Bài toán dirichlet cho phương trình kiểu monge ampère elliptic không đối xứng tt

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC THÁI THỊ KIM CHUNG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC KHƠNG ĐỐI XỨNG Chun ngành: Phương trình Vi phân Tích phân Mã số: 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2019 Luận án hồn thành tại: Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Viện, họp Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà Nội - Thư viện Viện Tốn học Mở đầu Phương trình Monge-Ampère phương trình vi phân đạo hàm riêng cổ điển phi tuyến hoàn toàn, xuất từ cuối kỷ XIX cơng trình G Monge, A.M Ampère có dạng sau uxx uyy − u2xy = K(x, y) + u2x + u2y , (x, y) ∈ Ω, (0.1) Ω ⊂ R2 miền bị chặn, u(x, y) ẩn hàm hai biến độc lập x, y cần tìm cho đồ thị hàm z = u(x, y) điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss K(x, y) cho trước Phương trình (0.1) khái quát lên trường hợp n chiều thành phương trình độ cong Gauss sau det D2 u = K(x) + |Du|2 n+2 , x ∈ Ω, (0.2) Ω ⊂ Rn miền bị chặn, u = u(x) = u(x1 , , xn ) ẩn hàm, Du = (ux1 , , uxn ) véc tơ gradient u, D2 u = [uxi xj ]n×n ma trận Hessian u K(x) hàm số cho trước Phương trình elliptic ma trận Hessian D2 u xác định dương hay u hàm lồi chặt Ω K(x) > Nó nhiều nhà Tốn học nghiên cứu A.D Alexandrov, I.J Bakelman, H Lewy, S Bernstein, Sau này, số lĩnh vực Hình học affine, Khí tượng học, Cơ học chất lỏng, xuất phương trình có dạng tổng qt sau det D2 u = f (x, u, Du), x ∈ Ω, (0.3) f (x, z, p) hàm số cho trước xác định Ω × R × Rn Trong việc nghiên cứu nghiệm cổ điển tốn Dirichlet cho phương trình (0.3), có số kiện đột phá quan trọng Trước tiên, kết E Calabi A.V Pogorelov thiết lập đánh giá tiên nghiệm bên miền đạo hàm cấp hai nghiệm lồi chặt Tiếp theo, kết L.C Evans N.V Krylov vào năm 1980 việc thiết lập đánh giá tiên nghiệm Hăolder bờn i vi cỏc o hm cp hai nghiệm lồi chặt chuẩn C (Ω) đánh giá Cũng năm 1980, kết đánh giá tiên nghiệm toàn cục đạo hàm cấp hai nghiệm elliptic cổ điển phương trình (0.3) thiết lập N.M Ivochkina, đánh giá tiên nghiệm cho đạo hàm cấp ba thiết lập cách độc lập Caffarelli-Nirenberg-Spruck Krylov Từ đó, phương pháp liên tục phương trình tốn tử phi tuyến, người ta chứng minh tồn nghiệm elliptic cổ điển toán Dirichlet cho phương trình (0.3) Những năm gần đây, lĩnh vực Vận chuyển tối ưu Hình học bảo giác đưa đến việc nghiên cứu toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère, vế trái phương trình định thức tổng D2 u với ma trận vng phụ thuộc vào (x, u, Du) mô tả det D2 u − A(x, u, Du) − B(x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u(x) = ϕ(x) ∂Ω, (0.4) (0.5) Ω miền bị chặn Rn , A(x, z, p) = [Aij (x, z, p)]n×n , B(x, z, p) = [Bij (x, z, p)]n×n f (x, z, p) ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng hàm vô hướng xác định Γ := Ω × R × Rn , ϕ(x) hàm vô hướng xác định Ω Ở đây, ta sử dụng (x, z, p) để ký hiệu điểm thuộc Γ Nếu B(x, z, p) ≡ (0.4) gọi phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng, cịn B(x, z, p) ≡ (0.4) gọi phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng Với hàm u(x) ∈ C (Ω) tùy ý, ta ký hiệu ω(x, u) := D2 u(x) − A(x, u(x), Du(x)), λu := λmin (ω(x, u)), (0.6) (0.7) x∈Ω λmin (ω(x, u)) giá trị riêng nhỏ ma trận đối xứng ω(x, u) ∈ Rn×n Phương trình (0.4) elliptic u(x) Ω λu > (0.8) Điều đưa đến điều kiện sau hàm vế phải f (x, z, p) (Mệnh đề 2.2.2), f (x, z, p) > 0, Γ (0.9) Nhà toán học người Úc N.S Trudinger nhóm nghiên cứu ơng khởi xướng việc nghiên cứu tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng có dạng (0.4)-(0.5), B(x, z, p) ≡ 0, cụ thể toán dạng sau det D2 u − A(x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u(x) = ϕ(x) ∂Ω (0.10) (0.11) Để nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet (0.10)-(0.11), Trudinger áp dụng phương pháp liên tục, việc chứng minh tính giải tốn đưa việc thiết lập đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm elliptic toán với số α ∈ (0, 1) Việc thiết lập đánh giá tiên nghiệm Trudinger tiến hành qua bước sau: - Bước 1: Áp dụng kỹ thuật A.V Pogorelov để thiết lập đánh giá độ lớn đạo hàm cấp hai nghiệm elliptic tồn miền Ω thơng qua đánh giá chúng biên; - Bước 2: Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp hai nghiệm elliptic biên ∂Ω; - Bước 3: Đánh giá chuẩn C (Ω) nghiệm elliptic; - Bước 4: Áp dụng kỹ thuật L.C Evans N.V Krylov thit lp ỏnh giỏ na chun Hăolder đạo hàm cấp hai nghiệm elliptic, qua nhận đánh giá chuẩn C 2,α (Ω) Trudinger đưa bốn giả thiết quan trọng sau toán Dirichlet (0.10)-(0.11): T1) Ma trận A(x, z, p) = [Aij (x, z, p)]n×n ∈ C (Γ; Rn×n ) thỏa mãn điều kiện quy Γ, nghĩa Dpk p Aij (x, z, p)ξi ξj ηk η ≥ 0, ∀(x, z, p) ∈ Γ, ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η; (0.12) thỏa mãn điều kiện quy chặt Γ, nghĩa tồn số a0 > cho Dpk p Aij (x, z, p)ξi ξj ηk η ≥ a0 |ξ|2 |η|2 , ∀(x, z, p) ∈ Γ, ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η (0.13) Ở đây, tất biểu thức vế trái (0.12) (0.13) luận án này, khơng nói thêm số có mặt biểu thức ngầm hiểu phép tốn lấy tổng tập hợp tất số lặp có mặt biểu thức T2) Ma trận A(x, z, p) thỏa mãn điều kiện cấu trúc Dz A(x, z, p) ≥ 0, A(x, z, p) ≥ −γ0 + |p|2 E λmax (A(x, z, 0)) ≥ 0, (0.14) với x ∈ Ω, z ∈ R p ∈ Rn , γ0 > số dương, E ma trận đơn vị cấp n T3) Hàm f (x, z, p) ∈ C (Γ; R) thỏa mãn f (x, z, p) > 0, Dz f (x, z, p) ≥ 0, Γ T4) Tồn nghiệm elliptic u(x) ∈ C (Ω) toán Dirichlet (0.10)-(0.11), nghĩa u(x) thỏa mãn điều kiện λu := λmin (ω(x, u)) > 0, (0.15) x∈Ω det D2 u − A(x, u, Du) ≥ f (x, u, Du) Ω, u(x) = ϕ(x) ∂Ω, (0.16) (0.17) ϕ(x) ∈ C (Ω) ∂Ω ∈ C Để tiến hành đánh giá tiên nghiệm bước nói trên, lớp nghiệm elliptic, nhóm Trudinger biểu diễn phương trình (0.10) dạng tương đương log(det ω(x, u)) = fˆ(x, u, Du), Ω, (0.18) ω(x, u) cho (0.6) fˆ = log f, sử dụng hai kết quan trọng tính lõm hàm số kiểu Monge-Ampère đối xứng có dạng F (ω) = log(det ω), (0.19) tập lồi ma trận đối xứng xác định dương ω ∈ Rn×n nguyên lý so sánh phương trình (0.18), phát biểu sau Định lý 0.0.1 (Nguyên lý so sánh) Cho hàm u(x), v(x) ∈ C (Ω) thỏa mãn log(det ω(x, u)) − fˆ(x, u, Du) ≤ log(det ω(x, v)) − fˆ(x, v, Dv) Ω, u ≥ v ∂Ω Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) λu > 0, λv > 0; 2) Dz A(x, z, p) ≥ 0, Γ; 3) f (x, z, p) > 0, Dz f (x, z, p) ≥ 0, Γ Khi u ≥ v Ω Hơn nữa, u = v ∂Ω ta có ∂u ∂v ≥ ∂Ω, ∂ν ∂ν ν véc tơ pháp tuyến đơn vị biên ∂Ω Kết nhóm Trudinger qua bước đánh giá tiên nghiệm nói tổng kết định lý sau Định lý 0.0.2 (Đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω)) Giả sử u(x) ∈ C (Ω) nghiệm elliptic toán Dirichlet (0.10)-(0.11), A = A(x, p), f = f (x, p) giả sử giả thiết T1)-T4) nói thỏa mãn Khi ta có đánh giá sau |u|2,α;Ω ≤ C, (0.20) α ∈ (0, 1) C số dương phụ thuộc vào n, γ0 , A, f, u, ϕ Ω Trên sở Định lý 0.0.2, việc đưa tốn (0.10)-(0.11) phương trình tốn tử khơng gian Banach C 2,α (Ω) áp dụng phương pháp liên tục, nhóm Trudinger chứng minh tính giải toán (0.10)-(0.11) trường hợp ma trận đối xứng A hàm vế phải f không phụ thuộc vào biến z Cụ thể, ta có định lý sau Định lý 0.0.3 Xét toán Dirichlet (0.10)-(0.11), A = A(x, p), f = f (x, p) giả sử giả thiết T1)-T4) nói thỏa mãn Khi tồn số α ∈ (0, 1) cho nghiệm elliptic u(x) toán Dirichlet (0.10)-(0.11) tồn C 2,α (Ω) Trong việc thiết lập đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) với α ∈ (0, 1), giả thiết ban đầu tính quy nghiệm u u ∈ C 2,α (Ω) Trong chứng minh Định lý 0.0.3, từ giả thiết độ trơn kiện toán định lý tính quy nghiệm elliptic phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, người ta suy u ∈ W 4,p (Ω) ∩ C 3,α (Ω), với p ∈ (1, +∞) Từ đó, việc áp dụng kỹ thuật xấp xỉ phương trình phi tuyến phức tạp, người ta thiết lập đánh giá tiên nghiệm Định lý 0.0.2 Về sau, nhóm Trudinger mở rộng kết định lý A f phụ thuộc thêm vào biến z việc đưa vào giả thiết tồn nghiệm elliptic u(x) ∈ C (Ω) phương trình (0.10) cho u(x) ≥ ϕ(x) ∂Ω Bài toán Dirichlet (0.4)-(0.5) ma trận phản đối xứng B(x, z, p) ≡ nghiên cứu Trudinger trường hợp số chiều n = Các nhà Toán học G De Philippis, A Figalli N.S Trudinger cần thiết việc nghiên cứu phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic khơng đối xứng Do mục tiêu luận án nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet (0.4)-(0.5) không gian C 2,α (Ω) B(x, z, p) ≡ Luận án đặt vấn đề áp dụng phương pháp liên tục tương tự toán Dirichlet (0.10)-(0.11) để nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet (0.4)(0.5) Do có mặt ma trận phản đối xứng B(x, z, p) phương trình (0.4), việc tiến hành đánh giá tiên nghiệm nghiệm elliptic u(x) ∈ C (Ω) toán (0.4)-(0.5) bốn bước nói gặp nhiều khó khăn, trường hợp B(x, z, p) ≡ 0, đánh giá điểm x0 ∈ Ω bước nói trên tiến hành cách thuận lợi sau chéo hóa ma trận đối xứng ω(x, u) điểm x0 Để khắc phục khó khăn này, luận án hạn chế xét lớp nghiệm elliptic, gọi nghiệm δ-elliptic với ≤ δ < 1, δ = trùng với nghiệm elliptic thông thường Cụ thể, luận án đưa định nghĩa sau Định nghĩa 0.0.4 Cho số δ ∈ [0, 1) Ta nói phương trình (0.4) δ-elliptic hàm u(x) ∈ C (Ω) elliptic u điều kiện sau thỏa mãn µ(B) ≤ δλu , (0.21) µ(B) đại lượng xác định µ(B) := sup B(x, z, p) , (0.22) (x,z,p)∈Γ B chuẩn toán tử ma trận B Với hàm u(x) ∈ C (Ω), ta ký hiệu R(x, u) := D2 u − A(x, u, Du) − B(x, u, Du) = ω(x, u) − B(x, u, Du) (0.23) Khi đó, lớp nghiệm elliptic, phương trình (0.4) tương đương với log(det R(x, u)) = fˆ(x, u, Du), Ω, (0.24) fˆ = log f Để chuẩn bị công cụ cho việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm δ-elliptic phương trình (0.24), thay hàm số kiểu Monge-Ampère đối xứng F (ω) = log(det ω), ta xét hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng có dạng sau F (R) = log(det R), (0.25) R ∈ Rn×n ma trận xác định dương có dạng R = ω + β, ω T = ω, ω > 0, β T = −β Luận án det β ≥ det R ≥ det ω + det β ≥ det ω > (Mệnh đề 2.2.2) Do hàm F (R) ln xác định khả vi vô hạn miền R > Với số δ ∈ [0, 1) µ ≥ 0, sở gợi ý khái niệm nghiệm δ-elliptic, luận án đưa vào tập xác định Dδ,µ sau hàm F (R), Dδ,µ = R ∈ Rn×n | R = ω + β, ω T = ω, β T = −β, λmin (ω) > 0, µ ≤ δλmin (ω), β ≤ µ (0.26) Khi Dδ,µ tập lồi khơng bị chặn Rn×n (Mệnh đề 2.2.1) Khi δ = µ = 0, β = D0,0 trùng với tập ma trận đối xứng xác định dương Nhằm mở rộng khái niệm tính lõm thơng thường hàm F (ω) = log(det ω) tập lồi ma trận đối xứng xác định dương Rn×n , luận án đưa khái niệm tính d-lõm với d ≥ hàm F (R) = log(det R) Dδ,µ Cụ thể, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 0.0.5 Giả sử d ≥ số thực khơng âm Ta nói hàm F (R) d-lõm (0) (1) tập Dδ,µ với hai ma trận tùy ý R(0) = Rij n×n R(1) = Rij nìn thuc D,à , ta cú n F R(0) (1) (0) (1) (0) F R −F R ≤ Rij − Rij +d (0.27) ∂R ij i,j=1 Khái niệm 0-lõm trùng với khái niệm lõm thông thường Trong Định lý 2.2.21, luận án hàm F (R) = log(det R) d-lõm tập Dδ,µ , số d phụ thuộc vào δ n, khơng phụ thuộc vào µ Luận án thiết lập nguyên lý so sánh (Định lý 3.1.1) nghiệm δ-elliptic phương trình (0.4), so với Định lý 0.0.1 có bổ sung số điều kiện để ma trận phản đối xứng B(x, z, p) nhỏ theo nghĩa Khi tiến hành bước đánh giá tiên nghiệm nghiệm δ-elliptic toán (0.4)-(0.5), cách dựa theo sơ đồ nhóm Trudinger, luận án sử dụng dạng khác tính d-lõm hàm F (R) = log(det R) giả thiết tính quy chặt ma trận đối xứng A(x, z, p) Định lý 3.5.1 kết luận án, tổng kết kết bước đánh giá tiên nghiệm Định lý mô tả điều kiện đủ áp đặt lên ma trận đối xứng A(x, z, p), hàm vế phải f (x, z, p), hàm biên ϕ(x) miền Ω để tồn số dương α ∈ (0, 1) C cho với ma trận phản đối xứng B(x, z, p) nhỏ xác định số tham số liên quan đến kiện vừa nêu trên, nghiệm δ-elliptic u(x) ∈ C (Ω) toán Dirichlet (0.4)-(0.5) thỏa mãn |u|2,α;Ω ≤ C, đồng thời đánh giá lớp ma trận B(x, z, p) nhỏ theo nghĩa Trong Định lý 4.1.1, luận án thiết lập điều kiện cần áp lên B(x, z, p) để phương trình (0.4) có nghiệm δ-elliptic Việc áp dụng phương pháp liên tục giải phương trình toán tử phi tuyến đưa tới Định lý 4.2.3, kết luận án Định lý với số điều kiện đủ áp đặt lên kiện tốn, tương tự trường hợp phương trình đối xứng, nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet (0.4)-(0.5) tồn C 2,α (Ω) với α ∈ (0, 1) ma trận B(x, z, p) đủ nhỏ theo nghĩa Tuy nhiên, trường hợp phương trình khơng đối xứng, việc sử dụng kỹ thuật xấp xỉ tương tự trường hợp phương trình đối xứng đề cập nói chung khó để vượt qua Do luận án, giả thiết độ trơn kiện toán Dirichlet (0.4)-(0.5) làm mạnh để thiết lập tính giải Ngồi phần Mở đầu, luận án gồm bốn chương, Kết luận, Danh mục cơng trình liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị lý thuyết ma trận, khái niệm không gian hàm số kết phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai tuyến tính phi tuyến hồn tồn Chương trình bày kết tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère với biến ma trận xác định dương không đối xứng Các Chương chương luận án, Chương trình bày bước đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Chương trình bày điều kiện cần số điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Cuối cùng, luận án trình bày số ví dụ tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic không đối xứng Luận án viết dựa hai báo [1], [2] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương nhắc lại số khái niệm kiến thức biết để sử dụng luận án Mục 1.1 trình bày số kiến thức lý thuyết Ma trận: khái niệm ma trận đối xứng, phản đối xứng, trực giao, Hermite, phản Hermite, unita; khái niệm ma trận xác định dương; số tính chất chuẩn Frobenius chuẩn toán tử ma trận; số tính chất vết ma trận; tốn chéo hóa ma trận thực đối xứng phản đối xứng; giới thiệu khái niệm ma trận compound bậc ma trận vng số tính chất Mục 1.2 trình bày khái niệm khơng gian Hăolder v khụng gian Sobolev; phỏt biu nh lý v bt ng thc Hăolder v nh lý Morrey Mc 1.3 trình bày số kết phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai: ngun lý cực đại, nguyên lý so sánh; toán Dirichlet tính khả nghịch phương trình tốn tử; Định lý Harnack, Krylov đánh giá Lp Mục 1.4 trình bày khái niệm phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn, khái niệm đạo hàm Fréchet định lý hàm ẩn không gian Banach; giới thiệu phương pháp liên tục để giải phương trình tốn tử phi tuyến khơng gian Banach Chương Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Chương nghiên cứu tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère F (R) = log(det R) với biến R ma trận xác định dương khơng đối xứng Tính chất cơng cụ quan trọng đánh giá tiên nghiệm chương sau Nội dung chương viết dựa báo [1] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 2.1 Tính lõm hàm số kiểu Monge-Ampère đối xứng Trong mục này, luận án tổng quan số tính chất biết tính lõm hàm số kiểu Monge-Ampère đối xứng dạng sau F (ω) = log(det ω), (2.1) ω = [ωij ]n×n ∈ Rn×n ma trận thực đối xứng xác định dương Hàm F (ω) hàm lõm chặt tập lồi ma trận đối xứng xác định dương Ký hiệu ω −1 = [ω ij ]n×n ma trận nghịch đảo ω Khi ta có F ij := ∂ F (ω) ∂F (ω) = ω ji , F ij,k := = −ω i ω jk , i, j, k, = 1, , n ∂ωij ∂ωij ∂ωk (2.2) Mệnh đề 2.1.1 Cho hàm F (ω) xác định (2.1), ω ma trận đối xứng xác định dương Khi với ω cố định, ta có n F ij,k Pij Pk = −|P˜ |2 ≤ − i,j,k, =1 |P |2 ≤ 0, ∀P = [Pij ]n×n ∈ Rn×n , P T = P, (λmax (ω)) (2.3) P˜ = ω − 12 Pω − 12 (0) (1) Mệnh đề 2.1.2 Cho ω (0) = ωij n×n ω (1) = ωij xác định dương tùy ý Khi ta có đánh giá n×n ma trận đối xứng n F ω (1) −F ω (0) ∂F ω (0) ≤ ∂ωij i,j=1 (1) (0) ωij − ωij (2.4) 11 Tiếp theo, ta nghiên cứu vi phân cấp hai hàm số F (R) cho (2.5), R ∈ Dδ,µ , Dδ,µ tập hợp cho (2.6) Xét hàm số F xác định sau F(R, M ) : Dδ,µ × Rn×n → R, n F(R, M ) = i,j,k, =1 ∂ 2F Mij Mk = − ∂Rij ∂Rk n R i Rjk Mij Mk , (2.24) i,j,k, =1 ú R = [Rij ]nìn D,à , M = [Mij ]n×n ∈ Rn×n Mệnh đề 2.2.9 Giả sử R ∈ Dδ,µ Khi với ma trận M = P + Q ∈ Rn×n , ta có F(R, M ) = F(R, P ) + F(R, Q) + 2L(R, P, Q), (2.25) n R i Rjk Pij Qk L(R, P, Q) = − (2.26) i,j,k, =1 Mệnh đề 2.2.10 Giả sử R ∈ Dδ,µ Khi với ma trận đối xứng P ∈ Rn×n , ta có F(R, P ) = − [G(R, P )] + H(R, P ), (2.27) G(R, P ) = Tr R−1 P , H(R, P ) = Tr với R−1 (2) R−1 (2) (2.28) P (2) , P (2) ma trận compound bậc hai R−1 P Mệnh đề 2.2.11 Giả sử R ∈ Dδ,µ Khi với ma trận phản đối xứng Q ∈ Rn×n , ta có F(R, Q) = − [G(R, Q)] + H(R, Q), (2.30) hàm G H xác định (2.28) Mệnh đề 2.2.12 Giả sử R ∈ Dδ,µ Khi với ma trận đối xứng P ∈ Rn×n ma trận phản đối xứng Q ∈ Rn×n , ta có L(R, P, Q) = − Tr R−1 − (R−1 ) T T P R−1 + (R−1 ) Q , (2.31) , (2.32) hàm L(R, P, Q) xác định (2.26) Bây giờ, với R = ω + β ∈ Dδ,µ cố định với M ∈ Rn×n , ta đặt ˜ ≡ ω − 12 M ω − 12 = M ˜ jk M n×n ˜˜ ≡ C ∗ M ˜˜ ˜ C1 = M , M jk n×n C1 ∈ Cn×n ma trận unita thỏa mãn (2.11) Dễ thấy, ˜˜ , ˜ = M M ˜˜ ˜ = M M (2.33) 12 Mệnh đề 2.2.13 Với ma trận M ∈ Rn×n , ta có đánh giá sau λmax (ω) −2 ˜ |M |2 ≤ M ≤ λmin (ω) −2 |M |2 (2.34) Mệnh đề 2.2.14 Giả sử R = ω + β ∈ Dδ,µ Khi với ma trận đối xứng P ∈ Rn×n , ta có n − σj σ k ˜˜ , F(R, P ) = − P (2.35) jk (1 + σ ) + σ j k j,k=1 F(R, P ) xác định (2.27) iσj (σj ∈ R), j = 1, , n giá trị riêng ảo ma trận phản đối xứng σ cho (2.7) Từ Mệnh đề 2.2.14, ta thu hệ sau Hệ 2.2.15 Giả sử R = ω + β ∈ Dδ,µ Khi với ma trận đối xứng P ∈ Rn×n , ta có − δ2 ˜ − δ2 −2 F(R, P ) ≤ − |P |2 (2.42) ≤− P λmax (ω) 2 (1 + δ ) (1 + δ ) Mệnh đề 2.2.16 Giả sử R = ω + β ∈ Dδ,µ Khi với ma trận phản đối xứng Q ∈ Rn×n , ta có n − σj σ k ˜˜ F(R, Q) = Q (2.43) jk (1 + σ ) + σ j k j,k=1 Từ Mệnh đề 2.2.16, ta thu hệ sau Hệ 2.2.17 Giả sử R = ω + β ∈ Dδ,µ Khi với ma trận phản đối xứng Q ∈ Rn×n , ta có ˜ F(R, Q) ≤ Q (2.50) Mệnh đề 2.2.18 Giả sử R = ω+β ∈ Dδ,µ Khi với ma trận đối xứng P ∈ Rn×n ma trận phản đối xứng Q ∈ Rn×n , ta có 2nδ ˜ ˜ |L(R, P, Q)| ≤ P Q (2.51) + δ2 Để kết thúc mục này, luận án đánh giá cận vi phân cấp hai hàm F (R) Từ Mệnh đề 2.2.9, Hệ 2.2.15, Hệ 2.2.17 Mệnh đề 2.2.18, ta thu định lý sau mở rộng Mệnh đề 2.1.1 dùng việc chứng minh Định lý 3.2.1 Định lý 2.2.19 Giả sử R = ω + β ∈ Dδ,µ Khi với ma trận M = P + Q, P ∈ Rn×n đối xứng Q ∈ Rn×n phản đối xứng, ta có F(R, M ) ≤ −(1 − η) − δ2 (1 + δ2) P˜ 4n2 δ + 1+ η (1 − δ ) 1 ˜ = ω − 21 Qω − 21 với số η ∈ (0, 1], P˜ = ω − P ω − , Q ˜ 2, Q (2.53) 13 2.2.3 Tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Định lý dạng tính d-lõm sử dụng việc chứng minh Định lý 3.4.1 (0) Định lý 2.2.20 Với ma trận R(0) = ω (0) +β (0) = Rij (1) Rij n×n R(1) = ω (1) +β (1) = n×n thuộc tập Dδ,µ , ta có n F R (1) −F R (0) ≤ ∂F R(0) ∂Rij i,j=1 (1) (0) Rij − Rij (2.54) 2 + 4n δ 1+ − δ2 λmin ω (s) −2 β (1) − β (0) , ω (s) ≡ (1 − s)ω (0) + sω (1) , s ∈ (0, 1) số Sau đây, luận án phát biểu định lý tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère không đối xứng F (R) li khụng b chn D,à Rnìn nh lý mở rộng Mệnh đề 2.1.2 sử dụng việc chứng minh Định lý 3.3.1 Định lý 2.2.21 Hàm F (R) = log(det R) d-lõm tập hợp Dδ,µ , Dδ,µ ⊂ 4n2 δ n×n phụ thuộc R tập lồi không bị chặn cho (2.6), d = 2nδ + − δ2 (0) vào δ n Điều có nghĩa là, với ma trận R(0) = ω (0) + β (0) = Rij n×n (1) R(1) = ω (1) + β (1) = Rij nìn thuc D,à , ta cú n F R (1) −F R (0) ∂F R(0) ≤ ∂Rij i,j=1 (1) (0) Rij − Rij + d (2.57) Chương Các đánh giá tiên nghiệm nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Nội dung chương nhằm trình bày bước đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng dạng sau det D2 u − A(x, u, Du) − B(x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u(x) = ϕ(x) ∂Ω, (3.1) (3.2) Ω ⊂ Rn miền bị chặn có biên ∂Ω trơn, A(x, z, p) = [Aij (x, z, p)]n×n , B(x, z, p) = [Bij (x, z, p)]n×n f (x, z, p) ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng hàm vơ hướng xác định Γ := Ω × R × Rn , ϕ(x) hàm vơ hướng xác định Ω Các bước tương tự nhóm N.S Trudinger việc đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng Trong chương này, ta đặt giả thiết A(x, z, p) ∈ C (Γ; Rn×n ), B(x, z, p) ∈ BC (Γ; Rn×n ) f (x, z, p) ∈ C (Γ; R) Khi B(x, z, p) ≡ 0, ta có phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng tương ứng với (3.1), det D2 u − A(x, u, Du) = f (x, u, Du), Ω (3.3) Cho số δ ∈ [0, 1), theo Định nghĩa 0.0.4, phương trình (3.1) δ-elliptic hàm u(x) ∈ C (Ω) elliptic u, tức λu > µ(B) ≤ δλu Nội dung chương viết dựa hai báo [1], [2] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 3.1 Nguyên lý so sánh cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Trong mục này, luận án thiết lập nguyên lý so sánh cho phương trình kiểu MongeAmpère khơng đối xứng (3.1) δ-elliptic hàm so sánh 14 15 Đặt G[u](x) := log det D2 u − A(x, u, Du) − B(x, u, Du) − log f (x, u, Du), x ∈ Ω (3.4) Định lý sau mở rộng Định lý 0.0.1 phần Mở đầu sang trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Định lý 3.1.1 Cho hàm u(x), v(x) ∈ C (Ω) thỏa mãn G[u](x) ≤ G[v](x) Ω u(x) ≥ v(x) ∂Ω Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) λu > 0, λv > 0; (ii) µ(B) ≤ δ min{λu , λv }; inf (iii) (x,z,p)∈Γ λmin (Dz A(x, z, p)) ≥ (−α1 ) min{λu , λv }; (iv) µ(Dz B) ≤ β1 min{λu , λv }; (v) f (x, z, p) > 0, Γ; (vi) f1 := inf (x,z,p)∈Γ Dz f f (x, z, p) ≥ n α1 + δ β1 , + δ2 δ ∈ [0, 1), α1 β1 số không âm, µ(B) µ(Dz B) đại lượng xác định (0.22) Khi ta có u(x) ≥ v(x) Ω Hơn nữa, u(x) = v(x) ∂Ω ta có ∂u ∂v ≥ ∂Ω, ν véc tơ pháp tuyến đơn vị biên ∂Ω ∂ν ∂ν 3.2 Đánh giá toàn miền đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng qua độ lớn chúng biên Trong mục này, luận án chứng minh kết tương tự phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng độ lớn đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng (3.1) Ω đánh giá qua độ lớn chúng biên ∂Ω Định lý 3.2.1 Giả sử u(x) ∈ C (Ω) nghiệm elliptic phương trình (3.1) điều kiện sau thỏa mãn (i) sup |u(x)| ≤ M0 , sup |Du(x)| ≤ M1 ; x∈Ω x∈Ω (ii) A(x, z, p) quy chặt Γ, nghĩa tồn số a0 > cho Aij,k (x, z, p)ξi ξj ηk η ≥ a0 |ξ|2 |η|2 , với (x, z, p) ∈ Γ ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η, Aij,k = Dpk p Aij ; (iii) Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ δλu |ξ|2 ; (iv) Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β1 λu |ξ|2 ; (3.18) 16 (v) Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β2 λu |ξ|2 |η|; (vi) Dxk x Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η , Dxk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ β3 |ξ|2 |η|2 , Dxk z Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dzpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β3 |ξ|2 |η|, Dzz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β3 |ξ|2 ; (vii) Dpk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ b0 |ξ|2 |η|2 ; (viii) f (x, z, p) > 0, Γ, M0 , M1 , β2 , β3 số dương δ, β1 , b0 số không âm, ≤ δ < 1, ≤ b0 ≤ a0 , điều kiện (iii)-(vii) thỏa mãn với (x, z, p) ∈ Γ ξ ∈ Cn , η ∈ Rn Khi ta có đánh giá sau sup λmax (ω(x, u)) ≤ C + sup λmax (ω(x, u)) , x∈Ω (3.19) x∈∂Ω sup |D2 u(x)| ≤ C + sup D2 u(x) , x∈Ω (3.20) x∈∂Ω C số dương phụ thuộc vào M0 , M1 , n, a0 , δ, β1 , β2 , β3 , b0 , A, f Ω 3.3 Đánh giá biên đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng Như Định lý 3.2.1, để thiết lập đánh giá tiên nghiệm đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng (3.1) Ω, ta đưa việc thiết lập đánh giá tương ứng biên ∂Ω Trong mục này, luận án thiết lập đánh giá |D2 u| ≤ C biên ∂Ω cho nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet (3.1)-(3.2) Định lý 3.3.1 Giả sử u(x) ∈ C (Ω) nghiệm elliptic tốn Dirichlet (3.1)(3.2), ϕ(x) ∈ C (Ω) ∂Ω ∈ C Giả sử tồn nghiệm elliptic u(x) ∈ C (Ω) phương trình (3.3) tương ứng với (3.1), B(x, z, p) ≡ u(x) = ϕ(x) ∂Ω, giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) max sup|u|, sup|u| ≤ M0 , max sup|Du|, sup|Du| ≤ M1 ; Ω Ω Ω Ω (ii) Dz A(x, z, p) = [Dz Aij (x, z, p)] ≥ 0, Γ; (iii) A(x, z, p) quy chặt Γ thỏa mãn (3.18) với a0 > 0; (iv) Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ δ min{λu , λu }|ξ|2 ; (v) Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β1 min{λu , λu }|ξ|2 ; (vi) Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β2 min{λu , λu }|ξ|2 |η|; (vii) Dpk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ b0 |ξ|2 |η|2 ; 17 (viii) f (x, z, p) > 0, Γ; inf (ix) (x,z,p)∈Γ Dz f nδ (x, z, p) ≥ β1 , f + δ2 M0 , M1 , β2 số dương δ, β1 , b0 số không âm, ≤ δ < 1, ≤ b0 ≤ a0 , điều kiện (iv)-(vii) thỏa mãn với (x, z, p) ∈ Γ ξ ∈ Cn , η ∈ Rn Khi ta có đánh giá biên sup D2 u(x) ≤ C, (3.47) x∈∂Ω sup λmax (ω(x, u)) ≤ C, (3.48) x∈∂Ω C số dương phụ thuộc vào M0 , M1 , n, a0 , δ, β1 , β2 , b0 , A, f, u, ϕ Ω 3.4 Đánh giỏ Hă older ton cc i vi cỏc o hm cấp hai nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Trong Mục 3.2 3.3, luận án đánh giá chuẩn C (Ω) nghiệm δ-elliptic u(x) ∈ C (Ω) toán Dirichlet (3.1)-(3.2) qua chuẩn C (Ω) Trong mục này, luận ỏn s thit lp ỏnh giỏ Hăolder ton cc i với đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet (3.1)-(3.2) qua chuẩn C () 3.4.1 ỏnh giỏ Hă older bờn đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Trong mục ny, lun ỏn s thit lp ỏnh Hăolder bờn miền Ω đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng (3.1) Định lý 3.4.1 Cho u(x) ∈ C (Ω) nghiệm δ-elliptic phương trình (3.1) với δ ∈ [0, 1), f (x, z, p) > Γ Giả sử u thỏa mãn sup |u(x)| ≤ M0 , sup |Du(x)| ≤ M1 , sup |D2 u(x)| ≤ M2 , x∈Ω x∈Ω (3.108) x∈Ω M0 , M1 M2 số dương Khi với hình cầu BR0 ⊂ Ω R ≤ R0 , ta có đánh giá sau osc D2 u ≤ C BR R R0 α0 osc D2 u + R0α0 , BR0 (3.109) α0 ∈ (0, 1) số phụ thuộc vào M0 , M1 , M2 , n, δ, A, f Ω, số C > phụ thuộc thêm vào B; đây, osc D2 u := sup |D2 u(x) − D2 u(y)|, BR0 BR BR hình cầu đồng tâm x,y∈BR 18 Hệ 3.4.8 Giả sử giả thiết Định lý 3.4.1 thỏa mãn Khi với miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω, ta có đánh giá D2 u α0 ;Ω ≤ C, (3.148) α0 ∈ (0, 1) số xác định Định lý 3.4.1, C số dương phụ thuộc vào M0 , M1 , M2 , n, δ, A, B, f, Ω dist (Ω , ) 3.4.2 ỏnh giỏ Hă older ti im tựy ý biên đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng Trong mục này, luận án s thit lp ỏnh giỏ Hăolder i vi cỏc o hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic điểm tùy ý biên với bậc α ∈ (0, 1) tùy ý Định lý 3.4.9 Cho u(x) ∈ C (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet (3.1)(3.2), f (x, z, p) > Γ, ϕ(x) ∈ C (Ω) ∂Ω ∈ C Giả sử sup |u(x)| ≤ M0 , sup |Du(x)| ≤ M1 , sup |D2 u(x)| ≤ M2 , x∈Ω x∈Ω (3.149) x∈Ω M0 , M1 M2 số dương Khi với số α ∈ (0, 1), ta có (3.150) |D2 u(x) − D2 u(x0 )| ≤ C|x − x0 |α , ∀x0 ∈ ∂Ω, x ∈ Ω, C số dương phụ thuộc vào α, M0 , M1 , M2 , n, δ, A, B, f, ϕ Ω Hệ 3.4.13 Giả sử giả thiết Định lý 3.4.9 thỏa mãn Khi với số α ∈ (0, 1) tùy ý, ta có đánh giá osc D2 u ≤ CRα , ∀x0 ∈ ∂Ω, R > 0, (3.183) BR (x )∩Ω C số dương phụ thuộc vào α, M0 , M1 , M2 , n, δ, A, B, f, ϕ 3.4.3 ỏnh giỏ Hă older ton cc i vi đạo hàm cấp hai nghiệm δ-elliptic toỏn Dirichlet Bng vic kt hp cỏc ỏnh giỏ Hăolder bên miền điểm biên tùy ý, lun ỏn thit lp c ỏnh giỏ Hăolder ton cc sau Định lý 3.4.14 Giả sử giả thiết Định lý 3.4.9 thỏa mãn Khi ta có [D2 u]α0 ;Ω ≤ C, (3.184) α0 ∈ (0, 1) C số dương phụ thuộc vào M0 , M1 , M2 , n, δ, A, B, f, ϕ Ω 2.5 Đánh giá chuẩn C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet Nội dung mục kết luận án đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương 19 trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng Định lý sau mở rộng Định lý 0.0.2 phần Mở đầu sang trường hợp phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Định lý 3.5.1 Giả sử u(x) ∈ C (Ω) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet (3.1)(3.2), A(x, z, p) ∈ C (Γ; Rn×n ), B(x, z, p) ∈ BC (Γ; Rn×n ), f (x, z, p) ∈ C (Γ; R), ϕ(x) ∈ C (Ω) ∂Ω ∈ C Ta giả sử tồn nghiệm δelliptic u(x) ∈ C (Ω) tốn Dirichlet (3.3)-(3.2), B(x, z, p) ≡ u(x) = ϕ(x) ∂Ω Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ma trận A(x, z, p) thỏa mãn điều kiện cấu trúc A(x, z, p) ≥ −γ0 + |p|2 E, (3.187) λmax (A(x, z, 0)) ≥ 0, với x ∈ Ω, z ∈ R, p ∈ Rn , γ0 số dương; (3.188) (ii) Dz A(x, z, p) = [Dz Aij (x, z, p)]n×n ≥ 0, Γ; (iii) A(x, z, p) quy chặt Γ thỏa mãn (3.18) với a0 > 0; (iv) Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ δ min{λu , λu }|ξ|2 ; (v) Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β1 min{λu , λu }|ξ|2 ; (vi) Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β2 min{λu , λu }|ξ|2 |η|; (vii) Dxk x Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η , Dxk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ β3 |ξ|2 |η|2 , Dxk z Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dzpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β3 |ξ|2 |η|, Dzz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β3 |ξ|2 ; (viii) Dpk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ b0 |ξ|2 |η|2 ; (ix) f (x, z, p) > 0, Γ; (x) inf (x,z,p)∈Γ nδ Dz f (x, z, p) ≥ β1 , f + δ2 δ, β1 , β2 , β3 , b0 số, ≤ δ < 1, β1 ≥ 0, β2 > 0, β3 > 0, ≤ b0 ≤ a0 , điều kiện (iv)-(viii) thỏa mãn với (x, z, p) ∈ Γ ξ ∈ Cn , η ∈ Rn Khi ta có đánh giá sau sup |u(x)| ≤ M0 , sup |Du(x)| ≤ M1 , x∈Ω (3.189) x∈Ω sup λmax (ω(x, u)) ≤ C0 , (3.190) x∈Ω λu ≥ λ0 , |u|2,α0 ;Ω ≤ C1 , (3.191) (3.192) M0 , M1 , C0 , λ0 , < α0 < 1, C1 số dương phụ thuộc vào n, γ0 , a0 , δ, β1 , β2 , β3 , b0 , A, f, u, ϕ Ω, M0 ≥ sup |u|, M1 ≥ sup |Du|, λ0 xác Ω định Ω −[ n ] (1 + δ ) f0 λ0 = , f0 = f (x, z, p) C0n−1 x∈Ω,|z|≤M0 ,|p|≤M1 (3.193) Chương Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Trong chương này, luận án nghiên cứu tồn nghiệm δ-elliptic C (Ω) tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng dạng sau 2,α det D2 u − A(x, u, Du) − B(x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u(x) = ϕ(x) ∂Ω, (4.1) (4.2) Ω ⊂ Rn miền bị chặn có biên ∂Ω trơn, A(x, z, p), B(x, z, p) f (x, z, p) ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng hàm vô hướng trơn xác định Γ := Ω × R × Rn , ϕ(x) hàm vô hướng trơn xác định Ω Khi B(x, z, p) ≡ 0, ta có phương trình kiểu Monge-Ampère đối xứng tương ứng với (4.1), det D2 u − A(x, u, Du) = f (x, u, Du), Ω (4.3) Nội dung chương viết dựa báo [2] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 4.1 Một điều kiện cần cho tồn nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng Định lý sau điều kiện cần ma trận phản đối xứng B(x, z, p) cho tồn nghiệm δ-elliptic phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng (4.1) Định lý 4.1.1 Ký hiệu Uδ (Ω) với δ ∈ (0, 1) tập hợp tất nghiệm δ-elliptic u(x) phương trình (4.1) Ω cho sup |u(x)| ≤ M0 , sup |Du(x)| ≤ M1 , x∈Ω (4.4) x∈Ω M0 , M1 số dương Khi đó, tập Uδ (Ω) khác rỗng điều kiện cần bất đẳng thức sau thỏa mãn n [2] µ(B) ≤ δ(1 + δ ) n 1/n f1 , f = 20 max x∈Ω,|z|≤M0 ,|p|≤M1 f (x, z, p) (4.5) 21 4.2 Các điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng Điều kiện cần (4.5) cho thấy rằng, để chứng minh tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng (4.1)-(4.2), phải đặt số điều kiện ma trận phản đối xứng B(x, z, p) Trong mục này, luận án thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ-elliptic toán Dirichlet (4.1)-(4.2) Cho δ, β1 , b0 số không âm β2 , β3 số dương, ≤ δ < 1, ≤ b0 ≤ a0 , a0 số dương xác định công thức (4.8) Giả sử tồn hàm u(x) ∈ C (Ω) nghiệm elliptic (4.3) cho u = ϕ ∂Ω Định nghĩa 4.2.1 Ta ký hiệu W = W (δ, β1 , β2 , β3 , b0 , λu ) tập hợp ma trận phản đối xứng B(x, z, p) = [Bij (x, z, p)]n×n ∈ BC Γ; Rn×n thỏa mãn điều kiện sau với ξ ∈ Cn , η ∈ Rn , ξ, η = 0, (a) Bij (x, z, p)ξi ξ j < δλu |ξ|2 δ > 0, B ≡ δ = 0; sup (x,z,p)∈Γ (b) Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j < β1 λu |ξ|2 β1 > 0, Dz B ≡ β1 = 0; sup (x,z,p)∈Γ (c) sup Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk < β2 λu |ξ|2 |η|; (x,z,p)∈Γ (d) Dxk x Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η , Dxk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ β3 |ξ|2 |η|2 , Dxk z Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dzpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk ≤ β3 |ξ|2 |η|, Dzz Bij (x, z, p)ξi ξ j ≤ β3 |ξ|2 , ∀(x, z, p) ∈ Γ; (e) Dpk p Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk η ≤ b0 |ξ|2 |η|2 , ∀(x, z, p) ∈ Γ Định nghĩa 4.2.2 Giả sử B = [Bij (x, z, p)]n×n ma trận tùy ý thuộc W Ta ký hiệu U = U(δ, β1 , β2 , B) tập hợp hàm u(x) ∈ C Ω thỏa mãn điều kiện sau: λu := min x∈Ω ξ∈Rn ,|ξ|=1 sup (Dij u(x) − Aij (x, u(x), Du(x)))ξi ξj > 0; Bij (x, z, p)ξi ξ j < δλu |ξ|2 , ∀ξ ∈ Cn , ξ = δ > 0; (x,z,p)∈Γ sup Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j < β1 λu |ξ|2 , ∀ξ ∈ Cn , ξ = β1 > 0; (x,z,p)∈Γ sup Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk < β2 λu |ξ|2 |η|, ∀ξ ∈ Cn , η ∈ (x,z,p)∈Γ n R , ξ, η = Việc sử dụng kết đánh giá tiên nghiệm nghiệm δ-elliptic C 2,α (Ω) đưa tới định lý đây, kết luận án, khẳng định với điều kiện định, tương tự trường hợp phương trình đối xứng tương ứng (Định lý 0.0.3), tốn Dirichlet (4.1)-(4.2) có nghiệm δ-elliptic ma trận phản đối xứng B(x, z, p) đủ nhỏ, theo nghĩa thỏa mãn điều kiện (a)’, (b)’ (c)’ nói đến định lý 22 Định lý 4.2.3 Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn có biên ∂Ω ∈ C giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ma trận A(x, z, p) = [Aij (x, z, p)]n×n ∈ C (Γ; Rn×n ) đối xứng thỏa mãn điều kiện cấu trúc A(x, z, p) ≥ −γ0 + |p|2 E, (4.6) λmax (A(x, z, 0)) ≥ 0, (4.7) với x ∈ Ω, z ∈ R, p ∈ Rn , γ0 số dương; (ii) Dz A(x, z, p) = [Dz Aij (x, z, p)]n×n ≥ 0, Γ; (iii) A(x, z, p) quy chặt Γ, nghĩa tồn số a0 > cho Aij,k (x, z, p)ξi ξj ηk η ≥ a0 |ξ|2 |η|2 , (4.8) với (x, z, p) ∈ Γ ξ, η ∈ Rn , ξ ⊥ η; (iv) Hàm vô hướng f (x, z, p) ∈ C (Γ; R) thỏa mãn f (x, z, p) > 0, Γ; (v) inf (x,z,p)∈Γ Dz f nδ (x, z, p) ≥ β1 ; f + δ2 (vi) Tồn nghiệm elliptic u(x) ∈ C (Ω) phương trình (4.3), thỏa mãn u = ϕ ∂Ω, ϕ ∈ C (Ω) Giả sử W = W (δ, β1 , β2 , β3 , b0 , λu ) tập hợp mơ tả Định nghĩa 4.2.1 Khi tồn số dương λ∗ ≤ λu α∗ ∈ (0, 1), phụ thuộc vào n, γ0 , a0 , δ, β1 , β2 , β3 , b0 , A, f, u, ϕ Ω cho, B(x, z, p) ma trận tùy ý đủ nhỏ thuộc W ∩ C Γ; Rn×n , tức thỏa mãn thêm điều kiện sau với ξ ∈ Cn , η ∈ Rn , ξ, η = 0, (a)’ sup Bij (x, z, p)ξi ξ j < δλ∗ |ξ|2 δ > 0, B ≡ δ = 0; (x,z,p)∈Γ (b)’ sup Dz Bij (x, z, p)ξi ξ j < β1 λ∗ |ξ|2 β1 > 0, Dz B ≡ β1 = 0; (x,z,p)∈Γ (c)’ sup Dxk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk , Dpk Bij (x, z, p)ξi ξ j ηk < β2 λ∗ |ξ|2 |η|, (x,z,p)∈Γ tốn Dirichlet (4.1)-(4.2) có nghiệm δ-elliptic thuộc C 2,α∗ Ω 4.3 Một số ví dụ Trong mục này, luận án đưa số toán Dirichlet cụ thể mà ta kiểm tra giả thiết Định lý 4.2.3 Luận án xét số ví dụ sau Ví dụ 4.3.1 Xét tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng sau 1 det D2 u − |Du|2 E − Du ⊗ Du −B(x, Du) = n + eu + |Du|2 Ω, (4.24) u = ∂Ω, (4.25) 23 Ω = B1 (0) = {x ∈ Rn : |x| < 1} Ở đây, A = A(p) = |p|2 E − p ⊗ z T p, B (x, p) = −B(x, p), f (x, z, p) = n + e + |p| Phương trình (4.24) với B(x, p) ≡ xuất lĩnh vực Hình học bảo giác Ví dụ 4.3.2 Xét tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng sau det D2 u − (a|Du|2 E − bDu ⊗ Du) − B(x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u = ∂Ω, (4.26) (4.27) a, b số, a > 0, A(p) = a|p|2 E − bp ⊗ p, B T (x, z, p) = −B(x, z, p) Ω = {x = (x1 , , xn ) ∈ Rn | k1 x21 + · · · + kn x2n < 1, ki > 0, i = 1, , n} Ví dụ 4.3.3 Xét tốn Dirichlet sau cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng phụ thuộc vào tham số σ, |σ| ≤ Σ, Σ > 0, det D2 u − A(x, u, Du) − σB (0) (x, u, Du) = f (x, u, Du) Ω, u = ϕ(x) ∂Ω, Ω ⊂ Rn miền bị chặn có biên ∂Ω ∈ C (4.28) (4.29) 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt luận án Luận án nghiên cứu tính giải không gian C 2,α (Ω), α ∈ (0, 1) tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère elliptic không đối xứng miền bị chặn Ω ⊂ Rn nhận kết sau đây: - Đưa vào lớp nghiệm δ-elliptic với δ ∈ [0, 1) cho phương trình kiểu MongeAmpère khơng đối xứng nhận điều kiện cần cho tồn loại nghiệm - Đưa vào khái niệm d-lõm với d ≥ 0, mở rộng khái niệm lõm thơng thường; chứng minh tính d-lõm hàm số kiểu Monge-Ampère tập lồi không bị chặn tập hợp ma trận xác định dương khơng đối xứng Tính d-lõm cơng cụ quan trọng việc thiết lập đánh giá tiên nghiệm nghiệm δ-elliptic - Bằng cách đặt điều kiện để ma trận phản đối xứng có mặt phương trình nhỏ theo nghĩa đó, qua số bước tiến hành, luận án thiết lập đánh giá tiên nghiệm C 2,α (Ω) với α ∈ (0, 1) nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng, đồng thời đánh giá lớp ma trận phản đối xứng - Sử dụng phương pháp liên tục giải phương trình tốn tử phi tuyến khơng gian Banach, luận án đưa điều kiện đủ áp đặt lên kiện tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng để nghiệm δ-elliptic tốn Dirichlet tồn C 2,α (Ω) ma trận phản đối xứng có mặt phương trình đủ nhỏ theo nghĩa Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, kiến nghị số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu như: - Nghiên cứu phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng xuất lĩnh vực như: Vận chuyển tối ưu, Hình học bảo giác, Dự báo khí tượng, - Nghiên cứu tốn Neumann cho phương trình kiểu Monge-Ampère khơng đối xứng 25 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] H.T Ngoan, T.T.K Chung (2019), Elliptic solutions to nonsymmetric MongeAmpère type equations I The d-concavity and the comparison principle, Acta Math Vietnam 44 (2), 469-491, DOI: 10.1007/s40306-017-0231-2 [2] H.T Ngoan, T.T.K Chung (2018), Elliptic solutions to nonsymmetric MongeAmpère type equations II A priori estimates and the Dirichlet problem, Acta Math Vietnam., DOI: 10.1007/s40306-018-0270-3 CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Đà ĐƯỢC BÁO CÁO, THẢO LUẬN TẠI CÁC HỘI NGHỊ VÀ XÊMINA SAU: - Hội nghị khoa học hệ Nghiên cứu sinh - Viện Toán học, tháng 10/2015 - Xêmina Phịng Phương trình Vi phân - Viện Toán học - Hội nghị đánh giá Nghiên cứu sinh hàng năm Viện Toán học vào tháng 10/2012, tháng 10/2013, tháng 10/2014, tháng 10/2015, tháng 10/2016 tháng 11/2017 ... nghiệm δ -elliptic tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère khơng đối xứng Chương trình bày điều kiện cần số điều kiện đủ cho tồn nghiệm δ -elliptic toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère... đủ cho tồn nghiệm δ -elliptic toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère khơng đối xứng Điều kiện cần (4.5) cho thấy rằng, để chứng minh tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère... Chương Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère không đối xứng Trong chương này, luận án nghiên cứu tồn nghiệm δ -elliptic C (Ω) tốn Dirichlet cho phương trình kiểu Monge- Ampère không