ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE TỔ TOÁN Năm học 2013 - 2014 TỔÂNG ÔN KHẢO SÁT HÀM SỐ A ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG c om (TNPT 2013) Cho hàm số y  x3  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết hệ số góc tiếp tuyến Bài 47 BÀI GIẢI h2 Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm, ta có: y’(x0) =  x02    x0  2 y(–2) = –3, y(2) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y + = (x + 2) hay y – = (x – 2)  y = 9x + 15 hay y = 9x – 17 (TNPT 2012) Bài [0;1] –2 si n Tìm giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f ( x )  x  m2  m đoạn x 1 ye n BÀI GIẢI Ta có: f’(x) =  m  m2  0, m (x  1)2 Vậy f đồng biến [0 ; 1] với m  minf(x)  f(0)   m  m [0;1] Tu Do yêu cầu toán cho  m  m  2  m  1 hay m  Bài (TNPT 2012) x  2x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 biết f ''( x )  1 Cho hàm số y  f (x)  BÀI GIẢI f ''(x )  1  3x 20 -4=-1  x  1  y(1)   Hệ số góc tiếp tuyến y’(–1) = y’(1) = –3, Phương trình tiếp tuyến là: 7 5 y   3(x  1) hay y   3(x  1)  y  3x  hay y  3x  4 4 (TNPT 2011) 2x  Cho hàm số y  2x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y  x  BÀI GIẢI c om Bài Hồnh độ giao điểm (C) với đường thẳng y = x + nghiệm phương trình: 2x  1  x   2x + = (x + 2)(2x – 1) (hiển nhiên x = không nghiệm) 2x 1 47  2x2 + x – =  x = hay x = - h2 Vậy tọa độ giao điểm (C) (d) : (1; 3) (  ; ) 2 Bài (TNPT 2011) Xác định giá trị tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + đạt cực tiểu x = si n BÀI GIẢI ye n y’ = 3x2 – 4x + m, y” = 6x – y đạt cực tiểu x =  y’(1) =  m = Với m = : y”(1) = – = > thỏa Vậy y đạt cực tiểu x = m = (TNPT 2010) Cho hàm số y  x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Tìm giá trị tham số m để phương trình x  6x  m  có nghiệm thực phân biệt Tu Bài BÀI GIẢI 1/  Tập xác định: D    Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Đạo hàm: y’ = x  3x ; y’ =  x = hay x = 4 Hàm số đồng biến ( ; 0) (4 ; +) Hàm số nghịch biến (0 ; 4) + Cực trị : Hàm số đạt cực đại x = ; y(0) = Hàm số đạt cực tiểu x = ; y(4) = 3 + Giới hạn : lim y   , lim y   x x  Bảng biến thiên  +  + + +  3 y  Đồ thị : 3 3 m x  x 5 5 4 h2 2/ x3 – 6x2 + m =  x3 – 6x2 = m  x 47 2 c om x y’ y (2) Xem phương trình (2) phương trình hoành độ giao điểm (C) vaø d : m si n y  5 Khi đó: phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt  phương trình (2) có nghiệm thực phân biệt m   < m < 32 ye n  (C) d có giao điao cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + BÀI GIẢI y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)), y có cực trị  y’ = có nghiệm phân biệt  (m + 1)2 – 4m >  m  1 y = (2 x  m  1) y ' – (m – 1)2x + m2 + m YCBT  – (m – 1)2 = – m   m = hay m = Bài 25 (ĐH 2013 Khối D) Cho hàm số y  x3  3mx  (m  1) x  (1) , m tham số thực 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2.Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt BÀI GIẢI c om Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x  x  3mx  mx     g ( x )  x  3mx  m  (1) (d) cắt (C) điểm  (1) có nghiệm phân biệt khác   9m  8m    m  0m   g (0)  m  Bài 26 (ĐH 2012 Khối AA1) Cho hàm số y  x  2( m  )x  m ( ) ,với m tham số thực 47 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng BÀI GIẢI si n h2 y’ = 4x3 – 4(m + 1)x y’ =  x = hay x2 = (m + 1) Hàm số có cực trị  m + >  m > –1 Khi đồ thị hàm số có cực trị A (0; m2), B (– m  ; – 2m – 1); C ( m  ; –2m – 1) Do AB = AC nên tam giác vng A Gọi M trung điểm BC  M (0; –2m–1) Do ycbt  BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền) 2 m  = (m  1) (do m > –1) ye n  m  = 2(m + 2m + 1) = 2(m + 1)  = (m + 1)  = (m + 1) (do m > –1)  m = Bài 27 (ĐH 2012 Khối B) Cho hàm số y  x3  3mx  3m3 (1) , m tham số thực Tu 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 BÀI GIẢI y’ = 3x2 – 6mx, y’ =  x = hay x = 2m y có cực trị  m  Vậy A (0; 3m3) B (2m; -m3) SOAB = 6m  48  m4 = 16  m = 2 (nhận so với đk) 2 x – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m tham số thực 3 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2.Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = Bài 28 (ĐH 2012 Khối D)Cho hàm số y = BÀI GIẢI c om y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) y có cực trị  ’ = m2 + 4(3m2 – 1) >  13m2 – > 2 m< hay m > 13 13 Gọi x1, x2 nghiệm y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) =  -(3m2 – 1) + 2m =  3m2 – 2m =  m = (loại) hay m = (nhận) x 1 2x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn 47 Bài 29 (ĐH 2011 Khối A) Cho hàm số y  h2 BÀI GIẢI Tu ye n si n  Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = x + m x  1 = x + m  – x + = (2x – 1)(x + m) ( x = không nghiệm) 2x   2x2 + 2mx – (m + 1) = (1) Phương trình (1) có ’= m2 + 2m + = (m + 1)2 + > , mR Suy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên d cắt (C) hai điểm phân biệt A , B  Hoành độ tiếp điểm x1 x2 A B nghiệm phương trình (1) nên ta có : b c m 1 x1  x2    m vaø x1 x    a a Ta coù : 1 k1  k  y '(x1 )  y '(x2 )    2  2x1  1  2x2  1  2x1  1   2x2  1  2  2x1  1  2x2  1      x12  x22   x1  x2    4x1x   x1  x2   1   2  x1  x2   8x1 x2   x1  x   2  4x1x   x1  x2   1    m 1  m        m   2     m 1  4      m   1      4m  4m   4m   2m   2m  1     4m  8m   4  m  1   2 Do k1 + k2 đạt giá trị lớn – m = –1 Vaäy m = –1 k1 + k2 đạt giá trị lớn Bài 30 (ĐH 2011 Khối B) Cho hàm số y  x  2( m  )x  m (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị cịn lại Ta có : y’ = 4x3 – 4(m + 1)x y’ =  x = hoaëc x2 = m + Hàm số có ba cực trị  Phương trình y’ = có ba nghiệm  m + >  m > –1 Khi m > –1 y’ =  x = x =  m    Suy A(0 ; m) , B  m  1;  m  m  vaø C  c om BÀI GIẢI  m  1;  m  m  Vaäy : m   2 2x 1 x 1 h2 Bài 31 (ĐH 2011 Khối D) Cho hàm số y  47 Ta coù : OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m   2 ( thoûa m > –1) si n Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hồnh BÀI GIẢI Tu ye n Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d: y = kx+2k +1 (C) laø: 2x  = kx + 2k +  kx2 + (3k–1)x + 2k = (*) (Vì x =–1 không nghiệm) x 1 d cắt (C) hai điểm  Phương trình (*) có hai nghiệm  k   k     (I)   k  6k    k   2  k   2 Khi , hoành độ xA , xB A B nghiệm phương trình (*) nên áp dụng định lý b  3k Viète ta có : xA + xB =   a k A B thuộc d nên yA = kxA + 2k + yB = kxB + 2k + Ta có: Khoảng cách từ A B đến trục hoành  y A  y B  kx A  2k   kx B  2k   kx A  2k   kx B  2k   x A  x B (Loại (*) có nghiệm)      kx A  2k     kx B  2k  1  k  x A  x B   4k     3k   k   4k    k = – (Thỏa (I))  k  Vậy, k = thỏa yêu cầu toán Bài 32 (ĐH 2010 Khối A) Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2.Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện : x12  x 22  x 23  BÀI GIẢI c om Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục hoành là: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m =  (x – 1) (x2 – x – m) =  x = hay g(x) = x2 – x – m = (2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) x3 = Với điều kiện (2) có nghiệm, nghóa + 4m > ta có : x1 + x2 = vaø x1.x2 = – m Do yêu cầu toán tương đương với: 1   1  4m  m   m       m  g(1)   m    m   1  2m   2  x1  x2    x1  x2   2x1x2     h2 47  m       m   m    m   m    2x  x 1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2.Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) ye n si n Bài 33 (ĐH 2010 Khối B) Cho hàm số y = BÀI GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng y = 2x +m 2x   2x  m  2x2    m  x   m   * (vì x = 1 không nghiệm) x 1 Tu Phương trình (*) có   m   0, m nên d cắt (C) điểm A(xA; yA), B(xB; yB) Ta coù: SOAB   1 AB.d(O, AB)  2  xB  xA    yB  yA  m  xA  x B   20x A x B   m  m2  m   m  2 Bài 34 (ÑH 2010 Khoái D) Cho hàm số y   x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x 1 BÀI GIẢI Tiếp tuyến  vuông góc d : y  x  nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình f '(x)  4x3  2x  6  x  y(1) = Vậy tiếp tuyến  có phương trình y =  6x + 10 x2 (1) 2x  1/Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2/Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O .c om Bài 35 (ĐH 2009 Khối A) Cho hàm số y = BÀI GIẢI 47 Tam giác OAB vuông cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến 1 Gọi tọa độ tiếp điểm (x0; y0), ta có:  1  x  2  x  1 (2x  3)2 h2  x0 = 1, y0 = 1; phương trình tiếp tuyến y = x (loaïi)  x0 = 2, y0 = 0; phương trình tiếp tuyến y = x – (thỏa mãn) Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = x – Bài 36 (ĐH 2009 Khối B) Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) si n 1/ Khaûo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Với giá trị m, phương trình x2 x2   m có nghiệm thực phân biệt? ye n BÀI GIẢI 1/ Tu  Tập xác định: D    Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y’ = 8x3 – 8x; y’ =  x = 1  x = Hàm số nghịch biến thiên: (; 1) (0; 1); đồng biến (1; 0) (1; +) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 1 , yCT = 2; đạt cực đại x = 0, yCĐ = - Giới hạn: lim y  lim y   x x  Baûng biến thiên: x  1 y’  + y + 2  Đồ thị:  + + + 2 y 16 y 2/ x2 x2   m  2x  4x2  2m Phương trình có tập nghiệm thực phân biệt đường thẳng y = 2m cắt đồ thị 16 hàm số y = 2x  4x2 điểm phân biệt 2 1 y = 2m O x c om Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thỏa mãn khi: < 2m <  < m < Bài 37 (ÑH 2009 Khối D) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (Cm), m tham số 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = 2/ Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 47 BÀI GIẢI si n h2 Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = 1: x4 – (3m + 2)x2 + 3m = 1 Đặt t = x2, t  0; phương trình trở thành: t2 – (3m + 2)t + 3m+ =  t = hoaëc t = 3m +   3m   Yêu cầu toán tương đương:     m  1, m  3m   Bài 38 (ĐH 2009 Khối D) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = 2x + cắt đồ thị hàm số y  x2  x  hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng x ye n AB thuộc trục tung BÀI GIẢI x2  x   2x  m  3x  1  m  x    x   x Vì a.c = – < nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác với m x  x2 m  Hoành độ trung điểm I AB: x1   m 1 I  Oy  x1 =    m 1 Tu Phương trình hoành độ giao điểm: ... đường thẳng y = x + nghiệm phương trình: 2x  1  x   2x + = (x + 2)(2x – 1) (hiển nhiên x = không nghiệm) 2x 1 47  2x2 + x – =  x = hay x = - h2 Vậy tọa độ giao điểm (C) (d) : (1; 3) ( ... hàm số có cực trị A (0; m2), B (– m  ; – 2m – 1); C ( m  ; –2m – 1) Do AB = AC nên tam giác vuông A Gọi M trung điểm BC  M (0; –2m–1) Do ycbt  BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền) 2... hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = x + m x  1 = x + m  – x + = (2x – 1)(x + m) ( x = không nghiệm) 2x   2x2 + 2mx – (m + 1) = (1) Phương trình (1) có ’= m2 + 2m + = (m + 1)2 + > ,