Bài tập về khảo sát hàm số luyện thi đại học

Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com I BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Xét chiều biến thiên hàm số a) y = x3 − x + ; b) y = x3 − x + 2011x + ; 100 ; x f) y = 3x + x−4 d) y = x + − x ; e) y = x + h) y = x − x − ; i) y = 2sin x + cos x , x ∈ [ 0; π ] ; c) y = x − x + ; x2 − x + ; x−2 x j) y = ; + x2 g) y = k) y = x + − x + x + − x Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đồng biến nghịch biến khoảng I 1) Cho hàm số: y = x3 + ( m + 3) x + mx Tìm m để a) Hàm số đồng biến ℝ b) Hàm số đồng biến khoảng [ 0; +∞ )  1 c) Hàm số nghịch biến đoạn  − ;   2 d) Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài l = 1 2) Tìm m để hàm số: y = mx3 − ( m − 1) x + ( m − ) x + đồng biến khoảng 3 [ 2;+∞ ) 3) Tìm m để hàm số: y = x3 + x + ( m + 1) x + 4m nghịch biến khoảng ( −1;1) m −1 x + mx + ( 3m − ) x đồng biến ℝ 5) Tìm m để hàm số: y = mx + ( m − 1) x + ( m − 1) x + m đồng biến ( −∞;0 ) ∪ [ 2; +∞ ) 4) Tìm m để hàm số: y = 6) Cho hàm số: y = − x + 2mx − m Tìm m để a) Hàm số nghịch biến (1; +∞ ) b) Hàm số nghịch biến ( −1;0 ) , ( 2;3) x −1 Tìm m để x−m a) Hàm số nghịch biến khoảng xác định b) Hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) 7) Cho hàm số: y = x2 − x + m2 Tìm m để: x −1 a) Hàm số đồng biến khoảng xác định b) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) , ( 2; ) 8) Cho hàm số y = Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) Giải phương trình sau: a) x + 15 = 3x − + x + ; b) 3x + − − x + 3x − 14 x − = (B-2010) 2) Giải bất phương trình: x3 − x − x + + x − > 3) Giải hệ hệ phương trình sau: cot x − cot y = x − y ( x + 1) x + ( y − 3) − y =   a) 5 x + y = 2π ; b)  (A-2010) 2 0 < x, y < π 4 x + y + − x =   Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh số bất đẳng thức Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x < x ∀x > ; b) sin x < x ∀x < ; c) tan x > x ∀x > x x3  π d) sin x > x − ∀x > ; e) sin x < x − ∀x < ; f) 2sin x + tan x > 3x ∀x ∈  0;  6  2  π g) cos ( sin x ) > sin ( cos x ) ∀x ∈ ℝ ; h) < x ∀x ∈  0;   2 + cot x sin x a sin a π a π x2 x2 x4 i) < với < a < b < ; j) − < cos x < − + < ∀x ≠ b sin b b 2 24 II BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cực trị hàm số x − x + 3x − ; c) y = x − x − x − 3x + x ; e) y = ; f) y = x − x + d) y = x −1 x +4 g) y = x − sin x + ; h) y = − cos x − cos x ; i) y = sin x − cos x, x ∈ [ 0; π ] a) y = − x ; b) y = Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) có cực trị ( thoả mãn điều kiện đó) 1) Chứng minh với m hàm số: y = x − m ( m + 1) x + m3 + x−m đạt cực đại cực tiểu 2) Tìm m để hàm số sau có cực trị: a) y = x3 − mx + ( 2m2 − 3m + ) x + ; b) y = sin x − mx 3) Tìm m để hàm số: y = mx + ( m − ) x + 10 có ba cực trị (B-2002) 4) Tìm m để hàm số: y = ( x − m ) − 3x đạt cực tiểu điểm x = 5) Tìm m để hàm số: y = x = −2 x + ( m − m + ) x + ( 3m + 1) x + m − đạt cực tiểu Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com x + mx để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách 1− x hai điểm cực trị đồ thị hàm số 10 x + ( m + 1) x + m + 7) Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị ( Cm ) hàm số y = x +1 ln ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 (B-2005) 2 x + ( m + 1) x + m + 4m 8) Tìm m để hàm số: y = có cực đại cực tiểu, đồng thời x+2 điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vuông O.(A-2007) 9) Cho hàm số: y = x − 2mx + 2m Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập b) Một tam giác vng c) Một tam giác có diện tích thành: a) Một tam giác 16 10) Tìm m để hàm số: y = x3 + ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) x có cực đại, cực tiểu nằm 6) Tìm m để hàm số: y = đường thẳng x + y = 11) Tìm m để hàm số: y = x3 + mx + x + có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng 3x − y − = 12) Tìm m để hàm số: y = x3 − ( m − 1) x + ( 2m − 3m + ) x − m ( m − 1) có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng x + y − 20 = góc 450 13) Tìm m để hàm số: y = x3 − 3x + m x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x − y − = 14) Cho hàm số: y = x3 + ( cosm − 3sin m ) x − (1 + cos2m ) x + a) Chứng minh với m hàm số ln có cực đại cực tiểu b) Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x Chứng minh: x12 + x2 ≤ 18 15) Tìm m để hàm số: y = x3 − mx − x + m + có khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ 3m 16) Tìm m để hàm số: y = x3 − x + m có điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng x − y = 17) Tìm m để hàm số: y = x − mx + có cực tiểu mà khơng có cực đại 2 mx + 3mx + 2m + 18) Tìm m để hàm số: y = có cực đại, cực tiểu nằm hai phía đối x −1 với trục Ox x + ( m + ) x + 3m + 19) Tìm m để hàm số: y = có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả x+2 2 mãn yCD + yCT > Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com ( ) 20) Tìm m để hàm số: y = x3 + ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − m2 + 2011 đạt cực trị 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 hai điểm có hồnh độ x1 , x cho 21) Tìm m để hàm số ( Cm ) : y = mx + có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đến x (A-2005) 1 22) Tìm m để hàm số: y = mx3 − ( m − 1) x + ( m − ) x + đạt cực trị x1 , x2 thoả 3 x1 + x2 = 23) Tìm m để hàm số: y = x3 + ( m + 1) x + ( m2 + 4m + 3) x + đạt cực trị hai 2011 điểm x1 , x2 cho A = x1 x2 − ( x1 + x2 ) đạt giá trị lớn tiệm cận xiên x − mx − 4mx − đạt cực trị x1, x2 cho biểu thức 2 x + 5mx1 + 12m m đạt giá trị nhỏ A= + 2 x1 + 5mx2 + 12m m2 III BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y = x3 + x − x + , x ∈ [ −4; 4] ; b) y = x − x + 16 , x ∈ [ −1;3] 24) Tìm m để hàm số: y = x e) y = x + − x , x ∈ (1; +∞ ) ; , x ∈ ( −2; 4] ; d) y = x + + x+2 x −1 f) y = cos3 x − cos x + cos x + ; g) y = sin x − cos x + sin x + c) y = x + x + 23 x +1 ; i) y = , x ∈ [ −1; 2] ; j) y = x + (1 − x ) , x ∈ [ −1;1] x + x + 10 x2 + 1 + sin x + cos x k) y = ; l ) y = sin x + cos x ; m) y = sin 2012 x + cos 2012 x 4 + sin x + cos x cos x  π n) y = − x + − x − − x ; o) y = , x ∈  0;  ; sin x ( cos x − sin x )  3 h) y = p) y = 5sin x − 9sin x + ; q) y = + x4 (1 + x ) t) y = x − x + + x + x + ; u) y = 2 ( ; r) y = x x + − x + 256 x8 (1 + x ) 2 )( 5− x − 4− x ) ; v) y = x − x + − x + x w) y = x + ( x + x + )( x + x + 1) , x ∈  −4; −  ; x) y =  +xx  +  +xx  +      4       Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học y) y = 11 tan x − cos x − 2 + tan x ; z) y = cos x + www.MATHVN.com 1 + cos x + +1 cos x cos x Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn vào tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số: 1) Tìm m để phương trình: x − + − x − ( x − 1)( − x ) = m có nghiệm thực 2) Tìm m để phương trình: x − + m x + = x − có nghiệm thực (A-2007) 3) Tìm m để phương trình: ( sin x + cos x ) + cos x + 2sin x + m = có  π nghiệm thuộc đoạn 0;   2 4) Tìm m để phương trình : x − ( m + ) x + 5m + 10 + − x = có nghiệm thực 1  x + x + y + y =  5) Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm thực  x3 + + y + = 15m − 10  x3 y3  ( D-2007) 6) Tìm m để phương trình: 10 x + x + = m ( x + 1) x + có hai nghiệm thực phân biệt 7) Tìm m để BPT: m ( ) x − x + + + x ( − x ) ≤ có nghiệm 0;1 +    2 x − x + ≤  8) Với giá trị m hệ  có nghiệm thực  x − mx + m ≤  ( x − x − )( x − x + 2011) ≤  9) Tìm m để hệ:  có nghiệm thực x3 − x x − m2 − 15m ≥   (1 − x 2012 )( x 2012 + 1) ≥  10) Tìm m để hệ:  có nghiệm thực  x − ( m + ) x + 2m + ≥  11) Tìm m để phương trình: x + x + − x + − x = m có hai nghiệm phân biệt (A-2008) 12) Tìm m để phương trình m ( ) + x − − x + = − x + + x − − x có nghiệm thực (B-2004) - IV BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ 1) Cho hàm số: y = x3 + x + x − 12 ( C ) Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số có hồnh độ nghiệm phương trình y′′ = b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình (C) hệ toạ độ IXY Từ suy I tâm đối xứng (C) 2) Cho hàm số: y = − điểm I ( −2; ) Viết công thức chuyển hệ tọa độ x+2 phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình (C) hệ toạ độ IXY Từ suy I tâm đối xứng (C) Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng đồ thị 1) Xác định tâm đối xứng đồ thị hàm số sau: 4x + 3x − 5x + a) y = x3 − x + x − ; b) y = ; c) y = 10 x − 2x −1 2) Cho hàm số: y = x + 4mx3 − x − 12mx Xác định m để hàm số có trục đối xứng song song với Oy V BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số Tìm loại tiệm cận đồ thị hàm số sau: x +1 ; 2x +1 x2 + x ; x −1 x2 − x + x x3 − x x f) y = x + x + x ; ; h) y = e) y = x − x + ; g) y = x +1 − x2 x x2 + 5x − x +1 i) y = ; j) y = ; k) y = l) y = x2 − x + − x ; 4− x x + 3x + x2 − Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số mx + x − 1) Tuỳ theo tham số m, tìm tiệm cận đồ thị hàm số: y = x+2 x+2 2) Tuỳ theo tham số m, tìm tiệm cận đồ thị hàm số: y = x − 4x + m x−3 3) Tìm m để đồ thị hàm số: y = có tiệm cận đứng x + mx + 2m x +1 4) Tìm m để đồ thị hàm số: y = có hai tiệm cận đứng x = x1 , x = x2 x + mx + x2 x2 cho 12 + > x2 x12 a) y = b) y = 5) Cho hàm số: y = điểm A ( 2; ) c) y = x+3 ; x +1 d) y = − x2 + x + m Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên qua x+m Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com x + mx − Tìm m để tiệm cận xiên ( Cm ) tạo với hai x −1 trục tạo độ tam giác có diện tích 7) Tìm giá trị m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số: mx + ( 3m − ) x − 450 (A-2008) y= x + 3m mx − ( m2 + m − 1) x + m − m + 8) Cho họ đồ thị ( Cm ) : y = ( m ≠ 0) x−m Chứng minh khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn 6) Cho họ đồ thị ( Cm ) : y = VI BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng 1: Các toán hàm số dạng đa thức Loại 1: Các toán tuý khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x3 − x + x 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x − x + 10 Loại 2: Các toán thường gắn liền với toán khảo sát hàm số 1) Tìm m để ( Cm ) y = x3 − ( m + 1) x + ( m + 4m + 1) − 4m ( m + 1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 2) Biện luận theo m số giao điểm ( Cm ) : y = x3 − 3x + (1 − m ) x + + 3m Ox với đường cong 3) Tìm m để ( C ) : y = x − 3mx + 2m ( m − ) x + 9m2 − m cắt trục hoành ba điểm phân biệt cho ba điểm lập thành cấp số cộng 4) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 + 2mx − ( m − 1) x − 54 cắt Ox điểm phân biệt lập thành cấp số nhân 5) Cho ( Cm ) : y = x − ( m + 1) x + 2m + Tìm m để ( Cm ) cắt Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 6) Tìm m để đồ thị hàm số: y = x3 − x + (1 − m ) x + m cắt trục hoành ba điểm 2 phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện: x12 + x2 + x3 < (A-2010) 7) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C): y = x − x − bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( thứ tự từ trái sang phải) cho độ dài đoạn thẳng MN, NP, PQ giả sử độ dài cạnh tam giác 8) Cho ( Cm ) : y = ( m + 3) x3 − ( m + 3) x − ( 6m + 1) x + m + có điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định 9) Tìm điểm cố định ( Cm ) : y = x + ( m + m ) x − x − ( m + m ) Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 10) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 − ( m − 1) x + ( 2m − 3m + ) x − m ( m − 1) tiếp xúc với Ox 11) Tìm m để hai đồ thị sau tiếp xúc với nhau: ( C1 ) : y = mx3 + (1 − 2m ) x + 2mx ; ( C2 ) : y = 3mx3 + (1 − 2m ) x + 4m − 12) Cho hàm số: y = với ( C ) a) b) c) d) e) f) x − x + x − , có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến Tạo với chiều dương Ox góc 600 Tạo với chiều dương Ox góc 150 Tạo với trục hồnh Ox góc 750 Có hệ số góc k = −2 Song song với đường thẳng y = − x + Vng góc với đường thẳng y = x − g) Tạo với đường thẳng y = x + góc 450 h) Tạo với đường thẳng y = − x + góc 300 13) Cho hàm số: y = − x + x + (C) Tìm trục hồnh điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) 14) Tìm tất điểm trục hồnh mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) : y = x3 + 3x có hai tiếp tuyến vng góc 15)Tìm đường thẳng y = điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x 16) Tìm trục tung điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) : y = x − x + 17) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) : y = x3 − x b)Tìm m để x − x − m = có nghiệm phân biệt 18) c) Chứng minh phương trình: x − x = − x có ba nghiệm a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x3 − x + 12 x − b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m (A-2006) 19) Cho hàm số: y = x − x (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt (B-2009) 20) Cho hàm số: y = x3 − ( m + 3) x + 18mx − a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành b) Chứng minh tồn điểm có hồnh độ x0 cho tiếp tuyến với đồ thị song song với m Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com c) Chứng minh Parabol ( P ) : y = x có hai điểm khơng thuộc đồ thị hàm số với m Dạng 2: Các toán hàm số dạng phân thức hữu tỉ Loại 1: Các toán tuý khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 2x + 1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x −1 b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, suy đồ thị hàm số sau: x +1 2x +1 y= ; y= x −1 x −1 x2 − x + x −1 x2 − x + b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, suy đồ thị: y = x −1 2) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = − x2 − x + x +1 − x2 − x + b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, suy đồ thị: y = x +1 Loại 2: Một số toán hay gặp hàm phân thức 2x −1 1) Cho hàm số: y = (C) điểm M thuộc ( C ) Gọi I giao điểm hai x −1 tiệm cận Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B a) Chứng minh: M trung điểm AB b) Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ 2) Tìm đường thẳng y = x + điểm kẻ tiếp tuyến đến x+3 (C ) : y = x −1 x − 3x + 3) Cho hàm số: y = (C) điểm M thuộc ( C ) Gọi I giao ( x − 1) điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B a) Chứng minh: M trung điểm AB b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi c) Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ 10 x − 4) Tìm điểm đồ thị ( C ) : y = có toạ độ số nguyên 3x + x + x + 15 5) Tìm điểm đồ thị ( C ) : y = có toạ độ số nguyên x+3 3) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 3x − Tìm M thuộc ( C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm x−2 cận nhỏ x −1 7) Cho ( C ) : y = Tìm M thuộc ( C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ x +1 độ nhỏ x+2 8) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến cắt 2x + trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O ( A-2009) 2x 9) Tìm toạ độ điểm M thuộc ( C ) : y = , biết tiếp tuyến (C) M cắt hai x +1 trục Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích (D-2007) 4x − 10) Tìm nhánh đồ thị ( C ) : y = điểm A, B để độ dài AB nhỏ x −3 − x2 + x − 11) Tìm nhánh đồ thị ( C ) : y = điểm A, B để độ dài AB x −1 nhỏ 2x − 11) Cho hàm số: y = (C) x−2 Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) Biết tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận J K cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích nhỏ 2x + 12) Cho hàm số: y = điểm A ( −2;5 ) Xác định đường thẳng d cắt ( C ) x −1 hai điểm B, C cho tam giác ABC x2 − x − 13) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = ( x − 1) 6) Cho ( C ) : y = b) Tìm m để phương trình: x − x − + 2m x − = có hai nghiệm phân biệt − x + 3x − 14) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số: y = hai điểm A, ( x − 1) B cho AB = (A-2004) x2 + x + 15) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x +1 b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x + x + = ( m + 2m + ) ( x + 1) x + 3x + 16) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = (C) x+2 Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 10 Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com b) Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng d : y = mx − m cắt (C) hai điểm A B thuộc hai nhánh c) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB m biến thiên ( m + 1) x + m tiếp 17) Chứng minh với m ≠ , đồ thị hàm số y = x+m xúc với đường thẳng cố định VII BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ 2x biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = x−2 lượt M, N cho MN = OM với O gốc toạ độ 1 2) Tìm m để hàm số y = x3 − mx + ( m2 − 3) x + m 2012 2011 ( Cm ) đạt cực trị x1 , x2 10 đồng thời x1 , x2 độ dài tam giác vng có cạnh huyền 3) Tìm tất giá trị m cho đồ thị ( Cm ) : y = mx3 + ( m − 1) x + ( − 3m ) x tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y =− x+ 2 4) Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị ( C ) : y = x3 − x + điểm phân biệt M, N, P cho xM = NP = 2 5) Tìm m để đường thẳng d : y = − x + cắt ( Cm ) : y = x3 − 6mx + ba điểm A ( 0;1) , B, C biết B, C đối xứng qua đường phân giác thứ 6) Tìm m để đồ thị ( Cm ) : y = x − 2mx + 2m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích x−2 7) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần x +1 lượt A, B cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác OAB lớn 2mx + 8) Cho hàm số: y = ( Cm ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến x−m với ( Cm ) cắt hai tiệm cận A, B cho diện tích tam giác IAB 64 9) Tìm m để đồ thị ( Cm ) y = x − x + m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn ( Cm ) trục hồnh có phần phần 10) Tìm m để đồ thị ( Cm ) : y = x − (1 − m ) x + m + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn 11) Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m + cắt ( C ) : y = x+3 hai điểm phân biệt A, x−2 B cho AOB nhọn Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 11 Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học 12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = www.MATHVN.com x biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm x −1 cận tam giác có chu vi + 2 2x − m 13) Cho hàm số y = ( Cm ) Chứng minh với m ≠ , ( Cm ) cắt mx + d : y = ( x − m ) hai điểm phân biệt A, B thuộc đường ( H ) cố định Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy M, N Tìm m để S ∆OAB = 3.S∆OMN −x +1 14) Tìm ( C ) : y = điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB = đường x−2 thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x 15) Tìm m để đồ thị ( Cm ) : y = x − mx + m − cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn −2 x+3 16) Tìm m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt ( C ) : y = hai điểm phân biệt A, B x+2 cho OA.OB = −4 với O gốc toạ độ 3x − 17) Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác đồ thị ( C ) : y = x −1 cho tam giác ABC vuông cân A ( 2;1) 18) Tìm m để đồ thị ( C ) : y = x3 + x + m có hai điểm cực trị A, B cho AOB = 1200 19) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt ( C ) : y = 2x −1 hai điểm phân biệt A, B x +1 cho AB = 2 3x − ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị Viết x +1 phương trình tiếp tuyến d với ( C ) biết d cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang 20) Cho hàm số: y = 26 26 21) Tìm m để ( Cm ) : y = x − 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường A B cho cos BAI = 3 9 tròn ngoại tiếp qua điểm D  ;  5 5 22) Cho hàm số: y = x − x + ( C ) điểm A ∈ ( C ) với xA = a Tìm giá trị thực 2 a biết tiếp tuyến ( C ) A cắt đồ thị ( C ) hai điểm B, C phân biệt khác A cho AC = 3AB ( B nằm A C) 23) Tìm m để đồ thị ( Cm ) : y = x − ( 3m + 1) x + ( m + 1) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạ độ O Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 12 Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 24) Tìm m để ( Cm ) : y = mx3 + ( m − 1) x + ( 3m − ) x + có điểm chung mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = x + 2011 25) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − ( m − 1) cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ dương 26) Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( Cm ) : y = x3 − x + 3mx + 3m + trục hồnh có phần nằm phía trục hồnh phần nằm trục hồnh −x −1 27) Tìm ( C ) : y = điểm A, B cho tiếp tuyến đồ thị hàm số A x+2 song song với tiếp tuyến B AB = 2 28) Gọi d đường thẳng qua A (1; ) có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị x+2 hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác đồ thị x −1 AM = 2AN 29) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu ( Cm ) : y = x3 − 3mx + cắt (C ) : y = đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn x+3 30) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y = biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox, 2x + Oy hai điểm A, B cho đường trung trực AB qua gốc toạ độ O 1 31) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 − ( m + 1) x + mx có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : 72 x − 12 y − 35 = 2 32) Cho hàm số y = x3 − x + ( C ) Chứng minh m thay đổi đường thẳng d : y = m ( x + 1) cắt đồ thị ( C ) điểm A cố định tìm m để đường thẳng d cắt ( C ) ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C với gốc toạ độ O lập thành tam giác có diện tích 33) Tìm tất giá trị m để ( Cm ) : y = x − ( m + 1) x − ( m + 1) x + có hai điểm cực trị có hồnh độ lớn 34) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x + cho tiếp tuyến A B có hệ số góc đường thẳng AB vng góc với đường thẳng x + y + 2011 = 35) Giả sử ( Cm ) y = x3 − x + x + m cắt trục hoành ba điểm phân biệt x1 < x2 < x3 Chứng minh rằng: < x1 < < x2 < < x3 < 36) Chứng minh với m , ( Cm ) : y = x3 + ( m + 1) x + ( m + 1) x + m3 + cắt trục hoành điểm 37) Gọi d đường thẳng qua M ( 2; ) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C ) : y = x − x − bốn điểm phân biệt Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 13 Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 38) Tìm m để điểm A ( 3;5 ) nằm đường thẳng nối hai điểm cực trị ( Cm ) : y = x3 − 3mx + ( m + ) x + 39) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = ( x − 1) ( x3 + x + 1) biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hai điểm phân biệt 40) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 − ( m + ) x + ( m + 1) x − ( m + ) cắt trục hoành ba điểm 2 phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho x12 + x2 + x3 + x1 x2 x3 > 53 41) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng ∆ m : y = mx − m cắt ( Cm ) : y = x3 − ( 3m − 1) x + 2m ( m − 1) x + m2 điểm A có hồnh độ khơng đổi Tìm m để ∆ m cắt ( Cm ) điểm khác A mà tiếp tuyến ( Cm ) hai điểm song song với 42) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( Cm ) : y = x3 − x + ( m − ) x + 3m 55   qua điểm A 1; −  27   43) Tìm m để đường thẳng d : 2mx − y + m + = cắt ( C ) : y = x +1 hai điểm phân 2x +1 biệt A, B cho biểu thức P = OA + OB2 đạt giá trị nhỏ mx − 4m + 44) Từ điểm cố định ( Cm ) : y = , viết đường thẳng qua x−m chúng có hệ số góc k = Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng vừa lập trục Ox 45) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 − ( 2m − 1) x + ( m2 − 1) x + − m3 có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ O m2 − 46) Tìm m để hàm số: y = x + ( m + 1) x + x + 2011m + 2012m + 2013 đồng biến ℝ x2 + x −1 47) Cho hàm số: y = (C) Giả sử d : y = − x + m cắt ( C ) hai điểm A, B phân x −1 biệt a) Tìm m để trung điểm M đoạn AB cách điểm I (1;3) đoạn 10 b) Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn AB m thay đổi 48) Tìm m để tiếp tuyến hai điểm cố định ( Cm ) : y = − x + 2mx − 2m + vng góc 49) Tìm m để ( C ) : y = x3 − x + có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường tròn ( Cm ) : x + y − 2mx − 4my + 5m − = 50) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành cắt đồ thị ( C ) : y = x3 − x − 3x + hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân gốc 3 toạ độ O Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 14 Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 51) Cho hàm số: y = x3 − 2mx + ( m + 3) x + có đồ thị ( Cm ) , đường thẳng d : y = x + điểm E (1;3) Tìm tất giá trị tham số m cho d cắt ( Cm ) ba điểm phân biệt A ( 0; ) , B, C cho tam giác EBC có diện tích −x +1 có đồ thị ( C ) Chứng minh với m đường thẳng 2x −1 y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 tiếp tuyến với (C) A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn ( A -2011) 52) Cho hàm số y = 53) Tìm m để ( Cm ) : y = x − ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC với O gốc toạ độ, A điểm thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị cịn lại (B-2011) 2x +1 54) Tìm k để d : y = kx + 2k + cắt ( C ) : y = hai điểm phân biệt A, B cho x +1 khoảng cách từ A B đến trục hoành (D-2011) Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 15 ... KHẢO SÁT SỰ BIẾN THI? ?N, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng 1: Các toán hàm số dạng đa thức Loại 1: Các toán tuý khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị... 17) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị ( C ) : y = x3 − x b)Tìm m để x − x − m = có nghiệm phân biệt 18) c) Chứng minh phương trình: x − x = − x có ba nghiệm a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm... toạ độ số nguyên x+3 3) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số: y = Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM Bài tập Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 3x − Tìm M thuộc