Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức Bài M 3a 9a a 1 a 2 a a 2 a a với a 0; a a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm tất giá tị nguyên a để biểu thức M nhận giá trị nguyên (2,0 điểm) a) b) Bài KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI : TỐN Thời gian làm : 150 phút Giải phương trình x x 1 x x 1 Giải hệ phương trình x xy xz 48 xy y yz 12 xz yz z 84 (2,0 điểm) a 12 42 432 2016 thõasè a) Cho có chữ số hàng đơn vị b 12 2.432 42 42 4 3016 thõa sè Chứng minh a b Cho hàm số y ax a với a tham số, a a 1 Tìm tất giá trị tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số đạt giá trị lớn b) Bài O Trên cung nhỏ BC (3,5 điểm) Cho trước tam giác ABC nội tiếp đường tròn M ; MB cắt đoạn thẳng AM D lấy điểm M tùy ý Đường tròn a) Chứng minh tam giác BDM tam giác b) Chứng minh rằng: MA MB MC c) Chứng minh M thay đổi cung nhỏ BC điểm D ln ln nằm đường trịn cố định có tâm thuộc đường trịn Bài O (1,0 điểm) Cho x y z xyz Tính giá trị biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P 1 2 2 2 x y z y z x z x2 y 2 - HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI ĐÀ NẴNG 2015-2016 Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức M 3a 9a a 1 a 2 a a 2 a a với a 0; a a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm tất giá tị nguyên a để biểu thức M nhận giá trị nguyên M a) Ta có: b) 3a a ( a 1) ( a 4) M M a 1 a 2 3a a a 1 a 1 a 2 a 2 a 1 a 2 M nguyên Lời giải a 1 a 2 a 2 a a 1 a 1 a3 a 2 a 1 a 1 a 1 2 1 a 1 M a 1 a 1 a nguyên a ước a 1;1; 2 a 0; 4;9 (do a 0) Bài a 2 a 2 a 2 (2,0 điểm) x x 1 x x 1 a) Giải phương trình b) x xy xz 48 xy y yz 12 xz yz z 84 Giải hệ phương trình Lời giải x x 1 x x 1 a) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9 x 1 x 1 x 1 x b) x y z Cộng phương trình hệ ta Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 144 x y z 12 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt khác hệ Bài x( x y z ) 48 y ( x y z ) 12 z (x y z) 84 kết hợp với ta có hai trường hợp sau: x; y; z 4; 1; 7 Với x y z 12 hệ có nghiệm x; y; z 4;1;7 Với x y z 12 hệ có nghiệm (2,0 điểm) a 12 42 432 2016 thõasè a) Cho có chữ số hàng đơn vị b 12 2.432 42 42 4 3016 thõa sè Chứng minh a b Cho hàm số y ax a với a tham số, a a 1 Tìm tất giá trị tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số đạt giá trị lớn b) Lời giải a) Nhận xét 2 2 2 2 16 ( thừa số 2) 2016 chia hết cho 252 phân số a thành 252 nhóm, nhóm có giá trị 16 (có hàng đơn vị ) nên tích 252 nhóm có hàng đơn vị 3016 chia hết cho 377 phân số b thành 377 nhóm, nhóm có giá trị 16 (có hàng đơn vị ) nên tích 377 nhóm có hàng đơn vị Suy điều phải chứng minh b) Tam giác vuông OAB O nên gọi h khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số 1 a2 a2 1 h OA2 OB a 1 a 1 a 1 2a a 2a 2a 1 1 2 2 1 a 1 a a2 Dấu đẳng thức xảy a Vậy a khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số lớn O Trên cung nhỏ BC (3,5 điểm) Cho trước tam giác ABC nội tiếp đường tròn h2 Bài M ; MB cắt đoạn thẳng AM D lấy điểm M tùy ý Đường tròn a) Chứng minh tam giác BDM tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh rằng: MA MB MC c) Chứng minh M thay đổi cung nhỏ BC điểm D ln ln nằm đường trịn cố định có tâm thuộc đường trịn O Lời giải a) M ) Ta có: MB MD (bán kính đường trịn · · BMD BCA 60 (cùng chắn »AB ) Nên BMD b) ABD CBM AB CB; BD BM · · · Và ABD 60 DBC CBM DA MC MA MD DA Mà MD MB MA MB MC c) Bài O với phân giác CO (trong tam giác ABC ) Gọi I giao điểm I điểm cung nhỏ »AB I điểm cố định thuộc O · » O ) Nên MI phân giác BMD (góc nội tiếp chắn AB đường tròn Nên MI trung trực đoạn thẳng BD BDM tam giác Suy ID IB I ; IB cố định có tâm thuộc O Do D ln thuộc đường trịn (1,0 điểm) Cho x y z xyz Tính giá trị biểu thức 1 2 2 2 x y z y z x z x2 y Lời giải x y z x ( y z ); y ( z x); z ( x y) Ta có : P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 y z ; y z x ; z x y P P Liên hệ tài 039.373.2038 x y x y 2 y z y z 2 z x x z 2 1 x yz P 0 2 xy 2 yz 2 xz 2 xyz - HẾT liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... giải a) Nhận xét 2 2 2 2 16 ( thừa số 2) 2 016 chia hết cho 252 phân số a thành 252 nhóm, nhóm có giá trị 16 (có hàng đơn vị ) nên tích 252 nhóm có hàng đơn vị 3 016 chia hết cho 377 phân số... 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI ĐÀ NẴNG 2015-2 016 Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức M 3a 9a a 1 a 2 a a 2 a a với a 0; a... 4;1;7 Với x y z 12 hệ có nghiệm (2,0 điểm) a 12 42 432 2 016 thõasè a) Cho có chữ số hàng đơn vị b 12 2.432 42 42 4 3 016 thõa sè Chứng minh a b Cho hàm số y ax a với a tham số,