Bài toán dirichlet cho phương trình kiểu monge ampère elliptic không đối xứng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC THÁI THỊ KIM CHUNG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC KHƠNG ĐỐI XỨNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC THÁI THỊ KIM CHUNG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC KHƠNG ĐỐI XỨNG Chun ngành: Phương trình Vi phân Tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - 2019 i TÓM TẮT Luận án nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic không đối xứng miền giới nội Ω ⊂ Rn Bài toán giải trước cho trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng với số chiều n cho phương trình khơng đối xứng n = nhóm nghiên cứu N.S Trudinger cơng cụ như: tính lõm hàm log(det ω) tập hợp ma trận đối xứng xác định dương nguyên lý so sánh nghiệm elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng Luận án thu hẹp khái niệm nghiệm elliptic cách đưa vào khái niệm nghiệm δ-elliptic với ≤ δ < phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng thiết lập tính d-lõm với d ≥ cho hàm log(det R) trờn li khụng b chn D,à Rnìn gm ma trận R xác định dương không đối xứng với thành phần phản đối xứng nhỏ theo nghĩa Luận án thiết lập nguyên lý so sánh nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Bằng việc dựa vào sơ đồ đánh giá đề xuất N.S Trudinger, luận án thiết lập đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω), với α ∈ (0, 1) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet đánh giá lớp ma trận phản đối xứng nhỏ theo nghĩa Luận án đưa điều kiện cần ma trận phản đối xứng có mặt phương trình cho tồn nghiệm δ-elliptic Áp dụng phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử phi tuyến, luận án thiết lập điều kiện đủ để nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet tồn C 2,α (Ω), với điều kiện ma trận phản đối xứng có mặt phương trình đủ nhỏ theo nghĩa ii ABSTRACT The thesis studies the solvability of the Dirichlet problem for nonsymmetric MongeAmpère equations of elliptic type in a bounded domain Ω ⊂ Rn This problem had been solved by N.S Trudinger and his group for any dimension n in the case of symmetric Monge-Ampère type equations and for the dimension n = in the nonsymmetric case by the tools such as: the concavity of the function log(det ω) in the domain of symmetric positive definite matrices ω and the comparison principle for their elliptic solutions For ≤ δ < 1, the thesis had narrowed the notion of elliptic solution by introducing the notion of δ-elliptic solution for nonsymmetric Monge-Ampère type equations and for d ≥ had established the d-concavity for the function log(det R), defined on the unbounded convex set D,à Rnìn that consists of nonsymmetric positive definite matrices with skewsymmetric parts which are small in some sense The thesis had proved the comparison principle for δ-elliptic solutions to nonsymmetric Monge-Ampère type equations By following the scheme of estimation that had been proposed by N.S Trudinger, the thesis had established a priori estimates in C 2,α (Ω), for some α ∈ (0, 1) for δ-elliptic solution to the Dirichlet problem, that are uniform with respect to a class of skewsymmetric matrices which are small in some sense A necessary condition for the skewsymmetric matrix in the equation had been obtained to guarantee the existence of δ-elliptic solution By applying the method of continuity for solving nonlinear operator equations in Banach spaces, the thesis had established sufficient conditions for the unique existence of δ-elliptic solution to the Dirichlet problem for nonsymmetric Monge-Ampère type equations in C 2,α (Ω), in which the skewsymmetric matrix in the equation is sufficiently small in some sense iii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa công bố công trình khác Tác giả Thái Thị Kim Chung iv LỜI CẢM ƠN Bằng lịng kính trọng biết ơn vô hạn, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy người hướng dẫn từ theo học Thạc sĩ Tiến sĩ Viện Toán học Trên đường học tập nghiên cứu Tốn, tơi ln thầy bảo tận tình, chu đáo, nghiêm khắc nhẫn nại để ngày tiến bộ, vững vàng chuyên môn Bản thân tự nhủ phải cố gắng phấn đấu không ngừng công việc sống để khơng phụ lịng với cơng sức dạy bảo niềm tin thầy dành cho Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Lãnh đạo Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Trung tâm Đào tạo Sau đại học Phòng ban chức Viện Toán tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu sinh để đảm bảo việc học tập nghiên cứu có hiệu Tơi xin gửi lời tri ân sâu sắc tới Giáo sư cán nghiên cứu Viện Toán dạy bảo, truyền thụ kiến thức Tốn cho tơi Các thầy cô anh chị không người thầy chun mơn mà cịn gương sáng sống, cho học tinh thần làm việc say mê, nghiêm túc khổ luyện khoa học chân Tôi xin trân trọng cảm ơn Giáo sư cán trẻ Phịng Phương trình Vi phân giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập tham gia xêmina khoa học hàng tuần Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Nho Hào GS.TSKH Nguyễn Minh Trí (Phịng Giải tích) ln động viên, khích lệ nghiên cứu sinh phòng Xin cảm ơn TS Nguyễn Anh Tú TS Đào Quang Khải nhiệt tình dạy bảo hỏi cho nhiều lời khuyên quý giá Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghệ Giao thông vận tải tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới đồng nghiệp cũ Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học động viên, chia sẻ giúp đỡ nhiều công việc sống Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh học tập, nghiên cứu Viện Toán học trao đổi khoa học sẻ chia, giúp đỡ sống đời thường Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, người thân, bạn bè đồng nghiệp động viên sống công việc Cuối cùng, xin cảm ơn chồng ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để yên tâm học tập nghiên cứu, xin cảm ơn hai u q ln động lực tinh thần lớn lao để tơi hồn thành luận án Tác giả Thái Thị Kim Chung Mục lục Trang Tóm tắt i Abstract ii Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mục lục v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức lý thuyết ma trận 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Chéo hóa ma trận 10 1.2 1.3 1.4 1.1.3 Ma trận compound bậc Một số không gian hàm 1.2.1 Khụng gian Hăolder 1.2.2 Khụng gian Sobolev Phương trình đạo hàm riêng elliptic 11 12 12 13 14 1.3.1 Nguyên lý cực đại nguyên lý so sánh 1.3.2 Bài tốn Dirichlet Tính khả nghịch phương trình tốn tử 1.3.3 Các định lý Harnack, Krylov đánh giá Lp Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 1.4.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 14 16 16 17 17 1.4.2 1.4.3 tuyến tính cấp hai Khái niệm đạo hàm Fréchet Định lý hàm ẩn không gian Banach 19 Giới thiệu phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử phi tuyến 20 v vi Chương Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 21 2.1 Tính lõm hàm số kiểu Monge-Ampère đối xứng 21 2.2 Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 23 2.2.1 Một vài tính chất lớp ma trận Dδ,µ 23 2.2.2 2.2.3 Chương Vi phân cấp hai hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 27 Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère không đối xứng 36 Các đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 38 3.1 Nguyên lý so sánh cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng 39 3.2 Đánh giá toàn miền đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng qua độ lớn chúng toán 43 43 44 45 3.3 biên 3.2.1 Phát biểu định lý 3.2.2 Bổ đề bổ trợ vết tích hai ma trận 3.2.3 Chứng minh Định lý 3.2.1 Đánh giá biên đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic 50 50 51 56 3.4 Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 3.3.1 Phát biểu định lý 3.3.2 Làm phẳng biên 3.3.3 Chứng minh Định lý 3.3.1 ỏnh giỏ Hăolder toàn cục đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampốre khụng i xng 64 3.4.1 ỏnh giỏ Hăolder bờn miền đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 64 3.4.2 3.5 Đánh giỏ Hăolder ti im tựy ý trờn biờn i vi đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 75 3.4.3 ỏnh giỏ Hăolder ton cc i vi đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet 84 Đánh giá chuẩn C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet 85 Chương Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 4.1 91 Một điều kiện cần cho tồn nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 91 vii 4.2 4.3 Các điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 92 Một số ví dụ 99 4.3.1 Phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Hình học bảo giác 99 4.3.2 Phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng phụ thuộc tham số 101 Kết luận kiến nghị 103 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 104 Tài liệu tham khảo 105 viii Một số ký hiệu quy ước viết tắt R (C) trường số thực (số phức) i đơn vị ảo, i2 = −1 Rn (Cn ) không gian Euclide thực (phức) n-chiều Rn+ nửa không gian, Rn+ = {x = (x1 , , xn ) ∈ Rn | xn > 0} (·) phép tốn tích vô hướng Rn Cn |ξ| độ dài véc tơ ξ ∈ Rn Cn ξ⊥η hai véc tơ ξ, η vng góc với Rn×n (Cn×n ) không gian ma trận thực (phức) cấp n E ma trận đơn vị cấp n D = diag (d1 , , dn ) ma trận đường chéo với Dii = di , i = 1, , n MT ma trận chuyển vị ma trận M M ma trận liên hợp phức ma trận M M∗ ma trận chuyển vị phức ma trận M, M ∗ = M M −1 ma trận nghịch đảo ma trận M M (2) ma trận compound bậc ma trận M det M định thức ma trận M T n TrM vết ma trận M = [Mij ]n×n , TrM = Mii i=1 n |M | |Mij |2 chuẩn Frobenius ma trận M = [Mij ]n×n , |M | = i,j=1 M chuẩn toán tử ma trận M, M = sup |M x| |x|=1 M > (≥ 0) ma trận M xác định dương (xác định không âm) M > N (M ≥ N ) M − N > (M − N ≥ 0) λmin (P ), λmax (P ) giá trị riêng nhỏ nhất, lớn ma trận thực đối xứng P x⊗y x ⊗ y = [xi yj ]n×n , với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn osc hàm dao độ, osc u := sup u − inf u Ω Ω Ω log hàm logarit min, max giá trị nhỏ nhất, lớn tập hợp số thực inf, sup infimum, supremum tập hợp số thực Ω miền không gian Rn , tập mở liên thông ... nghiệm δ -elliptic toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère khơng đối xứng Chương trình bày điều kiện cần số điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ -elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère... nghiệm δ -elliptic toán Dirichlet 85 Chương Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère khơng đối xứng 4.1 91 Một điều kiện cần cho tồn nghiệm δ -elliptic phương trình kiểu Monge- Ampère... giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère elliptic khơng đối xứng miền giới nội Ω ⊂ Rn Bài toán giải trước cho trường hợp phương trình kiểu Monge- Ampère đối xứng với số chiều n cho phương