Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau: Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi THPTQG, đồng thời cùng dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn. Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh. Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm thi THPTQG
Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Chuyên đề: “BÀI TOÁN VỀ TRỊ CỦA HÀM SỚ TRONG ƠN THI THPTQG.” Mơn: Tốn Tổ : Tốn – Tin – Cơng nghê Người thực hiên: Phạm Văn Minh Điên thoại: 036.817.9181 Email: phamvanminh.gvbinhson@vinhphuc.edu.vn Trường THPT Bình Sơn Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG A.PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong trình tìm tịi, nghiên cứu để viết chun đề tơi lựa chọn viết chuyên đề lý sau: - Bài tốn cực trị mợt những tốn liên quan đến khảo sát hàm sớ, một những nội dung quan trọng ôn thi THPTQG cho học sinh - Học sinh vẫn gặp khó khăn xác định cực trị, số cực trị của hàm số - Tạo một tài liệu dùng cho việc dạy học ôn thi THPTQG đạt hiệu quả tớt nhất II.MỤC ĐÍCH Chun đề viết nhằm đạt mục đích sau: - Chuyên đề tài liệu dạy học việc ôn thi THPTQG, đồng thời cùng dùng việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn - Chuyên đề nhằm phát triển rèn luyện tư hàm cho học sinh - Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao điểm thi THPTQG III.ĐỚI TƯỢNG HỌC SINH - Đới tượng dạy học của chuyên đề học sinh lớp 12A của trường THPT Bình Sơn IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ - Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề : tiết B.NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Điểm tới hạn hàm số Điểm x0 gọi điểm tới hạn của hàm số f ( x) nó thuộc tập xác định của f ( x ) f '( x0 ) = hoặc f '( x0 ) không xác định Chú ý: Trên khoảng phân chia hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm hàm số giữ nguyên dấu Cực trị hàm số 2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định tập D, x0 ∈ D Trường THPT Bình Sơn Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG *) x0 gọi điểm cực đại của hàm số f tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b) ⊂ D f(x)f(x0), với x0 ∈ (a;b)\{x0} Lúc đó, f(x0) gọi giá trị cực tiểu của f - Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị của hàm số - Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị của hàm số - Nếu x0 điểm cực trị của hàm sớ f điểm (x0; f(x0)) gọi điểm cực trị của đồ thị hàm số f 2.2 Định lí (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm sớ f có đạo hàm đạt cực trị tại điểm x0 f’(x0) = 2.3 Định lí (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1) Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) Khi đó: i) Nếu f’(x) ∀x ∈ ( x0 ;b) f đạt cực tiểu tại điểm x0 ii) Nếu f’(x)>0, ∀x ∈ (a;x0 ) f’(x) < ∀x ∈ ( x0 ;b) f đạt cực đại tại điểm x0 Quy tắc -Tìm tập xác định -Tính f’(x) Tìm điểm tới hạn -Lập Bảng biến thiên -Kết luận 2.4 Định lí (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời f’(x0) = f’’(x0) ≠ Khi đó i) Nếu f’’(x0) < hàm sớ f đạt cực đại tại điểm x0 ii) Nếu f’’(x0) > hàm sớ f đạt cực tiểu tại điểm x0 Quy tắc -Tìm tập xác định -Tính f’(x) Tìm nghiệm xi của phương trình f’(x) = -Tính f’’(x) suy f’’(xi) o Nếu f’’(xi) < f đạt cực đại tại xi o Nếu f’’(xi) > f đạt cực tiểu tại xi Trường THPT Bình Sơn Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta tìm điểm cực trị nghiệm phương trình f’(x)=0, f’’(x) phải khác Ngoài trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc Một số lưu ý về cực trị một số hàm số: 3.1 Hàm số bậc ba: y = f ( x) = a.x + b.x + c.x + d , a , b, c , d ∈ ¡ , a ≠ TXĐ: R Đạo hàm: y ' = f '( x ) = 3a.x + 2b.x + c ∆ ' = b − 3ac Để hàm sớ có cực trị (CĐ CT) ∆ ' > b 6ac − 2b bc 1 y = f ( x ) = x + ÷ 3a.x + 2b.x + c + x + d − 9a 9a 9a 3 Ta có: ( ) Phương trình đường thẳng qua CĐ CT của hàm bậc ba (nếu có) là: 6ac − 2b bc y= x + d − 9a 9a + Nếu a < thì: xCT < xCÐ + Nếu a > thì: xCÐ < xCT 3.2 Hàm số trùng phương: y = f ( x) = a x + b.x + c, a, b, c ∈ ¡ , a ≠ TXĐ: R Đạo hàm: y ' = f '( x) = 4a.x + 2b.x Để hàm số có cực trị (CĐ CT) ab < + Nếu a < 0, b > thì: hàm sớ có CĐ CT + Nếu a > 0, b < thì: hàm sớ có CĐ CT −b − b −b −b A ( 0; c ) , B ; + c÷ , C − ; +c÷ ÷ ÷ 2a 4a 2a 4a Tọa độ cực trị là: S ∆ABC = −b b 2a a a.x + b.x + c y = f ( x) = , d x + e 3.3 Hàm số phân thức: e ¡ \ − d TXĐ: Trường THPT Bình Sơn a, b, c, d , e ∈ ¡ , a, d ≠ Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG y ' = f '( x) = a.d x + 2ae.x + be − dc ( d x + e ) Đạo hàm: Để hàm số có cực trị (CĐ CT) y ' = có nghiệm phân biệt Phương trình đường thẳng qua CĐ CT y= 2a.x + b d II CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM PHÂN THEO MỨC ĐỘ KIẾN THỨC MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) ( a; b ) x0 ∈ ( a; b ) Khẳng định sau sai ? y′ ( x0 ) = y′′ ( x0 ) ≠ A x0 điểm cực trị của hàm sớ B xác định có đạo hàm cấp một cấp hai khoảng y′ ( x0 ) = y′′ ( x0 ) > x0 điểm cực tiểu của hàm số y′ ( x0 ) = C Hàm số đạt cực đại tại x0 D y′ ( x0 ) = y′′ ( x0 ) = x0 khơng điểm cực trị của hàm số Lời giải Chọn D Theo định lý quy tắc tìm cực trị A, C B y′ ( ) = y′′ ( ) = D sai xét hàm sớ y = x ¡ thỏa mãn x0 = vẫn điểm cực tiểu của hàm sớ Câu 2: (THPT Chun Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị cực tiểu của hàm số y = x − x − x + A −20 B C −25 Lời giải Chọn C TXĐ: D = ¡ x = −1 y′ = ⇔ y′ = x − x − Cho x = Bảng biến thiên: Trường THPT Bình Sơn D Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Vậy giá trị cực tiểu yCT = −25 Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Phát biểu sau sai? f ′′ ( x0 ) > f ′ ( x0 ) = A Nếu hàm sớ đạt cực tiểu tại x0 f ′′ ( x0 ) < f ′ ( x0 ) = B Nếu hàm sớ đạt cực đại tại x0 f ( x) f ′( x) C Nếu đổi dấu x qua điểm x0 liên tục tại x0 hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 y = f ( x) D Hàm số đạt cực trị tại x0 x0 nghiệm của đạo hàm Lời giải Chọn D → y ′ = x → y′ = ⇔ x = Xét hàm số y = x Hàm số y không đạt cực trị tại điểm x = Câu 4: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A yCT = B max y = ¡ C yC Ð = Lời giải D y = ¡ Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = , yC Ð = ; đạt cực tiểu tại x = , yCT = ; hàm số không có giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất Trường THPT Bình Sơn Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Câu 5: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây, có một cực trị? A y = x − x + x B y = x + x − C y = − x − x + Lời giải D y= 2x − x +1 Chọn B Ta có đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d với a ≠ có hai hoặc không có cực trị Đồ thị hàm số y= ax + b cx + d với ad − bc ≠ khơng có cực trị Câu 6: (THPT Viêt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số bảng biến thiên sau: Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại tại x = C Hàm số đạt cực đại tại x = −2 y = f ( x) có B Hàm số đạt cực đại tại x = D Hàm số đạt cực đại tại x = Lời giải Chọn A y = y ( ) = Hàm số đạt cực đại tại x = CĐ y = y ( ) = −2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = CT Câu 7: (TT Diêu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm y = x3 − x + 3x − có cực trị? A B C Lời giải Chọn C 2017-2018) Hàm số D y′ = x − x + = ( x − 1) ≥ ∀x ∈ ¡ Ta có , Hàm số cho có đạo hàm không đổi dấu ¡ nên nó không có cực trị Trường THPT Bình Sơn Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Câu 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm sớ có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? y = f ( x) y O x −2 A Hàm số có giá trị cực tiểu B Hàm số đạt cực đại tại x = đạt cực tiểu tại x = C Hàm số có giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất −2 D Hàm số có ba điểm cực trị Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại B ( 1; −1) giá trị cực tiểu −2 Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm sớ y = x − 12 x − A yCĐ = −17 B yCĐ = −2 C yCĐ = 45 D yCĐ = 15 Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3x − 12 x = −2 ⇒ y = 15 ⇔ x = ⇒ y = −17 Cho y ′ = y ′′ ( −2 ) = −12 < ⇒ y ′′ ( ) = 12 > Ta lại có: y′′ = x nên hàm số đạt cực đại tại x = −2 giá trị cực đại của hàm số yCĐ = 15 Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ Mệnh đề đây đúng? A Nếu f ′ ( x0 ) = Trường THPT Bình Sơn hàm sớ đạt cực trị tại x0 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = hàm số không đạt cực trị tại x0 C Nếu đạo hàm đổi dấu x qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0 D Nếu hàm sớ đạt cực trị tại x0 đạo hàm đổi dấu x qua x0 B Nếu Lời giải Chọn D Ta xét đáp án: f ′ ( x0 ) = f ′( x) Đáp án A: Nếu không đổi dấu x chạy qua x0 hàm sớ vẫn khơng đạt cực trị tại x0 nên đáp án A sai f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = Đáp án B: Với điều kiện khơng đủ sở để khẳng định hàm số có đạt cực trị hay không nên đáp án B sai Đáp án C: Nếu đạo hàm đổi dấu x chạy qua x0 suy hàm số đạt cực trị tại x0 chưa suy hàm số đạt cực tiểu tại x0 Đáp án D: Đúng Câu 11: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị của hàm số y = x + x − A C B D Lời giải Chọn D Tập xác định D = ¡ y′ = x3 + x = x ( x + 1) y ′ = ⇔ x = ⇒ y = −3 y ′′ = 12 x + y′′ ( ) = > ⇒ Hàm số có một cực tiểu Vậy hàm số có một cực trị Câu 12: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − x + A ( −1;1) B ( 2;0 ) ( 1;1) C Lời giải: Chọn D Ta có y′ = x − x Trường THPT Bình Sơn D ( 0; ) Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG x =1 y′ = ⇔ x = −1 x = Cách 1: Cách 2: y′′ = 12 x − y′′ ( ) = −4 ⇒ điểm cực đại y′′ ( 1) = y′′ ( −1) = y = f ( x) Câu 13: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần năm 2017-2018) Cho hàm sớ có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định sau đúng? x −∞ + y′ y − −∞ + +∞ +∞ −2 A Hàm số đạt cực đại tại x = C Hàm số đạt cực tiểu tại x = B Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 D Hàm số đạt cực đại tại x = Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đạt cực đại tại x = , giá trị cực đại yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu tại x = , giá trị cực đại yCT = −2 Câu 14: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y = x − 3x + Chọn khẳng định khẳng định sau A Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu B Hàm số có một điểm cực trị C Hàm số đồng biến ¡ D Hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại 10 Trường THPT Bình Sơn 10 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG y= f ( x) Đồ thị có dạng sau Vậy số cực trị của hàm số y= f ( x) 11 Câu 219: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghê An - năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) f ′( x) có đạo hàm ¡ có bảng xét dấu sau x −∞ −2 f ′( x ) Hỏi hàm số A − + + − y = f ( x2 − 2x ) có điểm cực tiểu B C Lời giải Chọn B Ta có +∞ y′ = ( x − x ) ′ f ′ ( x − x ) = ( x − ) f ′ ( x − x ) x = 2 x − = x = 1+ x − x = −2 ⇔ x = − ⇔ x = x − 2x = 2x − = y′ = ⇔ f ′ x2 − 2x = x = −1 x2 − 2x = Khi đó x < −2 f ′( x) < ⇔ x > Từ bảng xét dấu ta thấy ( 124 Trường THPT Bình Sơn ) 124 D Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG 1 − < x < + x − x < −2 ⇔ x < −1 ′ f x − 2x < ⇔ x > x − 2x > Khi đó Bảng biến thiên ( ) Câu 220: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Hình vẽ bên đồ thị của hàm số y = f ( x) y x O −3 −6 Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương của tham số y = f ( x − 1) + m m để hàm số có điểm cực trị Tổng giá trị tất cả phần tử của S A 12 B 15 Chọn A Nhận xét: Số giao điểm của C 18 Lời giải ( C) : y = f ( x) ( C ′) : y = f ( x − 1) với Ox ( C ′′ ) : y = f ( x − 1) + m Vì m > nên lên m với Ox số giao điểm của có cách tịnh tiến đơn vị 125 Trường THPT Bình Sơn D 125 ( C ′ ) : y = f ( x − 1) Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG x x TH1: < m < TH2 : m = x TH1: TH2: TH3: TH4: x TH3 : < m < TH4 : m ≥ < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại m = Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận m ≥ Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại * m ∈ { 3; 4;5} Vậy ≤ m < Do m ∈ ¢ nên Vậy tổng giá trị tất cả phần tử của S 12 Câu 221: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hàm số có đạo hàm hàm số f ′( x) f ′( x) f ′( x) = ¡ , phương trình có nghiệm thực đồ thị hình vẽ Tìm sớ điểm cực trị của hàm số y O 126 Trường THPT Bình Sơn y = f ( x) 126 x y = f ( x2 ) Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG A C Lời giải B D Chọn C y ′ = x f ′ ( x ) Ta có: 2x = x = x = x = ⇔ x = ⇔ x = ±1 x2 = x = ± y′ = x = x = ±2 x > x > ⇔ x < −2 ⇔ >0 −1 < x < 0 < x < Do f ′ ( x2 ) x −∞ − 2x f ′ ( x2 ) + y′ − −2 − − + − −1 − − 0 − + + + + − + + − − + − + + − + +∞ Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 222: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x) f ′ ( x) g ( x) = f ( x) − x xác định ¡ có đồ thị hình vẽ Đặt Hàm sớ g ( x) đạt cực đại tại điểm có hoành độ ? y −1 O 2x −1 A x = B x = C x = −1 Lời giải D x = Chọn C Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x ) −1 Do đó đồ thị của hàm số tiến đồ thị của hàm sớ 127 Trường THPT Bình Sơn f ′( x) xuống đơn vị 127 g′( x) có cách tịnh Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG y y = f ′( x) y = g′( x) −1 O x −1 −2 Quan sát đồ thị điểm x = −1 Do đó g ( x) g′ ( x) ta thấy g′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm qua đạt cực đại tại x = −1 Câu 223: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm sớ y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số A y = f ( x − 2017 ) + 2018 B có điểm cực trị? C D Lời giải Chọn B Do hàm số g ( x ) = f ( x − 2017 ) + 2018 thu cách tịnh tiến đồ thị hàm y = f ( x) số sang phải một đoạn có độ dài 2017 đơn vị tịnh tiến lên một đoạn có độ dài 2018 đơn vị nên ta có bảng biến thiên của hàm sớ y = g ( x) 128 Trường THPT Bình Sơn sau 128 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Vậy đồ thị hàm số y = g ( x) cắt trục hồnh tại mợt điểm với trục hồnh tại x1 = 2019 có hai cực trị nên đồ thị hàm số y = f ( x − 2017 ) + 2018 x0 < 2016 , tiếp xúc có cực trị Câu 224: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) khoảng ( −∞; +∞ ) Đồ thị của hàm sớ hình vẽ Đồ thị của hàm số y = ( f ( x) ) có điểm cực đại, cực tiểu ? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên 129 Trường THPT Bình Sơn 129 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG f ( x) = ⇔ y = ( f ( x ) ) ⇒ y′ = f ( x ) f ′ ( x ) = f ′ ( x ) = x = x1 x = f ( x) = ⇔ x = f ′ ( x ) = ⇔ x = x = x2 x = x ∈ ( 0;1) Quan sát đồ thị ta có với x2 ∈ ( 1;3) f ( x ) > f ′ ( x ) > y′ > ⇔ x ∈ ( 3; +∞ ) f ( x ) < f ′ x < ⇔ x ∈∈ ( 0; x1 ) ∪ ( 1; x2 ) ⇔ x ∈ ( 0; x1 ) ∪ ( 1; x2 ) ∪ ( 3; +∞ ) ( ) Suy Từ đó ta lập bảng biến thiên của hàm số y = ( f ( x) ) Suy hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Câu 225: (THPT Hậu Lợc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm sớ y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ bên Xét hàm số g ( x) = f ( x − 3) mệnh đề sau: I Hàm số g ( x) có điểm cực trị II Hàm số g ( x) đạt cực tiểu tại x = III Hàm số g ( x) đạt cực đại tại x = ( −2;0 ) IV Hàm số g ( x) đồng biến khoảng ( −1;1) V Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng 130 Trường THPT Bình Sơn 130 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Có mệnh đề mệnh đề trên? A B C D Lời giải Chọn D g ( x ) = f ( x − 3) Xét hàm số Có g ′ ( x ) = ( x − 3) ′ f ′ ( x − 3) = x f ′ ( x − 3) x = x = x = ⇔ x − = −2 ⇔ x = ±1 g′( x) = ⇔ 2 ′ f x − = x = ±2 x − = f ′ ( x − 3) > f ′( x) > Ta lại có x > Do đó x > x < f ′ ( x ) < Do đó x < f ′ ( x − 3) < ( ) Từ đó ta có bảng biến thiên của g ( x) sau Dựa vào bảng biến thiên, ta có I Hàm số g ( x) có điểm cực trị LÀ MỆNH ĐỀ ĐÚNG II Hàm số g ( x) đạt cực tiểu tại x = LÀ MỆNH ĐỀ SAI III Hàm số g ( x) đạt cực đại tại x = LÀ MỆNH ĐỀ SAI ( −2;0 ) LÀ MỆNH ĐỀ ĐÚNG IV Hàm số g ( x) đồng biến khoảng 131 Trường THPT Bình Sơn 131 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG V Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng Vậy có hai mệnh đề ( −1;1) LÀ MỆNH ĐỀ SAI Câu 226: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần năm 2017-2018) Tổng giá trị nguyên của tham số cực trị A 2016 B 1952 m để hàm số y = x3 − 3x − x − + C −2016 Lời giải m có điểm D −496 Chọn A Xét hàm số f ( x ) = x3 − 3x2 − x − + m x = −1 ⇔ f ′ ( x ) = 3x − x − = x = Ta có Ta có bảng biến thiên u f ( x) ≥ f ( x ) neá y = f ( x) = u f ( x) < − f ( x ) neá Do nên m ≤0⇔m≤0 f ( x) = Nếu có nghiệm x0 > , ta có bảng biến thiên của hàm số cho Trường hợp hàm số cho có điểm cực trị m − 32 ≥ ⇔ m ≥ 64 f ( x) = Nếu có nghiệm thiên của hàm số cho 132 Trường THPT Bình Sơn 132 x0 < −1 ,ta có bảng biến Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Trường hợp hàm số cho có điểm cực trị m >0 2 ⇔ < m < 64 m m − 32 < f ( x ) = x3 − 3x − x − + = x 2 Nếu có ba nghiệm ; x2 x3 ; với x1 < −1 < x2 < < x3 , ta có bảng biến thiên của hàm số cho Trường hợp hàm số cho có điểm cực trị Như vậy, giá trị nguyên của m để hàm số cho có điểm cực trị m ∈ { 1; 2;3; ;63} Tổng giá trị nguyên là: S = + + + + 63 = 63 ( + 63) = 2016 Câu 227: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần năm 2017-2018) Có giá trị nguyên dương của tham số có điểm cực trị A 44 B 27 f ( x ) = 3x − x − 12 x + m f ′ ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x Ta có 133 Trường THPT Bình Sơn để hàm sớ C 26 Lời giải Chọn B Xét hàm số m , 133 y = x − x − 12 x + m D 16 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG x = f ′ ( x ) = ⇔ 12 x − 12 x − 24 x = ⇔ x = −1 x = Ta có bảng biến thiên u f ( x) ≥ f ( x ) neá y = f ( x) = u f ( x) < − f ( x ) nế Xét hàm sớ Nên từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) suy hàm số m − 32 < y = x − x − 12 x + m có điểm cực trị m − ≥ ⇔ ≤ m < 32 Do đó có 27 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x − x − 12 x + m có điểm cực trị Câu 228: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c số y = f ( x ) − 2017 A biết a > , c > 2017 a + b + c < 2017 Số cực trị của hàm B C Lời giải D Chọn A Hàm số Ta có y = f ( x ) = ax + bx + c f ( ) = c > 2017 > xác định liên tục D = ¡ f ( −1) = f ( 1) = a + b + c < 2017 f ( −1) − 2017 f ( ) − 2017 < f ( 1) − 2017 f ( ) − 2017 < Do đó Mặt khác lim f ( x ) = +∞ x →±∞ f ( α ) > 2017 f ( β ) > 2017 nên ∃α < , β > cho , f ( α ) − 2017 f ( −1) − 2017 < f ( β ) − 2017 f ( 1) − 2017 < Suy đồ thị hàm số 134 Trường THPT Bình Sơn y = f ( x ) − 2017 134 cắt trục hồnh tại bớn điểm phân biệt Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2017 Vậy số cực trị của hàm số có dạng y = f ( x ) − 2017 Câu 229: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghê An-lần năm 2017-2018) Biết hàm số f ( x) hàm số y = f f ( x ) có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm sớ điểm cực trị của y O x −4 A B C Lời giải Chọn C Xét hàm số y = f f ( x ) y′ = f ′ ( x ) f ′ f ( x ) , ; x = x = x = f ′( x) = x=2 y′ = ⇔ ⇔ ⇔ x = a ∈ ( 2; +∞ ) f x = ( ) f ′ f ( x ) = f ( x ) = x = b ∈ ( a; +∞ ) f ( x ) > ⇒ f ′ f ( x ) > Với x > b , ta có < f ( x ) < ⇒ f ′ f ( x ) < Với a < x < b , ta có f ( x ) < ⇒ f ′ f ( x ) > Với < x < a hoặc x < , ta có 135 Trường THPT Bình Sơn 135 D Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG BBT: Dựa vào BBT suy hàm số y = f f ( x ) có bốn điểm cực trị Câu 230: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) nguyên dương của tham số A 15 B 17 m (x − 2x) để hàm số với ∀x ∈ ¡ Có giá trị f ( x2 − 8x + m) C 16 Lời giải có điểm cực trị? D 18 Chọn A Đặt g ( x ) = f ( x − 8x + m ) f ′ ( x ) = ( x − 1) (x − x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( x − ) ( x − x + m − 1) (x − 8x + m ) ( x − 8x + m − ) x = x − x + m − = ( 1) ⇔ x − 8x + m = ( 2) x − x + m − = ( 3) g′( x) = Các phương trình (x − x + m − 1) ≥ Suy g ( x) ( 1) , ( ) , ( 3) không có nghiệm chung đôi một với ∀x ∈ ¡ ( ) ( 3) có hai nghiệm phân có điểm cực trị m < 16 ∆ = 16 − m > ∆ = 16 − m + > m < 18 ⇔ ⇔ 16 − 32 + m ≠ m ≠ 16 m ≠ 18 ⇔ m < 16 16 − 32 + m − ≠ biệt khác Vì m nguyên dương m < 16 nên có 15 giá trị Câu 231: Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d , m ( a , b, c , d ∈ ¡ ) cần tìm thỏa mãn a > , d > 2018 , a + b + c + d − 2018 < Tìm sớ điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) − 2018 A B C D Lời giải 136 Trường THPT Bình Sơn 136 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Chọn D g ( x ) = f ( x ) − 2018 = ax3 + bx + cx + d − 2018 - Xét hàm số g ( ) = d − 2018 g ( 1) = a + b + c + d − 2018 Ta có: g ( ) > g ( 1) < Theo giả thiết, ta lim g ( x ) = +∞ x →+∞ lim g ( x ) = −∞ ⇒ ∃β > 1: g ( β ) > ⇒ ∃α < : g ( α ) < - Lại do: a > nên x →−∞ g ( α ) g ( ) < g ( ) g ( 1) < g ( 1) g ( β ) < ⇒ g ( x ) = ( α; β ) Do đó: có nghiệm phân biệt thuộc khoảng Hay hàm số y = g ( x) có đồ thị dạng y f(x)=(1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2) x -2 Khi đó đồ thị hàm số -1 y = g ( x) O có dạng f(x)=abs((1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2) y x -2 Vậy hàm số y = f ( x ) − 2018 137 Trường THPT Bình Sơn O -1 có điểm cực trị 137 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG C ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ Một số hướng phát triển Đề tài -Khai thác thêm kỹ khác để tìm nhanh cực trị -Ứng dụng toán khác tốn liên quan đến khảo sát hàm sớ … Kiến nghị, đề xuất về viêc triển khai áp dụng đề tài Đề tài thực cần thiết phải giảng dạy q trình ơn thi học sinh giỏi ôn thi THPTQG Có thể áp dụng cho học sinh 12 chuẩn bị thi THPTQG Chỉ nên áp dụng đề tài cho nhóm đối tượng học sinh giỏi, cịn với nhóm đới tượng học sinh trung bình yếu nên áp dụng mức đợ kiến thức nhận biết thông hiểu E TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Giải tích 12 - Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Đề thi thử THPTQG trường THPT - Các đề thi khảo sát chất lượng của trường Trung học phổ thông cả nước - Các tài liệu Internet Sông Lô, ngày 22 tháng 10 năm 2019 Người viết chuyên đề Phạm Văn Minh 138 Trường THPT Bình Sơn 138 ... Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Đồ thi? ? hàm số có điểm cực trị Chú ý, tại điểm mà đồ thi? ? có dạng “nhọn” đó vẫn điểm cực trị của đồ thi? ? hàm số Câu 8 0:. .. THPT Bình Sơn 23 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG Câu 4 9: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Số điểm cực trị của đồ thi? ? y = − x + x + hàm số B A C Lời... x) x0 điểm cực tiểu của hàm số 15 Chuyên đề : Bài toán cực trị của hàm số ôn thi THPTQG f ′′ ( x ) = x0 điểm cực trị của hàm số y = f ( x) C Nếu x0 điểm cực trị của hàm sớ y = f