CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ CƠ BẢN 12

TÀI LIỆU LÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN CHUYÊ ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ CÁC BẠN THAM KHẢO. TRONG QUÁ TRÌNH SOẠN KHÔNG TRÁNH KHỎI SAI XÓT MONG CÁC BẠN GÓP Ý KIẾN ĐỂ HOÀN THIỆN HƠN. CHÂN THÀNH CẢM ƠN.

Chương mộ t ỨNG DỤ NG ĐẠ O HÀ M ĐỂ KHẢ O SÁ T VÀ VỄ ĐÒ THỊ HÀ M SÓ I SỰ BIẾ N THIÊN CỦ A HÀ M SÓ ► Điề u kiệ n đủ để hà m số đơn điệ u: Giả sử hà m số y=f(x) cố đạ ô hà m khôả ng I ▪ Nế u f’(x)>0,Ɐ x ∈ I thì hà m số y=f(x) đồ ng biế n khôả ng I ▪ Nế u f’(x) + Hà m số đồ ng biế n ℝ ⇔ y’ > 0,Ɐxℝ ⇔{ ∆𝑦′ ≤ 𝑎𝑦′ < + Hà m số nghịch biế n ℝ ⇔ y’ > 0,Ɐxℝ ⇔{ ∆𝑦′ ≤ Bà i tạ p: 1/ Định m để hà m số 𝑦 = 2𝑥 − 𝑚𝑥 + 6𝑥 + đồ ng biế n ℝ 2/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑥 − 𝑚𝑥 + (3𝑚 − 2)𝑥 + đồ ng biế n ℝ 3/ Định m để hà m số 𝑦 = − 𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 − (4𝑚 + 1)𝑥 + nghịch biế n biế n ℝ 4/ Định m để hà m số 𝑦 = − 𝑥3 + (𝑚 − 2)𝑥 + (𝑚 − 8)𝑥 + nghịch biế n biế n ℝ 5/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥 − 2𝑥 +5 nghịch biế n ℝ 6/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑚𝑥 − (𝑚 + 1)𝑥 + 4(𝑚 + 1)𝑥 + đồ ng biế n ℝ 7/ Định m để hà m số 𝑦 = (𝑚 + 3)𝑥 − 𝑚𝑥 + 4𝑥 + 2đồ ng biế n ℝ 8/ Định m để hà m số 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥 + 4𝑥 + đồ ng biế n ℝ CỰC TRỊ CỦ A HÀ M SÓ II Kiế n thức cà n nhớ: 𝑓 ′ (𝑥 ) = ■ { ′′ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 là điể m cực đạ i củ a 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑓 (𝑥0 ) < 𝑓 ′ (𝑥 ) = ■ { ′′ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 là điể m cực tiể u củ a 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑓 (𝑥0 ) > 𝑓 ′ (𝑥 ) = ■ { ′′ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 là điể m cực trị củ a 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑓 (𝑥0 ) = Bà i tạ p: Tìm cực trị củ a cá c hà m số sau đây: 1/ 𝑦 = 2𝑥 − 9𝑥 + 12𝑥 + 2/ 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 5𝑥 − Cá c bước tìm cực trị củ a hà m số : + Tìm đạ ô hà m cá p I 𝑓 ′ (𝑥) + Giả i phương trình 𝑓 ′ (𝑥) = tìm nghiệ m 𝑥0 +Tìm đạ ô hà m cá p II 𝑓"(𝑥) +Tính giá trị củ a𝑓"(𝑥) tạ i 𝑥0 vừa tìm + Kế t luạ n 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 − 4/ 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 3/ 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥−1 6/ 𝑦 = 𝑥 − + 𝑥−2 5/ 𝑦 = Bà i tạ p: 1/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑚𝑥 + (𝑚 − 1)𝑥 + đạ t cực tiể u tạ i 𝑥 = 2/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 − 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥 − đạ t cực tiể u tạ i 𝑥 = 3/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 + (2𝑚 − 1)𝑥 + đạ t cực đạ i tạ i 𝑥 = −2 4/ Tìm m để hà m số 𝑦 = 𝑥 − 2𝑚𝑥 + 𝑚2 𝑥 − đạ t cực đạ i tạ i 𝑥 = Mộ t số dạ ng bà i tạ p về cực trị hà m bạ c 3: Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 − 𝑚𝑥 + (5𝑚 − 4)𝑥 + a Định m để hà m số không cố cực trị b Định m để hà m số cố cực đạ i và cực tiể u thổ a 𝑥12 + 𝑥22 − 4(𝑥1 +𝑥2 ) = Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 + 𝑚𝑥 + 3𝑚𝑥 + a Định m để hà m số không cố cực trị b Định m để hà m số cố cực đạ i và cực tiể u thổ a 𝑥12 + 𝑥22 = 5(𝑥1 +𝑥2 ) Chứng tổ hà m số 𝑦 = 𝑥 − (𝑚 + 1)𝑥 − (2𝑚 + 6)𝑥 + cố cực đạ i và cực tiể u với m 2 Cho hà m số 𝑦 = 𝑥 − 𝑚𝑥 + 2(3𝑚2 − 1)𝑥 + (1), với m là tham số Tìm m để đồ thị hà m 3 số (1) cố hai điể m cực trị 𝑥1 , 𝑥2 thổ a 𝑥1 𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2 ) = Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 + 2(𝑚 − 1)𝑥 + (𝑚2 − 4𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 Tìm m để hà m số cố hai điể m cực đạ i, cực tiể u cố hôà nh độ thổ a + = 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑥 − (𝑚 − 2)𝑥 + (4 − 𝑚)𝑥 + Định m để hà m số cố cực đạ i cực tiể u cố hôà nh độ thổ a 𝑥1 = 5𝑥2 Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 + (𝑚 − 2)𝑥 + (𝑚2 − 5𝑚 + 5)𝑥 + Định m để hà m số cố cực đạ i cực tiể u cố hôà nh độ thổ a 𝑥1 = 𝑥2 + III Chô hà m số 𝑦 = GIÁ TRỊ LỚN NHÁ T – GIÁ TRỊ NHỎ NHÁ T CỦ A HÀ M SÓ Cá c bước tìm GTLN – GTNN củ a hà m số đôạ n [a;b]: ▪ Tìm tạ p xá c định ▪ Xế t hà m số trên[a;b] ▪ Tính đạ ô hà m cá p I ▪ Tìm nghiệ m củ a đạ ô hà m, xế t nghiệ m [a;b] ▪ Tính giá trị củ a hà m số tạ i cá c giá trị nghiệ m vừa tìm và hai đà u mú t a, b ▪ Sô sá nh để tìm GTLN, GTNN và kế t luạ n Bà i tạ p: Tìm GTLN – GTNN củ a hà m số 10 11 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + [−1; 2] 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + [0; 3] 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 − 9𝑥 [−2; 2] 𝑦 = 2𝑥 − 4𝑥 + 2𝑥 + [−2; 3] 𝑦 = −𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 + [2; 4] 2𝑥 + 𝑦= [0; 4] 𝑥+2 𝑥−1 𝑦= [−1; 2] 𝑥+3 𝑦 =𝑥+3+ [3; 6] 𝑥−2 𝑥 − 3𝑥 + 𝑦= [2; 3] 𝑥−1 2𝑥 + 5𝑥 + 𝑦= [0; 1] 𝑥+2 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + [0; 2] VD: Tìm GTLN, GTNN củ a hà m số 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑥 − 12𝑥 + [0; 3] GIẢ I: TXĐ: D=ℝ Xế t hà m số trên[0;3] 𝑦′ = 6𝑥 − 6𝑥 − 12 𝑥 = −1[0; 3] 𝑦 ′ = ⇔ 6𝑥 − 6𝑥 − 12 = ⇔ [ 𝑥 = 2[0; 3] y(0)=5; y(2)=15; y(3)= Vạ y:max 𝑦 = 𝑦(0) = ; 𝑦 = 𝑦(2) = −15 [0;3] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [0;3] 𝑦 = 2𝑥 + √5 − 𝑥 𝑦 = √4 − 𝑥 𝑦 = √−𝑥 + 4𝑥 − 𝑦 = √𝑥(4 − 𝑥) 𝑦 = + √9 − 𝑥 𝑥2 + 𝑦= 𝑥 +𝑥+2 𝑥2 + 𝑥 + 𝑦= 𝑥 −𝑥+1 𝑦 =𝑥+2+ 𝑥−1 𝑥 − 4𝑥 + 𝑦= 𝑥−2 21 𝑦 = 𝑥 + √4 − 𝑥 22 𝑦 = (3 − 𝑥) √𝑥 + [0; 2] IV ĐƯỜNG TIỆ M CẠ N VÀ TIẾ P TUYẾ N VỚI ĐÒ THỊ HÀ M SÓ A TIỆ M CÂN ► Tiệ m cạ n đứng: y Nế u trông điề u kiệ n sau thổ a mã n: lim+ 𝑓(𝑥) = ±∞; lim− 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑥0 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥+2 𝑥−1 𝑥→𝑥0 thì x=x0 là tiệ m cạ n đứng củ a hà m số 𝑥+2 = +∞ VD: lim+ 𝑦 = lim+ 𝑥→1 𝑥→1 𝑥 − 𝑥+2 lim− 𝑦 = lim− = −∞ 𝑥→1 𝑥→1 𝑥 − ⇒x=1 là tiệ m cạ n đứng ► Tiệ m cạ n ngang: Nế u lim 𝑓(𝑥) = 𝑦0 ; lim 𝑓(𝑥) = 𝑦0 𝑥→+∞ 𝑥→−∞ thì y=y0 là tiệ m cạ n ngang củ a hà m số 𝑥+2 =1 VD: lim 𝑦 = lim 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 − 𝑥+2 lim 𝑦 = lim =1 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥 − ⇒y=1 là tiệ m cạ n ngang Bà i tạ p: y=1 O x x=1 B TIẾ P TUYẾ N  Tiế p tuyế n với đồ thị hà m số (C): y=f(x) tạ i  Viế t PT tiế p tuyế n củ a (C): y=f(x), biế t tiế p tuyế n qua điể m A(xA;yA) điể m M(x0;y0)(C) cố dạ ng: ′ (𝒙 ) (𝒙 + Gộ i ∆ là tiế p tuyế n (hay đường thả ng) qua A 𝒚=𝒚 𝟎 − 𝒙 𝟎 ) + 𝒚𝟎 và cố hệ số gố c k ⇒ ∆: y=k.(xxA)+yA (*)  Chú ý : 1/ Hệ số gố c củ a tiế p tuyế n củ a (C) tạ i M(x0;y0): + ∆ là tiế p tuyế n củ a (C) nế u hệ phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝐴 ) + 𝑦𝐴 (1) k=y’(x0) sau cố nghiê ̣ m : { 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 (2) 2/ Nế u tiế p tuyế n song song với đường thả ng ́ ́ ́ ́ y=ax+b thì hệ sô gố c tiêp tuyên k=y’(x0)=a  Thê (2) và ô (1) giả i tìm x 3/ Nế u tiế p tuyế n vuông gố c với đường thả ng  Thế x và ô (2) suy k  Thế k và ô (*) được PT tiế p tuyế n ∆ y=ax+b thì hệ số gố c tiế p tuyế n k=y’(x0)= − 𝑎 Bà i tạ p 1: 𝑥−2 (𝐶) Viế t PTTT với (C): Chô hà m số 𝑦 = 𝑥+1 Tiế p tuyế n sông sông với d:𝑦 = 𝑥 + 2015 Tạ i điể m M(0;2) thuộ c hà m số Biế t tiế p tuyế n cố hệ số gố c k=3 Tiế p tuyế n vuông gố c với ∆: 4x+3y-12=0 Bà i tạ p 2: 3𝑥 − (𝐶) Viế t PTTT với hà m số (C): Chô hà m số 𝑦 = 𝑥−1 Tạ i điể m cố hôà nh độ x0=2 Tiế p tuyế n sông sông với đường thả ng 2x+y2015=0 ̉ Tạ i điêm cố tung độ y0=1 Tạ i giaô điề m củ a đồ thị hà m số (C) với Oy Bà i tạ p 3: Viế t PTTT với đồ thị hà m số (C) 𝑥+2 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + qua A(1; 0) 𝑦 = qua D(−6; 5) 𝑥−2 𝑥+2 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 − qua B(2; 0) 𝑦 = qua Ê(3; 4) 2−𝑥 3 𝑦 = −𝑥 + 9𝑥 qua C(3; 0) 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + qua F(0; ) 2 V KHẢ O SÁ T SỰ BIẾ N THIÊN VÀ VỄ ĐÒ THỊ HÀ M SÓ A CÁ C BƯỚC KHẢ O SÁ T VÀ BIỆ N LUẠ N HÀ M SÓ BẠ C Khả ô sá t – cá c bước khả ô sá t và vễ đồ thị HS đồ ng biế n khôả ng (⎼∞;⎼1), (1;+∞) ► TXĐ: D=ℝ HS nghịch biế n khôả ng (⎼1;1) ► Tính y’ HS đạ t cực đạ i yCĐ=4 tạ i x=⎼1 𝑥 = ⎽⎽; 𝑦 = ⎽⎽ HS đạ t cực tiể u yCT=0 tạ i x=1 ► GPT y’=0⇔[𝑥 = ⎽⎽; 𝑦 = ⎽⎽ lim 𝑦 = −∞; lim 𝑦 = +∞ 𝑥→+∞ ► Tính y” (bước nà y không cà n thiế t với hà m 𝑥→−∞ ̉ m: Chô điê trù ng phương (bạ c 4)) x ⎼2 ⎼1 ► GPT y”=0 ⇔ x= ; y= ⇒điể m uố n U(x;y) y 4 ► Bả ng biế n thiên ► Kế t luạ n: + Chiề u biế n thiên: đồ ng biế n và nghịch biế n + Cực trị: cực đạ i và cực tiể u +Giới hạ n đạ c biệ t ► Chô điể m (5 điể m) và vễ đồ thị Chú ý : Chiề u củ a bả ng biế n thiên tương thích với hình dạ ng củ a đồ thị hà m số Biệ n luạ n U(0;2) ***Biệ n luạ n nghiệ m củ a PT bà ng đồ thị + Chuyể n phương trình đã chô về dạ ng f(x)=m hôạ c f(x)=g(m) (*) + PT (*) là PT hôà nh độ giaô điể m củ a đường: (C): y=f(x) và d: y=m (hay y=g(m)) + Số nghiệ m củ a PT là số giaô điể m củ a đồ thị hà m số (C) và đường thả ng d Ví dụ minh hộ a Chô hà m số y=x3⎼3x+2 (C) 1/ Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số 2/ Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x3⎼3x+2⎼m=0 GIẢ I: Ta cố : x3⎼3x+2⎼m=0 (1)⇔ x3⎼3x+2=m (2) TXĐ: D=ℝ ▪ PT (2) là PT hôà nh độ giaô điể m củ a đường ▪ y’=3x ⎼3 x = −1; y = (C): y= x3⎼3x+2 và d: y=m ▪ y’=0⇔3x2⎼3=0⇔[ 𝑥 = ;𝑦 = ▪ Số nghiệ m củ a PT (1) là số giaô điể m củ a (C) ▪ y”=6x; y”=0⇔6x=0⇔x=0; y=2⇒ điể m uố n và đường thả ng d Dựa và ô đồ thị ta cố : U(0;2) + m