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ TT chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lớp 12A4 Trường THPT Nguyễn Thái Học Giảng dạy cho học sinh lớp 12 THPT Lớp 12A5 Trường THPT Nguyễn Thái Học Trường THPT Nguyễn Thái Học Vĩnh Yên, ngày tháng 02 năm2020 Vĩnh Yên, ngày 25 tháng 02 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Hoàng Thị Hiền 35 ... Suy ra, hàm số có + = điểm cực trị + Vì số điểm cực trị của hàm số nên hàm số số điểm cực trị của hàm số có điểm cực trị Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số có... thị hàm số ta thấy: Hàm số Hàm số Hàm số có điểm cực trị dương có 2.2 + = điểm cực trị có điểm cực trị với m Vậy có vô số giá trị m để hàm số có điểm cực trị 15 1.3 Bài. .. điểm cực trị của đồ thị hàm số B C Câu 7: Cho hàm số trị của hàm số A , biết với D , và là: B C Số cực D Câu 8: Cho hàm số , với m là tham số Tìm số cực trị của hàm số