chuyên đề khảo sát hàm số 6

ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP CHỦ ĐỀ I : ĐẠO HÀM BÀI TẬP : Bài 1 : Cho hàm số ( )  − − ≠   =   =   1 1 0 1 0 2 x nếux x f x nếux a. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x 0 = 0 b. Tính f’(x 0 ) nếu có . Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số : a. π   = +  ÷   3 cot 2 4 y g x b. ( ) 2 2 1 1 sin 2 y x = + c. 2 1 1 ln x y x + − = d. 2 1 ln 2sin y tgx x = − e. ( ) 2 2 cos 2 siny x x x x= − + f. 1 1 x y x   = +  ÷   g. ln x y x= Bài 3 : Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a. ( ) ln 1y x= − b. 2 2 y x = − c. 2 siny x= Bài 4 : Cho ( ) 2 2 cos 1 sin x f x x = + . Chứng minh rằng : 3 ' 3 4 4 f f π π     − =  ÷  ÷     Bài 5 : Cho sin x y e= . Chứng minh rằng : '.cos .sin " 0y x y x y− − = Bài 6 : Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x . ( ) 2 2 2 2 cos2 cos cos 3 3 f x x x x π π     = + + + −  ÷  ÷     Bài 7 : ( ) 2 ln 1 2 x x x+ > − ∀ x > 0 1 CHỦ ĐỀ II : KHẢO SÁT HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 : ĐƠN ĐIỆU . LÝ THUYẾT : Hàm số y = f( x ) đồng biến / ( a ; b ) ⇔ f’( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ ( a ; b ) Hàm số y = f( x ) nghòch biến / ( a ; b ) ⇔ f’( x ) ≤ 0 ∀ x ∈ ( a ; b ) Dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn điểm . ĐẶC BIỆT : f’( x ) = 0 ∀ x ∈ ( a ; b ) thì f( x ) = hằng số ∀ x ∈ ( a ; b ) ‡ Nếu hàm số y = ( ) f x đồng biến / [ a,b ] thì [ ] ( ) ( ) ,x a b Min f x f a ∈ = ; [ ] ( ) ( ) ,x a b Max f x f b ∈ = ‡ Nếu hàm số y = ( ) f x nghòch biến / [ a,b ]thì [ ] ( ) ( ) ,x a b Min f x f b ∈ = ; [ ] ( ) ( ) ,x a b Max f x f a ∈ = DẠNG 1 : Tìm điều kiện để hàm số đồng biến (nghòch biến ) trên khoảng ( a ; b ) . Phương pháp : Ta tìm điều kiện để f’( x ) ≥ 0 ( f’( x ) ≤ 0 ) ∀ x ∈ ( a ; b ) Một số công thức liên quan : . Đạo hàm f’( x ) có dạng tam thức bậc hai f’( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 1. f’( x ) = ax 2 + bx + c ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇔ >   ∆ ≤  0 0 a 2. f’( x ) = ax 2 + bx + c ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ <   ∆ ≤  0 0 a  Nếu cơ số a chứa tham số ta cần xét trường hợp a = 0 ( suy biến ) trước khi sử dụng các công thức trên . DẠNG 2 : Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức . Phương pháp : a. Bất đẳng thức chứa 1 biến số : Biến đổi bất đẳng thức về dạng : f( x ) > 0 ∀ x ∈ ( a ; b ) Tính f’( x ) và xét dấu f’( x ) , suy ra f( x ) đồng biến hay nghòch biến trên (a;b ) p dụng đònh nghóa để chứng minh bất đẳng thức . b. Bất đẳng thức chứa 2 biến số : Biến đổi bất đẳng thức về dạng : f ( α ) < f ( β ) với a < α < β < b Xét tính đơn điệu của hàm số f( x ) trong khoảng ( α ; β ) p dụng đònh nghóa để chứng minh bất đẳng thức . 2 VẤN ĐỀ 2 : CỰC TRỊ . LÝ THUYẾT :  Thông thường cực trò là nghiệm đơn của đạo hàm .  DẤU HIỆU ĐỦ THỨ II : ( Dùng đạo hàm cấp hai ) x 0 là điểm cực đại của hàm số ⇔ ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x =   <   x 0 là điểm cực tiểu của hàm số ⇔ ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x =   >   x 0 là điểm cực trò của hàm số ⇔ ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x =   ≠   QUY TẮC TÍNH GIÁ TRỊ CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC : Cho hàm số y = f( x ) = ( ) ( ) u x v x . Với ( ) u x và ( ) v x có đạo hàm tại x 0 , ( ) 0 ' 0v x ≠ . Ta có x 0 là cực trò thì giá trò cực trò y 0 = f(x 0 ) = ( ) ( ) 0 0 u x v x = ( ) ( ) 0 0 ' ' u x v x  CÁC CÔNG THỨC KHÁC : 1. Hàm số đạt cực trò tại x 0 ⇔ ( ) =   ∆ >   0 ' ' 0 0 y f x nếu y’ có dạng bậc hai . 2. Hàm số đạt cực trò bằng y 0 khi x = x 0 ⇔ ( ) ( )  =   =   0 0 0 ' 0f x y f x và f’(x) đổi dấu khi qua x 0 . VẤN ĐỀ 3 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f( x ) trên tập D  Phương pháp chung : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D  Đặc biệt : Nếu D = [a;b] ta thực hiện : + Tính y’ và tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 … của hàm số thuộc [ a ; b ] + Tính f(x 1 ) , f(x 2 ) . . . .và f(a) , f(b) . + So sánh các giá trò trên và đưa ra kết luận . 3 VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG Phương pháp :Cho hai đường (C 1 ) : y = f( x ) (C 2 ) : y = g( x ) Để xét vò trí tương đối của (C 1 ) và (C 2 ) ta thực hiện : B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) f( x ) = g( x ) (1) B2 : Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 )  CHÚ Ý : i . Phương pháp biện luận phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 B1: a = 0 ( kiểm tra suy biến ) B2: a ≠ 0 Lập ∆ TH1: ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm TH2: ∆ > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt Th 3: ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép ii . Phương pháp biện luận phương trình bậc ba đặc biệt : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 B1: a = 0 ( kiểm tra suy biến ) B2: a ≠ 0 . Đoán một nghiệm x 0 và biến đổi phương trình về dạng ; (x – x 0 ) . (a’x 2 + b’x + c’) = 0 (I) ⇔ ( ) 0 2 x x g x a'x b'x c' 0* =   = + + =   Tính ∆ và g (x 0 ) TH1 : ∆ < 0 ⇒ phương trình * vô nghiệm ⇒ phương trình (I) có 1 nghiệm là x 0 TH 2 : ( ) ∆ 0 0 g x 0 >    ≠   ⇒ phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác x 0 ⇒ phương trình (I) có 3 nghiệm phân biệt . TH 3 : ( ) ∆ 0 0 g x 0 >    =   ⇒ phương trình * có 1 nghiệm là x 0 và 1 nghiệm khác x 0 ⇒ phương trình (I) có 2 nghiệm ( 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép ) TH 4 : ∆ = 0 ⇒ phương trình * có 1 nghiệm kép Nếu nghiệm kép này khác x 0 thì ⇒ phương trình (I) có 2 nghiệm ( 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép ) Nếu nghiệm kép này trùng x 0 thì ⇒ phương trình (I) có 1 nghiệm (nghiệm bội ba ) iii . Điều kiện phương trình bậc ba trên có 3 nghiệm phân biệt là : ( ) ∆ 0 a 0 0 g x 0  ≠  >   ≠  iv. TỔNG QUÁT : Điều kiện phương trình bậc ba f( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 4 ( a ≠ 0 ) có 3 nghiệm phân biệt là : + f’( x ) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 + f(x 1 ) . f(x 2 ) < 0 Để tính f(x 1 ) và f(x 2 ) ta chia y cho y’ tìm được phần dư là r ( x ) = α x + β , khi đó f(x 1 ) = α x 1 + β và f(x 2 ) = α x 2 + β  LƯU Ý : Có những bài ta nên dựa vào BBT hoặc đồ thò thì giải quyết dễ dàng hơn VẤN ĐỀ 5 :TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) . DẠNG 1 : TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ( x 0 ; y 0 ) ∈ ( C ) Phương pháp : Tìm x 0 , y 0 và f’( x 0 ) Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x 0 ). (x – x 0 ) + y 0 DẠNG 2 : TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM A(x A ; y A ) Phương pháp : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến B1: Chỉ dạng : phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k ( x – x A ) + y A B2 : Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C ) ( ) ( ) ( ) f x g x f ' x k  =   =   nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm Giải hệ phương trình này ta tìm được x ⇒ k ⇒ phương trình tiếp tuyến DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC ( Hoặc song song , vuông góc đường thẳng cho trước ) Phương pháp : Gọi ( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Dùng ý nghóa hình học của đạo hàm Ta có : f’( x 0 ) = k . Giả phương trình này ta tìm x 0 ⇒ y 0 Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x 0 ). (x – x 0 ) + y 0 Chú ý : Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau . Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 . Tức là nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc a thì : + Đường thẳng d song song với ∆ ⇒ d có hệ số góc k = a + Đường thẳng d vuông góc với ∆ ⇒ d có hệ số góc k = 1 a − VẤN ĐỀ 6 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Phương pháp chung : Biến đổi phương trình đã cho về dạng f( x ) = g( m ) (*) Trong cùng hệ trục Oxy vẽ hai đồ thò ( C ) : y = f( x ) và (D) : y = g( m ) cùng phương trục hoành Ox Số hoành độ giao điểm của ( C ) và (D) là số nghiệm của phương trình (*) Tùy theo vò trí tương đối của ( C ) và (D) để kết luận số nghiệm của phương 5 trình (*) Chú ý : Nếu phải đặt ẩn phụ ta biện luận theo ẩn phụ đó sau đó kết luận nghiệm theo x . Nếu điều kiện của ẩn phụ là ∈ [ α ; β ]cần để ý giao điểm của đường thẳng x = α và x = β có tung độ f( α ) , f( β ) với đồ thò ( C ) VẤN ĐỀ 7 : TÂM ĐỐI XỨNG  Chứng minh rằng điểm I (x 0 ; y 0 ) là tâm đối xứng của đồ thò (C) : y = f( x ) Phương pháp : B1: Tònh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục IXY theo OI uur theo công thức : = +   = +  0 0 x X x y Y y B2: Tìm phương trình Y = F( X ) của ( C ) trong hệ trục IXY. B3: Chứng minh rằng Y = F( X ) là hàm lẻ trong hệ trục IXY nên đồ thò nhận gốc I làm tâm đối xứng . VẤN ĐỀ 8 :MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ DẠNG 1 : TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÁCH ĐỀU HAI TRỤC TỌA ĐỘ Phương pháp : Cho ( C ) : y = f( x ) Gọi M( x ; y ) ∈ ( C ) cách đều hai trục tọa độ ⇒ d( M ; Ox ) = d( M ; Oy ) ⇔ | y | = | x | ⇔ y = ± x Chia hai trường hợp và thay vào phương trình của ( C ) DẠNG 2 : TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN . Phương pháp : Cho ( C ) : + + = + 2 ax bx c y a'x b' ( hoặc ( C ) : + = + ax b y cx d ) Biến đổi hàm số về dạng = + +y x mẫusố γ α β với α , β , γ ∈ Z Do x , y ∈ Z nên mẫu số là ước của γ . Từ đó ta tìm được x , y VẤN ĐỀ 9 : ĐIỂM ĐỐI XỨNG Phương pháp : Cho ( C ) : y = f( x ) Gọi hai điểm M 1 ( x 1 ; y 1 ) và M 2 ( x 2 ; y 2 ) thuộc đồ thò ( C ) DẠNG 1 : Hai điểm M 1 và M 2 đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇔ 1 2 1 2 x x y y = −   = −  Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 1 1 2 1 1 y f x y y f x =   = − = −   ⇒ f( x 1 ) + f( -x 1 ) = 0 Ta tìm được x 1 , y 1 ⇒ x 2 , y 2 DẠNG 2 : Hai điểm M 1 và M 2 đối xứng nhau qua điểm I ( x 0 ; y 0 ) 6 ⇔ 1 2 0 1 2 0 2 2 x x x y y y + =   + =  Giải hệ phương trình trên tìm được x 1 , y 1 ⇒ x 2 , y 2 VẤN ĐỀ 10 : QUỸ TÍCH ( TẬP HP ĐIỂM ).  Phương pháp : Để tìm quỹ tích điểm M thông thường ta thực hiện : B1 : Tính tọa độ điểm M theo tham số m ( hoặc tham số khác ) M ( ) ( ) x u m y v m =   =   ( * ) Trong một số trường hợp phức tạp ta không nhất thiết phải tính x và y theo m mà chỉ cần tìm các hệ thức ràng buộc giữa x , y , m và tìm cách khử m từ các hệ thức này . B 2 : Tìm phương trình quỹ tích Khử tham số của hệ phương trình ( * ) ta có một hệ thức liên hệ giữa x và y gọi là phương trình quỹ tích : F ( x , y ) = 0 B 3 : Giới hạn quỹ tích : Dựa vào điều kiện của tham số m , ta tìm được điều kiện của x , y để điểm M tồn tại . B 4 : Kết luận : Dựa vào phương trình quỹ tích và giới hạn quỹ tích để kết luận .  Các quỹ tích thông thường : I . Quỹ tích trung điểm : Đường thẳng d : y = ax + b cắt đường cong ( C ) : y = f( x ) tại hai điểm phân biệt A và B . Khi đó tọa độ trung điểm I của đoạn AB là : 2 A B x x x y ax b vì I d +  =    = + ∈  Để giới hạn quỹ tích ta dựa vào điều kiện đường thẳng d cắt ( C ) hai điểm phân biệt . II . Quỹ tích tâm đối xứng : 1. Hàm bậc ba : y = f( x ) = a x 3 + b x 2 + cx + d Điểm uốn là tâm đối xứng . Tọa độ tâm đối xứng : ( ) '' 0y y f x =    =   2. Hàm phân thức : y = ax b cx d + + hoặc y = 2 ' ' ax bx c b x c + + + Điểm uốn là giao điểm hai tiệm cận . Tọa độ tâm đối xứng : TCĐ TCN hoặc TCX    7 III . Quỹ tích điểm cực trò : 1. Cực trò của hàm bậc ba : y = f( x ) = a x 3 + b x 2 + cx + d Tọa độ điểm cực trò : ( ) ' 0y y f x =    =   2. Cực trò của hàm phân thức : y = 2 ' ' ax bx c b x c + + + Tọa độ điểm cực trò : ' 0 2 ' y ax b y b =   + =   Chú ý : Nếu muốn tìm quỹ tích của điểm CĐ hoặc CT ta cần phải lập BBT để xác đònh tọa độ điểm CĐ hoặc điểm CT . IV . Quỹ tích điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k : Dùng công thức sau để tính tọa độ điểm M : M 1 1 A B A B x kx x k y ky y k −  =   −  −  =  −  V . Quỹ tích điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với (C m ) : y = f( x ) Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến kẻ từ M . phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k ( x – x A ) + y A Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C ) ( ) ( ) ( ) ' f x g x f x k =   =   nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm Dùng tính chất tích hai hệ số góc k 1 .k 2 = - 1 ⇔ f’(x 1 ).f’(x 2 ) = - 1 . Với x 1 , x 2 là nghiệm của hệ trên . BÀI TẬP: Bài 1 : Cho hàm số y = x x m x 2 2 1 + + − có đồ thò là ( C m ) a. Tìm m để hàm số có cực trò . b. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 1 c. Biện luận theo k dấu của nghiệm số phương trình : ( ) 2 x k 2 x 1 k 0+ + + − = d.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ),TCX , đường thẳng x=-2 và trục Oy . Bài 2 : Cho hàm số y = x x 2 2 + − (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 8 2) Tìm trên đồ thò (C) tất cả những điểm cách đều hai trục tọa độ. 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C), biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(-6, 5). Bài 3 :Cho hàm số ( ) = − + + + 3 2 y x m 4 x 4x m 1) Tìm các điểm mà đồ thò hàm số đi qua ∀ m . 2) Tìm m để hàm số có cực trò . 3) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 0 . 4) Tìm k để ( C ) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt . Bài 4 : Cho hàm số x y x 4 2 9 2 4 4 = − − ( C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm của nó với trục Ox 3) Biện luận theo k số giao điểm của ( C ) với đồ thò hàm số y k x 2 2= − 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và trục hoành . Bài 5 : Cho hàm số y = f(x) = x mx x 2 1 1 + − − (*) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là những số nguyên. 3) Đònh m để đường thẳng y = m cắt đồ thò của hàm số (*) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB. Bài 6 : Cho hàm số y x mx m 4 2 5= + − − ( ) m C 1) Tìm các điểm cố đònh của ( ) m C 2) Tìm m để ( ) m C có ba điểm cực trò . 3) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = -2 4) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) song song đường thẳng y x24 1= − Bài 7 : Cho hàm số x x y x 2 5 3 − − = − ( C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số 2) Xác đònh m để phương trình ( ) x m x m 2 1 3 5 0− + + − = có hai nghiệm dương 3) Tìm k để TCX của ( C ) tiếp xúc với đồ thò hàm số : y x k 2 = + 4) Tìm trên ( C ) những điểm cách đều hai trục tọa độ . 9 Bài 8 : Cho hàm số ( ) ( ) y x m x m x 3 2 1 9 1 3 3 2 = − − + − + ( ) m C 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 0 . 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) đi qua gốc tọa độ . 3)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 2 . 4) Tìm m để đồ thò ( ) m C cắt đường thẳng y x 9 3 2 = − + tại ba điểm phân biệt . Bài 9 : Cho hàm số ( ) x m x m y x 2 1 4 1 + − − + = − ( ) m C 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 2 2) Tìm m để đồ thò hàm số đã cho có điểm CĐ và CT nằm cùng một phía đối với trục hoành . 3) Tìm các điểm có tọa nguyên trên đồ thò ( ) m C khi m ∈ Z Bài 10 : Cho hàm số ( ) x m x m m y x 2 2 1 4 2 1 − + − + − = − 1) Tìm m để hàm số có cực trò . Tìm m để tích của giá trò CĐ và CT đạt giá trò nhỏ nhất . 2) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 0 3) Chứng minh rằng ( C ) có tâm đối xứng là giao điểm I của hai đường tiệm cận . 4) Tìm trên ( C ) những điểm cách đều hai trục tọa độ . Bài 11 : Cho hàm số ( ) 2 2y x x= − có đồ thò ( C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) 2) Dựavào ( C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình : 3 2 4 4 0x x x m− + − = 3)Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua điểm A( 3;3 ) 4)Viết phương trình tiếp tuyến của (C )song song đường thẳng y =-x + 5 Bài 12: Cho hàm số 4 2 1 5 3 2 2 x x− + ( C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) 2) Dựavào ( C ) tìm m sao cho phương trình : 4 2 6 5 0x x m− + − = có 4 nghiệm phân biệt . 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và trục hoành . 10 [...]... x − 2 x ) dx 9 4x dx 0 x − 5x + 6 1 ∫ 2 π 3 0 π 6 0 4 ∫ ∫ sin 4 x.dx 6 ∫ π 4 π 6 cos2 x dx sin x.cos2 x 8 π 2 0 5 7 2 ∫ 0 x 2 dx −2 1 − x3 ∫ 11 13 2 π 2 0 ∫ ∫ 10 sin x 3cos x + 1.dx e2 1 dx x 4 ln x + 1 ln x 3ln x + 4 dx ∫1 x π tgx e − sin3 x 4 dx 17 ∫0 cos2 x 19 ∫ 2 0 x 3 1 − x dx π 4 0 25 27 29 31 ∫ (1− x ) 1 2 3 0 π 4 0 ∫ π 3 π 4 π 2 0 ∫ 18 22 3 x 3 x 2 − 3.dx 2 π 6 0 cos x.dx 4sin x + 1 ∫ π 2 π... 2 x2 2 2 ln ( x + 1) dx 26 ∫1 x2 π dx 28 ∫03 cos4 x 1 dx tg5 x.dx ∫ ( 2tgx − 3cot gx ) π  cos2  3 x − ÷.dx 4  dx x π 2 − cot g2 x 2 dx 16 ∫π sin 2 x 4 20 4 x.dx ∫ cos2 x π cot gx e − 6x dx 23 ∫π2 sin 2 x 4 21 12 14 e4 15 ∫ sin 2 2 x.dx 2 cos x dx sin x + 2 cos x dx 30 2π 3 0 ∫ sin 2 x.cos2 x.dx e− x dx 32 ∫0 x e + 4e− x 1 16 Bài 2 : Chứng minh rằng : Tính 1 ∫ x(1− x) 0 6 ∫ 1 1 x m ( 1 − x ) dx... và : a Bắt đầu từ chữ số 1 và chẵn b Luôn có mặt chữ số 2 và không có mặt chữ số 1 c Không tận cùng bằng 6 Bài 2 : Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000 Bài 3 : Một học sinh có 5 cuốn sách Toán , 4 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa khác nhau đôi một Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chúng trên một kệ ngang sao cho : a Các cuốn... C12 + + 7 C12 b 0 1 2 n B = Cn − 4Cn + 42 Cn − + ( −1) 4 n Cn n 1 2 3 n C = Cn + 2.5Cn + 3.52 Cn + + n.5n −1 Cn 1 2 2 3 19 20 d D = C20 − 2.7C20 + 3.7 C20 − − 20.7 C20 c e E = n .6 n−1 0 1 2 n Cn + ( n − 1) 6 n−2 Cn + ( n − 2 ) 6 n−3 Cn + + Cn −1 f F = n ( n − 1) Cn − ( n − 1) ( n − 2 ) Cn + + ( −1) 0 1 n −2 n 2Cn −2 21 0 1 2 n 4.Cn 4 2.Cn 43.Cn 4 n.Cn g G = + + + + 1 2 3 n +1 12 4   2 Bài 10 : a Tìm... Giải phương trình và hệ phương trình sau : a m m m Cn ++1 : Cn +1 : Cn +−1 = 5 : 5 : 3 1 1 20 2 Axy + 5Cxy = 90  b  y y 5 Ax − 2Cx = 80  Bài 6 : Giải các bất phương trình sau : 4 An + 4 143 < a ( n + 2 ) ! 4 Pn 5 2 4 3 c Cn −1 − Cn −1 − An − 2 < 0 4 b 1 2 6 3 2 A2 x − Ax ≤ C x + 10 2 x d n n+ 8C105 < 3C1051 Bài 7 : Chứng minh rằng : k k k k k +2 k +3 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 2 + Cn +3... số : y = x − 3x + (C) 2 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) 2) Dựavào ( C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x 4 − 6x 2 + 3 − m = 0 3) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các điểm uốn  3 4) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua điểm A  0; ÷  2 ax − b Bài 16 : Cho hàm số : y = x +1 1) Tìm a , b để đồ thò hàm số có TCN y = 1 và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có hệ số góc... trong n 1   khai triển :  x x + 4 ÷ bằng 44 Tìm số hạng độc lập với x x   12 13 Bài 16 : Tìm hệ số của số hạng chứa x y trong khai triển : a ( x + y ) 25 b ( 2 x − 3y ) 25 Bài 17 : Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển : ( 1 + 2 x + 3x ) 2 10 Bài 9 : Cho khai triển : ( 3 + x ) a Tính hệ số a 46 50 = a0 + a1 x + a2 x 2 + + a50 x 50 22 b Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + + a50 Bài 18 : Cho... Tính tổng S = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + + 80.a80 Bài 19 : Tìm số hạng của khai triển : ( Bài 20 : Tìm số hạng của khai triển : ) 9 3 + 2 là một số nguyên 3 ( ) 6 3 − 15 là một số nguyên Bài 21 : Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển : ( a + b ) là 64 3n Tìm số hạng chính giữa của khai triển ĐỀ MẪU: Bài 1 : Cho hàm số y = x2 ( 2 – x2 ) a Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số b Dựa vào đồ thò ( C... 3 0 ∫ sin 2 x.cos2 x.dx e− x dx 32 ∫0 x e + 4e− x 1 16 Bài 2 : Chứng minh rằng : Tính 1 ∫ x(1− x) 0 6 ∫ 1 1 x m ( 1 − x ) dx = ∫ x n ( 1 − x ) dx n 0 m 0 dx π π dx π ≤∫2 ≤ Bài 3 : Chứng minh rằng : 2 16 0 5 + 3cos x 10 VẤN ĐỀ 3 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Công thức I : Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f( x ) , đường thẳng x = a , đường thẳng x = b ( a < b ) và... 2 ÷ x x  Bài 11 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 15  2 1 a  x − ÷ x  10 2  b  x x − ÷ x  Bài 12 : Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển : n 3  2 x x x + ÷ bằng 36 Hãy số hạng thứ 7 và hai số hạng chính x   giữa n 1  Bài 13 : Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển :  x − ÷ 3  bằng 5 Tìm số hạng chính giữa của khai triển Bài 14 : Cho biết tổng . x + 2. 1 2 0 4 5 6 x dx x x + 3. ( ) 3 0 cos .sin5 2 .x x x dx 4. 2 3 0 sin 2 .x dx 5. 4 2 0 sin .x dx 6. 2 6 0 cos 3 . 4 x dx ữ 7. 4 2 2 6 cos2 sin .cos x dx x. + + d. 1 2 2 3 19 20 20 20 20 20 2.7 3.7 20.7D C C C C= − + − − e. ( ) ( ) 1 0 2 1 3 2 1 .6 1 .6 2 6 n n n n n n n n E n C n C n C C − − − − = + − + − + + f. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 . 1 1. 6 0 cos . 4sin 1 x dx x + 11. 2 0 sin 3cos 1.x x dx + 12. 3 4 2 2 cos .sin .x x dx 13. 2 1 4ln 1 e dx x x + 14. ( ) 2 1 2ln 1 e x dx x 15. 4 1 ln . 3ln 4 e x x dx x + 16.