Chuyên đề : CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.BÀI TOÁN 1 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán tổng quát: Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thò hai hàm số : 1 2 (C ): y f(x) (C ): y g(x) = = (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1) * Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) . L ưu ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thò (C 1 ) và (C 2 ). Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thò (C 1 ) và (C 2 ). Chú ý 1 : * (1) vô nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm điểm chung * (1) có n nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung Chú ý 2 : * Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C 1 ) và (C 2 ). Khi đó tung độ điểm chung là y 0 = f(x 0 ) hoặc y 0 = g(x 0 ). x y y y x x OO O )( 1 C )( 2 C )( 1 C )( 2 C 1 x 2 x 1 M 2 M 2 y 1 y 0 M )( 2 C )( 1 C x y 0 y 0 x O Áp dụng: D ạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 2 y x x 2= + − và đường thẳng y x 2= + Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): 2 y x 4= − và (C'): 2 y x 2x= − − Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 3 2 1 y x x 3 = − và đường thẳng 5 (d):y 3x 3 = + Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 1 12 + − = x x y và đường thẳng 13:)( −−= xyd Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y x= và đường thẳng (d):y x 2= − Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt Bài 1 : Cho hàm số 2x 1 y x 2 + = + . Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y mx 2= + ln cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số 3 2x y x 1 − = − . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2= + cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Bài 3: Cho hàm số 2 ( 1)( )y x x mx m= − + + (1) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài 4: Cho hàm số 3 2 3 2= + + + −y x x mx m (1) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài 5: Cho hàm số 4 2 1y x mx m= − + − (1) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thò hai hàm số : (Dành cho chương trình NC) Đònh lý : (C 1 ) tiếp xúc với (C 1 ) ⇔ hệ : ' ' f(x) g(x) f (x) g (x) = = có nghiệm Bài 1: Chứng minh rằng hai đường cong 3 5 (C): y x x 2 4 = + − và 2 (C'): y x x 2= + − tiếp xúc nhau.tại một điểm nào đó. Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d):y kx= tiếp xúc với đường cong 3 2 (C): y x 3x 1= + + Bài 3: Tìm k để đường thẳng ( ) (d):y k x 2 7= − − tiếp xúc với đường cong 3 2 (C): y x 3x 2= − + Bài 4: Tìm k để đường thẳng ( ) (d):y k x 1 3= + + tiếp xúc với đường cong 2x 1 (C): y x 1 + = + M O ∆ )( 1 C )( 2 C y x Bài 2: Tìm k để đường thẳng ( ) (d):y k x 5= + tiếp xúc với đường cong 2 x x 1 (C): y x 1 − − = + 2.BÀI TOÁN 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0 M (x ;y ) (C)∈ Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x 0 ;y 0 ) có dạng: y - y 0 = k ( x - x 0 ) hay 0 0 0 y f '(x )(x x ) f(x )= − + Trong đó : x 0 : hoành độ tiếp điểm y 0 : tung độ tiếp điểm và y 0 = f(x 0 ) k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f ' (x 0 ) Áp dụng: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 33 3 +−= xxy tại điểm trên đồ thị có hồnh độ x 2= . Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 2x 3 y x 1 + = + tại điểm trên đồ thị có hồnh độ x 3= − . Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 2 y x 1 2x 1 = + − − tại điểm trên đồ thị có hồnh độ x 1= . Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 3x 2 y x 1 − = + tại điểm trên đồ thị có tung độ y 2= − . Bài 5: Cho hàm số 3 2 y 2x 3x 1= − + − (1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm trên (C) có hồnh 0 x , biết rằng 0 y''(x ) 0= Bài 6: Cho hàm số 2 x y x 1 − = + (1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. b. Dạng 2: (C): y=f(x) 0 x x 0 y y 0 M ∆ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x 0 bằng cách giải phương trình : ' 0 ( )f x k= , từ đó suy ra 0 0 ( )y f x= =? Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 3 y x 3x= − + biết tiếp tuyến có hệ số góc k 9 = − Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 2x 1 y x 2 + = − biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5 − Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: Đònh lý 1: Nếu đường thẳng ( ∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của ( ∆ ) là: k a ∆ = Đònh lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 2 ( ) và ( )∆ ∆ . Khi đó: 1 2 1 2 1 2 1 2 // k k k .k 1 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⇔ = ∆ ⊥ ∆ ⇔ = − Áp dụng: (C): y=f(x) 0 x x 0 y y 0 M ∆ (C): y=f(x) ∆ x y ak /1−= O baxy +=∆ : 2 (C): y=f(x) x y ak = baxy += 1 ∆ 2 ∆ Bài 1: Cho đường cong (C): 3 2 1 1 4 2 3 2 3 y x x x= + − − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2. Bài 2: Cho đường cong (C): 2 x 5x 4 y x 2 − + = − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ): y 3x 2∆ = + Bài 3: Cho đường cong (C): 1 3 2 + + = x x y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng xy 3:)( −=∆ c. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ;y A ) Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A và có hệ số góc là k bởi công thức: ( ) ( ) A A A A y y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + (*) Bước 2: Đònh k để ( ∆ ) tiếp xúc với (C). Ta có: A ' f(x)=k(x-x ) tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1) f ( ) A y x k + ∆ ⇔ = Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): 43 23 ++= xxy Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) Ví dụ 2: Cho đường cong (C): 2 5 2 x y x − = − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0). 3.BÀI TOÁN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ x y AAAA yxxkyxxkyy +−=⇔−=−∆ )()(: O );( AA yxA )(:)( xfyC = Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C 1 ):y=f(x) và (C 2 ):y=g(x) Bài tốn : Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng : f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò: ( ): ( ) : (C) là đồ thi cố đinh ( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;m) • = • ∆ = ∆ C y f x y m Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của ( ∆ ) và (C) Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) Minh họa: Áp dụng: Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số 3 2 y x 3x 4= − + − 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 x 3x 4 m− + − = 3) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 2 x 3x 2 m 0− + − = Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 y 2x 6x 1= − + 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2x 6x 1 m 0− + − = Bài 3: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2 y x 2x= − + 2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2 x 2x m 0− + = y x )(:)( xfyC = );0( m 1 m 2 m my = ∆ O y x 0 x )( 1 C )( 2 C Hết . Chuyên đề : CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.BÀI TOÁN 1 : SỰ TƯƠNG GIAO