XÂY DỰNG MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM LỒI

HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN THÁNG 05/2015 XÂY DỰNG MỘT SỚ LỚP BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM LỜI ThS Võ Đức Thịnh Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đờng Tháp Email: vdthinh@dthu.edu.vn Vũ Nhân Khánh ĐHSTOAN14B, Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đờng Tháp Email: vunhankhanh12@gmail.com Tóm tắt Trong bài viết này, chúng tơi sử dụng phương pháp hàm lời để chứng minh mợt sớ bài toán bất đẳng thức Sau đó, bằng cách sử dụng các hàm lời f ( x)   ln x và f ( x )  x  để xây dựng mợt sớ bài toán bất đẳng thức Giới thiệu Hằng năm bài toán về bất đẳng thức (BĐT) đều được đưa vào đề thi đại học và được xem là mợt những câu hỏi khó nhất để phân loại thí sinh Hiện nay, nhiều phương pháp chứng minh BĐT đã được giới thiệu phương pháp ch̉n hoá, phương pháp dờn biến, phương pháp tiếp tún, Trong bài này, chúng tơi trình bày phương pháp sử dụng hàm lời để giải các bài toán BĐT Ngoài ra, chúng tơi cũng xây dựng mợt sớ lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức sở các bất đẳng thức đã có và giải chúng bằng phương pháp hàm lời Lí thút hàm lời Trong phần này, chúng tơi giới thiệu mợt sớ kiến thức bản về hàm lời Trước tiên, chúng tơi giới thiệu khái niệm về hàm lời Định nghĩa 2.1 Giả sử I là mợt khoảng Hàm sớ f : I  được gọi là lời khoảng I nếu với x1; x2  I ,với   [0;1] ta có: f (ax1  (1  a) x2 )  af ( x1 )  (1  a) f ( x2 ) Sau đây, chúng tơi sẽ trình bày mợt sớ tính chất của hàm lời: Định lí 2.2 Giả sử f có đạo hàm I Khi đó f là hàm lời I và chỉ f ' tăng I Hệ quả 2.3 Giả sử f có đạo hàm đến cấp hai Khi đó f là hàm lời và chỉ f ''  x  I Định lý 2.4 Giả sử f là mợt hàm liên tục khoảng I thoả mãn điều kiện  x  y  f  x  f y f với x , y  I    Khi đó, f lời I Sau chúng tơi sẽ giới thiệu mợt sớ hàm lời quen tḥc 110 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN THÁNG 05/2015 y  x  x  0;  hoặc  1 ; y   ln x  x   ;   y  ln  e x ; y  x ln x  x   Định lí 2.5 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử x1 , x2 , , xn  I và 1 , ,  n  0;1 cho 1      n  Khi đó nếu f(x) lời I thì f 1 x1  2 x2    n xn   1 f  x1   2 f  x2     n f  xn  Hệ quả 2.6 Giả sử x1 , , xn  I và m1 , m2 , , mn  Đặt m  m1  m2   mn và m m1 m ;  ; ; n  n Khi đó ta có m m m  m x   mn xn  m1 f  x1    mn f  xn  f 1  m  m   m m  m   m n  n  Áp dụng Hiện nay, các bài toán bất đẳng thức mợt sớ đề thi đại học có thể giải bằng phương pháp hàm lời Sau chúng tơi sẽ sử dụng phương pháp hàm lời để chứng minh các bất đẳng thức các đề thi tủn sinh đại học năm 2005, khới A,B Sau đó, sở lời giải của các bài toán này, chúng tơi xây dựng mợt sớ lớp bài toán bất đẳng thức có thể giải được bằng phương pháp hàm lời 1  3.1 Xây dựng lớp bài toán bất đẳng thức thơng qua hàm lời f ( x)   ln( x) với x0 Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x  , ta có x x x  12   15   20  x x x       3 4 5  5  4   (ĐH B-2005) Chứng minh Xét f ( x)   ln x Khi đó f ( x ) là hàm lời (0; ) Ta có: a a  1na  1na2 1n      1n a1a2 (1) 2   x x  12   15  Chọn a1    ; a2    Khi đó, ta có  5  4   12  x  15  x       x x  12   15        ln     ln               111 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN x THÁNG 05/2015 x  12   15  x x x x      12   15   12   15      Do đó      Suy       2.3x  5  4  5  4 x x x (2) x  12   20   15   20  Tương tự, ta có       2.4 x ;       2.5x (3)         Từ (2) và (3), ta được điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng a1  a2   an n  a1.a2 an với a1 , a2 ,., an  n Chứng minh • Nếu mina1 , a2 ,., an   thì a1.a2 an  Do đó bất đẳng thức là đúng • Xét trường hợp lại: mina1 , a2 ,., an   Đặt f ( x )   ln x với x  Khi đó f ( x) là hàm lời với x  Ta có  a  a  an  ln a3  ln a2   ln an  ln    ln n a1a2 an  n n   Do đó a1  a2   an n  a1a2 an a1a2 an  n a2 b2 c2    a  b  c với mọi a, b, c  Ví dụ 3: Chứng minh rằng b c a a2 Chứng minh Trong (1) , ta thay a1  ; a2  b  a, b   , ta được b  a2   a2   b b  ln  b     ln   b          a2 a2 b2 b  2a b b b2 c2 Tương tự ta có:  c  2b  b, c   ;  a  2c  a, c   c a Do Từ    5 ,suy a2 b2 c2    a  b  c a, b, c  b c a 112 4  5 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN THÁNG 05/2015 a3 b3 c    a  b  c,với a, b, c  bc ca ab (Canada MO 2002) Chứng minh: Xét f ( x)   ln x Khi đó f ( x ) là hàm lời khoảng  0;  Ta Ví dụ 4: Chứng minh rằng có: a a a  ln a1  ln a2  ln a3  ln       ln a1a2 a3 3    a3  bc  a a3 bc Chọn a1  ; a2  b; a3  c Ta có:  ln  bc    ln bc bc       a Suy ra:  b  c  3a bc b3 c3 Tương tự ta có  a  c  3b;  a  b  3c ac ab 6  7 8 a3 b3 c    a  b  c ` bc ac ab Bằng cách sử dụng tính chất của hàm lời f ( x)   ln( x) và chọn biến sớ thích hợp, ta có thể chứng minh mợt sớ bất đẳng thức sau theo cách tương tự a3 b3 c3    a  b  c,với a, b, c  b c a 3 a b c3 a2 b2 c 2      ,với a, b, c  b c a b c a 3 a b c    ab  bc  ca,với a, b, c  b c a a5 b5 c5    a2  b2  c ,với a, b, c  b c a Từ    8 ,suy 3.2 Xây dựng lớp bài toán bất đẳng thức thơng qua hàm lời f ( x )  x   x  0;  hoặc  1 1    Chứng minh rằng x y z 1    x  y  z x  y  z x  y  2z (ĐH A-2005) Chứng minh Xét f  x   Khi đó f  x  lời khoảng (0; ) Ta có: x Ví dụ 5: Cho x,y,z là các sớ dương thoả mãn 113 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN THÁNG 05/2015  2a  b  c  f    f  a1   f  a2   f  a3    Thay a1; a2 ; a3 ba số x; y; z ; y; x; z ; z; x; y , ta ba BĐT         1  1 1  1     ;     ; x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  1 1 2      x  y  2z 16  x y z  Cợng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được 1 1 4 4         x  y  z x  y  z x  y  2z 16  x y z  Ví dụ 6: Chứng minh rằng: a b c 1       với a, b, c  0; x, y, z   ax  by  cz  a  b  c 2  x y z  Khi đó f  x  lời khoảng  0;  Ta có: x  ax  by  cz  f af  x   bf  y   cf  z    abc  abc Chứng minh Xét f  x    Suy Dó  a b c abc     a  b  c  x y z  ax  by  cz a b c 1      ax  by  cz  a  b  c 2  x y z  Nhận xét 7: Trong Ví dụ 6, cho a  b  c  Ta được bất đẳng thức sau 1     x , y, z   x y z xyz Nhận xét 8: Ngoài ra, bất đẳng thức tởng quát với n biến sớ dương a1; a2 ; ; an cũng được chứng minh hoàn toàn tương tự 1 n2     a1 a2 an a1  a2   an Ví dụ 9: Cho a,b,c>0 thoả mãn điều kiện a3c  b2a  c3b  abc Chứng minh rằng b c a S    a  ab b  bc c  ca a2 b2 c2 Chứng minh Từ giả thiết, ta có:     a  b  c; a, b, c  b c a 114 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN THÁNG 05/2015 1     x , y, z   x y z xyz  a2  b2 c2 Sau đó, ta thay  x; y; z  lần lượt bằng các sớ   a;  b;  c  , ta được c a  b  1 9      2 2 2 a b c  a b c  a b c a b  c      a  b  c 2    b c a c a c a  b  b Sử dụng nhận xét 7, ta có : b c a 1      a2  ab b2  bc c2  ac a2 b2 c2 a b c b c a Do đó, bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 10: Cho a, b, c  Chứng minh rằng ab bc ca abc    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b (Tạp chí THTT) 1 Chứng minh Sử dụng Nhận xét 7, ta có :     x , y, z   x y z xyz Thay  x; y; z  lần lượt bằng ba bợ sớ Mặt khác S   a  c; b  c;2b;  a  b; a  c;2c ;  b  c; a  b;2a  , ta được: 1 1    ;    ; a  c b  c 2b a  3b  2c a  b a  c 2c 2a  b  3c 1    b  c a  b 2a 3a  2b  c Do đó, ta có: ab  1  ab bc  1  bc    ;    ;    a  c b  c 2b  a  3b  2c  a  b a  c 2c  2a  b  3c ac  1  ac      b  c a  b 2a  3a  2b  c Cợng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được ab bc ac  bc  ca ca  ab ab  bc a  b  c          a  3b  2c 2a  b  3c 3a  2b  c  a  b bc ac   abc 1 abc    a  b  c  9  Ví dụ 11: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: ab bc ac abc    a  b  2c b  c  2a a  c  2b 115 HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN THÁNG 05/2015 Chứng minh Áp dụng Nhận xét với n=2, ta có: 1    x, y   x y xy Thay  x; y  lần lượt bằng ba bợ sớ  a  c; b  c  ;  a  b; a  c  ;  b  c; a  b  ; ta được:  ab  1  ab       a  c b  c  2c  a  b  bc  1  bc       a  b a  c  2a  b  c  ac  1  ac       b  c a  b  2b  a  c Cợng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được ab bc ac  bc  ca ca  ab ab  bc  a  b  c        2c  a  b 2a  b  c 2b  a  c  a  b bc ac   1  a  c  b  c  2c  a  b     Suy   a  b a  c 2a  b  c   b  c  a  b  2b  a  c  Kết ḷn và kiến nghị Trong bài viết này, chúng tơi sử dụng hai hàm lời f ( x)   ln x và f ( x )  x  ( x  0,     1) để xây dựng và chứng minh mợt sớ bài toán bất đẳng thức Bằng cách tương tự với các hàm lời f ( x)  x ln x( x  0) và f ( x )  ln(1  e x ) , chúng ta có thể xây dựng mợt sớ bài toán bất đẳng thức khác Đây là vấn đề chúng tơi sẽ nghiên cứu tương lai TÀI LIỆU THAM KHẢO R T Rokafellar, Convex analysis, Princeton University Press, 1997 T Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức, NXB Tri Thức, 2011 116 ...  m n  n  Áp dụng Hiện nay, các bài toán bất đẳng thức mợt sớ đề thi đại học có thể giải bằng phương pháp hàm lời Sau chúng tơi sẽ sử dụng phương pháp hàm lời để... minh các bất đẳng thức các đề thi tủn sinh đại học năm 2005, khới A,B Sau đó, sở lời giải của các bài toán này, chúng tơi xây dựng mợt sớ lớp bài toán bất đẳng thức có... lớp bài toán bất đẳng thức có thể giải được bằng phương pháp hàm lời 1  3.1 Xây dựng lớp bài toán bất đẳng thức thơng qua hàm lời f ( x)   ln( x) với x0 Ví dụ 1: Chứng