Toan KSA xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình 1 Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm: T T Họ và tên 1 Doãn Huy Tùng 2 Đinh Cao Thượng 3 Lê Thị Lan Anh 4 Nguyễn Xuân Trường Nơi công tác THPT Kim Sơn A THPT Kim Sơn A THPT Kim Sơn A THPT Yên Mô A Chức danh Tỷ lệ % đóng góp vào việc chuyên tạo ra môn sáng kiến Thư ky HĐGD Đại học 40% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Trình độ Ghi chú Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp Xác suất của học sinh THPT 2 Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo - Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020 3 Các từ viết tắt: - THPT: Trung học phổ thông 1 - SGK: Sách giáo khoa 4 Nội dung sáng kiến 4.1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ Trong chương trình toán THPT các bài toán đếm và xác suất luôn là các bài toán khiến đa số học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler” “Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé” Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một số bài toán sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao (20212022) (ĐHCN-ĐHQGHN) Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có quà đặc biệt Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả quà trong k hộp đã chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, không có hai hộp quà đặc biệt nào được xếp cạnh nhau Nhằm tăng xác suất chọn được cả k hộp quà đặc biệt Alice quyết định sẽ chọn k hộp quà mà không có hai hộp nào cạnh nhau Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n và k Gọi C là số cách chọn k hộp mà không có hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép toán chia lấy dư) + Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO) Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào) a Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau) + Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Câu 39 Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, 2 sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng: 1 A 6 3 B 20 2 C 15 1 D 5 + Một số bài toán khác - (Bài toán liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trồng 3 cây lim, 4 cây long não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau? - (Bài toán bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu, ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu? m �n  - (Bài toán mua vé): Có m + n  người đang đứng quanh quầy vé, trong đó có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000 Đầu tiên ở quầy không có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để không một người nào phải chờ tiền trả lại? Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này  Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất phát từ những vấn đề trong thực tế Điều này phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống  Để giải quyết các bài toán cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương II ĐS> 11 Tổ hợp – Xác suất theo chương trình hiện tại và còn được trang bị trong nội dung chương trình cả 3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử dụng phương pháp tư duy được đề cập đến trong bài toán “Chia kẹo Euler”  Sách giáo khoa viết còn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lại mức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này được đề cập đến trong các đề thi đại học ; thi THPT Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh 3 giỏi tỉnh, quốc gia; thi kiểm tra đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả mức vận dụng và vận dụng cao Mặt khác các bài tập được đề cập trong sách giáo khoa cũng không được phân chia theo dạng và định hướng các phương pháp tư duy cho học sinh  Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như không đề cập đến một cách hệ thống các bài toán theo phương pháp tư duy được trình bày trong lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác  Vấn đề dạy học của giáo viên: Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho bài toán, chia các dạng toán sao cho hợp ly nhất Thông thường đa số giáo viên chỉ dạy sao cho học sinh nắm được càng nhiều bài càng tốt, để từ đó khi đi thi gặp bài quen thuộc là có thể làm được Hoặc nếu có định hình chia dạng để dạy cho học sinh thì cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia vào bài toán (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều cách tư duy để giải quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng) Điều này hạn chế tính logic trong việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng toán Từ đó không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán  Vấn đề học của học sinh: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, lười tư duy tìm tòi và sáng tạo; khả năng tự học chưa cao Do đó, khi tiếp cận bài toán thuộc nội dung này tuy rằng có thể hiểu được lời giải nhưng khả năng vận dụng để giải quyết các bài toán khác còn hạn chế do chưa hiểu rõ phương pháp tư duy 4.2 Giải pháp mới: - Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấp các dạng bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn: + Vận dụng kết quả của bài toán “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6) + Vận dụng tư duy của lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” đó là tư duy “vách ngăn” cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh 4 - Hệ thống ly thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất - Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ, quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài toán lạ - Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân * Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1) Có thể được tóm tắt như sau: - Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp và xác suất - Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung bài toán “chia kẹo Euler”, cách giải và các kết quả - Phần thứ ba: Xây dựng một số dạng toán thường gặp vận dụng kết quả và cách tư duy của bài toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm 7 dạng: + Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3: Đếm số + Dạng 4: Đếm số tập con + Dạng 5: Đếm hình học + Dạng 6: Lưới tọa độ + Dạng 7: Các bài toán vận dụng “tư duy vách ngăn” - Phần thứ tư: Hệ thống bài tập vận dụng dưới hình trắc nghiệm - Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liên quan trong quá trình học tập Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học tập Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không phải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trình mua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn Do đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo một khuôn mẫu định sẵn 5 Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cách phù hợp vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh 5 Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 5.1 Hiệu quả về kinh tế: + Tài liệu in ấn giá thành thấp + Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêm gây lãng phí và tốn kém 5.2 Hiệu quả xã hội + Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành Sáng kiến tập trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải Hệ thống ví dụ và bài tập mang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới Bài tập được xây dựng kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử hiện tại Các bài toán trong đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi HSG tỉnh và quốc gia và các đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư duy của giải pháp có thể giải quyết một cách dễ dàng + Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phù hợp với các yêu cầu của chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập Phát huy được sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểm tra định kì hoặc các cuộc thi học sinh giỏi; + Tính kết nối và chia sẻ: Thông qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các giáo viên trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới, xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có được một số dạng toán hay để có thể áp dụng trong quá trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giả của sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của Sở; ngân hàng đề thi của Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ 6 + Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên cứu cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau: Nội dung Kết quả Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Kết quả Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 02/03 giải (02 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) Số lượng học sinh được 23 học sinh nhận giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh do có kết quả (Có tổng điểm ba môn của các khối thi truyền thống trên cao trong kỳ thi THPT 27,25 điểm) Quốc gia Điểm trung bình môn Toán trong kì thi tốt nghiệp THPT ĐTB môn Toán là 8,32 02/03 giải (01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải (01 giải Nhất, 02 giải Nhì) 35 học sinh (Có tổng điểm ba môn của các khối thi truyền thống trên 27,0 điểm) ĐTB môn Toán là 8,15 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,22 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,06 ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,68) ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,61) Khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Yên Mô A, huyện Yên Mô , tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau: Nội dung Kết quả Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Kết quả Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 01/03 giải 03/05 giải (01 giải nhì) (02 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 04/06 đạt giải 06/06 đạt giải ( 04 giải Khuyến khích) (03 giải Nhì, 02 giải Ba và 01 7 giải Khuyến Khích) Số lượng học sinh được nhận giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh do có kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia Điểm trung bình môn Toán trong kì thi tốt nghiệp THPT 08 học sinh 12 học sinh (Có tổng điểm ba môn của các khối thi truyền thống trên 27,25 điểm) (Có tổng điểm ba môn của các khối thi truyền thống trên 27,00 điểm) ĐTB môn Toán là 7,83 ĐTB môn Toán là 7,64 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,22 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,06 ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,68) ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,61) Các kết quả nổi bật khác: - Trong nhóm tác giả, có thầy Doãn Huy Tùng giáo viên Toán THPT Kim Sơn A trong hai năm học gần đây dạy đội tuyển HSG Toán lớp 12 đều có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh - Các thầy cô trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảng dạy trực tiếp bộ môn Toán cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20 - Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 môn Toán, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bình ở 2 khối thi là B và D07 6 Điều kiện và khả năng áp dụng: 6.1 Điều kiện áp dụng: - Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hiện hành; sau này cả lớp 10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới) - Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT 6.2 Khả năng áp dụng: + Đáp ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển năng lực phẩm chất (Do giải pháp được trình bày dưới dạng một chủ đề dạy học) + Đáp ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy 8 + Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018; xu thế ra đề thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL… + Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hành theo hình thức trực tuyến Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trò có hạn chế hơn, yêu cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tòi Vì vậy, càng thấy được tính khả thi của giải pháp được đề cập đến Ninh Bình, tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ Doãn Huy Tùng 9 PHỤ LỤC 1 Phần 1 MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập cho các lớp và ôn thi học sinh giỏi tại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn Nội dung sáng kiến được nhóm tác giả xây dựng thành các dạng toán thường gặp trong đó vận dụng kết quả và tư duy lời giải của bài toán “chia kẹo Euler”, ở mỗi dạng được thiết kế theo cấu trúc: Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận và tư duy Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tư liệu để các em học sinh tự học một cách tốt nhất Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến Phần 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER” 2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản n  A A Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là hoặc 2.1.1.1 Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện Chú y: + Quy tắc cộng được phát biểu ở trên có thể tổng quát cho công việc được hoàn thành bới nhiều hành động + Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì: A �B  A  B + Quy tắc cộng còn được mở rộng đối với các tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có thể chứng minh được rằng, với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có: A �B  A  B  A �B , (quy tắc bao hàm và loại trừ) Hoặc với 3 tập hợp hữu hạn A,B,C ta có: A �B �C  A  B  C  A �B  A �C  B �C  A �B �C 2.1.1.2 Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc Chú y: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho công việc được hoàn thành bởi nhiều hành động liên tiếp 2.1.2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 10 + Số nghiệm nguyên dương mà a = b �c : Phương trình (*) � 2a + c = 2019 � c lẻ Suy ra số nghiệm là: 1009 - 1 = 1008 , (trừ đi c nhận giá trị 673 và 2019) + Tương tự với 2 trường hợp a = c �b; c = b �a cũng có số nghiệm là 1008 2 Do đó số nghiệm thỏa mãn yêu cầu: C2018 - 3.1008 - 1 = 2032128 + Vì mỗi tập con có 3 phần tử của A thỏa mãn yêu cầu sinh ra 3! nghiệm đã tính được Do đó số tập con thỏa mãn là: 2032128 : 3! = 338688 DẠNG 5: Đếm hình học Ví dụ 1: Cho đa giác đều có 2021 đỉnh Có bao nhiêu tam giác, tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều đã cho? LỜI GIẢI Từ giả thiết suy ra các đỉnh của tam giác, tứ giác không là các đỉnh kề nhau của các đỉnh đa giác ban đầu, từ đó cho ta y tưởng cách giải như dạng toán tập con Nhưng do các đỉnh của đa giác được xếp trên đường tròn nên khi đếm ta cần cố định một đỉnh trước, tức là chọn 1 đỉnh của tam giác, tứ giác thỏa mãn trước + Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC là tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đã cho mà không cạnh nào là cạnh của đa giác - Chọn đỉnh A có 2021 cách chọn - Chọn 2 đỉnh còn lại: Gọi x1 , x2 , x3 là số đỉnh giữa A và B; B và C; C và A Khi đó: x1 + x2 + x3 = 2018, (*); x1 , x2 , x3 < 0 Số cách chọn 2 đỉnh còn lại chính là số nghiệm nguyên dương của phương trình 2 (*) và bằng: C2017 - Do mỗi tam giác được đếm 3 lần nên số tam giác cần đếm là: 2 2021.C2017 = 1369655952 3 3 2021.C2016 4 + Tương tự với số tứ giác thỏa mãn: Dễ dàng có thể suy ra bài toán tổng quát: đếm số k – giác từ n – giác đều sao Nhận xét: n.Cnk k1- 1 cho không có cạnh nào của k – giác là cạnh của n – giác Đáp số là: k Ví dụ 2: Cho đa giác đều có 2013 đỉnh Người ta tô màu đỏ cho 100 đỉnh của đa giác đều đó Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho giữa 2 đỉnh được tô có ít nhất 3 đỉnh không được tô màu? LỜI GIẢI + Chọn đỉnh tô đầu tiên A1 : có 2013 cách chọn 54 + Chọn 99 đỉnh còn lại: Gọi x1 , x2 , , x100 là số đỉnh giữa 100 đỉnh với nhau Khi đó: x1 + x2 + + x100 = 1913, (*); x1 , x2 , , x100 �3, (1) 99 Dễ dàng đếm được số nghiệm phương trình (*) thỏa mãn (1) là: C1713 Đó cũng chính là số cách chọn 99 đỉnh còn lại 99 2013.C1713 100 + Do mỗi 100 – giác đó được đếm 100 lần, nên số cách tô màu là: Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích bằng 27 Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là “điểm tốt” nếu có thể tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác con có cùng diện tích? Đếm số điểm P? LỜI GIẢI + Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC đều thuộc 27 tia chung gốc P của điểm tốt P - SD PAB , SD PBC , SDPCA đều là các số nguyên dương + Với mỗi điểm tốt P , đặt x = SDPBC , y = SD PCA , z = SD PAB � x + y + z = 27, (*) 2 Dễ thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là C26 = 325 Bổ đề: “Với mỗi điểm P nằm trong tam giác ABC, ta luôn có: uur uur uuu r r xPA + yPB + z PC = 0 ” Từ hệ thức này ta dễ dàng chứng minh được rằng với mỗi bộ (x; y; z) chỉ tồn tại duy nhất một điểm P Do đó, số điểm tốt P là: 325 DẠNG 6: Lưới tọa độ Ví dụ 1: Cho 1 lưới gồm các ô vuông, các nút được đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên (như hình vẽ): Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0; 0) đến nút (m; n) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên LỜI GIẢI 55 + Một con đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trên trải qua m + n bước do mỗi bước chỉ có 2 cách di chuyển (đây cũng chính là con đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n)) + Trong m + n bước đó, ta chọn ra m bước để để di chuyển sang phải, còn n bước m n còn lại ta di chuyển lên trên Khi đó số con đường di chuyển là: Cm+n = Cm+n Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông như hình vẽ dưới đây, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bằng 9 bước? LỜI GIẢI Di chuyển quân từ A đến B bằng 9 bước do đó đây chính là con đường di chuyển ngắn nhất, tức là ở mỗi bước di chuyển chỉ được phép lên trên hoặc sang phải Do đó 4 5 theo y trên ta suy ra số cách di chuyển là: C9 = C9 = 126 DẠNG 7: Vận dụng tư duy vách ngăn Ví dụ 1: Thầy Bình trồng 3 cây lim, 4 cây long não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau? LỜI GIẢI W= 12! + Ta có: + Biến cố A: “Không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau” - Trồng 7 cây gồm lim và long não có 7! cách - Mỗi cách trồng 7 cây đó, giữa 7 cây có 8 khoảng trống, ta chọn 5 khoảng 5 trống trong 8 khoảng trống đó để trồng các cây xà cừ, số cách chọn vị trí là: C8 - Mỗi cách chọn vị trí đó có 5! cách trồng các cây xà cừ A = 7!C85 5! � P ( A) = 7!C85 5! 7 = 12! 99 Do đó: Ví dụ 2: Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn ra trong vòng 30 ngày Hỏi ban tổ chức có bao nhiêu cách sắp xếp lịch thi đấu các trận đấu sao cho 2 trận đấu kề nhau phải cách nhau ít nhất một ngày? LỜI GIẢI 56 Dựa theo giả thiết ta suy ra ngày thứ 1 và ngày thứ 30 mỗi ngày có 1 trận Do đó số cách sắp xếp các trận bằng số cách đặt 8 trận còn lại vào 19 khoảng trống giữa 20 8 ngày mà không có trận đấu diễn ra Do đó, số cách sắp xếp lịch thi đấu là: C19 = 75582 Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo một hàng ngang sao cho khoảng cách giữa hai người cạnh nhau là 0,5 mét Có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh trong hàng đó để sau khi chọn ra không tồn tại khoảng trống lớn hơn 1 mét giữa hai học sinh cạnh nhau trong số các học sinh còn lại trong hàng? LỜI GIẢI Yêu cầu bài toán chính là số cách chọn ra 10 người trong hàng sao cho không có 2 người nào đứng cạnh nhau Giữa 26 người không được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trống cũng chính là số cách chọn thỏa mãn yêu cầu 10 C27 = 8436285 Do đó, số cách chọn là: Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế ngồi mà không có hai bạn nữ nào được xếp cạnh nhau, nếu: 1 Ghế xếp thành hàng ngang 2 Ghế xếp quanh bàn tròn LỜI GIẢI 1 Số cách xếp 6 bạn nam: 6! Giữa 6 bạn nam có 7 khoảng trống, chọn 4 khoảng trống trong số đó và xếp 4 bạn 4 nữ, số cách xếp là: C7 4! 4 Do đó số cách xếp thỏa mãn là: 6!C7 4! = 604800 d) Cách thức tổ chức Các dạng toán được thiết kế dưới dạng các gói câu hỏi, do các gói câu hỏi đã được các nhóm nghiên cứu nhận nhiệm vụ nên tùy thuộc vào việc lựa chọn gói câu hỏi thực hiện của các nhóm để tổ chức hoạt động: + Với các gói câu hỏi đã có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 2) - Nhận xét, đánh giá kết quả của nhóm nghiên cứu - Chính xác hóa lời giải - Đưa ra các lưu y liên quan đến dạng toán + Với gói câu hỏi chưa có nhóm nghiên cứu nào thực hiện: (Tiết 3) - Tổ chức hoạt động nhóm trên lớp dưới sự hướng dẫn của giáo viên * Củng cố và giao bài tập 57 + Giáo viên củng cố lại kiến thức bài học + Giao bài tập: Học sinh làm hệ thống bài tập trắc nghiệm (Phụ Lục 8) 5 Hoạt động 5:Kiểm tra đánh giá học sinh thông qua bài kiểm tra trắc nghiệm 45 phút.(Thực hiện trên lớp) 6 Hoạt động 6: Rút kinh nghiệm 58 PHỤ LỤC 2.1: BỘ CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG 1 Bộ câu hỏi số 1 Ông An có 10 lô đất liền kề với 10 sổ đỏ Mỗi lô đất có diện tích như nhau (như hình vẽ): Ông An có 3 người con và muốn cho 10 lô đất này cho 3 người con mình Để chia đất, ông An quyết định xây các bức tường ngăn để chia khu đất này thành 3 phần, mỗi phần ông cho một người con của mình 1 Hãy giúp ông An lên phương án xây mà khi cho đất ông An chỉ cần chuyển sổ đỏ cho các con của mình 2.Tính xem ông An có bao nhiêu cách thực hiện dự định của mình? 3 Từ bài toán trên hãy nêu cách giải bài toán: a Có bao nhiêu cách chia 10 cái kẹo cho 3 em bé sao cho em nào cũng có kẹo? b Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: x1 + x2 + x3 = 10? c Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: x1 + x2 + + xk = n (n>=k)? 2 Bộ câu hỏi số 2 Bài 1:Một nhóm gồm 5 học sinh 1 Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng ngang 2 Trong 5 học sinh đó có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng ngang sao cho 2 học sinh lớp A không đứng cạnh nhau 3 Có 8 phần quà được trao thưởng cho 5 bạn Có bao nhiêu cách trao thưởng để mỗi bạn nhận được ít nhất một phần quà và không quá 2 phần quà? 4 Có bao nhiêu cách trao thưởng 8 phần quà cho học sinh để mỗi em nhận được ít nhất 1 phần quà? 5 Có bao nhiêu cách trao thưởng 8 phần quà cho học sinh mà có thể có học sinh không được nhận phần thưởng nào? Bài 2: 1.Tìm số nghiệm không âm của phương trình: x1 + x2 + + xk = n? 2.Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo cho k em bé? 1 Bộ câu hỏi số 3 1.Phát biểu các bài toán tổng quát nhận thức được từ 2 bộ câu hỏi trên? 2.Ngoài các bài toán tổng quát đó, em rút ra được phương pháp tư duy nào trong việc giải quyết các bài toán đếm? 3 Lựa chọn tối thiểu một gói câu hỏi sau và hoàn thành: 59 Các gói câu hỏi lựa chọn của các nhóm 60 61 62 4 Đề xuất một số câu hỏi để kiểm tra các nhóm nghiên cứu còn lại ứng với nội dung gói câu hỏi đã chọn sau bài báo cáo? 3 Đánh giá thực nghiệm a) Kiểm tra Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết quả thực nghiệm tác giả đã tiến hành cho học sinh bao gồm hai đối tượng: Tại trường THPT Kim Sơn A, lớp học sinh có chất lượng khá gồm các lớp 11B1, 11B2, 12B3, 12B4 Tại trường THPT Yên Mô A, các lớp có học sinh chất lượng khá gồm 11A, 11E, 12A, 12C (được đánh giá là tương đương nhau)làm bài kiểm tra 45 phút với cùng một đề kiểm tra Nội dung đề kiểm tra như sau: 63 TRƯỜNG THPT KIM SƠN A TỔ TOÁN - TIN BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT Thời gian làm bài: 45 phút Đề thi gồm 20 câu trong 2 trang  Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh Câu 1: Cho đa giác (H) có n đỉnh  của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) Khẳng định nào sau đây đúng ? n ��, n  4     A  B  C  D  Câu 2:Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số Tính xác suất để rút được số mà trong số đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước và ba chữ số đứng giữa đôi một khác nhau ? 4;12 77 A 1500 13; 21 75 B 1500 22;30 76 C 1500 31;38 78 D 1500 Câu 3:Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ 6 học sinh lớp 11 1 A 84 15 5 B 32 C 12 5 D 72 Câu 4: Cho một đa giác (H) có 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn (O) Người ta lập một tứ giác tùy y có 4 đỉnh là các đỉnh của (H) Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của (H) gần với số nào nhất trong các số sau ? A 85, 40% B.13, 45% C 40,35% D 80, 70%   , Chọn ngẫu nhiên ba số từ A Tìm xác suất để trong Câu 5: Cho tập hợp ba số được chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp A  1, 2,3, 10 7 A 90 7 B 24 7 C 10 7 D 15 Câu 6:Trong cửa hàng có 5 cây bút giống nhau , 6 quyển sách giống nhau , 10 quyển vở giống nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn bút, sách, vở để làm thành hộp quà gồm 5 món đồ ? A 20 B 21 C 22 D 24   Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi Câu 7:Cho tập hợp tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91 Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S Xác suất để chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng ? A  1; 2;3; ;100 4 A 645 1 1 B 215 C 39160 1 D 445 64 Câu 8: Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là số cố định ), Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng Tính xác suất để 3 người được chọn không có 2 người nào đứng cạnh nhau 1 21 A 2 B 55 6 C 11 1 D 4 Câu 9: Cho đa giác đều 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh xanh kề nhau Tính số cách tô màu các đỉnh của đa giác để B =14 1 10 10 C24 C79 A 10 1 9 9 C23C78 B 10 1 9 9 C24 C79 C 10 9 9 D C24 C79   Chọn ngẫu nhiên 5 số từ tập A Có bao nhiêu cách chọn Câu 10:Cho tập ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của 2 số bất kì trong 5 số đó có trị tuyệt đối không nhỏ hơn 2? A  1; 2; ;18 5 5 5 5 A C18 B C14 C C10 D C17 Câu 11:Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫy nhiên 3 đỉnh của đa giác đó Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng bao nhiêu ? 28 A 55 7 52 B 55 C 55 3 D 10 Câu 12: Kỳ thi có 10 học sinh , xếp ngồi hai dãy ghế trên và dưới , mỗi dãy có 5 ghế Thầy giáo có hai loại đề , gồm 5 đề chẵn và 5 đề lẻ tính xác suất để mỗi học sinh đều nhận 1 đề và hai bạn ngồi kề trên dưới là khác loại đề ? 8 A 63 1 D 15120 Câu 13:Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình sau : a  b  c  d �10 3 1 B 126 1 C 252 4 3 4 A C13 B C14 C A10 D A14 Câu 14:Có bao nhiêu cách chia 15 cái kẹo cho 6 em bé sao cho em nào cũng có kẹo ? 5 A C14 B C14  1 5 5 C C10 Câu 15:Có bao nhiêu số tự nhiên a1a2 a3a4 a5 a6 thỏa mãn 5 D A10 a1  a2  a3  a4  a5  a6 A C10 B C10  1 C A10 D C15 Câu 16: Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng 6 6 6 5 abcdef Từ X lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số lấy ra là số kẻ và thỏa mãn abcd e f 33 A 68040 1 B 2430 31 C 68040 29 D 68040 65 Câu 17: Cho hình chữ nhật m.n với đỉnh dưới cùng bên trái là A, trên cùng bên phải là B Có bao nhiêu con đường ngắn nhất đi từ A đến B ? n n A Cn.m B Cn m C 2 D 2 Câu 18:Dọc trên đường phố người ta dự định đặt 5 chậu hoa hồng, 9 chậu hoa hướng dướng Tìm số cách đặt chậu hoa sao cho giữa hai cây hoa hồng có ít nhất 2 cây hoa hướng dướng và hai đầu đặt chậu hoa hồng ? A 3 B 4 C 5 D 6 m Câu 19:Tìm số nghiệm nguyên không âm của hệ 8 8 n �9 �xi  1983 � �i 1 �x �5(mod 6)i  1,9 �i 8 6 A C331 B C322 C C1982 D C1983 Câu 20: Có 17 tấm thẻ phân biệt trong đó có một tấm thẻ ghi chữ ĐỖ, một tấm thẻ ghi chữ ĐẠI, một tấm thẻ ghi chữ HỌC , 4 tấm thẻ mỗi tấm thẻ ghi chữ cái A,B,C,D và 10 tấm thẻ đánh số từ 0 đến 9 Lấy ngẫu nhiên từ đó ra 5 tấm thẻ Tính xác suất để rút được 5 tấm thẻ mà khi ghép lại theo thứ tự ta được dòng chữ B1 ĐỖ ĐẠI HỌC ? 5 A 6188 40 B 429 1 C 6188 1 D 148512 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.A 2.A 12.A 3.C 13.B 4.D 14.A 5.D 15.A 6.B 16.C 7.B 17.B 8.C 18.B 9.B 19.A 10.B 20.C b) Đánh giá kết quả thực nghiệm Về thái độ học tập của học sinh Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, học sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh đã cuốn hút vào các hoạt động một cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số các em nắm vững kiến thức cơ bản và có y thức hoàn thành hoạt động và công việc mà giáo viên giao cho Về kết quả bài kiểm tra tại THPT Kim Sơn A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11B2 Thực nghiệm 11B1 2 5 22 11 0 2 15 23 Tổng số học sinh 40 40 66 Đối chứng 12B3 Thực nghiệm 12B4 3 10 23 8 0 8 19 17 44 44 Về kết quả bài kiểm tra tại THPT Yên Mô A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11E Thực nghiệm 11A Đối chứng 12C Thực nghiệm 12A 3 0 3 0 6 3 10 8 20 20 21 18 7 25 6 19 Tổng số học sinh 36 48 40 45 Về kết quả bài kiểm tra của cả hai trường Điểm/Lớp Lớp đối chứng K11 Lớp thực nghiệm K11 Lớp đối chứng K12 Lớp thực nghiệm K12 Yếu TB Khá Giỏi Tổng số học sinh 5 11 40 18 76 0 5 35 48 88 6 20 44 14 84 0 16 37 36 89 Phân tích kết quả kiểm tra theo từng trường Với khối 11: Lớp đối chứng có 95,0% và 91.66% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 82.5% và 75% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 95,0% và 93.75% đạt khá, giỏi Với khối 12: Lớp đối chứng có 93,2% và 92.5% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 70,5% và 67.5 đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 81,8% và 82.22% đạt khá, giỏi Phân tích kết quả kiểm tra theo số liệu tổng hợp Với khối 11: Lớp đối chứng có 93.42% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 76.31% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 94,31% đạt khá, giỏi 67 Với khối 12: Lớp đối chứng có 92.85% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 69.04% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 82.02% đạt khá, giỏi Nhận xét Các lớp đối chứng: Khả năng tiếp cận các bài toán có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải còn nhiều thiếu sót Đặc biệt với một số dạng toán lạ mà trước đây đề bài cho ở dạng tự luận thường không xuất hiện thì hầu hết các học sinh thuộc lớp đối chứng đều cảm thấy bỡ ngỡ và hầu hết không giải quyết được đặc biệt là một số bài toán có hình thức khá lạ so với các dạng bài tập được trình bày trong SKG Khi giáo viên phỏng vấn các em về nội dung các câu hỏi có trong đề thì đại bộ phận học sinh lớp đối chứng đều có nhận xét về đề ra khá lạ, các em không biết tiếp cận bài toán theo hướng đi như thế nào Các lớp thực nghiệm: Khả năng vận dụng linh hoạt hơn, có sự sáng tạo hơn Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Hầu hết các em đều biết vận dụng ly thuyết để trả lời các câu hỏi một cách sáng tạo và logic Bên cạnh đó, ở cả hai lớp đều có những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số bài tập mẫu, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được các y đơn giản trong đề kiểm tra Một số em chưa thực sự tự lập trong giải toán, còn phụ thuộc vào các dạng cố định đã được làm, chưa có sự tư duy vận dụng linh hoạt trong giải toán Kết luận Kết quả thực nghiệm bước đầu đã thể hiện tính hiệu quả và tính khả thi của sáng kiến Mặc dù vậy do tình hình thực tiễn của địa phương, sáng kiến cần được bổ sung và thiết kế hợp ly hơn nữa tạo ra nhiều bài toán tương tự để giúp các em có bài tập để thực hành và vận dụng 68 ... nghiệp THPT năm 2020 Câu 39 Có ghế được kê thành hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh. .. trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3: Đếm số + Dạng 4: Đếm số tập + Dạng 5: Đếm hình học + Dạng 6: Lưới tọa độ + Dạng 7: Các toán vận dụng... cố A 2.2 BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER” 2.2.1 Nội dung tốn: Có cách chia n kẹo giống cho k em bé? 11 2.2.2 Lời giải: Trước hết ta xét toán sau: Bài toán 1: “Có cách chia n cái kẹo giống cho