i bài tập gtlngtnn của hàm số phân loại các dạng toán ví dụ minh họa và bài tập vận dụng dowload ii bài tập thể tích khối đa diện bấm vào đây iii tổng hợp các

Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì ta có thể[r]

ÔN THI ĐH: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN

Chương Ơn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo

sát trực tiếp hàm số

Chương Hệ thống số dạng toán tìm GTLN, GTNN hàm số

phương pháp đổi biến số

Chương Hệ thống số dạng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức

nhiều biến số phương pháp đổi biến số

Các dạng toán:

a Căn vào mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến

b Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y tốn tìm GTLN, NN biểu thức đối xứng theo biến số x, y

c Phương pháp đổi biến số biểu thức đối xứng theo biến số x, y, z d Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến)

CHƯƠNG ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH

KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ

1.1/ Phương pháp giải tốn: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) tập số D

Phương pháp chung

- Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận

Lưu ý 1: Nếu D đoạn [a; b] làm sau:

- Tính đạo hàm y’

- Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử nghiệm x1, x2

- KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b]

Lưu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ đạt x nhận

giá trị

1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có hàm số sau:

2

( )

f x  x x f x( ) x 1 3x f x( ) 1x2  1x2

 

( ) 1

f x  x x  

( )

f x x x x

2

2

( )

1 x f x

x  



( ) sin , ;

2 f x  xx x   

 

f(x)=5cosx–cos5x,

4 x

 

  

x s inx+2cos

2

( ) , 0;

x 2

cosx+2sin

f x  x  

 

4

2 2 6

y x x  x x 2  

1 1, 1;1

y x   x x  x x  y x24x21 x23x10

CHƯƠNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1.1/Phương pháp giải

Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định hàm số thuộc tập số cho trước)

Bước Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x

Bước Chuyển ĐK biến số x sang ĐK biến số t Giả sử tìm tK

Bước Chuyển toán ban đầu thành toán đơn giản Cụ thể là: Tìm

GTLN, GTNN hàm số f(t) tập số K

1.2/ Ví dụ minh họa

Trước tiên lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp giải toán phương pháp đổi biến số nói chung, tốn tìm GTLN, GTNN phương pháp đổi biến nói riêng thơng qua ví dụ sau:

Ví dụ

Tìm GTNN, GTLN hàm số 2sin

sin sin

x y

x x

 

 Sai lầm thường gặp

Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: ( ) 2 1

t f t

t t

 

 

Ta có:

2 '

2

2 ( )

( 1)

t t

f t

t t   

  , f

’

(t) = 

2 t

t   

  

; lim ( )

x f x 

Bảng biến thiên hàm số f(t) sau:

t  -2 

f’(t) - + -

f(t)

3



0

Từ BBT suy ra:

3 ) ( )

inf(t  f  

M ; Maxf(t) f(0)1

Từ có GTNN, GTLN hàm số ban đầu

3



 Phân tích sai lầm

Theo lời giải hàm số f(x) nhận GTNN

3

 khi: sinx = -2, điều không xảy

ra

Mặc dù lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí chưa tìm điều kiện cho dẫn đến tốn tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số ( ) 2

1

t f t

t t

 

  khơng tương thích

 Lời giải

Đặt t = sinx, điều kiện   1 t

Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số ( ) 2 1

t f t

t t

 

  đoạn 1;1

Bảng biến thiên hàm số f(t) đoạn 1;1 sau:

t -1 

f’(t) + -

f(t)

0

2

Từ bảng biến thiên suy GTNN, GTLN hàm số f(t) đoạn 1;1 (khi

và t = -1) (khi t = 0)

Từ có: Maxy = đạt khi: x k, Miny = khi:  2

2 k

Nhận xét

Nếu biểu thức xác định hàm số phân chia thành nhóm số hạng chúng có mối liên hệ cho hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua ta đưa tốn toán đơn giản phương pháp đổi biến số

Mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức xác định hàm số ví dụ rõ ràng dễ thấy, điều giúp ta phát cách đổi biến số khơng khó khăn, nhiên có trường hợp mối liên hệ nhóm số hạng ẩn kín bên trong, địi hỏi nhiều phép biến đổi có cách nhìn tinh phát

Nhận xét hướng dẫn giải

Xét mối liên hệ hai nhóm số hạng: sinx + cosx sinx cosx, Chúng có mối liên hệ với hệ thức dễ thấy sau

(sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = + 2sinx cosx,

Nhận xét gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ sin cos sin

4 u x x x

 , với điều kiện

biến số  2u

Khi

2 sin cos

2 u

x x  toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số

2 ( )

2 u f u  u 

trên đoạn  2; 

 

Trên đoạn  2; 2

  dễ dàng tìm GTNN, GTLN hàm số f(u) -1 (khi

và u = -1)

2

2  (khi u = 2)

Từ có GTNN, LN hàm số ban đầu

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Ta có: sin4x + cos4x =

1 sin

2 x

 sin cos 1sin

x x x

Từ phân tích ta thấy đặt t = sin2x (điều kiện   1 t 1) ta có hàm số theo

biến số t sau:

( )

2

h t   t  t

Và tốn trở thành tìm GTNN, GTNN hàm số h(t) đoạn [-1; 1]

Đáp số: Maxy = 17

8  x 12 k



   12

x  k ; Miny = 

( )

4

x k kZ

Ví dụ

Tìm GTNN, GTLN hàm số y x 1 3x (x1)(3x)

Nhận xét hướng dẫn giải

Tập xác định hàm số D   1;3

Để ý rằng:  x 1 3x2  4 (x1)(3x),

Vì đặt t x 1 3x

2 ( 1)(3 )

2 t

x x   ta có hàm số theo biến t

sau:

2

( )

2 t

g t   t

Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý  

4 ( 1)(3 ) 4, 1;3

t   x x    x , từ

suy   2 t 2.(hoặc lập BBT hàm số t x( ) x 1 3x D   1;3 để suy

2 t

   )

Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số

2

( )

2 t

g t   t đoạn 2; 2

Đáp số: Maxy = x = 3; Miny =

2     x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm GTLN, GTNN hàm số sau phương pháp đổi biến số:

y = cos cos cos 2    x x x cos sin     x x y 6

sin cos sin cos

y x x a x x

(với a tham số)

x x

y  1sin  1cos y = sin2 os2 1

3 x3c x (cos4 cos8 )

2 ) cos sin (

2 x x x x

y   

x x

x x

y 4 2

2 cos sin sin cos  

 y =

x x x x 4 6 cos sin cos sin     cos

sin (2 cos sin ) x

y

x x x



 , với x 

 

 3  

6

4 , 1;1

y x  x x  y = 3 22 1x  1x

4 2

(4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos

y       

3

3

1 1

y x x x

x x x

      f(x)=

2 8 2       x x x x x x

2

2

2 1

( )

1 1

x x x

f x

x x

     



CHƯƠNG TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

2.1/Phương pháp giải

Để tìm GTLN, GTNN biểu thức có chứa nhiều biến số ta dùng phương pháp đổi biến số sau:

Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số

Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu)

Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện

Một số bất đẳng thức sở thường sử dụng:

1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:

2

2

2 2

2 2

2

2 2

1/

2 /( )

3 / 2( ) ( )

4 /

5 /( ) 3( )

6 / 3( ) ( )

a b ab a b ab

a b a b

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c a b c

 

 

  

    

    

    

2/ BĐT Cơsi - Với a, b, c khơng âm, ta có:  3

2 , , 27

a b  ab a b c   abc a b c   abc

2.2/ Ví dụ minh họa

a Căn vào mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức để phát ra cách đổi biến

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Dễ thấy

3

xyz x y z

x y z xyz

 



  , đặt x y z t

xyz  

 ta biểu thức theo biến số t là:

1 ( )

P t t t

 

Cho x, y, z số dương Tìm GTNN biểu thức

3

3

xyz x y z

P

x y z xyz

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:

3

3

3

xyz x y z

t

xyz xyz

 

  

Do tốn quy tìm GTNN hàm số P t( ) t t

  khoảng 3;

Vì

2 '

2

( ) t 0,

P t t

t 

    nên hàm số P(t) đồng biến khoảng 3; 

Từ có

3; 

10

( ) (3)

3

Min P t P

   , GTNN biểu thức P

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

2 2 (2 )

x y x y

a

y x y x

 

    

 

2

2

4 2

4 2 2 (2 )

x y x y x y

b

y x y x y x

 

   

 

          

  

   

Từ (2a) (2b) ta thấy đặt t x y y x

  thì:

5

T t  t  t ,

Cũng từ (2a) có:

2

2

2 2 4

x y

t t

y x

     

Bài toán trở thành: Tìm GTNN hàm số

( )

T t t  t  t miền ( ; 2] [2; )

D      

Ta có: '

( ) 10 ( 4)

T x  t  t  t t   t , để ý t2 4 0,  x D nên suy dấu T’(t)

trên D có bảng biến thiên sau:

Cho x, y khác Tìm GTNN biểu thức

4 2

4 2

x y x y x y

T

y x y x y x

 

     

t 

-2

2 

T’(t) - +

 

T(t)

-2

Từ bảng biến thiên suy GTNN T(t) D -2 khi: t = -2 Từ có: Min(T) = -2, đạt x = - y (x y khác 0)

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Ta có H =  

x y y x y

x y

x   

  

 



 1

Vì đặt

y x

t  ta có hàm số theo biến số t sau: ( )

t t t

H   

Từ điều kiện ràng buộc 1 x y2 ta suy ra:

1  

y x

, 

      ;1

2

t

Bài tốn trở thành: Tìm GTLN GTNN hàm số

t t t

H( )2 1 đoạn 

    

1 ;

Vì 

        

 ;1

2

1 )

( 2

2 '

t t

t t

H nên H(t) hàm số nghịch biến đoạn Tìm GTLN, NN H =   

  

 

 

y x y

Từ có GTLN H(t) đoạn       ;

khi: t =

2

, GTNN đoạn

H(t) khi: t =

Đáp số: Max(H) =

2

 (x; y) = (1; 2) ; Min(H) =  x = y (với 1x y, 2)

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Biến đổi: 2 2 1 2

x y x y

Q

x y

x y xy xy y x

y x xy          

Đặt t x y y x

  , theo t ta có: ( )

Q t t

t

 



Hơn dễ thấy x y

y x  (với x, y dương x khác y) nên ta có t >

Vì quy tốn quen thuộc: Tìm GTNN hàm số ( )

Q t t

t

 

 khoảng

2;

Ta có 

          ) ( ' , ) ( ) (

' 2 '

2 ' t t t Q t t t t

Q BBT Q(t) khoảng 2; sau:

t 

Q'(t) - +

Q(t)

Tìm GTNN

 2 2

1 1

Q xy x y x y            

Từ bảng biến thiên suy GTNN Q(t) khoảng 2; Q(3) =

Đáp số: Min(P) = đạt x2 + y2 – 3xy =

b Tìm GTLN, NN biểu thức M đối xứng với biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn đẳng thức đối xứng với x y

Cách giải:

1 Đặt x y S

xy P    

 

(ĐK S  P),

2 Biểu diễn giả thiết M theo S P (1)

3 Biểu diễn biểu thức M theo S P kết hợp với (1) để biểu diễn M theo

biến S P

4 Tìm ĐK cho S P (M theo biến tìm ĐK cho biến đó) cách kết hợp (1) điều kiện

4 S  P

5 Tìm GTLN, NN biểu thức M với điều kiện tìm biến số tìm ở bước

Lưu ý: Cách tìm ĐK bước áp dụng cho x, y Ví dụ giả thiết cho thêm x > 0, y > phải lưu ý S > P > để tìm ĐK cho xác

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải Đặt S = x + y = 1, P = xy

Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + = (xy)3 – 3xy + = P3 – 3P +

Lại có = S2  4P suy ra:

P 

Vậy tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số M(P) = P3 – 3P + với

P 

Ta lập bảng biến thiên M(P) khoảng ;1

 



 

  sau:

P  -1 1

4

M’(P) + -

M’(P)



81

64

Từ bảng biến thiên suy GTNN khơng tồn cịn GTLN Q 4, đạt

khi

1 x y

xy    

  

, giải hệ ta  ;  1; , 1;

2 2

x y           

   

 

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),

Ngoài biến đổi giả thiết tốn ta có: x2 + y2 = 2(x + y)2 – 2xy = (6b)

Qua phân tích thấy đặt t = x + y biểu diễn xy theo biến t, từ biểu diễn biểu thức M theo t

Thật vậy, từ (6b) có:

2

( ) 2

2

x y t

xy     , kết hợp với (6a) ta biểu diễn biểu thức

ban đầu theo t là: 3

( )

2

M t   t t  t

Để x, y tồn ta phải có: (x + y)2  4xy nên t2 2(t2 – 2) từ có   2 t

Từ có GTNN, GTLN M t( ) [-2; 2] là: Max(M) = 13,

2 Min(M) = -7

c Tìm GTLN, NN biểu thức M có tính chất sau:

Tính chất 1: M phụ thuộc vào đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx

x2 + y2 + z2

Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị đại lượng: x + y + z, xy +

yz + zx x2 + y2 + z2

Cách giải:

Giả sử biểu thức M có mặt đại lượng nêu trên, đặt trong hai đại lượng biểu thức M ẩn phụ t dùng giả thiết toán cho và kết hợp đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn

đại lượng lại theo t

Tìm ĐK cho t ta thường dùng ba BĐT sau:

x2 + y2 + z2  xy + yz + zx (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 

(x + y + z)2

3 Quy tốn đơn giản

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) (7a),

Viết lại giả thiết toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = (7b)

Đặt t = x + y + z từ (7b) ta có xy + yz + zx =

2 t 

, kết hợp với (7a) ta biểu diễn

biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = 1

2(3t – t 3

)

Dễ dàng CM: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, từ suy

1 t 

 suy  3 t

Tìm GTLN, NN R(t) đoạn  3; 3

 , được: Max(R) = ; Min(R) = -1

d Trường hợp biểu thức ban đầu dấu hiệu đổi biến, quy việc tìm GTNN, GTLN cách đổi biến số biểu thức trung gian

Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN biểu thức M khơng có dấu hiệu đổi biến số

đánh giá M  N thay tìm GTLN, NN M ta thực tốn: tìm

GTLN, NN biểu thức trung gian N

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Rõ ràng khơng có dấu hiệu để biểu diễn biến số biểu thức cho toán theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cô si ta có

M = x + y + z

3

1 1

3 xyz

x y z xyz

     , đẳng thức xảy x = y = z (8a)

+ Để tìm GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức

3

3 3

T xyz

xyz

 

Đặt u33 xyz việc tìm GTNN biểu thức T quy việc tìm GTNN hàm

số T u( ) u u

  khoảng 0;3

 

 

  (vì

3

0

2

u xyz x y z

      )

Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến khoảng 0;3

 

 

 , nên (0; ]

2

3 15 ( )

2

MinT u T   

Suy GTNN biểu thức trung gian T 15

2 (đạt  x = y = z)

Tức

3

3 15

3

2

T xyz

xyz

   , đẳng thức xảy  x = y = z (8b)

Cho x, y , z > x + y + z

2

 Tìm GTNN M = x + y + z 1

x y z

+ Từ kết (8a) (8b) suy GTNN biểu thức M ban đầu 15

2 đạt

và x = y = z

Ví dụ

Nhận xét hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)  xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),

Do có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx)

= - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz (9a)

Áp dụng BĐT Cauchy ta

3

3 

 



  

 x y z

xyz , từ (9a) suy ra:

3

3 ) (

) (

2

2 

  



  

      

 x y z x y z x y z

N , đẳng thức có x = y = z (9b)

Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) từ (9b) ta có:

3

2 ( )

27 t

N   tt   f t

Đến đây, cách khảo sát hàm số ta GTNN hàm số f(t) khoảng (0 ; 3)

4

, đạt

2 

t Từ có: Min(N) =

4

, đạt

 

 y z

x

Ví dụ 10

Nhận xét hướng dẫn giải

Vì P > với x, y > nên P đạt GTNN P2 đạt GTNN

Cho số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) Tìm GTNN biểu thức N = x2 + y2 + z2

Cho số thực dương thoả mãn: x + y = Tìm GTNN biểu

thức:

1

1 y

y

x x P

Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:   ) ( ) ( 3 2 ) ( ) ( ) )( ( 1 2 2 xy t t f t t xy xy xy xy xy y x y x xy y x xy x y y x y x xy y y x x P                          

Từ giả thiết BĐT

4 0 )

(xy  xy  t  xy

Chứng minh hàm số f(t) nghịch biến đoạn 

     ;

0 , suy GTNN hàm

số (chính GTNN P2) )

( 

f , từ có kết tốn

BÀI TẬP

Bài (PP thế) 1/ Cho x + y = Tìm GTLN, NN P = x3 + y3 + 3(x2 – y2) + 3(x + y)

2/ Cho x, y  x + y = Tìm GTNN P = 32x + 3y

3/ Cho x, y > x + y =5/4 Tìm GTNN P = x y

4/ Cho

0, 12

y x x y Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17

Bài (Dựa vào tính đẳng cấp)

1/ Tìm GTLN GTNN 2

M x xy y biết: a 2 x xyy  b

2

1 x xyy 

2/ Cho x2 + y2 = Tìm GTNN, GTLN

2

2

2( )

1 2

x xy P xy y    

Bài (Dấu hiệu đổi biến đơn giản)

1/ Cho x, y > Tìm GTNN P x y xy

x y xy



 



2/ Cho số dương x, y thỏa: x 1 y

  Tìm GTNN biểu thức H x y y x  

3/ Cho x, y dương xy1 Tìm GTLN, NN của: C xy xy

Bài (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S2 >= 4P S = x2 + y2, P = xy ĐK S2 >= 4P2)

1/ Cho số dương x y thoả mãn x + y = Tìm GTLN GTNN biểu thức sau:

a

xy y x

A 3 3  

 , b

1 1  



x y y

x

B , c D = x2y2(x2 +y2)

2/ Cho x, y khác thoả mãn: xy(x+y) = x2 + y2 - xy Tìm GTLN 13 13

y x

N  

3/ Cho số x, y thỏa mãn: – y2 = x(x – y) Tìm GTLN, NN F =

6

3

1

x y

x y y x

 



4/ Cho số thực không âm x, y không âm thỏa mãn x + y = Tìm GTNN, GTLN của:

  

S 4x 3y 4y 3x 25xy

5/ Cho x, y > thỏa mãn x2y + y2x = x + y + 3xy Tìm GTNN:

2

2 (2 1)

xy

A x y

xy

 

  

6/ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm GTNN N = x3 + y3 – 3x – 3y

7/ Cho x, y không âm x2 + y2 + xy =3 Tìm GTLN, NN P = x3 + y – x2 – y2

8/ Cho x, y > x2 - xy + y2 = Tìm GTLN, GTNN P =

4 2

1

x y

x y

 

 

9/ Cho x, y thỏa x2(2x2 – 1) + y2(2y2 – 1) = Tìm GTLN, NN của: P = x2(x2 – 4) + y2(y2 – 4) + 2(x2y2 – 4)

10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) = xy + Tìm GTLN, GTNN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2

11/ Cho x, y hai số thực dương thỏa x3  y3 2 Chứng minh: x2  y2 2

12/ Cho x, y dương xy + x + y = CMR: 3 2

1

x y xy

x y

y x xy  

Bài (Đổi biến)

1/ Cho x, y > x + 2y – xy = Tìm GTNN M =

2

4

x y

y x

 

2/ Cho a, b  -1 Tìm GTLN của: P = a 1 b1

3/ Cho số thực x, y thoả mãn: x3 x 1 y2y Tìm GTLN, GTNN x + y

4/ Cho số x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = Tìm GTLN, NN M =

   

 

2

1

2

x y x y

x y

   

 

5/ Cho số x, y thỏa: x2 + xy + 4y2 = Tìm GTLN, NN biểu thức P = x3 + 8y3 – 9xy

Bài

1/ Cho số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x2 + y2 + z2 =1.Tìm GTLN

GTNN biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx

2/ Cho x, y, z không âm x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx +

5 x y z 

3/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN M = 2

2 2 xy yz zx

x y z

x y z

 

  

 

Bài (Đánh giá trung gian)

1/ Cho x, y thỏa (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy –

1)(x + y – 2)

2/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2012

3/ Cho x, y > x + y 1 Tìm GTNN

2

1

x y xy

A

x y x y xy

 

   



4/ Cho số thực x, y thay đổi thoả mãnxy1 Tìm GTNN của:

 4 2  2

5/ Cho x, y, z > có tổng Tìm GTNN của: Q x y z

y z x

     

        

   

 

6/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN biểu thức:

A = xy yz zx 3

x y z

     B = x y z 1

x y z

    

7/ Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN M = a + b + c +

abc

8/ Cho ba số dương x, y, z CMR: 1 2 2 362 2 2 2

9

x  y z  x y  y z x z

9/ Cho a, b, c > 0, CMR: 1

2

abc  abc

10/ Cho x y z , , thỏa xy z Chứng minh 18

xyz xy yz zx

xyz

  



11/ Cho x, y, z > x + y + z = CMR: 18

2 xyz xy yz zx

xyz

  



12/ Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = CMR:

5 5

2 2 2

2 2

a a a b b b c c c

b c a c a b

     

  