Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1: (5,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n n n khơng chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n cho n 17 số phương Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 2 x b) Giải hệ phương trình: 2 x y x y x y Câu 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x x2 1 Câu 4: (4,5 điểm) O Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Các đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH BE CH CF BC K O b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B C ) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E , đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1: (5,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n n n khơng chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n cho n 17 số phương Lời giải 2 3 a) *) Nếu n 3 n n 3 nên n n (1) n 23 n n 3 *) Nếu n (2) 3 Từ (1) (2) n Z n n (m N ) 2 b) Đặt m n 17 m n 17 (m n)(m n) 17 1.17 =17.1 m n 17 m n m n m n Do m 9 n 8 2 Vậy với n 8 ta có n 17 64 17 81 9 Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 2 x 2 x y x y x y2 b) Giải hệ phương trình: Lời giải a) Giải phương trình x x 2 x Điều kiện: x +3 0 x - (1) 2 (1) x x +5-2 2x +3 0 x x +1+2x +3-2 2x +3 0 ( x 1) ( x+3 1) 0 x 0 x x +3 0 2 x +3=1 x thỏa mãn điều kiện Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y x 1 2y + x y b) Giải hệ phương trình: 2 Trừ vế phương trình ta có: x y x y ( x y )( x y 1) 0 x y x y x y 0 x 1 y Ta có: x y x ( x 3) *) Vậy x; y x y x 0 x 3 0; ; 3;3 x 1 y x 1 y x 1 y 2 2 x + y = x y y (1 y ) y y 1 0 *) (*) Vì phương trình y y 0 vơ nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm x; y 0;0 ; 3;3 Câu 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x x2 1 Lời giải : Ta có: A 4x x 4x x 1 x2 1 A ( x 2) x2 1 Dấu "=" xảy x 0 x Vậy Amin x Câu 4: (4,5 điểm) O Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn Các đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH BE CH CF BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com K O b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh Lời giải A E F B H O C I K a) Chứng minh BH BE CH CF BC Gọi I giao điểm AH BC AI BC BHI # BCE g , g BH BI BH BE BC.BI BC BE (1) CHI # CBF g , g CH CI CH CF BC.CI CB CF (2) Ta có: Ta có: BH BE CH CF BC BI CI BC Từ (1) (2) suy b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K O Gọi K điểm đối xứng H qua BC suy HCB KCB Mà FAI HCI (do tứ giác AFIC nội tiếp) AI BCK F hay BAK BCK O K O tứ giác BACK nội tiếp đường tròn ( Câu 5: (2,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B C ) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E , đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định Lời giải + Khi BAC 90 BIC 90 F trùng với B, E trùng với C lúc EF đường kính EF qua điểm O cố định B F O I K C E A + Khi BAC 90 BIC 90 Gọi K điểm đối xứng I qua EF IF E AF E (cùng bù BIC ) IF EKF E (Do I K đối xứng qua EF ) AF EKF E AKFE nội tiếp AB K EF K (cung chắn KF ) (1) K EF IEF (Do I K đối xứng qua EF ) (2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BIK IEF (cùng phụ KIE ) (3) Từ (1), (2), (3) KAB BIK AKBI tứ giác nội tiếp K (O) Mà EF đường trung trực KI E , O, F thẳng hàng + Khi BAC 90 BIC 90 chứng minh tương tự Vậy đường thẳng EF qua điểm O cố định …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC