1 GT12 c3 b1 NGUYEN HAM HS 2022

FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ ⓬ ① Chương Ⓐ NGUYÊN HÀM ▣ Tóm tắt lý thuyết bản: Ghi nhớ  Định nghĩa: Cho hàm số xác định ( khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với với số Định lí: Nếu nguyên hàm hàm số nguyên hàm Nếu nguyên hàm hàm số có dạng Do , với nguyên hàm số họ tất nguyên hàm Ký hiệu Ghi nhớ trên ❷ Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: Tính chất 2: với số khác Tính chất 3: Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số liên tục ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word , hàm số có nguyên hàm WORD XINH FB: Duong Hung Ghi nhớ -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ ❸ Nguyên hàm hàm số đơn giản Nguyên hàm hàm số hợp Hàm số lượng giác Ghi nhớ ❹ ① Phương pháp đổi biến số: Định lý: Cho hàm số xác định có đạo hàm liên tục Khi hàm số nguyên hàm tức Ghi nhớ: hai hàm số có đạo hàm liên tục Ghi nhớ: Cơng thức viết gọn dạng Với ② Phương pháp từn phần: Định lý: Nếu liên tục cho ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung Ⓑ -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ ▣ Phân dạng tốn bản: ① ▣ Định nghĩa, tính chất nguyên hàm Cách giải: ① Định nghĩa: Cho hàm số xác định ( khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với ② Tính chất nguyên hàm với số khác _Bài tập minh họa: Câu 1: Cho biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) A I = F ( x ) − + C B I = F ( x ) − x + C Tìm I =   f ( x ) − 1dx C I = xF ( x ) − x + C D I = xF ( x ) − + C Lời giải Chọn B Ta có I =   f ( x ) − 1dx =  f ( x ) dx −  1dx = F ( x ) − x + C Câu 2: Khẳng định sau khẳng định sai?  A  f ( x ) dx = f ( x ) ( ) B  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx C   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục D x  dx = với k   +1 x với   −1  +1 Lời giải Chọn B Ta có  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k  ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word sai tính chất k  \ 0 WORD XINH FB: Duong Hung Câu 3: -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Mệnh đề sau sai? A Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C B  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k  f ( u ) du = F ( u ) + C số k  ) C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D   f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 2 Lời giải Chọn C Mệnh đề C sai, ví dụ f ( x ) = F ( x ) = x G ( x ) = x + nguyên hàm hàm số f ( x ) mà F ( x )  G ( x ) Câu 4: Nếu  f ( x ) dx = x + ln x + C f ( x ) B f ( x ) = − x + A f ( x ) = x + ln x + C C f ( x ) = − + ln x + C x2 D f ( x ) = + ln x + C x x −1 x2 Lời giải Chọn D x −1 1 x −1 1  Ta có  + ln x + C  = − + = , suy f ( x ) = hàm số cần tìm x x x x x  _Bài tập rèn luyện: Câu 1:Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số xác định liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx B C D  f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx   f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx +  g ( x ) dx  f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx Câu 2:Xét f ( x), g ( x) hàm số có đạo hàm liên tục sau sai? A f ( x)d ( g ( x) ) = f ( x).g ( x) − g ( x).d ( f ( x) ) B C D Phát biểu    ( f ( x) + g ( x) ) dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx  ( f ( x) − g ( x) ) dx =  f ( x)dx −  g ( x)dx  ( f ( x) ) dx = (  f ( x)dx ) 2 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Câu 3:Cho hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) liên tục sai? A B C D Mệnh đề sau  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k số khác  f  ( x ) dx = f ( x ) + C  f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx Câu 4:Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) , g ( x ) Xét mệnh đề sau: ( I ) F ( x ) + G ( x ) nguyên hàm f ( x ) + g ( x ) ( II ) k.F ( x ) nguyên hàm k f ( x ) với k  ( III ) F ( x ) G ( x ) nguyên hàm f ( x ) g ( x ) Các mệnh đề A ( I ) ( III ) C ( II ) ( III ) B (I ) ( II ) D Cả mệnh đề Câu 5:Cho biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) I =   f ( x ) − 1dx A I = F ( x ) − + C B I = F ( x ) − x + C C I = xF ( x ) − x + C D I = xF ( x ) − + C Tìm Câu 6:Khẳng định sau khẳng định sai? A B C (  f ( x ) dx ) = f ( x )  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k    f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục D x  dx =  +1 x với   −1  +1 Câu 7:Cho hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x ) khoảng K A F ( x ) = f  ( x ) B F  ( x ) = f ( x ) C F ( x ) = f  ( x ) D F  ( x ) = f ( x ) Câu 8:Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) , g ( x ) Xét mệnh đề sau: ( I ) F ( x ) + G ( x ) nguyên hàm f ( x ) + g ( x ) ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ ( II ) k.F ( x ) nguyên hàm k f ( x ) với k  ( III ) F ( x ) G ( x ) nguyên hàm f ( x ) g ( x ) Mệnh đề mệnh đề đúng? A ( II ) B C ( I ) ( II ) D ( I) ( I ) , ( II ) ( III ) Câu 9:Mệnh đề sau sai? A Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C B  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k  f ( u ) du = F ( u ) + C số k  ) C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x) = G ( x) D   f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 10:Nếu 1  f ( x ) dx = x + ln x + C A f ( x ) = x + ln x + C C f ( x ) = − + ln x + C x2 Câu 11:Cho f ( x ) f ( x ) = − x + + ln x + C x x −1 D f ( x ) = x B  f ( x ) dx = F ( x ) + C Khi với a  , a , b số ta có  f ( ax + b ) dx A  f ( ax + b ) dx = aF ( ax + b ) + C B C D  f ( ax + b ) dx = a + b F ( ax + b ) + C  f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C  f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C Câu 12:Cho hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Chọn khẳng định sai A  f ( x)dx = f ( x) + C B  f ( x)dx = F ( x) + C C F ( x) = f ( x); x  K D  xf ( x)dx = x  f ( x)dx Câu 13:Hàm số F ( x ) = e x nguyên hàm hàm số A f ( x ) = x3 e x −1 C f ( x ) = 3x e x3 B f ( x ) = ex D ex f ( x) = 3x 3 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Câu 14:Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? A F  ( x ) = f  ( x ) , x  K B C F  ( x ) = f ( x ) , x  K f  ( x ) = F ( x ) , x  K D F ( x ) = f ( x ) , x  K Câu 15:Khẳng định sau sai? A Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x) = G ( x) B C D   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C  f ( u ) du = F ( u ) + C  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k số k  ) Câu 16:Cho hàm số f ( x ) xác định K Khẳng định sau sai? A Nếu f ( x ) liên tục K có ngun hàm K B Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) K F  ( x ) = f ( x ) với x  K C Nếu hàm số F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K hàm số F ( − x ) nguyên hàm f ( x ) K D Nếu hàm số F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K với số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K Câu 17:Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số y = x Giá trị biểu thức F  ( ) A B C D 16 Câu 18:Cho F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) , g ( x ) khoảng K Khẳng định sau đúng? A F  ( x ) = − f ( x ) , x  K B g  ( x ) = G ( x ) , x  K C F  ( x ) + G ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , x  K D F  ( x ) + G ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , x  K Câu 19:Nếu  f ( x ) dx = A f ( x ) = 3x + e x x3 + e x + C f ( x ) bằng: x4 B f ( x ) = + e x 12 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung C f ( x ) = x + e x D -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ x4 f ( x) = + ex Câu 20:Cho hàm số f ( x) xác định K F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K Khẳng định đúng? f ' ( x ) = F ( x ) , x  K A F ' ( x ) = f ' ( x ) , x  K B C F ' ( x ) = f ( x ) , x  K D F ( x ) = f ( x ) , x  K Câu 21:Mệnh đề sai? A  f ( x ) − g ( x )  dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx với hàm f ( x ) , g ( x )    liên tục B   f ( x ) g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx với hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục C f  ( x ) dx = f ( x ) + C với hàm f ( x ) có đạo hàm D    f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục Câu 22:Mệnh đề sau sai? A kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với số k với hàm số f ( x )   liên tục B  f  ( x ) dx = f ( x ) + C với hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục C  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) ; g ( x ) liên tục D  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) ; g ( x ) liên tục Câu 23:Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A dx = x + C ( C số) B   0dx = C ( C số) C  x dx = ln x + C ( C số) D   x dx = x +1 + C ( C số)  +1 Câu 24:Mệnh đề sau sai? A  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với số k với hàm số f ( x ) liên tục B  f  ( x ) dx = f ( x ) + C với hàm số f ( x ) có đạo hàm ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung C   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục D -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+   f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục Câu 25:Khẳng định sau sai? x +1 + C ( C số,  số)  +1 x x B  e dx = e + C ( C số) A   x dx = C  xdx = ln x + C ( C số, x  ) D Mọi hàm số f ( x )  liên tục đoạn  a; b có nguyên hàm đoạn  a; b nguyên hàm f ( x ) = e2 x sin x ( a, b  ) Tính giá trị biểu thức T = a + 2b − 2x Câu 26:Biết F ( x ) = e ( a sin x + b cos x ) + A −1 B C D ( ( ) ) Câu 27:Cho hai hàm số F ( x ) = ax + 3x + b e x f ( x ) = x + 10 x + e x Tính P = a + 3b F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) A −1 B Câu 28:Nếu C  ( x − 2) sin3xdx= − S = a + b + c A S = 15 B S = 10 Câu 29:Nếu ( x − a ) cos3x b C S = 14 + sin3x + 2017 tổng c D S =  f ( x ) dx = x + ln x + C với x  ( 0; + ) hàm số f ( x ) + ln ( x ) x2 1 C f ( x ) = − + x x f ( x) = A D ( 1 + x 2x D f ( x ) = x + 2x f ( x) = − B ) Câu 30:Giả sử F ( x ) = ax − bx + c e x nguyên hàm hàm số f ( x ) = x e Tích abc A −4 x B C −3 D ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung ( Câu 31:Cho F ( x ) = ax + bx + c ) -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ x − nguyên hàm hàm số 10 x − x − 1  khoảng  ; +   Tính S = a + b + c 2x −1   A S = −2 B S = C S = D S = −6 f ( x) = ( ) Câu 32:Cho hai hàm số F ( x ) = ln x + 2mx + f ( x ) = m để F ( x ) nguyên hàm f ( x ) A B − Lờigiải Chọn B Ta có F ' ( x ) = 2 C D − 2x − Định x − 3x + 2 x + 2m x + 2mx + F ( x ) nguyên hàm f ( x ) x + 2m 2x − 3 =  2m = −3  m = − x + 2mx + x − 3x + 2 Câu 33:Cho F ( x ) = x − 2x + nguyên hàm hàm số f  ( x ) − x Hàm số y = f ( x ) có tất điểm cực trị? A B C D Câu 34:Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x Tính F  ( x ) x D F  ( x ) = x + ln x A F  ( x ) = − ln x B F  ( x ) = C F  ( x ) = + ln x Câu 35:Hàm số F ( x ) sau nguyên hàm hàm số f ( x ) g ( x ) , biết F (1) = ,  f ( x ) dx = x + C  g ( x ) dx = x + C2 B F ( x ) = x + A F ( x ) = x + C F ( x ) = x + D F ( x ) = x + Câu 36:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có nguyên hàm hàm số y = F ( x ) Khẳng định sau đúng? A B C D 10  x f ( x ) dx = xF ( x ) + C  f ( x ) dx = F ( x ) + C  x f ( x ) dx = F ( x ) + C  x f ( x ) dx = F ( x ) + C 2 2 2 2 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung B x C x D x -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ x + dx = ( x + x ) x + − 81ln x + x +  + C   x + dx = ( x3 + x ) x + − 81ln x + x +  + C  16  x + dx = ( x + x ) x + − 81ln x − x +  + C   2 Câu 24:Cho F ( x) = x nguyên hàm hàm số x3 f ( x) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) x ln x 2 B − ln x + C A − ln x + C C ln x + C Câu 25: x A B C D D ln x + C ln x dx + ln x 1   + ln x − + ln x  + C 3  1   (1 + ln x)3 − + ln x  + C 3  1   + ln x + + ln x  + C 3  11   + ln x − + ln x  + C 23  Câu 26:Biết f x dx x ln 3x 1 ; C với x Tìm khẳng định khẳng định sau A f 3x dx 3x ln x C B f 3x dx x ln x C C f 3x dx x ln 3x C D f 3x dx x ln x C Câu 27:Nguyên hàm hàm số: y =  (x + x ) ex x + e− x x x A F ( x ) = xe + − ln xe + + C dx x x B F ( x ) = e + − ln xe + + C x −x C F ( x ) = xe + − ln xe + + C x x D F ( x ) = xe + + ln xe + + C 33 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Câu 28:Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x) ( 2ln x + 3) = a b A 20 + C ( a, b  B + ( ln x + 3) = x có dạng ) Khi giá trị biểu thức a C 65 + b2 bằng? D 80 ? + sin x x B F ( x ) = tan 2 D F ( x ) = − x + tan Câu 29:Hàm số nguyên hàm f ( x ) = A F ( x ) = ln (1 + sin x ) x  +  2 4 C F ( x ) = + cot  20 x − 30 x + 3  f x = Câu 30:Biết khoảng  ; +   , hàm số ( ) có 2x − 2  nguyên hàm F ( x ) = ( ax + bx + c ) x − ( a , b , c số nguyên) Tổng S = a + b + c A B Câu 31:Một nguyên hàm A ln ex ( e x − 1) C ln ex −1 ex + C e dx +1 x ( ) x B ln e + − ln D ln Câu 32:Họ nguyên hàm hàm số A ex − ln +C ex + B C ex − ln x +C e +1 D 34 D 2e x ex + ex là: e2 x − 1 ex + ln +C ex − ln e2 x − + C ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung ⑤ -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Phương pháp phần ▣ ❑Cách giải: Định lý: Cho hai hàm số liên tục có đạo hàm liên tục Khi đó: Một số tích phân hàm số dễ phát Đặt u dv Ghi nhớ: đặt P(x) P(x) P(x) lnx P(x) theo quy tắc log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ _Bài tập minh họa: Câu 1: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.e2 x A F ( x) = 2e2 x ( x − ) + C B F ( x) = e x ( x − ) + C 1  C F ( x) = e2 x  x −  + C  2 1  D F ( x) = 2e2 x  x −  + C 2  Lời giải Chọn C du = dx u = x   Đặt  2x 2x v = e d v = e d x   Khi đó: F ( x ) =  x.e2 x dx = Câu 2: 2x 2x 1 1  x.e −  e dx = x.e2 x − e2 x + C = e2 x  x −  + C 2  2 Hàm số sau nguyên hàm hàm số y = ln x ? A y = x ln x − x B y = x + x ln x C y = ln x D y = x Lời giải Chọn A dx , dv = dx  v = x x Vậy  ln xdx = x ln x −  1dx = x ln x − x + C Đặt u = ln x  du = Câu 3: 35 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x sin x là: ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ A F ( x ) = − x cos x + sin x + C B F ( x ) = x cos x + sin x + C C F ( x ) = − x cos x − sin x + C D F ( x ) = x cos x − sin x + C Lời giải Chọn A Ta có: I =  f ( x ) dx =  x sin x dx u = x  du = dx Đặt  Ta có  dv = sin x dx v = − cos x I =  f ( x ) dx =  x sin x dx = − x cos x +  cos x dx = − x cos x + sin x + C Câu 4: Một nguyên hàm  ( x − ) sin 3xdx = − ( x − a ) cos 3x + sin 3x + 2017 b B S = 14 A S = 10 c C S = 15 tổng S = a.b + c D S = Lời giải Chọn C I =  ( x − ) sin 3xdx Đặt u = x −  du = dx dv = sin 3xdx ; chọn v = Ta có I = − − cos x ( x − ) cos 3x + ( x − ) cos 3x − sin 3x + C − cos 3x d x = −  3 Từ suy a = 2, b = 3, c = Vậy S = a.b + c = 15 _Bài tập rèn luyện: ( ) 3x Câu 1:Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − e C x − e3 x ( x − 1) + C A x + e2 x ( x + 1) + C D x − e3 x ( x + 1) + C B x − e x ( x − 1) + C Câu 2:Kết I =  xe x dx x2 x x e +e +C x2 x e +C C I = A I = Câu 3:Biết 36  xe 2x B I = e + xe + C x x D I = xe − e + C x x dx = axe2 x + be2 x + C ( a, b  ) ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word Tính tích ab WORD XINH FB: Duong Hung 1 B ab = 4 A ab = − -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ 1 C ab = − D ab = 8 Câu 4:Nguyên hàm F ( x ) hàm số ( x − ) sin 3x A F ( x ) = − ( x − ) cos 3x + sin 3x + C 3 ( x − ) cos 3x + sin 3x + C B F ( x ) = ( x + ) cos 3x + sin 3x + C C F ( x ) = − ( x − ) cos 3x + sin 3x + C D F ( x ) = −  ( ax + b ).e dx = ( − x ) e x Câu 5:Biết S = a +b A S = B S = x + C , với a, b số thự Tìm C S = D S = 1 Câu 6:Cho biết F ( x ) = x3 + x − nguyên hàm x f ( x) (x = + a) x2 Tìm nguyên hàm g ( x ) = x cos ax 1 x sin x + cos x + C 1 C x sin x − cos x + C A B x sin x − cos x + C D x sin x + cos x + C Câu 7:Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = − C F ( x ) = Câu 8:Tìm ( ln x + 1) x ( ln x + 1) x ln 2x ? x2 ( ln x − 1) x D F ( x ) = − (1 − ln x ) x B F ( x ) = −  x cos xdx 1 1 x sin x + cos2 x + C B x sin x + cos x + C 2 1 x sin x − cos x + C D x sin x + cos x + C C A Câu 9:Tính F ( x) =  x sin xdx Chọn kết đúng? B F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C A F ( x) = − (2 x cos x + sin x) + C 37 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ (2 x cos x − sin x) + C D F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C C F ( x) = ( ) Câu 10:Biết F ( x ) = ax + bx + c e x nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + x + ) e x Giá trị 2a + 3b + c A 13 B C 10 D Câu 11:Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = 0, f  ( x ) = hàm số g ( x ) = x f ( x ) ( ) A x ln x + − x C (x B + 1) ln ( x + 1) − x Câu 12:Biết S = a +b A S = D (x (x  ( ax + b ) e dx = ( − x ) e x + 1) ln ( x + 1) − x + C + 1) ln ( x ) − x + C x + C , với a, b số thự Tìm D S = C S = B S = x Họ nguyên hàm x +1 2  ln x   dx  ln x +  Câu 13:Tìm nguyên hàm   4x +C ln x + x C I = x + +C ln x + A I = x −  4x +C ln x + x D I = x + +C ln x + B I = x + Câu 14: x cos xdx A x sin x + cos x + C x cos x + C C B x sin x − sin x + C x2 sin x + C D Câu 15:Cho hàm số f ( x ) , biết f  ( x ) = xe + , f ( ) = Khi f (1) x A B  C e + D e + x Câu 16: x.e dx x A ( x + 3) e + C x C ( x − 3) e + C B ( x + 3) e x +C x D ( x − 3) e + C Câu 17:Tìm nguyên hàm I =  x cos xdx 38 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung x +C C I = x sin x + cosx + C -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ x +C D I = x sin x − cosx + C B I = x s in A I = x cos Câu 18:Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.ln x thỏa mãn Tìm F ( x ) x2 + A F ( x ) = x ln x − x2 x2 ln x − + C F ( x ) = F (1) = Câu 19:Biết x2 x2 ln x − + 2 x x2 ln x + + D F ( x ) = B F ( x ) = x  ( 3x − 1) e dx = a + be với a , b số nguyên Giá trị a + b A 10 B 16 Câu 20:Biết C D 12  x cos xdx = ax sin x + b cos x + C với a , b số hữu tỉ Tính tích ab 1 A ab = B ab = 1 C ab = − D ab = − Câu 21:Nguyên hàm F ( x ) = x ln x dx có kết  x ln x − x + C 16 4 B F ( x ) = x ln x − x + C 16 C F ( x ) = x ln x − x + C 16 4 x +C D F ( x ) = x ln x + 16 A F ( x ) = Câu 22:Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 3) ln x x2 + 3x + C x2 x + x ln x + − 3x + C B ( ) x2 − 3x + C C ( x + x ) ln x − x2 + 3x + C D ( x + x ) ln x − A ( x2 + 3x ) ln x + Câu 23:Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 1) e x 39 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung x x A x e -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ x B e C xe D (x x − 1) e x Câu 24:Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe xe x +C x C ( x − 1) e + C B xe x + C A D ( x + 1) e x + C  Câu 25: x ln xdx x2 x2 ln x − + C x x2 +C D − ln x + 2 x x2 ln x + + C x x2 ln x − + C C A B Câu 26:Phát biểu sau đúng? x x x A  e sin xdx = e cos x −  e cos xdx B C D  e sin xdx = −e cos x +  e cos xdx  e sin xdx = e cos x +  e cos xdx  e sin xdx = −e cos x −  e cos xdx x x x x x x x x x Câu 27:Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = ln x A x ln x − x + c C x ln x + x ln x + x + c B x ln x + x + c D x ln x − x ln x + x + c x Câu 28:Tìm họ nguyên hàm F ( x ) = x e dx  ( ) F ( x ) = ( x − 2x + 2) e + C F ( x ) = ( x − x + 2) e + C F ( x ) = ( x + 2x + 2) e + C A F ( x ) = x − x − e + C B C D x x 2 x x Câu 29:Cho a số thực dương Biết F ( x ) nguyên hàm 1  1 hàm số f ( x ) = e x  ln ( ax ) +  thỏa mãn F   = F ( 2018 ) = e2018 x  a Mệnh đề sau đúng?   A a   2018; + ) B a   ;1  2018    C a   0; D a  1; 2018 )  2018  40 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung Câu 30:Tính x ln ( x + 1)  ( x + 1) x ln ( x + 1) A  ( x + 1) B  ( x + 1) C  ( x + 1) x ln ( x + 1) x ln ( x + 1) x ln ( x + 1)  ( x + 1) D Câu 31:Cho F ( x ) = -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ dx dx = − dx = x ln ( x + 1) + ln ( x + 1) + +C x +1 x +1 x ln ( x + 1) − ln ( x + 1) − ln ( x + 1) − +C x +1 x +1 dx = − x ln ( x + 1) + ln ( x + 1) + ln ( x + 1) + +C x +1 x +1 x ln ( x + 1) x dx = − + +C x +1 a ( ln x + b ) nguyên hàm hàm số x + ln x , a , b Tính S = a + b x2 A S = −2 B S = C S = D S = f ( x) = Câu 32:Cho hàm số f ( x ) có f (1) = e f  ( x ) = 2x −1 2x e , x  Khi x2 ln  xf ( x ) dx A − e B − e2 C − e D − e2 f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên x 2x hàm hàm số f  ( x ) ln x Câu 33:Cho F ( x ) =  ln x  + +C x2 x2    ln x B  f  ( x ) ln xdx = −  +  + C 2x   x ln x C  f  ( x ) ln xdx = + + C x x ln x D  f  ( x ) ln xdx = + + C x 2x A 41  f  ( x ) ln xdx = −  ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung ⑥ -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ ▣ Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn (*) ❑Cách giải: Sử dụng phối hợp tính chất phương pháp tìm nguyên hàm _Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn y ' = x y f (−1) = f (2) bao nhiêu? A e + B e2 C 2e D e3 Lời giải Chọn D Ta có y ' = x y  y' = x2 y Lấy nguyên hàm hai vế ta đượC  f (−1) =  ln = ln f (2) = Câu 2: y' x3 dx =  x dx   dy =  x dx  ln y = + C y y −1 +C C = 3 23 + =  f (2) = e3 3 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn f  ( x ) + x f ( x ) = e− x x  f ( ) = Tính f (1) B f (1) = e A f (1) = e C f (1) = −1 e D f (1) = Lời giải Chọn A Ta có: f  ( x ) + x f ( x ) = e − x 2 Nhân hai vế cho e x ta e x f  ( x ) + x.e x f ( x ) = e x e − x 2 2   e x f ( x )  =      e x f ( x )  dx =  dx    ex f ( x ) = x + C  f ( x) = 42 x+C ex ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH e2 FB: Duong Hung Ta có: f ( ) = nên f ( ) = -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ 0+C =0C =0 e0 Vậy f (1) = e Câu 3: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' (x ) + xf (x ) = e x f (x ) với f ( x )  ,x f (0 ) = Khi f (1) A e e+1 B e + D e − C e e − Lời giải Chọn C Ta có f ' (x ) + xf (x ) = e x f (x )   f ( x) f ( x) + 2x = ex  = ex − 2x f ( x) f ( x) f ( x) dx =  ( e x − x ) dx  ln f ( x ) = e x − x + C f ( x) f (0 ) =  ln f ( ) =  + C =  C = −1 Vậy ln f ( x ) = e x − x − Suy ln f (1) = e −  f (1) = ee − _Bài tập rèn luyện: Câu 1:Cho F ( x ) = f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm x 2x hàm số f ' ( x ) ln x   ln x + +C x 2x  ln x B  f ' ( x ) ln xdx = + + C x 2x ln x   C  f ' ( x ) ln xdx = −  +  + C x   x ln x D  f ' ( x ) ln xdx = + + C x x  f ' ( x ) ln xdx = −  A Câu 2:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( 0; +  ) thỏa mãn    f ( x ) = x sin x + f ' ( x )  + cos x f   = Giá trị f ( ) 2 A −1 +  B +  C −1 +  D +  Câu 3:Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 43 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung   f ( x )  0, x   x  f  ( x ) = −e f ( x ) , x    f ( 0) =  Tính giá trị f ( ln ) A ln + B -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ C D ln 2 + Câu 4:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn điều kiện f ( ) = Giá trị biểu thức f ( ln 3) f  ( x ) = f ( x ) + x + , x  A + ln B + ln C − ln Câu 5:Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( 0) = 2, f ( x )  0, x  D − ln thỏa mãn điều kiện f ( x ) f  ( x ) = ( x + 1) + f ( x ) , x  Tính giá trị f (1) A 26 Câu 6:Biết B 15 C D 23 1   f ( x ) dx = x ln ( 3x − 1) + C với x   ; +  Tìm khẳng định khẳng định sau?  f ( 3x ) dx = x ln ( x − 1) + C  f ( 3x ) dx = 3x ln ( x − 1) + C  f ( 3x ) dx = x ln ( x − 1) + C  f ( 3x ) dx = x ln ( 3x − 1) + C A B C D Câu 7:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai ( 0; + ) thỏa mãn xf  ( x ) − f ( x ) = x x cos x, x  ( 0; + ) ; f ( 4 ) = Giá trị biểu thức f ( 9 ) là: A −2  C −3  B Câu 8:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm D −  \ 0 thỏa mãn f  ( x ) + f ( x) = x2 x 3  2 f (1) = −1 Giá trị f  A 24 44 B 96 C 64 D 48 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Câu 9:Cho hàm số f ( x) liên tục khoảng ( −;0 ) ; ( 0; + ) Biết f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm x 2020 x 2020 hàm số f  ( x ) ln x F ( x) = − ln x +C 2020 x 2020 ln x +C B  f  ( x ) ln xdx = 2020 − x 2020 x 2020 ln x +C C  f  ( x ) ln xdx = − 2020 + x 2020 x 2020 ln x +C D  f  ( x ) ln xdx = − 2020 − x 2020 x 2020  f  ( x ) ln xdx = x A 2020 + Câu 10:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định trê f ' ( x ) + x − x.e x − f ( x )− 2019 thỏa mãn f ( ) = −2019 Số nghiệm nguyên bất = phương trình f ( x )  A 44 B 91 Câu 11:Cho hàm số y C 46 f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục thỏa mãn f 0; Tính f 1 f 15 x 2x f2 x x 0; f f 30 A D 45 B 11 15 11 30 C D 15   Câu 12:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục đoạn 1;e thỏa mãn f (1) = 1 x f  ( x ) = xf ( x ) − f ( x ) + , x  1; e  Giá trị f ( e ) x A 3e B 3e 4e C D 3e Câu 13:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục f ( x )  , x  Biết f ( ) = và thỏa mãn f '( x) = − x Tìm giá trị thực f ( x) tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm thực phân biệt A m  e B  m  C  m  e D  m  e ; thỏa mãn f ( ) = Câu 14:Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương f ( x) x Khi hiệu T = f 2 − f (1) thuộc khoảng = f ( x) x +1 ( A ( 7;9 ) 45 B ( 0;1) C ) ( 9;12 ) D ( 2;3) ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ Câu 15:Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; + ) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f  ( x ) 3x + , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f ( )  B  f ( )  D  f ( )  C  f ( )  Câu 16:Cho hàm số f ( x ) liên tục Biết x3 + x nguyên hàm x x hàm số f ( x ) e , họ tất nguyên hàm của hàm số f  ( x ) e B − x3 + x + x + C D x3 − x − x + C A x3 − x + x + C C − x3 + x − x + C Câu 17:Cho hàm số f ( x ) liên tục Biết sin x nguyên hàm hàm số f ( x ) cos x , họ tất nguyên hàm hàm số f  ( x ) sin x A −2sin3 x + C C 4sin x + C B 2sin x + C D 3sin x + C Câu 18:Cho hàm số f ( x )  có đạo hàm liên tục f ( x) , thỏa mãn  ln  f ( ) =  ( x + 1) f  ( x ) =  Giá trị f ( 3) x+2   2 A ( ln − ln ) B ( ln − ln ) 2 C ( ln − ln ) D ( ln − ln ) Câu 19:Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn 0;4 thỏa mãn  f ( x )  x   0;4 f ( x)  f  ( x ) f ( x ) +  =  f  ( x )  với Biết ( x + 1) f ( 0) = f ( 0) = A e2 + , giá trị B e2 f ( 4) C 2e D e3   Câu 20:Cho hàm số f ( x ) đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai 0;2 thỏa mãn điều kiện sau  f ( x )  − f ( x ) f  ( x ) +  f  ( x )  = Biết 2 f ( ) =1; f ( ) = e6 Khi f (1) A e2 B e e C e3 D e2 e Câu 21:Cho hàm số đa thức f ( x ) liên tục ( 0; + ) thỏa mãn 3x f ( x ) − x f  ( x ) = f ( x ) , f ( x )  x  ( 0; + ) f (1) = 46 ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word Gọi M , m WORD XINH FB: Duong Hung -Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+ giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn 1; 2 Tính M + m A 21 10 B C D 10 Câu 22:Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 0; + ) ; y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; + ) thỏa mãn f ( 3) = Mệnh đề đúng? A 2616  f (8)  2617 C 2618  f (8 )  2619 2  f ' ( x )  = ( x + 1) f ( x ) B 2614  f (8)  2615 D 2613  f ( )  2614   Câu 23:Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm đoạn  0;  , thỏa mãn  2   f ( 0) = f ( x ) f  ( x ) = cos x + f ( x ) , x   0;  Tìm giá trị nhỏ  2    m giá trị lớn M hàm số f ( x ) đoạn  ;  6 2 A m = , M = 2 C m = , M =3 B m = 21 , M =2 2 D m = , M= Câu 24:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f  ( ) = f  ( x ) +  f  ( x ) − x  = Tính T = f (1) − f ( ) A T = − 9ln B T = + 9ln C T = D T = + ln Câu 25:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục 1; 4 thỏa mãn f (1) = 26 f ( x ) = x f  ( x ) − x3 − x Tính giá trị f ( ) A 404 C 400 B 2022 D 2020 Câu 26:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục nhận giá trị dương  1 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( ) = f  ( x ) − xf ( x ) = x f ( x ) 1 Tính f   2 A 47 B C D ◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word WORD XINH ...   x ? ?1  C   +C 11  x +  Câu 12 :Kết x  1? ?? x dx 1 − x2 B +C Câu 13 :Họ nguyên hàm ? ?1 +C − x2 D − ln − x + C − x2 + C C 11 10  x ? ?1  A   +C 10  x +  A 12  x x + 1dx ( x + 1) + C... ? ?1 ln (1 − x ) + C2 khi x ? ?1 x ? ?1 F ( ) =  ln + C1 =  C1 = − ln = − ln F ( ) =  ln1 + C2 =  C2 = Do đó: F ( x ) =  ln ( x − 1) + − ln dx =  ln (1 − x ) + x ? ?1  x ? ?1 x ? ?1 F ( ? ?1) ...  I= Câu 2: du = x 3dx 16 u 5du 16  Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( x + 1) A B ( x + 1) + C 10 x + 1) + C ( 20 10 C 10 x + 1) + C ( D 10 x + 1) + C ( 10 Lời giải Chọn A Ta có Câu