Bài toán dirichlet cho phương trình kiểu monge ampère elliptic không đối xứng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC THÁI THỊ KIM CHUNG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC KHƠNG ĐỐI XỨNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC THÁI THỊ KIM CHUNG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC KHƠNG ĐỐI XỨNG Chun ngành: Phương trình Vi phân Tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - 2019 i TÓM TẮT Luận án nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic không đối xứng miền giới nội Ω ⊂ Rn Bài toán giải trước cho trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng với số chiều n cho phương trình khơng đối xứng n = nhóm nghiên cứu N.S Trudinger cơng cụ như: tính lõm hàm log(det ω) tập hợp ma trận đối xứng xác định dương nguyên lý so sánh nghiệm elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng Luận án thu hẹp khái niệm nghiệm elliptic cách đưa vào khái niệm nghiệm δ-elliptic với ≤ δ < phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng thiết lập tính d-lõm với d ≥ cho hàm log(det R) trờn li khụng b chn D,à Rnìn gm ma trận R xác định dương không đối xứng với thành phần phản đối xứng nhỏ theo nghĩa Luận án thiết lập nguyên lý so sánh nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Bằng việc dựa vào sơ đồ đánh giá đề xuất N.S Trudinger, luận án thiết lập đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω), với α ∈ (0, 1) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet đánh giá lớp ma trận phản đối xứng nhỏ theo nghĩa Luận án đưa điều kiện cần ma trận phản đối xứng có mặt phương trình cho tồn nghiệm δ-elliptic Áp dụng phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử phi tuyến, luận án thiết lập điều kiện đủ để nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet tồn C 2,α (Ω), với điều kiện ma trận phản đối xứng có mặt phương trình đủ nhỏ theo nghĩa ii ABSTRACT The thesis studies the solvability of the Dirichlet problem for nonsymmetric MongeAmpère equations of elliptic type in a bounded domain Ω ⊂ Rn This problem had been solved by N.S Trudinger and his group for any dimension n in the case of symmetric Monge-Ampère type equations and for the dimension n = in the nonsymmetric case by the tools such as: the concavity of the function log(det ω) in the domain of symmetric positive definite matrices ω and the comparison principle for their elliptic solutions For ≤ δ < 1, the thesis had narrowed the notion of elliptic solution by introducing the notion of δ-elliptic solution for nonsymmetric Monge-Ampère type equations and for d ≥ had established the d-concavity for the function log(det R), defined on the unbounded convex set D,à Rnìn that consists of nonsymmetric positive definite matrices with skewsymmetric parts which are small in some sense The thesis had proved the comparison principle for δ-elliptic solutions to nonsymmetric Monge-Ampère type equations By following the scheme of estimation that had been proposed by N.S Trudinger, the thesis had established a priori estimates in C 2,α (Ω), for some α ∈ (0, 1) for δ-elliptic solution to the Dirichlet problem, that are uniform with respect to a class of skewsymmetric matrices which are small in some sense A necessary condition for the skewsymmetric matrix in the equation had been obtained to guarantee the existence of δ-elliptic solution By applying the method of continuity for solving nonlinear operator equations in Banach spaces, the thesis had established sufficient conditions for the unique existence of δ-elliptic solution to the Dirichlet problem for nonsymmetric Monge-Ampère type equations in C 2,α (Ω), in which the skewsymmetric matrix in the equation is sufficiently small in some sense iii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa công bố công trình khác Tác giả Thái Thị Kim Chung iv LỜI CẢM ƠN Bằng lòng kính trọng biết ơn vô hạn, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy người hướng dẫn từ theo học Thạc sĩ Tiến sĩ Viện Toán học Trên đường học tập nghiên cứu Tốn, tơi ln thầy bảo tận tình, chu đáo, nghiêm khắc nhẫn nại để ngày tiến bộ, vững vàng chuyên môn Bản thân tự nhủ phải cố gắng phấn đấu không ngừng công việc sống để khơng phụ lòng với cơng sức dạy bảo niềm tin thầy dành cho Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Lãnh đạo Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Trung tâm Đào tạo Sau đại học Phòng ban chức Viện Toán tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu sinh để đảm bảo việc học tập nghiên cứu có hiệu Tơi xin gửi lời tri ân sâu sắc tới Giáo sư cán nghiên cứu Viện Toán dạy bảo, truyền thụ kiến thức Tốn cho tơi Các thầy cô anh chị không người thầy chun mơn mà gương sáng sống, cho học tinh thần làm việc say mê, nghiêm túc khổ luyện khoa học chân Tôi xin trân trọng cảm ơn Giáo sư cán trẻ Phòng Phương trình Vi phân giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập tham gia xêmina khoa học hàng tuần Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Nho Hào GS.TSKH Nguyễn Minh Trí (Phòng Giải tích) ln động viên, khích lệ nghiên cứu sinh phòng Xin cảm ơn TS Nguyễn Anh Tú TS Đào Quang Khải nhiệt tình dạy bảo hỏi cho nhiều lời khuyên quý giá Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghệ Giao thông vận tải tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới đồng nghiệp cũ Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học động viên, chia sẻ giúp đỡ nhiều công việc sống Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh học tập, nghiên cứu Viện Toán học trao đổi khoa học sẻ chia, giúp đỡ sống đời thường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, người thân, bạn bè đồng nghiệp động viên sống công việc Cuối cùng, xin cảm ơn chồng ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để yên tâm học tập nghiên cứu, xin cảm ơn hai u q ln động lực tinh thần lớn lao để tơi hồn thành luận án Tác giả Thái Thị Kim Chung Mục lục Trang Tóm tắt i Abstract ii Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mục lục v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức lý thuyết ma trận 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Chéo hóa ma trận 10 1.2 1.3 1.4 1.1.3 Ma trận compound bậc Một số không gian hàm 1.2.1 Khụng gian Hăolder 1.2.2 Khụng gian Sobolev Phương trình đạo hàm riêng elliptic 11 12 12 13 14 1.3.1 Nguyên lý cực đại nguyên lý so sánh 1.3.2 Bài tốn Dirichlet Tính khả nghịch phương trình tốn tử 1.3.3 Các định lý Harnack, Krylov đánh giá Lp Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 1.4.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 14 16 16 17 17 1.4.2 1.4.3 tuyến tính cấp hai Khái niệm đạo hàm Fréchet Định lý hàm ẩn không gian Banach 19 Giới thiệu phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử phi tuyến 20 v vi Chương Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 21 2.1 Tính lõm hàm số kiểu Monge-Ampère đối xứng 21 2.2 Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 23 2.2.1 Một vài tính chất lớp ma trận Dδ,µ 23 2.2.2 2.2.3 Chương Vi phân cấp hai hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 27 Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère không đối xứng 36 Các đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 38 3.1 Nguyên lý so sánh cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng 39 3.2 Đánh giá toàn miền đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng qua độ lớn chúng toán 43 43 44 45 3.3 biên 3.2.1 Phát biểu định lý 3.2.2 Bổ đề bổ trợ vết tích hai ma trận 3.2.3 Chứng minh Định lý 3.2.1 Đánh giá biên đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic 50 50 51 56 3.4 Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 3.3.1 Phát biểu định lý 3.3.2 Làm phẳng biên 3.3.3 Chứng minh Định lý 3.3.1 ỏnh giỏ Hăolder toàn cục đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampốre khụng i xng 64 3.4.1 ỏnh giỏ Hăolder bờn miền đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 64 3.4.2 3.5 Đánh giỏ Hăolder ti im tựy ý trờn biờn i vi đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 75 3.4.3 ỏnh giỏ Hăolder ton cc i vi đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet 84 Đánh giá chuẩn C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet 85 Chương Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 4.1 91 Một điều kiện cần cho tồn nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 91 vii 4.2 4.3 Các điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 92 Một số ví dụ 99 4.3.1 Phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Hình học bảo giác 99 4.3.2 Phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng phụ thuộc tham số 101 Kết luận kiến nghị 103 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 104 Tài liệu tham khảo 105 viii Một số ký hiệu quy ước viết tắt R (C) trường số thực (số phức) i đơn vị ảo, i2 = −1 Rn (Cn ) không gian Euclide thực (phức) n-chiều Rn+ nửa không gian, Rn+ = {x = (x1 , , xn ) ∈ Rn | xn > 0} (·) phép tốn tích vô hướng Rn Cn |ξ| độ dài véc tơ ξ ∈ Rn Cn ξ⊥η hai véc tơ ξ, η vng góc với Rn×n (Cn×n ) không gian ma trận thực (phức) cấp n E ma trận đơn vị cấp n D = diag (d1 , , dn ) ma trận đường chéo với Dii = di , i = 1, , n MT ma trận chuyển vị ma trận M M ma trận liên hợp phức ma trận M M∗ ma trận chuyển vị phức ma trận M, M ∗ = M M −1 ma trận nghịch đảo ma trận M M (2) ma trận compound bậc ma trận M det M định thức ma trận M T n TrM vết ma trận M = [Mij ]n×n , TrM = Mii i=1 n |M | |Mij |2 chuẩn Frobenius ma trận M = [Mij ]n×n , |M | = i,j=1 M chuẩn toán tử ma trận M, M = sup |M x| |x|=1 M > (≥ 0) ma trận M xác định dương (xác định không âm) M > N (M ≥ N ) M − N > (M − N ≥ 0) λmin (P ), λmax (P ) giá trị riêng nhỏ nhất, lớn ma trận thực đối xứng P x⊗y x ⊗ y = [xi yj ]n×n , với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn osc hàm dao độ, osc u := sup u − inf u Ω Ω Ω log hàm logarit min, max giá trị nhỏ nhất, lớn tập hợp số thực inf, sup infimum, supremum tập hợp số thực Ω miền không gian Rn , tập mở liên thông 94 (ii) Dz A(x, z, p) = [Dz Aij (x, z, p)]n×n ≥ 0, Γ; (iii) A(x, z, p) quy chặt Γ, nghĩa tồn số a0 > cho Aij,k (x, z, p)ξi ξj ηk η ≥ a0 |ξ|2 |η|2 , (4.8) với (x, z, p) ∈ Γ ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η; (iv) Hàm vô hướng f (x, z, p) ∈ C (Γ; R) thỏa mãn f (x, z, p) > 0, Γ; (v) Dz f nδ (x, z, p) ≥ β1 ; f + δ2 inf (x,z,p)∈Γ (vi) Tồn nghiệm elliptic u(x) ∈ C (Ω) phương trình (4.3), thỏa mãn u = ϕ ∂Ω, ϕ ∈ C (Ω) Giả sử W = W (δ, β1 , β2 , β3 , b0 , λu ) tập hợp mô tả Định nghĩa 4.2.1 Khi tồn số dương λ∗ ≤ λu α∗ ∈ (0, 1), phụ thuộc vào n, γ0 , a0 , δ, β1 , β2 , β3 , b0 , A, f, u, ϕ Ω cho, B(x, z, p) ma trận tùy ý đủ nhỏ thuộc W ∩ C Γ; Rn×n , tức thỏa mãn thêm điều kiện sau với ξ ∈ Cn , η ∈ Rn , ξ, η = 0, (a)’ Bij (x, z, p)ξi ξ j < δλ∗ |ξ|2 δ > 0, B ≡ δ = 0; sup (x,z,p)∈Γ (b)’ Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j < β1 λ∗ |ξ|2 β1 > 0, Dz B ≡ β1 = 0; sup (x,z,p)∈Γ (c)’ sup Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk < β2 λ∗ |ξ|2 |η|, (x,z,p)∈Γ tốn Dirichlet (4.1)-(4.2) có nghiệm δ-elliptic thuộc C 2,α∗ Ω Nhận xét 4.2.4 Định lý 4.2.3 mở rộng Định lý 0.0.3 từ trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic đối xứng sang trường hợp nói chung khơng đối xứng Như giải thích phần Mở đầu, luận án đặt giả thiết độ trơn kiện toán Dirichlet (4.1)-(4.2) mạnh so với giả thiết đặt Định lý 0.0.3 để đảm bảo cho việc áp dụng phương pháp liên tục vào việc chứng minh tính giải tốn Chứng minh Với hàm w(x) ∈ C (Ω) tùy ý, ta đặt F [w](x) := F (R(x, w)) = log det D2 w − A(x, w, Dw) − B(x, w, Dw) , G[w](x) := F [w] − log f (x, w, Dw) (4.9) Giả sử B(x, z, p) ma trận tùy ý thuộc W Để áp dụng phương pháp liên tục giải toán Dirichlet (4.1)-(4.2), với t ∈ [0, 1], ta xét toán Dirichlet sau đây: det D2 u(t) − A x, u(t) , Du(t) −B x, u(t) , Du(t) = g (t) Ω, u = ϕ ∂Ω, g (t) = g (t) x, u(t) , Du(t) = f x, u(t) , Du(t) e(1−t)G[u](x) (4.10) (4.11) 95 Bổ đề 4.2.5 Giả sử điều kiện (i)-(vi) Định lý 4.2.3 thỏa mãn Giả sử B(x, z, p) ∈ W u(t) ∈ U ∩ C Ω nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet tương ứng (4.10)-(4.11), U = U(δ, β1 , β2 , B) tập xác định Định nghĩa 4.2.2 Khi tồn số dương M0 , M1 , C∗ , λ∗ , α∗ C∗∗ , α∗ ∈ (0, 1), M0 ≥ sup |u|, Ω M1 ≥ sup |Du|, λ∗ ≤ λu , phụ thuộc vào n, γ0 , a0 , δ, β1 , β2 , β3 , b0 , A, f, u, ϕ Ω cho Ω u(t) ∈ C 2,α∗ (Ω) ta có đánh giá sau sup u(t) (x) ≤ M0 , sup Du(t) (x) ≤ M1 , x∈Ω (4.12) x∈Ω sup λmax ω x, u(t) ≤ C∗ , (4.13) λu(t) ≥ λ∗ , (4.14) x∈Ω u(t) 2,α∗ ;Ω ≤ C∗∗ , (4.15) λ∗ xác định −[ n ] (1 + δ ) f0 , f0 = λ∗ = f (x, z, p) C∗n−1 x∈Ω,|z|≤M0 ,|p|≤M1 (4.16) Hơn nữa, đánh giá B(x, z, p) ∈ W t ∈ [0, 1] Chứng minh Trước tiên, ta nhận thấy tốn Dirichlet (4.10)-(4.11) có dạng tương tự với tốn Dirichlet (3.1)-(3.2), hàm vế phải f (x, z, p) (3.1) thay g (t) (x, z, p) = f (x, z, p)e(1−t)G[u](x) (4.17) Từ điều kiện (vi) Mệnh đề 2.2.2, ta có G[u](x) = log det D2 u−A(x, u, Du)−B(x, u, Du) −log f (x, u, Du) ≥ 0, Ω (4.18) Từ (4.17), (4.18) điều kiện (iv)-(v), ta có g (t) (x, z, p) ≥ f (x, z, p) > 0, Γ, inf (x,z,p)∈Γ Dz g (t) g (t) (x, z, p) = inf (x,z,p)∈Γ Dz f f (x, z, p) ≥ nδ β1 + δ2 Mặt khác, từ (4.18) ta có G[u](x) ≥ (1−t)G[u](x), với x ∈ Ω, t ∈ [0, 1] Do ta suy u nghiệm δ-elliptic (4.10) Từ giả thiết bổ đề lập luận vừa thu được, ta suy tất giả thiết Định lý 3.5.1 cho toán Dirichlet (4.10)-(4.11) thỏa mãn ta áp dụng kết định lý Bằng cách áp dụng Mệnh đề 3.5.2 cho toán (4.10)-(4.11), ta nhận (4.12) với số M0 , M1 thỏa mãn (3.194) (3.195) Từ (4.12), ta nhận đánh giá tương tự với (3.190) (t) (3.191) (4.13) λu(t) ≥ λ0 , −[ n ] (t) (t) λ0 (1 + δ ) g0 (t) = , g0 = g (t) (x, z, p) n−1 C∗ x∈Ω,|z|≤M0 ,|p|≤M1 96 (t) Từ ý g0 ≥ f0 , với t ∈ [0, 1], ta dễ dàng suy đánh giá (4.14) cách chọn số λ∗ cho công thức (4.16) Vì u nghiệm tốn (4.10)-(4.11) t = nên ta có λu ≥ λ∗ Cuối cùng, từ (4.12)-(4.14), ta nhận đánh giá tương tự với (3.192) đánh giá (4.15) Bổ đề chứng minh Với số α∗ ∈ (0, 1) xác định Bổ đề 4.2.5, ta đặt V = V(δ, β1 , β2 , α∗ , B) := U(δ, β1 , β2 , B) ∩ C 2,α∗ Ω Khi tập V mở C 2,α∗ (Ω) Để chứng minh định lý, ta tìm nghiệm toán Dirichlet (4.1)-(4.2) V Xét toán tử G cho (4.9), G ánh xạ V vào C 0,α∗ (Ω) Hơn nữa, bổ đề sau G khả vi liên tục Fréchet V Bổ đề 4.2.6 Toán tử G : V → C 0,α∗ (Ω) khả vi liên tục Fréchet u ∈ V với đạo hàm Gu cho Gu h = aij (x)Dij h + bi (x)Di h + c(x)h, ∀h ∈ C 2,α∗ (Ω), (4.19) aij (x) = F ij [u](x) + F ji [u](x) , i, j = 1, , n, n i b (x) = − F k [u](x)Dpi (Ak + Bk )(x, u, Du) − D pi f (x, u, Du), i = 1, , n, f F k [u](x)Dz (Ak + Bk )(x, u, Du) − Dz f (x, u, Du), f k, =1 n c(x) = − k, =1 (4.20) = Rji (x, u) với R = [Rij ]n×n , R−1 = [Rij ]n×n Hơn nữa, tốn đây, F ij [u](x) = ∂F (R(x,u)) ∂Rij tử Gu elliptic Ω với hàm hệ số aij , bi , c thuộc C 0,α∗ (Ω) c ≤ Ω Chứng minh Lấy u ∈ V tùy ý cố định Giả sử h(x) ∈ C 2,α∗ (Ω) hàm tùy ý cho trước Với t đủ nhỏ, ta áp dụng định lý Lagrange cho hàm g(t) := G[u + th] nhận G[u + th] − G[u] = g(t) − g(0) = g (τ )t, τ số nằm t, t → τ → Do G[u + th] − G[u] g (τ )t = lim = lim g (τ ) = g (0) = Lu h, t→0 t→0 τ →0 t t lim (4.21) đẳng thức thứ ba suy từ tính liên tục hàm g (t) lân cận đủ nhỏ 0, Lu toán tử xác định Lu := aij (x)Dij + bi (x)Di + c(x), (4.22) 97 hàm hệ số aij (x), bi (x) c(x) cho (4.20) Dễ thấy ánh xạ Lu ∈ L(C 2,α∗ (Ω), C 0,α∗ (Ω)), L(C 2,α∗ (Ω), C 0,α∗ (Ω)) tập hợp tất ánh xạ tuyến tính bị chặn từ C 2,α∗ (Ω) vào C 0,α∗ (Ω) Như vậy, toán tử G khả vi Gâteaux u ∈ V với đạo hàm Gâteaux ánh xạ Lu Ta dễ thấy ánh xạ từ V vào L(C 2,α∗ (Ω), C 0,α∗ (Ω)) biến phần tử u thành ánh xạ Lu liên tục V Từ suy G khả vi liên tục Gâteaux V khả vi liên tục Fréchet V với đạo hàm Fréchet Gu u Lu Hơn nữa, từ đánh giá (4.13)-(4.14), ta sử dụng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.4.5 để suy Gu elliptic Ω Mặt khác, u ∈ V nên ta suy hàm hệ số aij , bi , c thuộc C 0,α∗ (Ω), khẳng định c(x) ≤ Ω suy từ lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.1.1 Bổ đề chứng minh Tính giải tốn Dirichlet (4.1)-(4.2) suy từ bổ đề sau phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử Bổ đề 4.2.7 Cho λ∗ α∗ ∈ (0, 1) số dương xác định Bổ đề 4.2.5 Giả sử B = B(x, z, p) ma trận tùy ý thuộc W ∩ C Γ; Rn×n thỏa mãn thêm điều kiện (a)’, (b)’ (c)’ Khi tốn Dirichlet (4.10)-(4.11) giải V với t ∈ [0, 1] Chứng minh Giả sử u(t) ∈ V nghiệm toán (4.10)-(4.11), nghĩa u(t) ∈ C 2,α∗ Ω nghiệm δ-elliptic tốn (4.10)-(4.11) Khi từ giả thiết độ trơn A, B, f, ϕ, u ∂Ω, ta áp dụng Định lý 1.4.3 tính quy nghiệm suy u(t) ∈ C 4,α∗ Ω Do u(t) ∈ C Ω ta áp dụng Bổ đề 4.2.5 để nhận đánh giá (4.12)-(4.15) Đặt v (t) = u(t) − u T v (t) , t = G v (t) + u −(1 − t)G[u] Chú ý u = ϕ ∂Ω, tốn (4.10)-(4.11) đưa dạng T v (t) , t = Ω, v (t) = ∂Ω (4.23) Đặt ˜ = {v ∈ X | v + u ∈ V} , Y = C 0,α∗ Ω X = v ∈ C 2,α∗ Ω | v = ∂Ω , X ˜ tập mở X Ta đặt Khi X không gian Banach X ˜ : T v (t) , t = , I = t ∈ [0, 1] | ∃v (t) ∈ X ˜ | ∃t ∈ [0, 1] : T v (t) , t = E = v (t) ∈ X Tính giải toán (4.23) tương đương với khẳng định t ∈ I Dễ thấy, T [0, 0] = Từ suy ∈ I I = ∅ Ta chứng minh I = [0, 1] Để làm điều này, ta chứng minh I tập vừa mở vừa đóng đoạn [0, 1] Khẳng định 1: I tập mở Trước tiên, ta nhận thấy ánh xạ T : X × [0, 1] → Y ˜ × [0, 1] đạo hàm riêng Fréchet theo biến thứ khả vi liên tục Fréchet tập X 98 ˜ ×[0, 1], ký hiệu Tv(t) , trùng với đạo hàm Fréchet Gu(t) G u(t) = v (t) +u, v (t) , t ∈ X xác định (4.19)-(4.20) với u thay u(t) Do từ Hệ 1.3.7 Bổ đề 4.2.6, ta suy đạo hàm riêng Fréchet Tv(t) khả nghịch ˜ Khi từ lập luận Giả sử t0 ∈ I, nghĩa T v (t0 ) , t0 = với hàm v (t0 ) ∈ X trên, ta áp dụng Định lý hàm ẩn 1.4.7 suy ra, với t ∈ [0, 1] thuộc lân ˜ cho T v (t) , t = Như t ∈ I với cận đủ nhỏ t0 , tồn hàm v (t) ∈ X t đủ gần t0 , I tập mở Khẳng định 2: I tập đóng Cho {tk } ⊂ I dãy số hội tụ tới t∗ ∈ [0, 1] Giả sử ˜ thỏa mãn T v (tk ) , tk = Khi u(tk ) = v (tk ) + u ∈ V u(tk ) nghiệm v (tk ) ⊂ X toán Dirichlet (4.10)-(4.11) với k Từ (4.15), dãy u(tk ) bị chặn C 2,α∗ (Ω) từ định lý Arzelà-Ascoli ta suy tồn dãy u(tk ) hội tụ C Ω tới hàm u ∈ C 2,α∗ Ω Khi đó, từ (4.14) ta có λu ≥ λ∗ > Do từ điều kiện (a)’, (b)’ (c)’, ta suy u ∈ V Chú ý T [v, t] liên tục từ C (Ω) × [0, 1] vào C(Ω), nên từ ta có dãy v (tk ) = u(tk ) − u hội tụ C Ω tới ˜ thỏa mãn T [v, t∗ ] = Điều có nghĩa t∗ ∈ I I tập hàm v = u − u ∈ X đóng Ta chứng minh tồn nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet (4.1)-(4.2) V Tính nghiệm δ-elliptic dễ dàng suy từ nguyên lý so sánh (Định lý 3.1.1) Định lý chứng minh Nhận xét 4.2.8 Để gắn kết điều kiện đủ (a)’, (b)’ (c)’ với điều kiện cần (4.5), ta viết lại điều kiện dạng khác Đặt −[ n ] (n−1)/n (1 + δ ) f0 γ= C∗n−1 1/n Khi số λ∗ cho (4.16) có dạng λ∗ = γf0 Do đó, tương tự Nhận xét 3.2.2, điều kiện (a)’, (b)’ (c)’ viết lại sau 1/n (a)” µ(B) < δγf0 δ > 0, B ≡ δ = 0; 1/n (b)” µ(Dz B) < β1 γf0 β1 > 0, Dz B ≡ β1 = 0; 1/n (c)” µ(Dxk B), µ(Dpk B ) < β2 γf0 , k = 1, , n Mặt khác, từ (3.26), (4.10), (4.13) (4.17), ta suy −[ n2 ] (t) C∗n ≥ det ω x, u(t) ≥ (1 + δ ) Từ suy C∗ ≥ (1 + δ ) −[ n ] (n−1)/n (1 + δ ) f0 γ= C∗n−1 − n1 [ n2 ] 1/n f0 g −[ n2 ] x, u(t) , Du(t) ≥ (1 + δ ) f0 n −n[ ] = (1 + δ ) − [ n2 ] 1/n f0 (1 + δ ) n C∗ n−1 − n1 [ n2 ] ≤ (1 + δ ) Từ bất đẳng thức ý f0 ≤ f1 , ta nhận thấy điều kiện (b)”, (c)” phải thỏa mãn, thân điều kiện (a)” chặt so với điều kiện cần (4.5) 99 4.3 Một số ví dụ Trong mục này, luận án đưa số ví dụ mà ta kiểm tra giả thiết Định lý 4.2.3 4.3.1 Phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Hình học bảo giác Ví dụ 4.3.1 Xét tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng sau det D2 u − 1 |Du|2 E − Du ⊗ Du −B(x, Du) = n + eu + |Du|2 Ω, (4.24) u = ∂Ω, (4.25) Ω = B1 (0) = {x ∈ Rn : |x| < 1} Ở đây, A = A(p) = |p|2 E − p ⊗ p, B T (x, p) = z −B(x, p), f (x, z, p) = n + e + |p| Phương trình (4.24) với B(x, p) ≡ xuất lĩnh vực Hình học bảo giác ([41]) Ta toán (4.24)-(4.25) thỏa mãn điều kiện (i)-(vi) Định lý 4.2.3 1 Thật vậy, ≤ p ⊗ p ≤ |p|2 E nên A ≥ − |p|2 E > − + |p|2 E Do ta dễ thấy ma 2 trận A thỏa mãn điều kiện (i) (ii) với γ0 = Hơn nữa, tính tốn, ta có với ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η, Aij,k ξi ξj ηk η = (δij δk − δik δj − δjk δi )ξi ξj ηk η = |ξ|2 |η|2 − 2(ξ, η)2 = |ξ|2 |η|2 Điều có nghĩa A quy chặt Γ = Ω × R × Rn thỏa mãn (4.8) với a0 = Như vậy, điều kiện (iii) thỏa mãn Dz f Tiếp theo, ta dễ dàng nhận thấy f (x, z, p) > Γ inf (x, z, p) = Điều f (x,z,p)∈Γ có nghĩa điều kiện (iv) (v) thỏa mãn với β1 = Cuối cùng, ta kiểm tra điều kiện (vi) Ta chọn u(x) = |x|2 − Dễ thấy u ∈ C ∞ (Ω) thỏa mãn u = ∂Ω Hơn nữa, ta có Du(x) = x, D2 u(x) = E ω(x, u) = D2 u − A(x, u, Du) = E − |x| E − x ⊗ x ≥ E, ∀x ∈ Ω 2 Suy ra, λu = Do đó, ta có với n ≥ 2, det ω(x, u) ≥ n > ≥ n + e (|x| −1) n 5 + |x|2 = f (x, u, Du), ∀x ∈ Ω Từ đánh giá ta suy u nghiệm elliptic phương trình tương ứng với (4.24) mà B ≡ 100 Giả sử δ, β2 , β3 , b0 số thực cho trước thỏa mãn < δ < 1, β2 > 0, β3 > 0, ≤ b0 ≤ a0 = Khi Định lý 4.2.3 khẳng định rằng, tồn số thực dương < λ∗ ≤ , < α∗ < 1, phụ thuộc vào n, δ, β2 , β3 , b0 cho B(x, p) ma trận tùy ý thuộc W δ, 0, β2 , β3 , b0 , λu ∩ C Γ; Rn×n thỏa mãn điều kiện (a)’ (c)’ tốn Dirichlet (4.24)-(4.25) có nghiệm δ-elliptic thuộc C 2,α∗ Ω Ví dụ 4.3.2 Xét tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng sau det D2 u − (a|Du|2 E − bDu ⊗ Du) − B(x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u = ∂Ω, (4.26) (4.27) a, b số, a > 0, A(p) = a|p|2 E − bp ⊗ p, B T (x, z, p) = −B(x, z, p) Ω = {x = (x1 , , xn ) ∈ Rn | k1 x21 + · · · + kn x2n < 1, ki > 0, i = 1, , n} Ta kiểm tra các điều kiện (i)-(vi) Định lý 4.2.3 toán (4.26)-(4.27) Vì ≤ p ⊗ p ≤ |p|2 E nên A ≥ (a − |b|)|p|2 E ≥ −(|a − |b||) + |p|2 E Do ta dễ thấy ma trận A thỏa mãn điều kiện (i) (ii) với γ0 = |a − |b|| + > Hơn nữa, tính tốn, ta có với ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η, Aij,k ξi ξj ηk η = (2aδij δk − b(δik δj + δjk δi ))ξi ξj ηk η = 2aξi2 ηk2 − 2bξi ξj ηi ηj = 2a|ξ|2 |η|2 − 2b(ξ, η)2 = 2a|ξ|2 |η|2 Điều có nghĩa A quy chặt Γ thỏa mãn (4.8) với a0 = 2a > Như vậy, điều kiện (iii) thỏa mãn c Đặt u(x) = (k1 x21 + · · · + kn x2n − 1), c số dương chọn sau Dễ thấy u ∈ C ∞ (Ω) thỏa mãn u = ∂Ω Đặt kmin = ki , kmax = max ki Khi ta có i i Ω, |Du|2 = c2 k12 x21 + · · · + kn2 x2n ≤ c2 kmax k1 x21 + · · · + kn x2n ≤ c2 kmax , D2 u = c diag (k1 , , kn ) ≥ ckmin E, ω(x, u) = D2 u − A(x, u, Du) ≥ D2 u − (a + |b|)|Du|2 E ≥ dE, d = c kmin − c(a + |b|)kmax Từ ta suy u nghiệm elliptic toán Dirichlet (4.26)-(4.27) số dương c đủ nhỏ cho d > hàm vế phải f (x, z, p) ∈ C (Γ; R) chọn cho f > 0, Dz f ≥ 0, Γ f (x, u, Du) ≤ dn , Ω Việc chọn hàm vế phải f (x, z, p) thỏa mãn điều kiện dễ dàng Khi tốn (4.26)-(4.27), ta có kết luận tương tự tốn (4.24)-(4.25) 101 4.3.2 Phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng phụ thuộc tham số Ví dụ 4.3.3 Xét tốn Dirichlet sau cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng phụ thuộc vào tham số σ, |σ| ≤ Σ, Σ > 0, det D2 u − A(x, u, Du) − σB (0) (x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u = ϕ(x) ∂Ω, (4.28) (4.29) Ω ⊂ Rn miền bị chặn có biên ∂Ω ∈ C Giả sử giả thiết Định lý 4.2.3 thỏa mãn W = W (δ, β1 , β2 , β3 , b0 , λu ) tập hợp mô tả Định nghĩa 4.2.1, δ, β1 , β2 , β3 , b0 số dương cho trước với < δ < 1, < b0 ≤ a0 Giả sử B (0) (x, z, p) ∈ BC (Γ; Rn×n ) ∩ C (Γ; Rn×n ) (0) (0) ma trận phản đối xứng thỏa mãn điều kiện sau với số dương δ (0) , β1 , β2 , (0) (0) β3 , b0 với (x, z, p) ∈ Γ, ξ ∈ Cn , η ∈ Rn , (0) Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ δ (0) λu |ξ|2 ; (0) (0) Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β1 λu |ξ|2 ; (0) (0) (0) Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij ξi ξ j ηk ≤ β2 λu |ξ|2 |η|; (0) (0) (0) Dxk x Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η |, |Dxk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ β3 |ξ|2 |η|2 , (0) (0) (0) Dxk z Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dzpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β3 |ξ|2 |η|, (0) (0) Dzz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β3 |ξ|2 ; (0) (0) Dpk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ b0 |ξ|2 |η|2 Khi tồn số dương < α∗ < < Σ∗ ≤ Σ, α∗ phụ thuộc vào (0) (0) (0) (0) n, γ0 , a0 , δ, β1 , β2 , β3 , b0 , A, f, u, ϕ Ω, Σ∗ phụ thuộc thêm vào δ (0) , β1 , β2 , β3 b0 , cho với σ tùy ý thỏa mãn |σ| < Σ∗ , toán Dirichlet (4.28)-(4.29) có nghiệm δ-elliptic thuộc U(δ, β1 , β2 , σB (0) ) ∩ C 2,α∗ (Ω), U(δ, β1 , β2 , σB (0) ) xác định Định nghĩa 4.2.2 với B thay σB (0) Thật vậy, ta đặt γ = δ δ (0) , β1 (0) β1 , β2 (0) β2 , β3 (0) β3 , b0 (0) b0 , Σ , Σ∗ = γ λ∗ , λu (4.30) < λ∗ ≤ λu số xác định Định lý 4.2.3 Giả sử σ số thực tùy ý thỏa mãn |σ| < Σ∗ Suy |σ| < Σ∗ ≤ γ Do từ giả thiết (4.30), ta suy ma trận σB (0) (x, z, p) thuộc W ∩ C Γ; Rn×n thỏa mãn điều kiện bổ sung (a)’-(c)’ Định lý 4.2.3 Do đó, từ Định lý 4.2.3 ta suy toán Dirichlet (4.28)-(4.29) có nghiệm δ-elliptic thuộc U(δ, β1 , β2 , σB (0) ) ∩ C 2,α∗ (Ω), U(δ, β1 , β2 , σB (0) ) tập xác định Định nghĩa 4.2.2 với B thay σB (0) , α∗ ∈ (0, 1) số phụ thuộc vào đại lượng tương tự λ∗ , xác định Định lý 4.2.3 102 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Cụ thể, luận án chứng minh kết sau: - Đã thiết lập điều kiện cần cho tồn nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng (Định lý 4.1.1) - Đã thiết lập điều kiện đủ áp đặt lên ma trận đối xứng vế phải phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng để nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet tồn C 2,α∗ (Ω) với α∗ ∈ (0, 1) ma trận phản đối xứng có mặt phương trình đủ nhỏ theo nghĩa (Định lý 4.2.3) Việc chứng minh tồn nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet dựa phương pháp liên tục để giải phương trình toán tử phi tuyến giới thiệu Chương đánh giá tiên nghiệm thiết lập Chương - Đã trình bày số ví dụ cụ thể tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic khơng đối xứng 103 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt luận án Luận án nghiên cứu tính giải không gian C 2,α (Ω), α ∈ (0, 1) tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic không đối xứng miền bị chặn Ω ⊂ Rn nhận kết sau đây: - Đưa vào lớp nghiệm δ-elliptic với δ ∈ [0, 1) cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng nhận điều kiện cần cho tồn loại nghiệm - Đưa vào khái niệm d-lõm với d ≥ 0, mở rộng khái niệm lõm thơng thường; chứng minh tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère tập lồi không bị chặn tập hợp ma trận xác định dương khơng đối xứng Tính d-lõm cơng cụ quan trọng việc thiết lập đánh giá tiên nghiệm nghiệm δ-elliptic - Bằng cách đặt điều kiện để ma trận phản đối xứng có mặt phương trình nhỏ theo nghĩa đó, qua số bước tiến hành, luận án thiết lập đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) với α ∈ (0, 1) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng, đồng thời đánh giá lớp ma trận phản đối xứng - Sử dụng phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử phi tuyến khơng gian Banach, luận án đưa điều kiện đủ áp đặt lên kiện tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng để nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet tồn C 2,α (Ω) ma trận phản đối xứng có mặt phương trình đủ nhỏ theo nghĩa Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, kiến nghị số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu như: - Nghiên cứu phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng xuất lĩnh vực như: Vận chuyển tối ưu, Hình học bảo giác, Dự báo khí tượng, - Nghiên cứu tốn Neumann cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] H.T Ngoan, T.T.K Chung (2019), Elliptic solutions to nonsymmetric Monge-Ampère type equations I The d-concavity and the comparison principle, Acta Math Vietnam 44 (2), 469-491, DOI: 10.1007/s40306-017-0231-2 [2] H.T Ngoan, T.T.K Chung (2018), Elliptic solutions to nonsymmetric Monge-Ampère type equations II A priori estimates and the Dirichlet problem, Acta Math Vietnam., DOI: 10.1007/s40306-018-0270-3 CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO, THẢO LUẬN TẠI CÁC HỘI NGHỊ VÀ XÊMINA SAU: - Hội nghị khoa học hệ Nghiên cứu sinh - Viện Toán học, tháng 10/2015 - Xêmina Phòng Phương trình Vi phân - Viện Toán học - Hội nghị đánh giá Nghiên cứu sinh hàng năm Viện Toán học vào tháng 10/2012, tháng 10/2013, tháng 10/2014, tháng 10/2015, tháng 10/2016 tháng 11/2017 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] A.C Aitken (1956), Determinants and Matrices, Oliver and Boyd, Edinburgh [2] A.D Alexandrov (1942), Existence of a uniqueness of a convex surface with a given integral curvature, Dokl Akad Nauk SSSR 35, 131-134 [3] A.D Alexandrov (1942), Smoothness of a convex surface of bounded Gaussian curvature, Dokl Akad Nauk SSSR 36, 195-199 [4] I.J Bakelman (1994), Convex analysis and nonlinear geometric elliptic equations, Springer [5] L Caffarelli, L Nirenberg, J Spruck (1984), The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations I Monge-Ampère equations, Comm Pure Appl Math 37, 369-402 [6] L Caffarelli, X Cabré (1995), Fully nonlinear elliptic equations, Amer Math Soc., Colloquium Publication 43 [7] E Calabi (1958), Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K Jăorgens, Michigan Math J 5, 105-126 [8] G De Philippis and A Figalli (2014), The Monge-Ampère equation and its link to optimal transportation, Bull Amer Math Soc 51, 527-580 [9] B.K Driver (2004), Analysis tools with examples, Springer [10] L.C Evans (1982), Classical solutions of fully nonlinear, convex, second order elliptic equations, Comm Pure Appl Math 25, 333-363 [11] D Gilbarg, N.S Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin-New York [12] C.E Gutiérrez (2001), The Monge-Ampốre equation, Birkhăauser 105 106 [13] Q Han, J.X Hong (2006), Isometric embedding of Riemannian manifolds in Euclidean spaces, Mathematical Surveys and Monographs 130, Amer Math Soc [14] Q Han (2016), Nonlinear elliptic equations of the second order, Amer Math Soc., Graduate Studies in Mathematics 171 [15] R.A Horn, C.R Johnson (2012), Matrix Analysis, Cambridge University Press [16] N.M Ivochkina (1983), A priori estimates of u C 2,α (Ω) of convex solutions of the Dirichlet problem for the Monge-Ampère equation, J Soviet Math 21, 689-697 [17] N.M Ivochkina (1985), Classical solvability of the Dirichlet problem for the MongeAmpère equation, J Soviet Math 30, 2287-2292 [18] F Jiang, N.S Trudinger, X.-P Yang (2014), On the Dirichlet problem for MongeAmpère type equations, Calc Var PDE 49, 1223-1236 [19] F Jiang, N.S Trudinger (2014), On Pogorelov estimates in optimal transportation and geometric optics, Bull Math Sci 4, 407-431 [20] F Jiang, N.S Trudinger, X.-P Yang (2015), On the Dirichlet problem for a class of augmented Hessian equations, J Diff Eqns 258, 1548-1576 [21] J.L Kazdan (1985), Prescribing the curvature of a Riemannian manifold, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 57, Amer Math Soc [22] N.V Krylov (1983), Boundedly inhomogeneous elliptic and parabolic equations, Math USSR Izv 20, 459-492 [23] N.V Krylov (1984), Boundedly inhomogeneous elliptic and parabolic equations in a domain, Math USSR-Izv 22, 67-98 [24] N.V Krylov (1987), Nonlinear elliptic and parabolic equations of the second order, English translation: Dordrecht: Reidel [25] H Lewy (1937), A priori limitations for solutions of Monge-Ampère equations I, II, Trans Amer Math Soc., Vol 37, 417-434 (1935), Vol 42, 365-374 [26] J Liu, N.S Trudinger (2010), On Pogorelov estimates for Monge-Ampère type equation, Discrete Contin Dyn Syst Ser A 28, 1121-1135 [27] X.-N Ma, N.S Trudinger, X.-J Wang (2005), Regularity of potential functions of the optimal transportation problem, Arch Ration Mech Anal 177, 151-183 [28] A.V Pogorelov (1964), Monge-Ampère equations of elliptic type, Noordhorf, Groningen 107 [29] A.V Pogorelov (1971), The regularity of the generalized solutions of the equation det(∂ u/∂xi ∂xj ) = ϕ(x1 , x2 , , xn ) > 0, Dokl Akad Nauk SSSR 200, 534-537 [30] F Schulz (1990), Regularity theory for quasilinear elliptic systems and MongeAmpère equations in two dimensions, Lecture notes in Math 1445, Springer-Verlag [31] J Serrin (1969), The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with many independent variables, Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A, Mathematical and Physical Sciences 264, 413-496 [32] G Strang (2003), Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press [33] N.S Trudinger (1983), J.I.E Urbas, The Dirichlet problem for the equation of prescribed Gauss curvature, Bull Austral Math Soc 28, 217-231 [34] N.S Trudinger (1983), Fully nonlinear, uniformly elliptic equations under natural structure conditions, Trans Amer Math Soc 278, 751-769 [35] N.S.Trudinger (1986), Classical boundary value problems for Monge-Ampère type equations, Lecture Notes in Math 1192, 251-258 [36] N.S Trudinger (1990), The Dirichlet problem for the prescribed curvature equations, Arch Rational Mech Anal 111, 153-179 [37] N.S Trudinger (1995), Lectures on nonlinear elliptic equations of second order, Lectures in Mathematical Sciences 9, Univ Tokyo [38] N.S Trudinger (1995), On the Dirichlet problem for Hessian equations, Acta Math 175, 151-164 [39] N.S Trudinger (2001), X.-J Wang, On the Monge mass transfer problem, Calc Var 13, 19-31 [40] N.S Trudinger (2004), Fully Nonlinear PDEs in Geometry, CBMS Lectures [41] N.S Trudinger (2006), Recent developments in elliptic partial differential equations of Monge-Ampère type, Proc Int Cong Math., Madrid 3, 291-302 [42] N.S Trudinger (2007), Optimal transportation and Nonlinear partial differential equations, 26th Brazilian Mathematical Colloquium [43] N.S Trudinger (2008), On the prescribed Jacobian equation, Proc Intl Conf for the 25th Anniversary of Viscosity Solutions, Gakuto Intl Series, Math Sci Appl 20, 243-255 108 [44] N.S Trudinger, X.-J Wang (2008), The Monge-Ampère equation and its geometric applications, Handbook of geometric analysis No 1, Adv Lect Math (ALM) 7, 467-524, Int Press, Somerville, MA [45] N.S Trudinger, X.-J Wang (2009), On the second boundary value problem for Monge-Ampère type equations and optimal transportation, Ann Scuola Norm Sup Pisa CI Sci VIII, 143-174 [46] H Wilhelm Alt (2012), Linear Functional Analysis: An Application-Oriented Introduction, Springer [47] Z Wu, J Yin, C Wang (2006), Elliptic and Parabolic Equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd Tiếng Pháp [48] A.M Ampère (1820), Mémoire contenant l’application de la théorie, Journal de l’École Polytechnique [49] S Bernstein (1910), Sur la généralization du problèms de Dirichlet (Deuxième partie), Math Annalen 69, 82-136 [50] G Monge (1784), Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles, Mémoires de l’Académie des Sciences Paris, France: Imprimerie Royale, 118-192 ... nghiệm δ -elliptic toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère khơng đối xứng Chương trình bày điều kiện cần số điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ -elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère... nghiệm δ -elliptic toán Dirichlet 85 Chương Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère khơng đối xứng 4.1 91 Một điều kiện cần cho tồn nghiệm δ -elliptic phương trình kiểu Monge- Ampère... giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère elliptic khơng đối xứng miền giới nội Ω ⊂ Rn Bài toán giải trước cho trường hợp phương trình kiểu Monge- Ampère đối xứng với số chiều n cho phương