Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011-2012 Câu 1: (4,0 điểm) 3 a) Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt S a1 a2 an P a1 a2 an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho 6 b) Cho A n n 2n 2n (với n N , n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương Câu 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x 1 3 x x y 3 y 3 z z x 3 b) Giải hệ phương trình: Câu 3: (4,5 điểm) 1 4 a) Cho x 0, y 0, z x y z 1 1 x y z x y z x y 2z Chứng minh rằng: 2011 2011 2011 3 b) Cho x 0, y 0, z thỏa mãn x y z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: M x y z Câu 4: (4,5 điểm) O , H trực Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A ( M không trùng với B C ) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N , H , P thẳng hàng 1 BOC 120 b) Khi , xác định vị trí điểm M để MB MC đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B C ) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E , đường Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số Liên hệ tài 039.373.2038 word liệu mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 20112012 Câu 1: (4,0 điểm) 3 a) Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt S a1 a2 an P a1 a2 an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho 6 b) Cho A n n 2n 2n (với n N , n 1) Chứng minh A khơng phải số phương Lời giải a a a 1 a a 1 Với a Z tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Mà 2;3 1 a a 6 S P a12 a1 a23 a2 an3 an 6 Vậy S 6 P 6 n n 2n3 2n n (n 1) (n 2n 2) với n N , n > n 2n (n 1) > (n 1) n 2n n 2( n 1) n 2 2 Vậy (n 1) n 2n n n 2n không số phương đpcm Câu 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x 1 3 x x y 3 y 3 z z x 3 b) Giải hệ phương trình: Lời giải a) 10 x 3( x 2) 10 ( x 1)( x x 1) 3( x 2) điều kiện x Ta có : Đặt (a 0) ; x a x x b b a 3b (a 3b)(3a-b) = b 3a Ta có: 10ab 3a 3b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Trường hợp1: a 3b Ta có: x 3 x x (1) x x x x 10 x 0 Trường hợp 2: b 3a Ta có: x x x 9( x 1) x x x1 5 33 (TM ) x2 5 33 (TM ) x 10x-8 = Vậy phương trình có nghiệm x 5 33 ' 25 9.8 phương trình 1 vơ nghiệm b) x y 3 y 3 z z x 3 1 2 3 3x x thay vào (2) xy 8 x y (4) Từ (3) Từ (1) xy 3 y 3xy 9 y (5) Từ (4) (5) x y 9 y x y Chứng minh tương tự : y z z Từ x y z Thay vào (1) x x 3 x 3x+1 = x 3 hệ có nghiệm Câu 3: x y z 3 (4,5 điểm) 1 4 x 0, y 0, z x y z a) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 x y z x y z x y 2z Chứng minh rằng: 2011 2011 2011 3 b) Cho x 0, y 0, z thỏa mãn x y z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: M x y z Lời giải 1 a) Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x, y ) 1 1 1 Ta có: x y z x y z ; y z y 4z 1 1 2x y z 2x y 4z Suy ra: 1 1 Tương tự: x y z x y z 1 1 ( ) x y z 4 x y 2z Từ (1),(2),(3) (1) (2) (3) 1 1 1 ( ) 2x y z x y z x y 2z x y z 1 1 2x y z x y z x y 2z Dấu "=" xảy x y z 2011 2011 b) Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x , x 2009 số ta có: 2011 2011 2011 2011 x x 1 1 2011 ( x ) 2009 C / S x 2011 2009 2011x (1) 2011 Tương tự: y 2009 2011 y 2z 2011 Từ (1), (2), (3) 2009 2011z (2) x2 y2 z (3) 2( x 2011 y 2011 z 2011 ) 3.2009 2011 x y z 3 Giá trị lớn M x y z 1 Câu 4: (4,5 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O , H trực Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A ( M không trùng với B C ) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N , H , P thẳng hàng 1 BOC 120 b) Khi , xác định vị trí điểm M để MB MC đạt giá trị nhỏ Lời giải A O E P I H N B C F M a) Chứng minh ba điểm N , H , P thẳng hàng Gọi giao điểm BH với AC E , AH với BC F , CH với AB I HECF tứ giác nội tiếp AHE ACB (1) Mà ACB AMB ( góc nội tiếp chắn cung) Ta có: AMB ANB (Do M , N đối xứng AB ) (2) Từ (1), (2) AHBN tứ giác nội tiếp NHB NAB (*) Mà NAB MAB (Do M , N đối xứng AB ) (**) Từ (*), (**) NHB BAM Chứng minh tương tự: PHC MAC PHC BAM MAC BAC NHB Mà BAC IHE 180 NHB PHC BHC 1800 ( IHE BHC ) N , H , P thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 BOC 120 b) Khi , xác định vị trí điểm M để MB MC đạt giá trị nhỏ Gọi J điểm cung lớn BC BOC 1200 BJC Trên đoạn JM lấy K cho MK MB JKB CMB J O K C B M BM MC JM 1 BM MC BM MC 1 BM MC JM JM lớn JM đường kính O lúc M điểm cung nhỏ BC Câu 5: 1 Vậy BM MC nhỏ M điểm cung nhỏ BC (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B C ) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E , đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định Lời giải + Khi BAC 90 BIC 90 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com F trùng với B, E trùng với C lúc EF đường kính EF qua điểm O cố định B F O I K C E A + Khi BAC 90 BIC 90 Gọi K điểm đối xứng I qua EF IF E AF E (cùng bù BIC ) IF EKF E (Do I K đối xứng qua EF ) AF EKF E AKFE nội tiếp AB K EF K (cùng chắn KF ) (1) K EF IEF (Do I K đối xứng qua EF ) (2) BIK IEF ( phụ KIE ) (3) Từ (1), (2), (3) KAB BIK AKBI tứ giác nội tiếp K (O ) Mà EF đường trung trực KI E , O, F thẳng hàng + Khi BAC 90 BIC 90 chứng minh tương tự Vậy đường thẳng E F qua điểm O cố định …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC