Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1: (2,0 điểm) a a a 1 a2 a a a 1 a a a a a a Cho biểu thức: với a 0, a a) Chứng minh M N M nhận giá trị b) Với giá trị a biểu thức nguyên? M Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5 x , y x y mx có đồ thị lần d1 , d ( m ) Với giá trị lượt đường thẳng d d tham số m đường thẳng ( m ) cắt hai đường thẳng hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I (1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N ; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q 1 OM ON Câu 3: (2,0 điểm) 17 x y 2011 xy x y 3xy a) Giải hệ phương trình: b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x yz zx y 3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt C điểm đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM AN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 20102011 Câu 1: (2,0 điểm) a a a 1 a2 a a a 1 a a a a a a Cho biểu thức: với a 0, a a) Chứng minh M N M nhận giá trị b) Với giá trị a biểu thức nguyên? M Lời giải a) Do a 0; a nên: a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) ( a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a ) a (1 a) a a 1 M 2 a Do a 0; a nên: ( a 1) a a M a 24 a 0 N b) Ta có nguyên M N nhận giá trị a 1 a a Mà N = a a ( a 2) a hay a (phù hợp) Vậy N nguyên a (2 3) Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5 x , y x y mx có đồ thị lần d1 , d ( m ) Với giá trị lượt đường thẳng d d tham số m đường thẳng ( m ) cắt hai đường thẳng hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I (1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com M tung độ N ; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức 1 Q OM ON Lời giải a) Điều kiện để ( m ) đồ thị hàm số bậc m d ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm m là: 0,5 x mx (m 0,5) x m 0,5 hay m 0,5 Điều kiên để phương trình có nghiệm âm d ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm m là: x mx (m 1) x m hay m 1 Điều kiên để phương trình có nghiệm dương Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m b) Đặt M xm n y N m.n m 1 (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M , I , N có dạng: y ax b 0 am b 2 a b n b hệ thức liên hệ m n 2m n mn 1 Chia hai vế cho m.n ta được: m n (**) 4 1 2 1 m n mn m n m n m n 1 2 ; ; m n dấu “=” xảy m n kết hợp (**): m 5, n 2,5 (thỏa (*) Q Vậy giá trị nhỏ Q Câu 3: (2,0 điểm) 17 x y 2011 xy x y 3xy a) Giải hệ phương trình: b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x yz zx y 3 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 17 1007 x y x 2011 y 490 (1) 1 490 y y x 1007 (phù hợp) x a) Nếu xy 17 1004 y x 2011 y (1) xy 1031 3 y x x xy 18 Nếu (loại) Nếu xy (1) x y (nhận) KL: Hệ có nghiệm 0;0 ; 490 1007 b) Điều kiện x 0; y z 0; z x y z x (2) x y z z x x y z z x 2 ( x 1) ( y z 1) ( z x 1) x 1 y z 1 z x 1 x y z (thỏa điều kiện) Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt C điểm đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM AN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng MN BF BC NF A trực tâm tam giác BNF FA NB Lại có AE NB Nên A, E , F thẳng hàng Chứng minh tích AM AN không đổi · · CAN MAB , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng AN AC Suy ra: AB AM C ) Hay AM AN AB AC 2 R không đổi (với R bán kính đường trịn c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn BA Ta có NF (3) Mặt khác: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu BC nên A trọng tâm tam giác BNF C trung điểm · · CAN CFM , nên hai tam giác CNA # CBF word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CN AC CN CF BC AC 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: NF CN CF CN CF 2 R không đổi Nên: NF ngắn CN = CF C trung điểm NF (4) (3) (4) cho ta: A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Câu 5: (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Đặt: Lời giải S 1 .2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 S 3.4.5.6.7.8.11.12 100 hai chữ số tận S 00 (1) số nguyên Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải S 1 , để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy 100 có chữ số tận (vì 3.4 12; 2.6 12; 2.7 14; 4.8 32; 2.9 18; 8.11 88; 8.12 96 ) Vậy ba chữ số tận S 600 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 20102 011 Câu 1: (2,0 điểm)... Website:tailieumontoan.com 17 1007 x y x 2 011 y 490 (1) 1 490 y y x 1007 (phù hợp) x a) Nếu xy 17 1004 y x 2 011 y (1) xy 1031... ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Đặt: Lời giải S 1 .2.3.4.5.6.7.8.9.10 .11. 12 S 3.4.5.6.7.8 .11. 12 100 hai chữ số tận S 00 (1) số nguyên Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa