bài toán liên quan khảo sát hàm số 12

Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 1 1. Tập xác ñịnh. 2. ðạo hàm y ′ . 3. Tìm m sao cho tập nghiệm bất phương trình ( ) 0 0 y y ′ ′ ≥ ≤ chứa tập T. Riêng với hàm số hữu tỷ cần chú ý nghiệm của mẫu không thuộc tập T. Bài 1 : Tìm tham số m ñể hàm số ( ) 2 y x m x m = − − nghịch biến trên khoảng ( ) ;0 − ∞ 3 2 y x mx m = − + − , 2 3 2 y x mx ′ = − + ( ) 3 2 x x m = − + , 0 0 2 3 x y m x =  ′ = ⇔  =   *) 0 m = : 0 y ′ = có nghiệm kép 0 x = 0,y x ′ ≤ ∀ ∈ ℝ ⇒ hàm số nghịch biến trên ℝ nên nghịch biến trên ( ) ;0 − ∞ . *) 0 m ≠ : x 0 2 3 m 2 3 m 0 0 m > y ′ − 0 + 0 − 0 m < − 0 + 0 − Vậy ( ) 0, ; 0 y x ′ ≤ ∀ − ∞ 0 m ⇔ > ðS: 0 m ≥ Bài 2 : Tìm tham số m ñể hàm số 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − ñồng biến trên khoảng ( ) 1; + ∞ Giải { } \ 2 D m = ℝ ( ) 2 2 2 4 , 2 2 x mx m y x m x m − + ′ = ∀ ≠ − 2 x m ∀ ≠ dấu của y ′ theo dấu của ( ) 2 2 4 h x x mx m = − + 0 y ′ = ( ) 2 2 2 4 0 x m h x x mx m ≠   ⇔  = − + =   2 2 2 2 2 4 8 0 4 0 m m m x mx m  − + ≠  ⇔  − + =   ( ) ( ) 1 2 0 2 3 , 2 3 m x m x m ≠   ⇔  = + = −   Hàm số ñồng biến trên ( ) 1; + ∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) 0, 1;h x x ≥ ∀ ∈ +∞ và ( ) ( ) 2 1 2 1;m m ≤ ∉ + ∞ . x 2 x 1 x 1 x 2 x 0 m > y ′ + 0 − 0 + 0 m < + 0 − 0 + Vậy ( ) ( ) 0, 1;h x x ≥ ∀ ∈ +∞ 2 1 1 2 0 1 0 1 m x x m x x  >    < ≤   ⇔  <    < ≤    ( ) ( ) 0 2 3 1 0 2 3 1 m m m m  >     + ≤     ⇔  <     − ≤     0 2 3 0 2 3 m m m m  >     ≤ −    ⇔  <      ≤ +    0 2 3 0 m m  < ≤ − ⇔  <  ðS: ( ) ( ; 0 0; 2 3 m  ∈ −∞ ∪ −  và 1 2 m ≤ hay ( ) ( ; 0 0; 2 3 m  ∈ −∞ ∪ −  vì 1 2 3 2 − < Bài 3 : Tìm tham số 0 m ≠ ñể hàm số ( ) 3 2 1 1 4 3 y mx m x x = − + + ñồng biến trên nửa khoảng [ ) 2; +∞ ðS: 1 m ≥ Bài 4 : Tìm tham số m ñể hàm số ( ) 3 2 1 1 1 3 2 y x m x m x = + − − thỏa mãn một trong các trường hợp sau: 1) Bài toán tìm tham số m ñể hàm số ( ) ; y f x m = ñồng biến (nghịch biến) trên tập T BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Bi toỏn liờn quan kho sỏt hm s Nguyn Tớch c TCV 8/2013 trang 2 a) ng bin trờn khong ( ) 1; + b) Nghch bin trờn khong ( ) 1;3 S: a) 1 m b) 3 m Bi 5 : Cho hm s 4 2 2 3 y x mx = + (*) a) Kho sỏt v v ủ th hm s (*) khi 1 m = b) Xỏc ủnh m ủ hm s (*) ủng bin trờn tng khong sau: i) ( ) 0; + ii) ( ) 1; + S: b.i) 0 m ii) 1 m Bi 6 : Tỡm tham s 0 m ủ hm s ( ) 3 2 1 1 4 3 y mx m x x = + + ủng bin trờn ủon [ ] 2;2 S: [ ) ( ] 1;0 0;1 m HNG DN GII Bi 3: 2 0 2,y x x m = = = * 1 0 m = = , y cú nghim kộp v 0,y x . Hm s ủng bin trờn [ ) 2; + * 1 0 m > . Bi toỏn tng ủng [ ) 0, 2;y x + x 1 x 2 x 1 x 2 x 0 m > y + 0 0 + 0 m < 0 + 0 Vy [ ) 0, 2;y x + 0 1 2 2 m m m > > < Cỏch 1 : ( ) ( ) 0 ; ; 0 0 (*) ủoồi daỏu tửứ dửụng sang aõm khi x ủi qua x f x m f x m = T ( ) * m , kim tra vic ủi du ca y vi nhng giỏ tr m tỡm ủc, ri kt lun. Cỏch 2 : ( ) ( ) 0 0 ; 0 ; 0 f x m f x m = < Bi 7 : Tỡm tham s m ủ hm s ( ) 3 2 4 3 y x m x mx = + + + ủt cc tiu ti 1 3 x = ( ) 2 1 1 1 12 2 3 0 2 3 3 3 y m m m = + + + = = Vi 2 m = , 3 2 4 5 2 y x x x = + + 2 12 10 2 y x x = + + Cỏch 1 : x 1 2 1 3 + y + 0 0 + Cỏch 2: 1 2 0 3 y = > Bi 8 : Tỡm tham s m ủ hm s ( ) 3 2 2 1 1 1 3 y x mx m m x = + + + ủt cc ủi ti 1 x = . S: 2 m = . 2) Bi toỏn tỡm tham s m ủ hm s ( ) y f x; m = ủt cc ủi ti x 0 Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 3 1. Tập xác ñịnh. 2. ðạo hàm y ′ . 3. Tìm m ñể phương trình 0 y ′ = có nghiệm và ñổi dấu khi ñi qua các nghiệm. Trong các hàm số của chương trình 12, ñạo hàm y ′ phụ thuộc dấu một tam thức bậc hai ( ) g x . Vậy phương trình 0 y ′ = có nghiệm và ñổi dấu khi ñi qua các nghiệm ( ) ( ) 0 0 0 g x g x ∆ >   ⇔  ≠   với 0 x là nghiệm (nếu có) của mẫu hàm số ( ) ; f x m . Nếu gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của g(x) (tương ứng 1 2 , y y và ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; M x y N x y ). Khi này, bài toán ñược mở rộng thêm theo những hướng sau: Hướng 1: Liên quan giữa hai nghiệm 1 2 , x x của tam thức bậc hai * Hai nghiệm thoả ñẳng thức ( ) 1 2 ; 0 P x x = : ta có hệ ( ) 1 2 1 2 1 2 ; 0 P b x x a c x x a x x  + = −   =   =   Hệ 3 ẩn ( ) 1 2 ; ; x x m , cần khử 1 2 , x x ñể tìm m và ñối chiếu ñiều kiện tồn tại cực trị ñể kết luận nghiệm bài toán. * Hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, thuộc khoảng ñoạn cho trước (so sánh 2 nghiệm với một số). * Biểu thức ( ) 1 2 ;P x x (thường là biểu thức ñối xứng) ñạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Hướng 2: Liên quan giữa 1 2 , y y . Lúc này 1 2 , y y biểu diễn ñược theo 1 2 , x x nên tương ứng có những yêu cầu như hướng 1. Chú ý: Kỹ thuật tính giá trị cực trị của một số dạng hàm số trong những trường hợp nghiệm 1 2 , x x của phương trình 0 y ′ = quá phức tạp: * Với hàm số có dạng phân thức hữu tỉ ( ) ( ) ( ) u x y x v x = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 u x v x v x u x y x v x ′ ′ − ′ = , hàm số ñạt cực trị tại 0 x thì ( ) 0 0 y x ′ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 0 u x v x v x u x v x ′ ′ − ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 u x v x v x u x ′ ′ ⇒ − = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 u x u x v x v x ′ ⇒ = ′ Vậy ( ) 1 1 y y x = ( ) ( ) 1 1 u x v x = ( ) ( ) 1 1 u x v x ′ = ′ ; ( ) ( ) 2 2 2 u x y v x ′ = ′ * Với hàm số có dạng ña thức: Thực hiện phép chia ña thức ( ) y x của hàm số cho ( ) y x ′ , ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) . y x y x q x r x ′ = + . Rõ ràng 1 2 , x x là nghiệm của y ′ nên ( ) ( ) 1 2 0 y x y x ′ ′ = = Vậy ( ) ( ) 1 1 2 2 ; y r x y r x = = . Hướng 3: Liên quan giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị 1. Hai ñiểm cực trị nằm cùng một phía hoặc khác phía so với ñường thẳng cho trước. 2. Viết phương trình ñường thẳng qua hai ñiểm cực trị (dựa cách tính 1 2 , y y ). 3. Hai ñiểm cực trị cùng với ñiểm ( ) 0 0 0 ; M x y cho trước thẳng hàng. 4. Hai ñiểm cực trị nhận ( ) 0 0 0 ; M x y làm trung ñiểm. 3) Bài toán tìm tham số m ñể hàm số ( ) y f x; m = có cực trị (ñiểm cực trị, giá trị cực trị) Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 4 5. Hai ñiểm cực trị ñối xứng qua ñường thẳng (d) cho trước. 6. Khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị nhỏ nhất. 7. Khoảng cách từ hai ñiểm cực trị ñến ñường thẳng (d) thoả mãn ñiều kiện (thường là cách ñều). 8. Quỹ tích trung ñiểm của ñoạn thẳng nối 2 ñiểm cực trị. 9. ðường thẳng qua 2 ñiểm cực trị tạo với ñường thẳng (d) cho trước một góc ϕ . Các dạng trong hướng 3, bạn phải vận dụng kiến thức “tọa ñộ trong mặt phẳng” ñể giải. ðồ thị hàm số y ax bx c = + + 4 2 , ( ) 2 2 2 y x ax b ′ = + khi có 3 ñiểm cực trị ( ) 0; A c , ; 2 B b B y a   −       , ; 2 C b C y a         sẽ gặp một số yêu cầu sau: a) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác vuông b) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác ñều c) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trọng tâm hoặc làm tâm ñường tròn ngoại tiếp d) 3 ñiểm cực trị ñều nằm trên các trục tọa ñộ e) Viết phương trình Parabol ñi qua 3 ñiểm cực trị. -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y Bài 9 : Xác ñịnh m sao cho hàm số ( ) 2 2 4 4 1 1 mx m x m y x + − + − = − có hai cực trị trong miền 0 x > Giải * TXð: { } \ 1 ℝ * ( ) 2 2 2 1 , 1 1 mx mx y x x − − ′ = ∀ ≠ − * Hàm số có hai cực trị 0 y ′ ⇔ = (*) có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 2 1 0 g x mx mx ⇔ = − − = có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( ) 2 1 0 0 0 g m m m  ≠  ⇔ ≠   ′ ∆ = + >  1 0 1 0 m m m m ≠ −   ⇔ ≠   < − ∨ >  Hai cực trị trong miền 0 x > khi ( ) 0 g x = có hai nghiệm dương 1 2 1 2 0 . 0 S x x P x x = + >  ⇔  = >  2 0 1 0 m >   ⇔  − >   0 m ⇔ < ðS: ( ) ; 1 m ∈ −∞ − . Bài 10 : Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 3 1 1 y x mx m x m m=− + + − + − (m là tham số ) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1). ðS: 2 2 y x m m = − + . Bài 11 : Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 11 3 y x m x m = + − + − . Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị , M N và ba ñiểm ( ) , , 0; 1 M N A − thẳng hàng. HD: ( ) 2 6 6 3 y x m x ′ = + − * Hàm số có hai cực trị 3 m ⇔ ≠ . * Ba ñiểm thẳng hàng Chia y cho y ′ , ta ñược: ( ) 2 1 3 . 3 11 3 3 6 m y y x m x m −     ′ = + + − − + −       ðường thẳng MN ñi qua các ñiểm cực trị của ñồ thị là ( ) 2 : 3 11 3 d y m x m = − − + − ( ) , , 0; 1 M N A − thẳng hàng A d ⇔ ∈ 1 11 3 m ⇔ − = − 4 m ⇔ = . ðS: 4 m = . Bài 12 : Cho hàm số 3 2 3 y x x mx m = − + + . Tìm tham số m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng (d): 2 5 0 x y − − = . Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 5 HD: 2 3 6 y x x m ′ = − + là tam thức bậc hai * Hàm số có cực ñại và cực tiểu ⇔ pt 0 y ′ = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x ( ) / 3 3 0 3 m m ⇔ ∆ = − > ⇔ < Toạ ñộ các ñiểm cực trị là ( ) 1 1 2 6 4 ; 3 m x m M x  − +      , ( ) 2 2 2 6 4 ; 3 m x m N x  − +      với 1 2 2 x x + = , 1 2 3 m x x = * Hai ñiểm cực trị M, N ñối xứng qua ñường thẳng (d) MN u I d  ⊥  ⇔  ∈     trong ñó I 1 2 1 2 2 6 4 ; 2 3 2 3 x x x x m m + + −   +     = ( ) 1;2 2 m − là trung ñiểm ñoạn MN, ( ) 2;1 u =  là VTCP của (d) 0 I d m ∈ ⇔ = ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 , ; 2 M x x N x x ⇒ − − ( ) ( ) 2 1 1 2 ;2 MN x x x x ⇒ = − −  . Rõ ràng MN u ⊥   ðS: 0 m = . Bài 13 : Cho hàm số 2 2 2 1 x mx y x + + = + . Tìm m ñể ñồ thị hàm số có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách từ chúng ñến ñường thẳng 2 0 x y + + = bằng nhau. HD: ( ) 2 2 2 2 2 1 x x m y x + + − ′ = + 0 y ′ = ( ) 2 2 2 2 0 1 f x x x m x  = + + − =  ⇔  ≠   Hàm số có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu ⇔ pt ( ) 0 f x = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x khác 1 − ( ) / 1 0 3 2 0 f m  − ≠  ⇔  ∆ = − >   3 2 m ⇔ < Toạ ñộ các ñiểm cực trị ( ) ( ) 1 1 2 2 ;2 2 , ;2 2 M x x m N x x m + + với 1 2 1 2 1 2 , 2, 2 2 x x x x x x m ≠ + = − = − Theo ñề bài ta có : ( ) 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 m x x m x x m  <    + + + + + +  =   1 2 x x ≠ nên (*) 1 2 3 2 2 3 2 2 2 2 x m x m + + + + ⇔ = − 1 2 3 2 2 3 2 2 x m x m ⇔ + + = − − − ( ) 1 2 3 4 4 0 x x m ⇔ + + + = 6 4 4 0 m ⇔ − + + = 4 2 m ⇔ = ðS : 1 2 m = Bài 14 : Cho hàm số 3 2 1 1 3 y x mx x m = − − + + . Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số luôn có cực ñại, cực tiểu. Tìm m ñể khoảng cách giữa các ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất. HD: 2 2 1 y x mx ′ = − − 2 1 0, m m ′ ∆ = + > ∀ ⇒ 0 y ′ = luôn có 2 nghiệm phân biệt, hay ñồ thị hàm số luôn có ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ; 1 1 , ; 1 1 3 3 3 3 M x m x m N x m x m     − + + + − + + +         với 1 2 1 2 2 ; . 1 x x m x x + = = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 9 MN x x m x x = − + + − = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 9 4 1 9 m x x   + + −     = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 9 4 1 4 9 m x x x x     + + + −       = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 13.4 4 1 9 4 4 4 9 4 9 9 9 m m     + + + ≥ + =       Vậy MN nhỏ nhất khi 2 13 3 MN = và lúc ñó 0 m = . Bài 15 : Cho hàm số ( ) 2 2 3 2 1 x m x m y x + + + + = + Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 6 Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. Gọi các giá trị cực trị là 1 2 ; y y . Chứng minh 2 2 1 1 1 2 y y + > ðS: 1 2 m > − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 4 2 8 y y m m   + = + − + −   Bài 16 : Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 11 3 y x m x m = + − + − (m là tham số ). Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị vuông góc với ñường thẳng : 2 1 0 d x y − + = ðS: 3 2 m = ± Dạng 1 : Tiếp tuyến với ñường cong ( ) ( ) : C y f x = tại ñiểm ( ) 0 0 ; ( ) M x f x • Hệ số góc tiếp tuyến: ( ) 0 f x ′ • Phương trình tiếp tuyến: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 y f x f x x x ′ − = − Chú ý: 1) Có thể thay cụm từ “tại ñiểm” bởi “tại ñiểm có hoành ñộ 0 x ” hoặc “tại ñiểm có tung ñộ 0 y ”. 2) Kỹ thuật tính hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ 0 x là giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) ( ) u x y v x = với trục hoành như sau: * Phương trình hñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành: ( ) ( ) ( ) 0 0 u x u x v x = ⇒ = (*), gọi 0 x là nghiệm của (*) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . . u x v x v x u x y v x ′ ′ − ′ = ⇒ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 u x y x v x ′ ′ = . Dạng 2 : Tiếp tuyến với ñường cong ( ) ( ) : C y f x = biết hệ số góc k của tiếp tuyến (song song, vuông góc, tạo với ñường thẳng cho trước góc ϕ ) • Gọi 0 x là hoành ñộ tiếp ñiểm • Hệ số góc tiếp tuyến: ( ) 0 f x ′ • Giải phương trình ( ) 0 f x k ′ = theo 0 x Chú ý: Cho 2 ñường thẳng : d y ax b = + , : d y a x b ′ ′ ′ = + * // a a d d b b ′ =  ′ ⇔  ′ ≠  * . 1 d d a a ′ ′ ⊥ ⇔ = − *  ( ) ;d d ϕ ′ = 2 2 . 1 cos 1. 1 a a a a ϕ ′ + ⇔ = ′ + + Dạng 3 : Tiếp tuyến với ñường cong ( ) ( ) : C y f x = ñi qua ñiểm ( ) 0 0 ; M x y Cách 1: * Gọi 1 x là hoành ñộ tiếp ñiểm * Phương trình tiếp tuyến ( ) ( ) ( ) 1 1 1 y f x f x x x ′ − = − * Tiếp tuyến ñi qua ( ) 0 0 ; M x y nên có phương trình ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 y f x f x x x ′ − = − ẩn là 1 x Cách 2: * Gọi (d) là ñường thẳng ñi qua M có hệ số góc k, phương trình (d): ( ) 0 0 y k x x y = − + * (d) tiếp xúc với ( ) C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm ( ) ( ) ( ) 0 0 f x k x x y f x k  = − +   ′ =   Bài 17 : Tìm trên ñường thẳng (d): 1 y x = − những ñiểm mà từ ñó kẻ ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị hàm số ( ) 2 2 1 x y x − = − . Giải: TXð: { } \ 1 ℝ ( ) 2 2 2 , 1 1 x x y x x − ′ = ∀ ≠ − Cách 1 : 4) Bài toán tiếp tuyến Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 7 Gọi 1 x là hoành ñộ tiếp ñiểm ( ) 1 1 x ≠ Phương trình tiếp tuyến ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 x x x y x x x x − − − = − − − Gọi ( ) ( ) ; 1 M a a d − ∈ . Tiếp tuyến ñi qua M khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 x x x a a x x x − − − − = − − − ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 a x x x x x a x ⇔ − − − − − = − − 2 1 x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 4 1 2 2 a x x x x x ax x ax x ⇔ − − + − − + − = − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 5 8 4 2 2 a x a x a x x x ax x ax x ⇔ − − − + − − − + − = − − + 2 1 1 2 6 3 0 x x a ⇔ − + + = (*) Vậy từ M có ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị khi và chỉ khi phương trình (*) có ñúng một nghiệm 1 x hay khi 3 3 2 0 2 a a ′ ∆ = − = ⇔ = Cách 2: Gọi ( ) ; 1 M a a − là ñiểm cần tìm, k là hệ số góc của ñường thẳng d ñi qua M , ta có: ( ) : 1 d y k x a a = − + − Từ M có ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 x k x a a x x x k x  − = − + −  −   −  =  −  ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 6 3 0 x x x x x a x a x x a ⇒ − − = − − + − − ⇔ − + + = (*) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ (*) có nghiệm kép khác 1 2 1 3 2.1 6.1 3 0 3 2 9 2 6 0 2 a a a a a ≠   − + + ≠   ⇔ ⇔ ⇔ =   = ′ ∆ = − − =     ðS: 3 1 ; 2 2       là tọa ñộ ñiểm cần tìm Bài 18 : Cho hàm số 2 2 x m x m y x + + = + . Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau. Giải: { } \ 2 D = − ℝ ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x m x x m x m y x + + − + + ′ = + ( ) 2 2 4 2 x x m x + + = + ðồ thị cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt khi và chỉ khi 2 0 2 x m x m x + + = + có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 0 f x x m x m ⇔ = + + = (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 − ( ) 2 2 0 4 0 f m m − ≠ ⇔ − >      2 4 0 4 0 m m m − ≠ ⇔ − >    0 4 m m ⇔ < ∨ > Gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của (*), ta có 1 2 1 2 , x x m x x m + = − = Hệ số góc của hai tiếp tuyến: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 x m x x mx m y x x + + − + + ′ = + 1 1 2 2 x m x + = + ( ) 2 2 2 2 , 2 x m y x x + ′ = + Hai tiếp tuyến vuông góc nhau ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 1 . 1 2 2 x m x m y x y x x x + + ′ ′ ⇔ = − ⇔ = − + + Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 x m x m x x ⇔ + + = − + + ( )( ) 2 1 2 1 2 5 2 2 4 0 x x m x x m ⇔ + + + + + = 2 3 4 0 m m ⇔ − + + = 1 4 m m ⇔ = − ∨ = ðS: 1 m = − . Bài 19 : Tìm trên ñồ thị 2 2 1 x x y x + + = − các ñiểm A ñể tiếp tuyến với ñồ thị tại A vuông góc với ñường thẳng ñi qua A và tâm ñối xứng của ñồ thị. ðS: 4 4 4 4 1 8; 3 8 8   + + +     và 4 4 4 4 1 8; 3 8 8   − − −     Bài 20 : Tìm trên trục hoành các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến ñến ñường cong 2 3 3 1 x x y x + + = + và hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. ðS: ( ) ( ) 1 3;0 , 1 3;0 − + − − . BÀI TẬP Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị 3 3 y x x = − , biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng 1 3 y x = . ðS: 3 y x = − Câu 2: Trong tất cả các tiếp tuyến với ñồ thị 3 2 1 1 3 y x mx x m = − − + + hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. ðS: ( ) 2 3 1 1 1 3 y m x m m = − + + + + . Câu 3: Cho ñồ thị 2 ( ) : 2 x x C y x + = − và ñường thẳng ( ) ∆ ñi qua ñiểm (0; ) B b ñồng thời song song với tiếp tuyến của ( ) C tại ñiểm (0;0) O . Xác ñịnh b ñể ( ) ∆ cắt ( ) C tại hai ñiểm phân biệt , M N . Chứng minh trung ñiểm I của ñoạn MN nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh khi b thay ñổi. ðS: ( ) 1 2 y x b ∆ = − + , 0 12 b b < ∨ > , trung ñiểm I nằm trên ñường thẳng 5 2 0 x y − = Câu 4: Cho hàm số 2 1 1 x x y x + − = − a) Tìm trên trục tung các ñiểm từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số. Trong các ñiểm ñó những ñiểm nào mà hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. b) Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng toạ ñộ mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. ðS: a) Có 2 tiếp tuyến từ ( ) 0; y với 1, 2 y y > ≠ Hai tiếp tuyến vuông góc từ ( ) 0; y với 3 3 y = ± Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 9 * ðồ thị hàm số ax b y cx d + = + - Nhận ñường thẳng 0 y y = làm tiệm cận ngang 0 a y c ⇔ = - Nhận ñường thẳng 0 x x = làm tiệm cận ñứng 0 0 0 0 0 c cx d ax b ≠   ⇔ + =   + ≠  * ðồ thị hàm số 2 ax bx c y mx n + + = + - Nhận ñường thẳng 0 y y = làm tiệm cận ngang 0 0 a b y m =   ⇔  =   - Nhận ñường thẳng 0 x x = làm tiệm cận ñứng 0 2 0 0 0 0 0 m mx n ax bx c  ≠  ⇔ + =   + + ≠  - Nhận ñường thẳng y kx q = + làm tiệm cận xiên 2 0 0 2 0 0 , m ax bx c a bm an k q m m   ≠   ⇔ + + ≠   −  = =   trong ñó 0 n x m = − Bài 21 : Tìm tham số m ñể ñồ thị hàm số ( ) 2 2 3 2 2 3 mx m x y x m + − − = + nhận ñường thẳng 2 y x = − làm tiệm cận xiên. HG: ( ) 2 2 2 3 2 2 lim lim 3 x x mx m x y a m x x mx →±∞ →±∞ + − − = = = + [ ] ( ) 2 2 3 2 2 2 2 lim lim lim 2 3 3 x x x mx m x x b y mx mx x m x m →±∞ →±∞ →±∞   + − − − −     = − = − = = −     + +     Vậy 2 y x = − là tiệm cận xiên của ñồ thị 1 m ⇔ = Bài 22 : Tìm tham số m ñể ñồ thị hàm số ( ) 2 2 2 2 1 m m x y m x − − = + nhận lần lượt các ñường thẳng 1, 1 x y = − = − làm tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang. HG: 1 x = − là tiệm cận ñứng của ñồ thị ( ) 2 2 1 1 2 2 lim lim 1 x x m m x y m x ± ± →− →− − − ⇔ = = ±∞ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 1 1 0 m m m − − − ≠ ⇔ − + =      2 2 2 2 0 1 1 m m m m − + − ≠ ⇔ ⇔ = ± =      1 y = − là tiệm cận ngang của ñồ thị ( ) 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 1 1 1 1 x x m m x m m y m m x m →±∞ →±∞ − − − ⇔ = = − ⇔ = − ⇔ = + ðS: 1 m = . 5) Tìm tiệm cận (ñứng và ngang) của hàm số, tìm ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng (ñứng và ngang) có phương trình cho trước làm tiệm cận: Bài toán liên quan khảo sát hàm số Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 trang 10 1) Tìm ( ) M C ∈ sao cho IM nhỏ nhất, với ( ) ( ) 0 0 ; I x y C ∉ : Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 ( ) g x IM x x f x y = = − + − . Có thể sử dụng bất ñẳng thức hoặc max, min của hàm số. Bài 23 : Tìm trên ñồ thị hàm số 2 2 y x x = − các ñiểm sao cho khoảng cách từ các ñiểm ñó ñến ñiểm ( ) 1;0 I nhỏ nhất. HG: ( ) 2 ; 2 M x x x − thuộc ñồ thị, ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 IM x x x = − + − Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 f x x x x = − + − trên ℝ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 f x x x   = − + − −   ( ) ( ) 4 2 1 1 1 x x = − − − + ( ) 2 2 1 3 1 2 4 x   = − − +     ( ) f x nhỏ nhất khi và chỉ khi ( ) 2 1 1 0 2 x − − = ( ) 2 1 1 2 x ⇔ − = 2 1 2 x⇔ − = hoặc 2 1 2 x − = − ðS: 2 2 1 ; 2 2   − −       , 2 2 4 2 1 ; 2 2   + −       2) Tìm ( ) M C ∈ sao cho tam giác MAB với hai ñiểm A, B cho trước có diện tích lớn nhất: - Viết phương trình ñường thẳng AB: ( ) ( ) ( ) ( ) A B A A B A x x y y y y x x − − = − − 0 ax by c ⇔ + + = - Gọi ( ) 2 2 , ax by c d d M AB a b + + = = + (khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường thẳng AB) - Diện tích 1 . 2 S AB d = là hàm số một ẩn x (vì ( ) y f x = ) - Tìm ñiều kiện của x ñể S lớn nhất, hay d lớn nhất. Bài 24 : Gọi A là giao ñiểm có hoành ñộ dương của ñồ thị hàm số 3 3 y x x = − với trục hoành. Tìm ñiểm M trên ñồ thị có hoành ñộ 1; 3 x   ∈   sao cho tam giác OMA có diện tích lớn nhất, với O là gốc hệ trục. HG: Gọi ( ) ( ) 3 ; 3 1; 3 M x x x x   − ∈   là ñiểm cần tìm Hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành là nghiệm pt: ( ) 3 3 0 3; 0 x x A− = ⇒ 1 . 2 OAM S OAd = , trong ñó ( ) 3 3 , 3 3 d d M OA x x x x = = − = − + vì 1; 3 x   ∈   OAM S lớn nhất ⇔ Hàm số 3 3 d x x = − + lớn nhất trên 1; 3     2 3 3, 0 1 d x d x ′ ′ = − + = ⇔ = ± ( ) ( ) { } ( ) max max 1 ; 3 1 2 d d d d = = = ðS: ( ) 1; 2 M − 3) Tìm ( ) M C ∈ sao cho tam giác MAB (với hai ñiểm A, B cho trước) là tam giác vuông: Tam giác MAB vuông khi và chỉ khi , M A M B ≠ ≠ và . 0 MA MB =   - phương trình theo hoành ñộ x của ñiểm M Bài 25 : Gọi A, B là giao ñiểm có hoành ñộ khác 0 của ñồ thị hàm số 3 3 y x x = − với trục hoành. Tìm hoành ñộ của các ñiểm M trên ñồ thị sao cho tam giác MAB vuông. ðS: 3 5 2 ± ± 4) Tìm ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong ( ) ( ) : ; m C y f x m = ( ) ; M x y là ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong khi và chỉ khi 6) Bài toán tìm ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ thoả mãn tính chất [...]... bi t A, B và OB = 9.OA Bài 12: Cho hàm s y = x3 − trang 17 Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013 ðS: y = 9 x + 8 , y = 9 x − 24 Bài 14: Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 + mx (1) ), m là tham s th c 1 Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 0 2 Tìm m đ đ th hàm s (1) c t tr c hồnh t i ba đi m phân bi t có hồnh đ l p thành m t c p s c ng ðS: m = 2 Bài 15: (T 2012B) Cho hàm s y = x3 − 3mx... 2  mx + ( 2m + 1) x + 4m = 0 ( 2 )  * ð th c t tr c hồnh t i ba đi m phân bi t ⇔ (2) có hai nghi m phân bi t khác 2 3 2 trang 13 Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013  m ≠ 0 m ≠ 0    2  1 1 ⇔ ∆ = ( 2m + 1) − 16m 2 > 0 ⇔ ∆ = −12m 2 + 4m + 1 > 0 ⇔ m ∈  − ;  \ { 0 }  6 2  4 m + 4m + 2 + 4m ≠ 0  1  m ≠ −  6  2m + 1 b  S = − a = − m > 0  * Hồnh đ giao đi... th hàm s (1) Câu 9: (2009A) Cho hàm s y = trang 14 Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013 2 V i các giá tr nào c a m , phương trình x 2 x 2 − 2 = m có đúng 6 nghi m th c phân bi t? Câu 11: (2009B-NC) Tìm các giá tr c a tham s m đ đư ng th ng y = − x + m c t đ th hàm s y = t i hai đi m phân bi t A, B sao cho AB = 4 Câu 12: (2009D) Cho hàm s y = x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m có đ th... có hai đi m c c tr A và B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 48 2 2 Câu 22: (2012D) Cho hàm s y = x3 − mx 2 − 2 3m2 − 1 x + (1), m là tham s th c 3 3 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1 2 Tìm m đ hàm s (1) có hai đi m c c tr x1 và x2 sao cho x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1 ( trang 15 ) Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013 Câu 23: (2013A) Cho hàm s y = − x3... (ho c đư ng th ng song song tr c hồnh) t i 3 đi m A, B, C (theo th t t trái sang ph i) sao cho AB = BC (tương ng x A , xB , xC theo th t l p thành c p s c ng) ho c AB = kBC (k cho trư c) trang 12 Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013 *) ð th hàm s trùng phương c t tr c hồnh (ho c đư ng th ng song song tr c hồnh) t i 4 đi m A, B, C, D (theo th t t trái sang ph i) sao cho AB =... đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho kho ng cách t A và B đ n tr c hồnh b ng nhau Câu 20: (2012A) Cho hàm s y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m 2 (1), m là tham s 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 0 2 Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr t o thành m t tam giác vng Câu 21: (2012B) Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 3m3 (1), m là tham s th c 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1)... qua mx − 1  x ≠ m HG: y = ⇔ x−m  xy − my = mx − 1 5) Tìm trên ( Cm ) các c p đi m đ i x ng qua đi m I ( x0 ; y0 )∉ ( C ) : - G i M ( x1 ; y1 ) , M ′ ( x2 ; y2 ) là c p đi m c n tìm trang 11 Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013  y1 = f ( x1 )   y2 = f ( x2 )  - Gi i h  x1 + x2 = 2 x0 y + y = 2 y 2 0  1  x1 ≠ x2  x +1  3 các c p đi m đ i x ng v i nhau qua đi m  0;... ng 2 ðS: b) m = 2, m = − 4 b) ( 0;1) , ( −2;3) c) y = Bài 4: (T B2011) Cho hàm s y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m (1), m là tham s a Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 0 trang 16 Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013 b Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr A, B, C (theo th t t trái qua ph i) sao cho ABC là tam giác vng ðS: m = 0 2x + 1 Bài 5: (T D2011) Cho hàm... − b ) x + 1 − b = 0 có nghi m duy nh t 1 k =  ( x + 1) 2  ( 0; 1) , ( 0; 2 ) Bài 10: (T A2 012) Cho hàm s y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m 2 (1), m là tham s 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1 2 Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr đ u n m trên các tr c t a đ 1 ðS: m = − 2 Bài 11: (T 2012B) Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 3m3 (1), m là tham s th c 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm...Bài tốn liên quan kh o sát hàm s Nguy n Tích ð c – TCV 8/2013 M ( x; y ) ∈ ( Cm ) , ∀m ⇔ y = f ( x; m ) (*) , ∀m Phương trình (*) (theo n m ) nghi m đúng v i m i m khi và ch khi t t c các h s c a phương trình cùng