IV. Tiến trình dạy học:
1.Bài toán chia kẹo Euler:
Bài toán 1:Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo cho k em bé (n>=k) sao cho ai cũng có kẹo?
GV: Qua việc tìm lời giải của bài toán hãy nêu một phương pháp tư duy mới trong việc giải các bài toán đếm? Sử dụng khi nào? GV: Xét ví dụ sau: Một nhóm gồm 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp số học sinh trên thành một hàng ngang sao cho không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau và học sinh đầu hàng, cuối hàng đều là nam?
GV: Nếu bỏ giả thiết học sinh đầu
+ Để chia n chiếc kẹo này thành k phần, ta dùng k -1 chiếc que đặt vào n -1 khe đã nói ở trên.
Mỗi cách đặt này cho ta một cách chia kẹo cho k em bé. Số cách chia là: k 11. n C - - HS: Tư duy vách ngăn, sử dụng khi trong bải toán xuất hiện giả thiết các đối tượng cần đứng cạnh nhau hay không đứng cạnh nhau.
HS: Trả lời
+ Xếp 5 học sinh nam có 5! Cách.
+ Mỗi cách xếp 5 học sinh nam đó, giữa 5 học sinh nam có 4 vách ngăn, ta chọn 3 trong 4 vách ngăn để xếp 3 học sinh nữ: 3 4. C + Mỗi cách chọn 3 vách ngăn có 3! cách xếp học sinh nữ. Do đó số cách xếp
và cuối hàng là nam thì số cách xếp là bao nhiêu? GV: đến đây ta lại liên hệ đến bài toán chia kẹo ban đầu, nhưng việc chọn vách ngăn, khoảng trống không tính đầu và cuối. Nếu chọn như vậy tức là em bé thứ nhất và thứ 3 có thể không có cái kẹo nào. GV: Từ bài toán 1, ta có thể suy ra kết quả của các bài toán sau:
GV: Tóm tắt lại hướng dẫn đến các kết quả bài toán đó.
thỏa mãn yêu cầu:
3!.5!.C43. HS:3!.5!.C63.
HS: Ghi nhận kết quả các bài toán.
4. Hoạt động 4:Vận dụng kiến thức thu được qua học tập dự án nghiên cứu để giải
quyết các dạng toán liên quan (số tiết dự kiến 02). a) Mục tiêu:
+ Vận dụng kiến thức nền có được thông qua tìm hiểu về bài toán chia kẹo Euler để giải quyết một số dạng toán đếm.
b) Nội dung
Các dạng toán liên quan đến bài toán chia kẹo Euler:
+ Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm.
+ Dạng 3:Đếm số.
+ Dạng 4:Đếm số tập con.
+ Dạng 5:Đếm hình học.
+ Dạng 6:Lưới tọa độ.
+ Dạng 7:Các bài toán vận dụng “tư duy vách ngăn”.
c) Sản phầm
DẠNG 1:Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình
Ví dụ 1: Cho phương trình: x1 x2 x3 x4 20. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình thỏa mãn:
1. xi �0,i1, 4.
2. xi �1,i1, 4.
3. x1�1,x2 �2,x3 �3,x4 �4.
4. xi là các số tự nhiên chia 4 dư 1, với i1, 4.
LỜI GIẢI
1. Số nghiệm nguyên không âm của phương trình: C233. 2. Số nghiệm nguyên dương của phương trình: C193.
3. Đặt: y1=x y1; 2= -x2 1;y3= -x3 2;y4= -x4 3. Số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình:
1 2 3 4 14; i 1, 1, 4.
y + + +y y y = y � =i
Số nghiệm là: C133.
4. Đặt xi=4yi+1;yi�0,i=1; 4. Số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện bằng số nghiệm phương trình: y1+ + +y2 y3 y 4=4;yi�0,i=1, 4.
Số nghiệm là: C73.
5.Cách 1: Xét các trường hợp x1=0;1; 2;3. Số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện là: C222 +C212 +C202 +C192 =802.
Cách 2: (Sử dụng biến cố đối)
+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn x1�4: Đặt 1 1 4
y = -x �
Số nghiệm là: C193 .
Suy ra: số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện:
3 3
23 19 802.
C - C =
Ví dụ 2: Cho phương trình: x1 x2 x3 x4 17. Tìm số nghiệm nguyên của phương
trình thỏa mãn:
1. 0�x x1, 2 �3. 2. 3� �xi 5,i1, 4.
LỜI GIẢI
1. + Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là: C203 .
+ Gọi X X1, 2 lần lượt là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn điều kiện: x1�4,x2�4. Khi đó: số nghiệm thỏa mãn điều kiện là: C203 - X1�X2 .
- Ta có: X1 = X2 =C163; X1�X2 =C123.
- Suy ra: X1�X2 = X1 + X2 - X1�X2 =2C163 - C123 =900.- Do đó số nghiệm thỏa mãn điều kiện: C203 - X1�X2 =240. - Do đó số nghiệm thỏa mãn điều kiện: C203 - X1�X2 =240. 2. * Đặt yi ="�-=xi 3 0 yi 2, i 1, 4.
Số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện bằng số nghiệm nguyên không âm phương trình y1+y2+ +y3 y3=5, (*) với điều kiện yi� " =2, i 1, 4.
* Gọi Y là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*), suy ra: 3
8.
Y =C
* Gọi A ii, =1, 4 lần lượt là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*) thỏa mãn lần lượt các điều kiện: yi�3,i=1, 4.
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 0; A � =A A � =A A � =A A � =A A � =A A � =A 1 2 3 2 3 4 1 3 4 1 2 4 0. A � � =A A A � � =A A A � � =A A A � � =A A 1 2 3 4 0. A � � � =A A A
* Khi đó số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện bài toán là: 3 3
1 2 3 3 8 4 5 16.