Một số lớp bài toán về xác định đa thức đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG TRUNG DUYÊN MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.10.13 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU ĐÀ NẴNG - NĂM 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: TS HUỲNH QUANG TUYẾN Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lịch sử phát triển loài người chứng tỏ toán học đỉnh cao trí tuệ, xuất nhiều ngành khoa học Như biết, đa thức chuyên đề trọng tâm chương trình toán trung học phổ thông Đa thức không đối tượng nghiên cứu quan trọng đại số mà công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực giải phương trình, bất phương trình ứng dụng khác Trong kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic Toán sinh viên trường đại học, toán liên quan đến đa thức thường xuyên đề cập xem dạng toán khó Do đó, đa thức vấn đề cổ điển tôi, đa thức có sức hút hấp dẫn vô Chính vậy, chọn đề tài "Một số lớp toán xác định đa thức đại số" Đề tài nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp, phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nhằm hệ thống tổng quan dạng toán xác định đa thức theo yếu tố đại số giải tích Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích tác giả hoàn thiện kiến thức nâng cao trình độ chuyên môn thân Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu dạng toán xác định đa thức theo yếu tố đại số giải tích b Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu toán xác định đa thức đại số tập số thực Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, trang web toán học từ trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài gần gũi phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trung học phổ thông, qua đem lại niềm say mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn Bài toán xác định đa thức thường gặp giải phương trình hàm tập đa thức Ta trước hết xác định bậc đa thức xác định hệ số sử dụng tính chất vành đa thức Thật khó để phân chia toán xác định đa thức theo biên giới rạch ròi tiêu đề chương, vài vấn đề có xuất bóng dáng vấn đề kia.Tuy nhiên, người viết cố gắng trình bày cách mạch lạc, hệ thống tập xoay quanh chủ đề chương luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương I Những kiến thức bổ trợ Trong chương này, người viết trình bày tóm tắt kiến thức đa thức đa thức hệ số nguyên, số bất đẳng thức dùng chương sau Chương II Xác định đa thức theo yếu tố đại số Chương trình bày tổng quan toán xác định đa thức theo yếu tố đại số đặc trưng số học, tính chất nghiệm, đặc trưng nội suy, đặc trưng hàm với biến tự do, với phép biến đổi đối số Chương III Xác định đa thức theo yếu tố giải tích Chương trình bày tổng quan toán xác định đa thức theo yếu tố giải tích đặc trưng giới hạn, tích phân, vi phân CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC ĐẠI SỐ Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa đa thức biến, [4]) Giả sử A = R A = C Ta gọi đa thức bậc n biến x A biểu thức (hàm số) có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0) , ak gọi hệ số theo xk , an hệ số bậc cao nhất, a0 hệ số tự đa thức Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy A kí hiệu A [x] Chú ý 1.1 Trong luận văn này, ta xét đa thức thực đại số, tức đa thức biến trường số thực R Định nghĩa 1.2 (Bậc đa thức, [4]) Cho Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 trường số thực R Nếu an = n gọi bậc đa thức Pn (x), kí hiệu degP = n Nếu ak = (k = 1, , n) a0 = ta có bậc đa thức Ta gọi đa thức Pn (x) = a0 đa thức Nếu ak = (k = 0, , n) ta gọi Pn (x) đa thức không người ta định nghĩa bậc đa thức không âm vô Định nghĩa 1.3 (Đồng thức, [7]) Cho hai đa thức f, g ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , an = 0, g (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , bm = Đa thức f (x) g (x) gọi đồng với f (x) = g (x) , ∀x ∈ R, tức f ≡ g ⇔ n = m = bi với i = 0, 1, , n Định nghĩa 1.4 ([7]) Giả sử A trường, a ∈ A, m, n ∈ N∗ , f (x) ∈ A [x], m số tự nhiên lớn a nghiệm bội cấp m f (x) f (x) chia hết cho (x − a)m không chia hết cho (x − a)m+1 Trong trường hợp m = 1, ta gọi a nghiệm đơn, m = a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Định lý 1.1 ([8]) Mỗi đa thức thực bậc n có không n nghiệm thực Hệ 1.1 ([4]) Đa thức có vô số nghiệm đa thức không Hệ 1.2 ([1]) Nếu đa thức thực có bậc n có n nghiệm đa thức không Hệ 1.3 ([4]) Nếu đa thức có bậc không n mà nhận giá trị n + điểm phân biệt đối số đa thức Hệ 1.4 ([4]) Hai đa thức bậc không n mà nhận n + giá trị trùng n+1 điểm phân biệt đối số chúng đồng với Tính chất 1.1 (Sơ đồ Horner, [4]) Giả sử f (x) ∈ A [x] với A trường, f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Khi thương gần f (x) cho x − a đa thức có bậc n − 1, có dạng q (x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, , n − 1, dư số r = ab0 + a0 Định lý 1.2 ([4]) Điều kiện cần đủ để hai đa thức P (x) Q (x) nguyên tố tồn cặp đa thức u (x) v (x) cho P (x) u (x) + Q (x) v (x) ≡ Định nghĩa 1.5 (Ước chung lớn nhất, [4]) Nếu hai đa thức P (x) Q (x) khác đa thức không, có ước chung d (x) đa thức chia hết cho tất ước chung khác d (x) gọi ước chung lớn P (x) Q (x) 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN Định nghĩa 1.6 ([4]) Cho L ⊂ R Đa thức P (x) ∈ L [x] gọi khả quy L [x] tồn đa thức Q (x) T (x) thuộc L [x] có bậc > 0, cho P (x) = Q (x) T (x) Trong trường hợp ngược lại, P (x) gọi bất khả quy L [x] Định nghĩa 1.7 ([4]) Tập tất đa thức khả quy L [x] kí hiệu L∗ [x] Vậy P (x) khả quy L [x] kéo theo P (x) ∈ L∗ [x] P (x) bất khả quy L [x] kéo theo P (x) ∈ / L∗ [x] Tính chất 1.2 ([4]) Mọi đa thức P (x) ∈ R [x] với bậc lớn phân tích thành nhân tử bậc bậc hai nên coi P (x) ∈ R∗ [x] Nhận xét 1.1 ([4]) Tính khả quy đa thức thực chất có ý nghĩa Q [x] Z [x] L [x] Nếu P (x) ∈ Q [x] gọi M mẫu chung nhỏ mẫu số hệ số P (x) P (x) = P1 (x) với P1 (x) ∈ Z [x] M Hiển nhiên, P (x) khả quy L [x] với A ∈ L, đa thức A.P (x) khả quy L [x] Bởi ta xét tính khả quy đa thức thuộc Z [x] Định nghĩa 1.8 ([4]) Đa thức P (x) ∈ Z [x] gọi đa thức nguyên hệ số nguyên tố (có thể không đôi nguyên tố nhau) Tính chất 1.3 ([4]) Nếu f (x) ∈ Q [x] tồn đa a thức nguyên f1 (x) phân số tối giản (a ∈ Z, b ∈ N∗ ) cho b a f (x) = f1 (x) b Tính chất 1.4 ([4]) Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên Tính chất 1.5 ([4]) Nếu đa thức P (x) ∈ Z [x] có bậc lớn mà không thuộc Z∗ [x] không thuộc Q∗ [x] Bổ đề 1.1 Cho đa thức P (x) ∈ Z [x] có bậc n, a, b hai số nguyên khác Khi [P (a) − P (b)] (a − b) p Bổ đề 1.2 ([4]) Chứng minh phân số tối giản , ((p, q) = 1) q nghiệm đa thức với hệ số nguyên f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 p ước a0 q ước an Mệnh đề 1.1 ([7]) Nếu đa thức đa thức f (x) ∈ Z [x] có nghiệm số p hữu tỉ , ((p, q) = 1) qx − p nhân tử đa thức f (x) ∈ Z [x] q Tính chất 1.6 (Tiêu chuẩn Eisentein) Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 với hệ số nguyên Giả sử có cách chọn số nguyên tố p, thỏa mãn điều kiện: (1) Hệ số cao an không chia hết cho p; (2) Tất hệ số lại chia hết cho p; (3) Hệ số tự a0 chia hết cho p không chia hết cho p2 Khi đa thức f (x) không phân tích thành tích nhân tử với bậc thấp hơn, với hệ số hữu tỉ hay đa thức f (x) bất khả quy Q [x] 1.3 BẤT ĐẲNG THỨC Trong luận văn này, ta có sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc sau Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy [5]) Với số (xi ) , (yi ) ta có bất đẳng thức sau n xi y i i=1 n n x2i ≤ i=1 yi2 i=1 Dấu đẳng thức xảy hai số (xi ) (yi ) tỉ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực α, β không đồng thời 0, cho αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, , n Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Cauchy (đôi gọi bất đẳng thức Bunhiascopki, Cauchy - Schwarz Cauchy - Bunhiascopki) Định lý 1.4 (Bất đẳng thức AM-GM [5]) Giả sử x1 , x2 , , xn số không âm Khi √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n (1.1) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Bất đẳng thức (1.1) bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, thường gọi bất đẳng thức AM - GM 10 f (x) A gọi giải phương trình đại số bậc n an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = A với x ẩn Định lý 2.2 ([4]) Giả sử A trường, a ∈ A f (x) ∈ A [x] Dư số phép chia f (x) cho x − a f (a) Hệ 2.5 ([4]) Giả sử A trường, a ∈ A f ∈ A [x] a nghiệm f (x) f (x) chia hết cho x − a Bài toán 2.1 ([7]) Tìm đa thức bậc ba f (x) cho f (x) chia hết cho (x − 2) f (x) chia cho x2 − dư 2x Bài toán 2.2 ([7]) Xác định đa thức f (x) = 6x4 − 7x3 + ax2 + 3x + chia hết cho x2 − x + b Bài toán 2.3 Tìm cặp số a, b cho x4 + 4x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức Bài toán 2.4 ([4]) Xác định đa thức bậc n dạng f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , biết chia f (x) cho (x − b1 ) , (x − b2 ) , , (x − bn ) , (bi ∈ Z, bi = bj , i = j), có chung số dư m với m ∈ Z Bài toán 2.5 Xác định đa thức P (x) với hệ số nguyên cho với số tự nhiên n P (n) ước tự nhiên 2015 Bài toán 2.6 ([4]) Chứng minh không tồn đa thức bậc lớn với hệ số nguyên dương để m ∈ N∗ luôn kéo theo P (m) số nguyên tố 2.2 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO TÍNH CHẤT NGHIỆM Trong phần này, ta xét toán xác định đa thức đại số theo tính chất nghiệm đa thức định lí Vieete, tính chất nghiệm thực, nghiệm hữu tỉ đa thức Ta nhắc lại số kiến thức liên quan 11 Định lý 2.3 (Định lí Vieete, [4]) a Giả sử phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an = 0) , (1) có n nghiệm thực (hoặc phức) x1 , x2 , , xn  an−1   E1 (x) = x1 + x2 + · · · + xn = −   an   an−2  E2 (x) = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn = an      n a0   En (x) = x1 x xn = (−1) an b Ngược lại số x1 , x2 , , xn thỏa mãn hệ chúng nghiệm phương trình (1) c Các hàm E1 (x) , E2 (x) , , En (x) gọi hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp Vieete bậc 1, 2, , n tương ứng Nhận xét 2.3 Đặc biệt đa thức có hệ số cao (hay an = 1) theo định lí Vieete ta có    E1 (x) = x1 + x2 + + xn = −an−1 E2 (x) = x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn = an−2   En (x) = x1 x xn = (−1)n a0 Nhận xét 2.4 Định lí Vieete mối quan hệ nghiệm đa thức với tất hệ số đa thức r Mệnh đề 2.2 Nếu đa thức f (x) ∈ Z [x] có nghiệm số hữu tỉ với s (r, s) = sx − r nhân tử f (x) ∈ Z [x] Định lý 2.4 ([7]) Cho đa thức f (x) ∈ R [x] có nghiệm x1 , x2 , , xm với bội tương ứng k1 , k2 , , km Khi tồn đa thức g (x) ∈ R [x] cho f (x) = (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 (x − xm )km g (x) Mệnh đề 2.3 ([7]) Cho đa thức f (x) ∈ R [x] Nếu degf = n ki bội nghiệm xi với i = 1, , m k1 + k2 + · · · + km ≤ n 12 Đặc biệt, k1 + k2 + · · · + km = n ta có phân tích đầy đủ theo nghiệm x1 , x2 , , xm (có thể trùng nhau) đa thức f (x) bậc n f (x) = a0 (x − x1 ) (x − x2 ) (x − xn ) , a0 ∈ R Bài toán 2.7 ([7]) Xác định đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c biết đa thức có ba nghiệm u, v, t u3 , v , t3 ba nghiệm phương trình x3 + a3 x2 + b3 x + c3 = Bài toán 2.8 ([7]) Xác định đa thức P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + biết đa thức có nghiệm thực thỏa a2 + b2 + c2 bé Bài toán 2.9 ([4]) Tìm đa thức dạng n ak xk , P (x) = ak ∈ {−1, 1} , ∀k ∈ {0, 1, , n} k=0 có nghiệm thực Bài toán 2.10 ([7]) Tìm tất đa thức f (x) ∈ Z (x) dạng f (x) = n!xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + (−1)n n (n + 1) có nghiệm thực x1 , x2 , , xn thỏa mãn xk ∈ [k, k + 1] , ∀k ∈ {1, 2, , n} Bài toán 2.11 ([7]) Với số nguyên tố p có n + (n ∈ N ) chữ số p = an an−1 a1 a0 ta xét đa thức fp (x) ∈ Z [x] tương ứng dạng fp (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Xác định tất đa thức fp (x) biết có nghiệm hữu tỉ Bài toán 2.12 ([1]) Xác định đa thức P (x) ∈ Z (x) không đồng √ √ bậc nhỏ nhận x = + 3 làm nghiệm 13 2.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG HÀM VỚI CÁC BIẾN TỰ DO Bài toán xác định đa thức theo đặc trưng hàm với biến tự thực chất toán giải phương trình hàm lớp hàm đa thức với cặp biến tự Phương pháp đặc biệt hóa phương pháp thường hay sử dụng giải phương trình hàm với cặp biến tự Trong phương pháp này, thay biến x giá trị đặc biệt việc chọn giá trị đặc biệt đòi hỏi nhạy cảm giúp ta tìm hàm đa thức f (x) từ phương trình Một số kĩ thuật cần lưu ý giải phương trình hàm với cặp biến tự (1) Nếu phương trình hàm có chứa x + y x − y ta thường đặt u = x + y v = x − y (2) Nếu phương trình hàm chứa cặp biến tự x, y chứa nhiều ẩn hàm chẳng hạn hàm f g , ta thường tách biến theo x y để biểu diễn hàm f theo g , sau thay vào phương trình hàm cho để đưa ẩn hàm Bài toán 2.13 (Đề thi Olympic 30-4-2012, [1]) Tìm tất cặp đa thức f (x) , g (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện f (0) = g (0) = 1, g (1) = f (x) − f (y) = (x − y) g (x + y) , ∀x, y ∈ R Bài toán 2.14 ([1]) Tìm tất đa thức f (x) ∈ R [x] bậc n thỏa mãn điều kiện f x2 − y = f (x + y) f (x − y) , ∀x, y ∈ R Bài toán 2.15 ([1]) Tìm đa thức f (x) thỏa mãn f (x) f (y) = f x+y − f2 x−y , ∀x, y ∈ R Bài toán 2.16 (MONDOVA-2004; Algerial MO-2011, [1]) Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện f x3 − f y = x2 + xy + y [f (x) − f (y)] , ∀x, y ∈ R 14 Bài toán 2.17 (Olympic Toán sinh viên toàn quốc năm 2011, [1]) Tìm tất đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện (x − y) f (x + y) − (x + y) f (x − y) = 4xy x2 − y , ∀x, y ∈ R Bài toán 2.18 (Bangladesh MO - 2012, [1]) Tìm tất đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện f x2 − y = (x − y) [f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈ R 2.4 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC BỞI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ Bài toán 2.19 Tìm tất đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện f (x) f x2 = f 2015x3 + 2016x2 , ∀x ∈ R Bài toán 2.20 ([1]) Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện (x − 1) f (x + 1) − (x + 2) f (x) = 0, ∀x ∈ R Bài toán 2.21 ([4]) Cho a, b ∈ R+ Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện xP (x − a) = (x − b) P (x) , ∀x ∈ R Bài toán 2.22 (Việt Nam, 2006, [1]) Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện P x2 + x [3P (x) + P (−x)] = P (x) + 2x2 , ∀x ∈ R Bài toán 2.23 Cho số nguyên dương k Tìm tất đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện (x − 2015)k P (x) = (x − 2016)k P (x + 1) , ∀x ∈ R Bài toán 2.24 (Olympic Moldova - 2014, [1]) Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện x3 + 3x2 + 3x + P (x − 1) = x3 − 3x2 + 3x − P (x) , ∀x ∈ R 15 2.5 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG NỘI SUY Bài toán 2.25 (Bài toán nội suy Lagrange, [6]) Cho n số thực phân biệt x1 , x2 , , xn n số thực a1 , a2 , , an Tìm tất đa thức P (x) có degP (x) ≤ n − thỏa mãn điều kiện P (xk ) = ak ∈ R với k = 1, , n Nhận xét 2.5 Đa thức f (x) ∈ R [x] thực có bậc không n hoàn toàn xác định biết n giá trị f (xk ) , (k = n) với n số thực phân biệt x1 , x2 , , xn cho trước Bài toán 2.26 Xác định đa thức bậc năm f (x) ∈ R [x] biết f (0) = 1, f (1) = 2, f (−1) = −2, f (2) = 37, f (−2) = 43 f (3) = 262 Bài toán 2.27 ([4]) Tìm tất đa thức P (x) có bậc nhỏ thua n n thỏa mãn điều kiện (−1)k Cnk P (k) = k=0 Bài toán 2.28 ([1]) Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện P (2015) = 2017, P (x) = P (x2 + 1) − + 2, ∀x ≥ Bài toán 2.29 ([1]) Tìm tất đa thức P (x) với hệ số nguyên không âm không lớn P (9) = 32078 Bài toán 2.30 ([4]) Chứng minh tồn đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên cho P (x) − 1 < , ∀x ∈ , 1000 10 10 Bài toán 2.31 ([4]) Cho hai số nguyên dương p, q Chứng minh tồn đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên cho P (x) − p < với x ∈ q q , 2q 2q Bài toán 2.32 Tồn hay không đa thức P (x) hệ số nguyên thỏa mãn P (2015) = 2014 P (2013) = 2011 16 Bài toán 2.33 (Phần Lan 2009, [7]) Cho đa thức P (x) hệ số nguyên thỏa mãn P (4) = P (3) = Tồn hay không số nguyên x cho P (x) = x 17 CHƯƠNG XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH Trong phần này, ta xét dạng toán xác định đa thức theo số yếu tố giải tích tính chất giới hạn liên tục, vi phân tích phân hàm đa thức 3.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG GIỚI HẠN, LIÊN TỤC Trước hết, ta nhắc lại số kiến thức liên quan tính giới hạn liên tục hàm đa thức Định nghĩa 3.10 (Giới hạn dãy số thực, [2]) Cho dãy số thực {un } Số a ∈ R gọi giới hạn dãy {un } với ε > cho trước tồn số n0 (phụ thuộc ε)sao cho với n > n0 ta có |un − a| < ε Khi ta nói dãy {un } hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn a ta viết un → a (n → ∞) hay lim un = a n→∞ Ta viết lại định nghĩa sau lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 (ε) cho ∀n > n0 ta có |un − a| < ε n→∞ Định lý 3.1 (Nguyên lí hội tụ Cauchy, [2]) Dãy số thực {un } hội tụ dãy bản, tức ∀ε > 0, ∃n0 cho ∀n, m > n0 ta có |un − um | < ε Bổ đề 3.3 Cho dãy {un } với un = + dãy {un } phân kỳ 1 + · · · + Chứng minh n Định nghĩa 3.11 (Giới hạn hàm số, [2]) Cho tập A ⊂ R, f : A → R, a điểm tụ tập A Khi số thực l gọi giới hạn hàm số f (x) điểm a 18 ∀ε > 0, ∃δ (a, ε) , ∀x ∈ A cho < |x − a| < δ |f (x) − l| < ε Kí hiệu lim f (x) = l hay f (x) → l x → a x→∞ Định nghĩa 3.12 ( Hàm liên tục, [2]) Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số f : A → R điểm x0 ∈ A Nếu với ε > cho trước tồn δ > (phụ thuộc vào ε) cho với x ∈ {x ∈ A| |x − x0 | < ε} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tục điểm x0 Nếu f liên tục điểm ta nói f liên tục A Nếu f không liên tục điểm x0 ta nói f gián đoạn x0 hay x0 điểm gián đoạn hàm f Nhận xét 3.6 (Tính giới hạn liên tục hàm đa thức thực, [7]) Cho f (x) ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an = 0) Ta có nhận xét sau: (1) Hàm đa thức f (x) liên tục R (2) Với an > lim f (x) = +∞ với an < lim f (x) = −∞ x→+∞ x→+∞ (3) Với n chẵn an > n lẻ an < lim f (x) = +∞ x→−∞ (4) Với n chẵn an < n lẻ an > lim f (x) = −∞ x→−∞ Định lý 3.2 (Định lí Bolzano-Cauchy thứ nhất, [2]) Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục đoạn [a, b] f (a) f (b) < Khi tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Bài toán 3.34 (Olympic 30-4, [9]) Có tồn hay không hai đa thức P (x) , Q (x) ∈ R [x] cho P (n) 1 = + + · · · + , ∀n ∈ N∗ Q (n) n Bài toán 3.35 (International Zhautykov Olympiad 2012, [7]) Cho c số thực P (x) , R (x) , Q (x) đa thức với hệ số thực cho P [Q (x)] + P [R (x)] = c với x ∈ R Chứng minh P (x) đa thức R (x) + Q (x) đa thức 19 3.2 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG VI PHÂN Trước hết, ta nhắc lại số kiến thức liên quan đến phép tính vi phân hàm đa thức biến Định nghĩa 3.13 (Hàm khả vi, [2]) Xét hàm số y = f (x) xác định lân cận U điểm x0 ∈ R Cho x0 số gia ∆x bé cho x0 + ∆x ∈ U Khi số ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia hàm số ứng với số gia đối số ∆x điểm x0 ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) Nếu tỉ số = có giới hạn hữu hạn ∆x → ∆x ∆x giới hạn gọi đạo hàm hàm f x x0 kí hiệu f (x0 ) với f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x Khi đó, ta nói hàm f khả vi x0 f (x0 ) = lim Định nghĩa 3.14 ([2]) Cho U tập hợp mở R, f : U → R hàm xác định U Hàm f gọi khả vi U f khả vi điểm U Khi hàm số f :U →R x → f (x) gọi đạo hàm hàm số f U Nhận xét 3.7 (Tính khả vi hàm đa thức [7]) Giả sử f (x) ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an = 0) Khi đó, hàm đa thức f (x) khả vi R có f (x) = nan xn−1 + (n − 1) an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 , f (x) = n (n − 1) an xn−2 + (n − 1) (n − 2) an−1 xn−3 + · · · + 6a3 x + 2a2 , n! an xn−k + · · · + k!ak , f k (x) = (n − k)! f (n) (x) = n!an Nhận xét 3.8 ([7]) Nếu f (x) ∈ R [x] deg f = n, ∀n ∈ N∗ deg f = n − 1, deg f = n − 2, , deg f (k) = n − k, deg f (n) = 20 Bổ đề 3.4 ([7]) Chứng minh phương trình hệ số thực có bậc lẻ luôn có nghiệm Định lý 3.3 ([7]) Cho f (x) ∈ R [x] deg f = n, ∀n ∈ N∗ α nghiệm bội k f (x) f (α) = f (α) = · · · = f (k−1) (α) = f (k) (α) = Nhận xét 3.9 ([7]) Cho f (x) ∈ R [x] deg f = n, ∀n ∈ N∗ Nếu f (x) có nghiệm bội k > f (x) có nghiệm bội k − Bài toán 3.36 Xác định đa thức f (x) = 2x4 + ax3 + bx2 + ax − b với a, b ∈ R biết đa thức chia hết cho (x − 1)2 Bài toán 3.37 ([7]) Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn hệ thức f (2x) = f (x) f (x) Bài toán 3.38 ([1]) Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] thỏa mãn hệ thức f (3x) = f (x) f (x) f (x) Bài toán 3.39 (Olympic Toán sinh viên toàn quốc 2005, [7]) Chứng minh không tồn đa thức P (x) ∈ R [x] thỏa mãn điều kiện P (x) > P (x), ∀x ∈ R P (x) > P (x), ∀x ∈ R Bài toán 3.40 (Bài toán nội suy Taylor, [6]) Cho số thực x0 a0 , a1 , , an Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] có bậc không n thỏa mãn điều kiện P (k) (x0 ) = ak với k = 0, 1, , n Bài toán 3.41 ([6]) Cho hai số phân biệt x0 x1 Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] có degP (x) ≤ n (n ∈ N∗ ) thỏa mãn điều kiện P (x0 ) = P (k) (x1 ) = với k ∈ {0, 1, , n − 1} Bài toán 3.42 Cho hai số phân biệt x0 x1 Tìm tất đa thức P (x) có degP (x) ≤ n (n ∈ N∗ ) thỏa mãn điều kiện P (x0 ) = 1, P (x0 ) = P (k) (x1 ) = với k ∈ {0, 1, , n − 1} 21 3.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG TÍCH PHÂN Trước hết, ta nhắc lại số kiến thức liên quan đến phép tính tích phân hàm đa thức thực biến Định nghĩa 3.15 ([2]) Cho hàm số f xác định khoảng U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn tập số thực) Hàm khả vi F U gọi nguyên hàm f khoảng F (x) = f (x) với x ∈ U Định lý 3.4 ([2]) Nếu khoảng U hàm f có nguyên hàm có vô số nguyên hàm nguyên hàm f U xác định sai khác số cộng Định nghĩa 3.16 Tập hợp tất nguyên hàm hàm f khoảng U gọi tích phân không xác định hàm f U kí hiệu f (x)dx Giả sử F nguyên hàm f U , theo định lí (3.4) ta có f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R Định nghĩa 3.17 (Tích phân xác định, [2]) Ta nói họ tổng tích phân {σf (T, ξ)} có giới hạn I ∈ R d (T ) → cho trước ε > bé tùy ý cho trước tồn số δ (ε) cho với T ∈ P (∆) với d (T ) < δ với cách lấy điểm ξ ta có |σf (T, ξ) − I| < ε Khi đó, ta viết lim σf (T, ξ) = I d(T )→∞ Giới hạn I tồn gọi tích phân xác định hàm f đoạn ∆ với hai đầu mút a, b kí hiệu b I= f (x)dx a Và đó, hàm f gọi khả tích theo nghĩa Riemann đoạn ∆ Nhận xét 3.10 ([2]) Từ định nghĩa tích phân xác định, ta có tính chất sau 22 a • f (x)dx = 0, ∀a ∈ R a b • a f (x)dx = − f (x)dx a b Định nghĩa 3.18 (Công thức Newton-Leibniz, [2]) Giả sử f : [a, b] → R hàm liên tục x Khi đó, hàm F (x) = f (t) dt nguyên hàm f (x) [a, b] a Do đó, Φ nguyên hàm khác f [a, b] ta có x f (t) dt với x ∈ [a, b] Φ (x) = F (x) + C = a a f (t) dt + C = C Với x = a ta có Φ (a) = a Như vậy, x Φ (x) = x f (t) dt = Φ (x) − Φ (a) f (t) dt + Φ (a) hay a a Cho x = b ta có công thức Newton-Leibniz b f (t) dt = Φ (b) − Φ (a) a Thông thường, ta kí hiệu Φ (x) |ba = Φ (b) − Φ (a) Khi công thức công thức Newton-Leibniz viết b f (t) dt = Φ (t) |ba = Φ (b) − Φ (a) a Nhận xét 3.11 ([7]) Giả sử f (x) ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an = 0) Khi đó, hàm đa thức f (x) khả tích R có họ nguyên hàm an n+1 an−1 n F (x) = f (x)dx = x + x + · · · + a0 x + C với C ∈ R n+1 n 23 Bài toán 3.43 (Bài toán nội suy Newton, [6]) Cho hai số thực (x0 , x1 , , xn ) (a0 , a1 , , an ) Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] có bậc không n thỏa mãn điều kiện P (k) (xk ) = ak , với k = 0, 1, , n Nhận xét 3.12 Từ toán (3.43), đa thức P (x) hoàn toàn xác định biết P (k) (xk ) = ak với hai (x0 , x1 , , xn ) (a0 , a1 , , an ) cho trước Bài toán 3.44 Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] bậc thỏa mãn điều kiện f (n) (n + 1) = (−1)n n2 − 5n + với n = 0, 1, 2, 3, 24 KẾT LUẬN Tóm lại, từ toán sách báo tham khảo, luận văn tổng hợp, xếp cách có hệ thống kết thu nhận được, trình bày lại chứng minh cách rõ ràng mà đảm bảo tính chặt chẽ chúng Đó đóng góp tác giả luận văn Luận văn Một số lớp toán xác định đa thức đại số giải vấn đề sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến số lớp toán xác định đa thức đại số Trình bày số phương pháp giải số lớp toán xác định đa thức đại số Hệ thống số tập theo lớp toán xác định đa thức đại số theo yếu tố đại số, hình học giải tích Các kết đề tài áp dụng tập hợp số thực Hướng nghiên cứu đề tài mở rộng nghiên cứu lớp toán xác định đa thức tập hợp số phức Vì thời gian lực có hạn nên Luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để Luận văn hoàn chỉnh ... ([4]) Đa thức có vô số nghiệm đa thức không Hệ 1.2 ([1]) Nếu đa thức thực có bậc n có n nghiệm đa thức không Hệ 1.3 ([4]) Nếu đa thức có bậc không n mà nhận giá trị n + điểm phân biệt đối số đa. .. a0 hệ số tự đa thức Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy A kí hiệu A [x] Chú ý 1.1 Trong luận văn này, ta xét đa thức thực đại số, tức đa thức biến trường số thực R Định nghĩa 1.2 (Bậc đa thức, [4])... Nếu an = n gọi bậc đa thức Pn (x), kí hiệu degP = n Nếu ak = (k = 1, , n) a0 = ta có bậc đa thức Ta gọi đa thức Pn (x) = a0 đa thức Nếu ak = (k = 0, , n) ta gọi Pn (x) đa thức không người