Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1: (2,0 điểm) a 1 a a a2 a a a a a a a a a Cho biểu thức: với a 0, a 1 a) Chứng minh M N M nhận giá trị b) Với giá trị a biểu thức nguyên? M Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5 x , y 6 x y mx có đồ thị lần d1 , d ( m ) Với giá trị lượt đường thẳng d d tham số m đường thẳng ( m ) cắt hai đường thẳng hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I (1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ M tung độ N ; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q 1 OM ON Câu 3: (2,0 điểm) 17 x y 2011 xy x y 3 xy a) Giải hệ phương trình: b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x y z z x y 3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt C điểm đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM AN không đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số ngun dương ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 20102011 Câu 1: (2,0 điểm) a 1 a a a2 a a a a a a a a a Cho biểu thức: với a 0, a 1 a) Chứng minh M N M nhận giá trị b) Với giá trị a biểu thức nguyên? M Lời giải a) Do a 0; a 1 nên: a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) ( a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a ) a (1 a ) a M Do a 1 2 a a 0; a 1 nên: ( a 1) a a M a 4 a 0N b) Ta có nguyên Mà M N nhận giá trị a 1 N = a 1 a a a 0 ( a 2) 3 a 2 hay a 2 (phù hợp)phù hợp) Vậy N nguyên a (2 3) Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5 x , y 6 x y mx có đồ thị lần d1 , d ( m ) Với giá trị lượt đường thẳng d d tham số m đường thẳng ( m ) cắt hai đường thẳng hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I (1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com M tung độ N ; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức 1 Q OM ON Lời giải a) Điều kiện để ( m ) đồ thị hàm số bậc m 0 d Phương trình hồnh độ giao điểm ( m ) là: 0,5 x mx ( m 0,5) x 3 m 0,5 hay m 0,5 Điều kiên để phương trình có nghiệm âm d Phương trình hoành độ giao điểm ( m ) là: x mx ( m 1) x 6 m hay m Điều kiên để phương trình có nghiệm dương Vậy điều kiện cần tìm là: m 0,5; m 0 b) Đặt M xm n yN m.n 0 m 1 (phù hợp)*) Nên đường thẳng qua ba điểm M , I , N có dạng: y ax b 0 am b a b n b hệ thức liên hệ m n 2m n mn 1 Chia hai vế cho m.n 0 ta được: m n 4 1 2 1 5 m n mn m n m n m n (phù hợp)**) 1 2 ; ; m n dấu “=” xảy m n kết hợp (phù hợp)**): m 5, n 2,5 (phù hợp)thỏa (phù hợp)*) Q Vậy giá trị nhỏ Q Câu 3: (2,0 điểm) 17 x y 2011 xy x y 3 xy a) Giải hệ phương trình: b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x y z z x y 3 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 17 y x 2011 (1) 3 y x a) Nếu xy 17 y x 2011 (1) 3 y x Nếu xy 1007 y x 490 490 y 1007 (phù hợp)phù hợp) x 1004 y xy 1031 x 18 (phù hợp)loại) Nếu xy 0 (phù hợp)1) x y 0 (phù hợp)nhận) KL: Hệ có nghiệm 0; ; 490 1007 b) Điều kiện x 0; y z 0; z x y z x (phù hợp)2) x y z z x x y z z x 2 ( x 1) ( y z 1) ( z x 1) 0 x 1 y z 1 z x 1 x 1 y 3 z 2 (phù hợp)thỏa điều kiện) Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt C điểm đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM AN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com F M C A B O (C ) E N a) Chứng minh điểm A, E , F thẳng hàng MN BF BC NF A trực tâm tam giác BNF FA NB Lại có AE NB Nên A, E , F thẳng hàng Chứng minh tích AM AN không đổi CAN MAB , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng AN AC Suy ra: AB AM C ) Hay AM AN AB AC 2 R không đổi (phù hợp)với R bán kính đường trịn c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn BA BC Ta có nên A trọng tâm tam giác BNF C trung điểm NF (phù hợp)3) Mặt khác: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu CAN CFM , nên hai tam giác CNA # CBF word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CN AC CN CF BC AC 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2 R không đổi Nên: NF ngắn CN = CF C trung điểm NF (phù hợp)4) (phù hợp)3) (phù hợp)4) cho ta: A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Câu 5: (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Đặt: Lời giải S 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 S 3.4.5.6.7.8.11.12 100 hai chữ số tận S 00 (phù hợp)1) số nguyên Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải S 1 , để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy 100 có chữ số tận (phù hợp)vì 3.4 12; 2.6 12; 2.7 14; 4.8 32; 2.9 18; 8.11 88; 8.12 96 ) Vậy ba chữ số tận S 600 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC