Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 01/03/2012 Câu 1: (4 điểm) 96 97 98 99 a) Cho S Chứng minh S chia hết cho 40 a b3 c 3abc b) Rút gọn phân thức a b a c b c 2 Câu 2: (4 điểm) 2 a) Thực phép tính : 2 2 2 b) Cho a b c 0; a, b, c Chứng minh đẳng thức 1 1 1 2 a b c a b c Câu 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: x x x x y x y 1 b) Giải hệ phương trình : O; R có hai Câu 4: (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường chéo AC , BD vng góc với I kính CE I O Vẽ đường a) Chứng minh ABDE hình thang cân b) Chứng minh AB CD BC DA2 R c) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F , cắt AC K Chứng minh A, N , K , F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (3 điểm) Cho hai điểm A , B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH KM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 2011-2012 Câu 1: (4 điểm) 96 97 98 99 a) Cho S Chứng minh S chia hết cho 40 a3 b3 c 3abc b) Rút gọn phân thức a b a c b c 2 Lời giải a) S 31 32 33 34 35 36 37 396 397 398 399 S 31 32 33 34 31 32 33 396 31 32 33 S 31 32 33 34 38 396 S 40 34 38 396 Vậy S chia hết cho 40 a b c 3abc a b 3ab(a b) c 3abc b) Ta có: a b c3 3ab.(a b) 3abc a b c a b (a b)c c 3ab(a b c) a b c a 2ab b ac bc c 3ab a b c a b c ab bc ca Ta lại có: a b a c b c 2 a 2ab b a 2ac c b 2bc c 2(a b2 c ab bc ca ) Kết abc 2 2 với a b c ab bc ca Câu 2: (4 điểm) 2 a) Thực phép tính : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn 2 tốn: 2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Cho a b c 0; a, b, c Chứng minh đẳng thức 1 1 1 2 a b c a b c Lời giải a) Ta có: 2 2 2 2 2 42 2 2 2 42 2 1 1 2 2 2 3 b) Ta có: 1 1 1 1 2 a b c a b c ab ac bc 1 cba 1 2 2 a b c abc a b c 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c Câu 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: x x x x y x y 1 b) Giải hệ phương trình : Lời giải a) Điều kiện: 4x 1 x 1 Với điều kiện trên, phương trình trở thành: x2 x x 1 x2 x x 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 4x2 2 4 x x 1 x0 x (thỏa) x y 1 x y 1 b) Từ phương trình 2 y 1 x x 1 Thế vào phương trình 1 ta có x 1 x x x 11 x x x 3 (vì x 1 ) y y 1 y 2 y 1 Thế x 3 vào phương trình : 3;3 ; 3; 1 Vậy nghiệm hệ O; R có hai Câu 4: (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường chéo AC , BD vng góc với I kính CE I O Vẽ đường a) Chứng minh ABDE hình thang cân b) Chứng minh AB CD BC DA2 R c) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F , cắt AC K Chứng minh A, N , K , F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · a) Ta có: EAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AE AC Mà BD AC (gt) AE // BD ABDE hình thang O Mà ABDE nội tiếp đường trịn nên ABDE hình thang cân · b) Ta có EDC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) DEC vng D ED CD EC R R 2 2 Mà AB ED (vì ABDE hình thang cân) AB CD R 2 Chứng minh tương tự BC DA R 2 2 AB CD BC DA2 8R AB CD BC DA R · · » BAC BDC BC c) Ta có : (cùng chắn ) · · IAF BDC (góc có cạnh tương ứng vng góc) ·BAC IAF · ABF cân A Suy ra: Mà AI đường cao , nên AI đường trung tuyến IB IF Chứng minh tương tự IA IK ABKF hình bình hành Mà AK BF nên ABKF hình thoi Câu 5: (3 điểm) Cho hai điểm A , B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH KM Lời giải Xét KAH KMB ta có: ·AKH MKB · 90 · · KAH KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) KAH # KMB g g Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KH AK KH KM AK KB KB KM Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương Ta có: Do AK KB AB AK KB AK KB KH KM AB (không đổi) AB Dấu " " xảy AK KB Vậy giá trị lớn KH KM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 2011-2 012 Câu 1: (4 điểm) 96 97 98 99 a) Cho S Chứng minh S chia hết cho