BÀI TOÁN cực TRỊ CỦA HÀM số CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối

Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có: • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy lên trên a đơn vị. • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy xuống dưới a đơn vị. • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua trái a đơn vị. • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua phải a đơn vị.

CHUYÊN ĐÊ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12 Dự kiến số tiết bồi dưỡng: tiết (5 ca) BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phần I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Các phép biến đổi đồ thi a.Các phép tinh tiến đồ thi Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với số thực a > ta có: • Hàm số có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương trục Oy lên a đơn vị • Hàm số có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương trục Oy xuống a đơn vị • Hàm số qua trái a đơn vị có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương trục Ox • Hàm số có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương trục Ox qua phải a đơn vị b Các phép biến đổi đồ thi khác Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với số a > ta có: • Hàm số có đồ thị (C’) đối xứng (C) qua trục Ox • Hàm số có đồ thị (C’) đối xứng (C) qua trục Oy • Hàm số có đồ thị (C’) cách: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả điểm nằm trục Oy) - Bỏ phần đồ thị nằm bên trái trục Oy - Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua trục Oy • Hàm số có đồ thị (C’) cách: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox (cả điểm nằm Ox) - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox qua trục Ox - Bỏ phần đồ thị (C) nằm trục Ox Khái niệm cực tri hàm số Giả sử hàm số f (x) xác định tập hợp D x0∈ D + x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) tồn khoảng (a;b) chứa x cho (a;b) ⊂ D + x0 điểm cực đại hàm số f(x) tồn khoảng (a;b) chứa x cho (a;b) ⊂ D PHẦN II : NỘI DUNG DẠNG 1: Các toán cực tri hàm số Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số ba cách sau: ta có dùng một Cách 1: Lập bảng biến thiên hàm số Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thi Ta có Từ đồ thị suy đồ thị cách: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trục hồnh (kể cả điểm nằm phía trục hồnh) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở phía trục hoành qua trục hoành + Bỏ phần đồ thị (C) phía trục hồnh Cách 3: Sử dụng kết quả nhận xét sau: Nhận xét 1: Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0, thì số điểm cực trị của hàm số bằng k + h + e Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu điểm tới hạn hàm số y = f(x) hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh bổ đề: + Ta có điểm tới hạn + Theo giả thiết, điểm tới hạn hàm số nên xác định khơng xác định +) Ta có Vì xác định Vậy xác định nên xác định (*) + Ta có Vì khơng xác định Vậy khơng xác định nên không xác định.(**) Từ (*), (**) suy điểm tới hạn hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh nhận xét Thật + Theo giả thiết, y = f(x) có k điểm cực trị có m nghiệm đơn, n nghiệm bội lẻ f(x) có t điểm tới hạn với m + n + t = k (*) + Theo giả thiết, h số nghiệm đơn phương trình bội lẻ phương trình + ; e số nghiệm (**) ; Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị hàm số k + h + e Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số của hàm số y = f(x) Thật bằng số điểm cực trị +) Theo giả thiết y = f(x) có k điểm cực trị có m nghiệm đơn, n nghiệm bội lẻ t điểm tới hạn mà m + n + t = k Giả sử nghiệm +) có ; có k giá trị (gồm nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, điểm tới hạn) Vậy cực trị Hay số điểm cực trị hàm số y = f(x) 1.1.Bài toán bản: “Cho hàm số số điểm cực trị hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số ” Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C) hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số Lời giải Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) hàm số Cách 1: (theo phép suy đồ thị ) Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số có điểm cực trị Cách 2: + Hàm số y = f(x) có điểm cực trị + Phương trình f(x) = có nghiệm đơn + Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ Vậy số điểm cực trị hàm số có k điểm 2+3+0 = Bài : Cho hàm số có đồ thị (C) hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số Lời giải Cách 1: Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) hàm số Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có điểm cực trị Cách 2: + Hàm số y = f(x) có điểm cực trị Phương trình f(x) = có nghiệm đơn Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ Vậy số điểm cực trị hàm số Bài 3: Cho hàm số + + = x -1 có bảng biến thiên y’ y + hình vẽ Đồ thị hàm số có điểm cực trị? Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị + Phương trình f(x) = có nghiệm đơn + Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ - + Vậy số điểm cực trị hàm số + + = Bài 4: Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số có điểm cực trị ? x y’ y -1 - 0 + 0 - + Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị + Phương trình f(x) = có nghiệm đơn (Phương trình f(x) = có nghiệm bội chẵn) + Phương trình f(x) = có nghiệm bội lẻ Vậy số điểm cực trị hàm số + + = Bài 5: Hàm số Lời giải Xét + có điểm cực trị? có x y’ y - + - -1 + Hàm số -1 có điểm cực trị + Phương trình có nghiệm đơn + Phương trình có nghiệm bội lẻ Suy số điểm cực trị hàm số Bài + + = 6: Tính tổng giá trị cực đại hàm số Lời giải Xét có x y’ y - + -6 + Hàm số có nghiệm đơn + Phương trình có nghiệm bội lẻ Suy ra, số điểm cực trị hàm số - -6 có điểm cực trị + Phương trình Các điểm cực đại đồ thị hàm số A( ;6), B( Tổng giá trị cực đại hàm số 12 Bài 7: Biết đồ thị hàm số Hàm số ;6) cắt trục hồnh đúng điểm có điểm cực trị? Lời giải + Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành đúng điểm nên hàm số có hai điểm cực trị + Mặt khác Do phương trình có nghiệm đơn nghiệm kép Vậy số điểm cực trị hàm số Bài 8: Biết đồ thị hàm số + = có hai điểm cực trị nằm hai phía so với trục hồnh Số điểm cực trị hàm số Lời giải Đồ thị hàm số hồnh nên có hai điểm cực trị nằm hai phía so với trục có nghiệm đơn Vậy số điểm cực trị hàm số Bài 9: Cho hàm số + =5 với Hàm số có điểm cực trị? Lời giải Theo giả thiết ta có để Điều chứng tỏ rằng, phương trình có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số phải có điểm cực trị Vì vậy, hàm số có + = điểm cực trị Bài 10: Tính tổng giá trị tham số m để hàm số y = x − 3x − x − + m có điểm cực trị Lời giải Vẽ đồ thị hàm số Ta thấy hàm số Yêu cầu toán f ( x ) = x − 3x − x − có điểm cực trị nên Û số giao điểm đồ thị Để số giao điểm đồ thị thị có điểm cực trị với trục hoành với trục hoành ta cần tịnh tiến đồ theo phương Oy lên đoạn có độ dài nhỏ 32 đơn vị Vì tham số m 2016 nên Vậy tổng giá trị Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019) Tìm tất cả giá trị thực tham số để hàm số có đúng năm điểm cực trị Lời giải Xét hàm số Bảng biến thiên hàm số x y’ y 0 m-2 m-6 Hàm số cho có đúng điểm cực trị phương trình f(x) = có đúng nghiệm phân biệt Vậy với hàm số cho có đúng điểm cực trị Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 Bợ GD&ĐT) Có giá trị nguyên tham số có điểm cực trị? Lời giải Xét hàm số để hàm số có Lập BBT đồ thị hàm số x y’ y ta có -1 - m-5 Để đồ thị hàm số có đúng nghiệm phân biệt: + m - + m-32 có điểm cực trị phương trình f(x) = + Phương trình có nghiệm đơn + Phương trình có nghiệm bội lẻ Vậy hàm số có + = điểm cực trị Bài 6: Cho hàm số biết số điểm cực trị đồ thị hàm số Lời giải Tìm Cách 1: Đặt + Từ giả thiết đồ thị hàm số h(x) có điểm cực trị + Ta có phương trình thuộc khoảng có nghiệm có nghiệm phân biệt (dáng điệu hàm trùng phương) Vậy hàm số có điểm cực trị Cách 2:Với tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau: Chọn Vẽ phác họa đồ thị hàm số , ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị Bài 7: Cho hàm số thực Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số Lời giải với m tham số Cách 1: Ta có: Suy + ; có nghiệm đơn phân biệt hàm số với m (hay có điểm cực trị) + vơ nghiệm Vậy hàm số có cực trị Cách 2: (Trong trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa toán) Ta tìm số điểm cực Ta cho m = 0, ta hàm số trị hàm số x =  ⇔ x = f ( x ) − = x − x + 16 ⇒ g ′ ( x ) = x3 − x g ′ ( x ) = ⇔ x3 − x =  x = − Đặt ; Bảng biến thiên x g’ g - + 12 Do đồ thị hàm số số trị hàm số 16 - + 12 nằm hoàn toàn bên trục hồnh nên đồ thị hàm đồ thị hàm số Khi số điểm cực Bài 8: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất cả giá trị thực tham số m để hàm số có điểm cực trị Lời giải Vì hàm cho có điểm cực trị nên có điểm cực trị Để hàm số có điểm cực trị số giao điểm đồ thị với trục hoành Để số giao điểm đồ thị Tịnh tiến đồ thị với trục hoành 3, có trường hợp xảy theo phương Oy xuống phía đoạn có độ dài nhỏ đơn vị Tịnh tiến đồ thị theo phương Oy lên đoạn có độ dài nhỏ đơn vị Vậy Bài 9: Cho hàm số thoả mãn Tìm số điểm cực trị hàm số Lời giải Xét , ta có Do đồ thị hàm số số cắt trục hoành ba điểm phân biệt suy hàm có hai điểm cực trị Vậy số điểm cực trị đồ thị hàm số + = BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG Câu 1: Đồ thị hàm số A có điểm cực trị? B C D Câu 2: Số điểm cực trị hàm số A là: B C Câu 3: Cho hàm số xác định xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số A D liên tục từng khoảng có điểm cực trị? B Câu 4: Cho đồ thị hàm số Số cực trị đồ thị hàm số C hình vẽ là: D A B C Câu 5: Cho đồ thị hàm số đồ thị hàm số A Câu D hình vẽ Số cực trị là: B C D 6: Cho hàm số bậc ba với A A , Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số B C Câu 7: Cho hàm số trị hàm số , biết với D , Số cực là: B C D Câu 8: Cho hàm số , với m tham số Tìm số cực trị hàm số A B Câu 9: Có số nguyên C D để hàm số có đúng điểm cực trị A 12 B 15 C.16 D 17 DẠNG 2: Các toán cực tri hàm số Để giải quyết các bài toán cực tri hàm số cách sau: Cách 1: Lập bảng biến thiên hàm số ta dùng một ba Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thi: Từ đồ thị suy đồ thị Cách 3: Để giải các toán ta vận dụng nhận xét sau: Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số trị của hàm số thì số điểm cực bằng 2k + Thật vậy + Theo giả thiết k số điểm cực trị dương hàm số có k nghiệm dương + Vì đồ thị đồ thị đối xứng qua Oy có k nghiệm âm + Vì đồ thị hàm số đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy nên f’(x) đổi dấu qua điểm x = Vậy số điểm cực trị hàm số 2.1 Bài toán bản 2k + “Cho đồ thị của hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số Bài 1: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số có điểm cực trị? Lời giải Cách 1: + Từ đồ thịhàm số ta suy đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị hàm số có cực trị Cách 2: + Hàm số có điểm cực trị dương + Theo cách giải 3, hàm số Bài 2: Cho hàm số có 3.2 + = 7điểm cực trị xác định liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số x -2 y’ + y - + f(-2) - f(4) f(1) Lời giải Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung Theo cách giải 3, suy số điểm cực trị hàm số Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm 2.2 + = với Tìm số điểm cực trị hàm số Lời giải Ta có Vì có nghiệm bội lẻ (x = -3 x = 2) nên hàm số y = f(x) có điểm cực trị Hàm số y = f(x) có điểm cực trị dương nên có điểm cực trị Bài 4: Có số nguyên để hàm số có đúng điểm cực trị Lời giải Hàm số có đúng điểm cực trị có hai điểm cực trị dương có hai nghiệm dương có hai nghiệm dương 2.2 Bài toán mở rợng “Cho đồ thị của hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số Bài 1: Cho hàm số Hàm số Lời giải có đồ thị hình vẽ bên có điểm cực trị? Cách 1: + Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số Nhìn đồ thị ta thấy,hàm số Cách 2: có điểm cực trị Bảng xét dấu g’(x) x -a+1 -1 y’ + - + || Vậy đồ thị hàm số cho có điểm cực trị Bài 4: Cho hàm số đa thức bậc bốn có điểm cực trị Có số nguyên để hàm số + a+1 - + có điểm cực trị Lời giải Hàm số có cực trị Các điểm cực trị hàm số có điểm cực trị lớn -m Vậy ta có điều kiện 2.3 Bài toán mở rộng của hàm số “Cho đồ thị của hàm số Hỏi số điểm cực trị Bài 1: Cho hàm số có đồ thị hình bên Đồ thị hàm số Lời giải Cách 1: có điểm cực trị ? + Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số + Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số Nhìn đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số có điểm cực trị Cách 2: Dựa vào nhận xét 2: Từ đồ thị ta thấy hàm số dương nên hàm số có điểm cực trị có điểm cực trị Suy hàm số thay đổi cực trị) có điểm cực trị (vì phép tịnh tiến khơng làm Bài 2: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số có điểm cực trị ? Lời giải Từ đồ thị suy đồ thị cách: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số ở bên phải trục tung (kể cả điểm nằm trục tung) + Bỏ phần đồ thị hàm số ở bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số trục tung Từ đồ thị suy đồ thị Tịnh tiến đồ thị hàm số ở bên phải trục tung qua cách: theo phương trục Ox sang phải đơn vị Dựa vào đồ thị, suy hàm số Bài 3: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số Lời giải Cách 1: có điểm cực trị có điểm cực trị ? Xét hàm số Ta có Ta có g’(x) khơng xác định Bảng biến thiên x g’ g - + || -2 - -3 ta thấy hàm số có điểm cực trị liên tục có bảng xét dấu hình vẽ: x f’ f + -3 Dựa vào BBT hàm số Bài : Cho hàm số + f(0) - f(2) Hàm số Lời giải có điểm cực trị? + Bảng xét dấu g’(x) x g’ + || Vậy hàm số cho có điểm cực trị 2.4 Bài toán mở rộng của hàm số Bài 1: Cho hàm số hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số + “Cho đồ thị của hàm số y = f ( x) - + Hỏi số điểm cực trị xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên g ( x) = f ( x ) có nhiều điểm cực trị ? Lời giải - Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa điểm có hồnh độ dương Khi f x - Đồ thị hàm số ( ) cắt trục hoành tối đa điểm f x - Hàm số ( ) có điểm cực trị - Suy hàm số g( x) = f ( x ) sẽ có tối đa điểm cực trị Bài 2: Biết phương trình phân biệt Hỏi đồ thị hàm số có đúng hai nghiệm thực dương có điểm cực trị? Lời giải: Vì phương trình có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt nên đồ thị hàm số phải cắt đúng hai điểm có hồnh độ dương Trong điểm cực đại đồ thị hàm số hai điểm Bằng phép suy đồ thị ta có đồ thị hàm số có dạng hình vẽ bên Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số có điểm cực trị Bài 3: Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) B(2; -1) làm hai điểm cực trị Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số Lời giải Hàm số có điểm cực trị dương x = nên đồ thị hàm số có điểm cực trị Đó A(0;3), B(2; -1) C(-2;-1) (Điểm A ở trục hoành, điểm B, C ở trục hoành) Suy hàm số BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG Câu 1: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số A B Câu 2: Cho hàm số Đồ thị hàm số ? A.2 có điểm cực trị y = f ( x) là: C có đồ thị hình bên h ( x ) = f ( x ) + 2018 B.3 Câu 3: Số cực trị hàm số D có điểm cực trị C.5 D.7 là: A B C Câu 4: Đồ thị hàm số A hàm số có điểm cực trị? B y = f ( x) Câu 5: Cho hàm số y= f ( x) A D C có đạo hàm D f ′ ( x ) = x ( x + 2) (x + 4) Số điểm cực trị B C D.1 Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( −∞;0 ) , ( 0; + ∞ ) có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số A có cực trị? B C D Câu 7: Cho hàm số m để hàm số A Tìm tất cả giá trị có cực trị? B C D f ′ x = x + 1) Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ( ) ( (x + m − 3m − ) ( x + 3) với x ∈ ¡ Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g ( x) = f ( x ) A.3 có điểm cực trị? B.4 C.5 D.6 Câu 9: Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số đạt cực đại điểm nào? A.3 B.4 C.5 D.6 Câu 10: Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm ) làm hai điểm cực trị Khi số điểm cực trị đồ thị hàm A(-1;4) B(3; số A.3 B.4 C.5 D.6 ... là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0, thì số điểm cực trị của hàm số. .. đồ thị Cách 3: Để giải các toán ta vận dụng nhận xét sau: Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số trị của hàm số thì số điểm cực bằng 2k + Thật vậy + Theo... ta có số điểm cực trị hàm số k + h + e Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số của hàm số y = f(x) Thật bằng số điểm cực trị +) Theo giả thiết y = f(x) có k điểm cực trị có