Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên khoảng ( )a;b (có thể a là − ; b là + ) và điểm ( )0x a;b a Nếu tồn tại số h 0[.]
Cơng thức tính cực trị hàm số chi tiết Lý thuyết - Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( a;b ) (có thể a − ; b + ) điểm x ( a;b ) a Nếu tồn số h cho f ( x ) f ( x ) x ( x − h; x + h ) x x ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại x b Nếu tồn số h cho f ( x ) f ( x ) x ( x − h; x + h ) x x ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x Chú ý: Nếu hàm số f (x) đạt cực đại (cực tiểu) x x gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f ( x ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số Kí hiệu f CĐ ( f CT ) , điểm M ( x ;f ( x ) ) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a;b ) đạt cực đại cực tiểu x f ' ( x ) = Thật giả sử f ( x ) đạt cực đại x Khi theo định nghĩa ta có: f ( x + x ) − f ( x ) =0 x →0 x lim + TH1: x f ' ( x + ) = + TH2: x f ' ( x − ) = Mà f ( x ) có đạo hàm nên suy f ' ( x ) = Điều kiện cần điều kiện đủ để hàm số có cực trị a Điều kiện cần - f (x) đạt cực trị x , có đạo hàm x f ' ( x ) = b Điều kiện đủ - Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x − h; x + h ) có đạo hàm K K\ x với h + Nếu f ' ( x ) khoảng ( x − h;x ) f ' ( x ) khoảng ( x ; x + h ) x điểm cực đại hàm số f ( x ) + Nếu f ' ( x ) khoảng ( x − h;x ) f ' ( x ) khoảng ( x ; x + h ) x điểm cực tiểu hàm số f ( x ) - Nói cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải: + Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ + sang − qua x x điểm cực đại + Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ − sang + qua x x điểm cực tiểu - Tóm lại muốn hàm số có cực trị x f ' ( x ) phải đổi dấu qua x - Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( x − h; x + h ) , với h Khi đó: f ' ( x ) = +) Nếu x điểm cực đại; f '' ( x ) f ' ( x ) = +) Nếu x điểm cực tiểu f '' ( x ) Quy tắc tìm cực trị a Quy tắc (Dựa vào định lí 1) +B1: Tìm tập xác định +B2: Tính f ' ( x ) Tìm điểm f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định +B3: Lập bảng xét dấu f ' ( x ) +B4: Từ bảng xét dấu suy điểm cực trị b Quy tắc (Dựa vào định lí 2) +B1: Tìm tập xác định +B2: Tính f ' ( x ) giải phương trình f ' ( x ) = nghiệm x i +B3: Tính f '' ( x ) f '' ( x i ) suy tính chất cực trị điểm x i kết luận - Chú ý: Nếu f '' ( x i ) = ta phải dùng quy tắc để xét cực trị - Lưu ý: Hàm trùng phương y = ax + bx + c +) Có cực trị a.b +) Có cực trị a.b Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị hàm số a) y = x − 3x − 9x + b) y = x − 2x + Lời giải a) TXĐ: D = Ta có: y = 3x − 6x − x = y' = 3x − 6x − = x = −1 Bảng biến thiên (xét dấu y ): x y − -1 + + − + Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại điểm x = −1 Hàm số đạt cực tiểu điểm x = b) TXĐ: D = Ta có: y = 4x − 4x ; y'' = 12x − x = y' = x = 1 Ta có: y '' ( ) = −4 x = điểm cực đại y'' (1) = y'' ( −1) = x = x = −1 hai điểm cực tiểu hàm số Ví dụ 2: Tìm m để hàm số a) y = x − 2mx + m x − đạt cực đại x = x − mx + b) y = đạt cực tiểu x = x −1 Lời giải a) TXĐ: D = Ta có: y = 3x − 4mx + m ; y'' = 6x − 4m m = m − 4m + = m=3 y' (1) = m=3 Hàm số đạt cực đại x = − 4m y'' ( ) m 2 Vậy m = b TXĐ: D = \ 1 Ta có: y ' = x − 2x + m − ( x − 1) =1+ m−3 ( x − 1) y '' = − ( m − 3) ( x − 1) y' ( ) = m − = Hàm số đạt cực tiểu x = m=2 − m − ( ) y'' ( ) Vậy m = - Lưu ý: Trong vài tốn tính đạo hàm cấp phức tạp ta thay giá trị m tìm vào hàm số sử dụng cơng cụ y '' cách nhanh chóng Kết > nên m = (t/m) d MTCT để xác định dấu dx Luyện tập Bài Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau: a x − 6x + 9x − b x + 2x − x + 2x + c y = x+2 Bài Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số sau: a y = x − 4x + 1 b y = − x + 2x + 5x − c y = sin x + cos x Bài Tìm m để hàm số: a y = x − 2mx + 3m x − đạt cực đại x = b y = mx + ( m − ) x + có điểm cực trị Bài Tìm m để hàm số y = x + mx + ( 4m − 3) x + có hai điểm cực trị nằm hai phía so với trục tung ... = ta phải dùng quy tắc để xét cực trị - Lưu ý: Hàm trùng phương y = ax + bx + c +) Có cực trị a.b +) Có cực trị a.b Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị hàm số a) y = x − 3x − 9x + b) y... x điểm cực đại + Nếu f '' ( x ) đổi dấu từ − sang + qua x x điểm cực tiểu - Tóm lại muốn hàm số có cực trị x f '' ( x ) phải đổi dấu qua x - Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp... + cos x Bài Tìm m để hàm số: a y = x − 2mx + 3m x − đạt cực đại x = b y = mx + ( m − ) x + có điểm cực trị Bài Tìm m để hàm số y = x + mx + ( 4m − 3) x + có hai điểm cực trị nằm hai phía so với