Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (4,0 điểm) y = ( m − 2m ) x + m − m a) Tìm để hàm số nghịch biến đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ b) Tìm giá trị nhỏ x + y = −5 c) Cho Câu 2: x + y = 11 M = x + y + z − x − xy − z − Tính a) Rút gọn: b) Cho a, b, c x2 + 5x + + x − x2 3x − x + ( x + ) − x thỏa mãn Tính giá trị biểu thức : 1+ Q =( a +b 27 2x 3− x 1 1 + + = a b c a+b+c 27 )(b 27 + c 27 ) ( c 27 + a 27 ) (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + 10 + 17 − x = b) Giải hệ phương trình: Câu 4: (4,0 điểm) A= Câu 3: x +y 2x − y+5 + =2 2x − y +5 3 x + y = 19 với x > ; y > −5 (4,0 điểm) Cho hình thang qua B kẻ ABCD có đáy lớn BI // AD I ∈ CD a) Chứng minh ( KD = CI AB = CD.EF ); BI cắt EF // AB CD AC Qua F, A vẽ AK AK // BC K ∈ CD ( cắt BD E ) b) Chứng minh Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) M điểm BC di động cung đường tròn MB + MC = MA a) Chứng minh: MA + MB + MC b) Xác định vị trí điểm M để tổng đạt giá trị lớn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com AB, BC , AC c) Gọi H, K, Q hình chiếu M ; đặt diện tích ABC S MBC S' tam giác diện tích tam giác Chứng minh rằng: MH + MK + MQ = ( S + 2S ') 3R M di động cung BC ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (4,0 điểm) y = ( m − 2m ) x + m − m a) Tìm để hàm số nghịch biến đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ b) Tìm giá trị nhỏ c) Cho x + y = −5 x + y = 11 x +y Tính y = ( m − 2m ) x + m − a) Hàm số M = x + y + z − x − xy − z − Lời giải nghịch biến ⇔ m − 2m < ⇔ m ( m − 2) < ( 1) ⇔0 −5 Lời giải a) x + 10 + 17 − x = 3 ⇔ x + 10 + 17 − x + 3 ( x + 10 ) ( 17 − x ) ( ) x + 10 + 17 − x = 27 ⇔ 27 + 3 ( x + 10 ) ( 17 − x ) = 27 ⇔ ( x + 10 ) ( 17 − x ) =0 ⇔ ( x + 10 ) ( 17 − x ) = x + 10 = x = −10 ⇔ ⇔ 17 − x = x = 17 2x − =a y+5 2x − y +5 + =2 y +5 2x − a>0 b) Đặt (với ), phương trình có dạng a+ =2 ⇔ a − 2a + = ⇔ ( a − 1) = ⇔ a = a (thỏa mãn điều kiện) 2x − ⇒ = ⇔ 2x − y = y+5 a =1 Với 2 x − y = 4 x − y = 16 7 x = 35 ⇔ ⇔ 3x + y = 19 3 x + y = 19 3 x + y = 19 Do ta có hệ phương trình x = ⇔ y = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x, y ) = ( 5; ) Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình thang qua B kẻ ABCD có đáy lớn BI // AD I ∈ CD ( KD = CI a) Chứng minh ); AB = CD.EF BI cắt EF // AB CD AC Qua F, A vẽ AK AK // BC K ∈ CD ( cắt BD E b) Chứng minh Lời giải a) Ta có tứ giác cạnh đối song song) ABID, ABCK hình bình hành (tứ giác có ⇒ DI = CK ( = AB ) ⇒ DI + IK = CK + IK ⇒ DK = CI ∆AEB ∽ ∆KED ∆AFB ∽ ∆CFI Mà KD = CI KC // AB Vì b) Ta có ⇒ (g.g) ⇒ (g.g) ⇒ AE AB = EK KD AF AB = FC CI AE AF = ⇒ EF // KC EK FC nên EF // AB ∆KED ∽ ∆AEB (Định lý Ta let đảo Do ⇒ ABCK (g.g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu (1) hình bình hành) EF // DI DB DI = EB EF ) DK DE DK + AB DE + EB DK + KC DB DC DB ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = AB EB AB EB AB EB AB EB (Vì ∆AKC (theo chứng minh : mà DI = AB word môn ⇒ EF // KC DB AB = EB EF toán: I ∈ KC ) (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC ) Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2) suy Câu 5: DC AB = ⇒ AB = DC.EF AB EF (4,0 điểm) ABC Cho tam giác nội tiếp đường tròn ( O; R ) BC M điểm di động cung đường trịn MB + MC = MA a) Chứng minh: b) Xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn c) Gọi H, K, Q hình chiếu M AB, BC , AC ABC S MBC ; đặt diện tích tam giác diện tích tam giác MH + MK + MQ = S' Chứng minh rằng: BC cung ( S + 2S ' ) 3R M di động Lời giải MA MD = MB ∆MDB a) Trên lấy D cho suy cân M · · »AB BMD = BCA = 60° ∆MDB (cùng chắn cung ) suy ∆MBC ∆DBA Xét có MB = BD ∆MDB (vì đều) BC = AB ∆ABC (vì đều) · · · 60° MBC = DBA DBC (cùng cộng ) ⇒ ∆MBC = ∆DBA (c.g.c) ⇒ MC = DA (hai cạnh tương ứng) MB + MC = MA MD = MB Mà suy ( O; R ) MA MA ≤ R b) Ta có dây cung suy ⇒ MA + MB + MC ≤ R (không đổi) ⇔ MA ⇔ BC Dấu “ =” xảy đường kính M điểm cung Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MH AB MK BC MQ AC + + = S MAB + S MBC + S MAC 2 c) Ta có ⇒ AB ( MH + MK + MQ ) = ( S + 2S ') ⇒ MH + MK + MQ = Vì AB AB cạnh tam giác nội tiếp ⇒ AB = R Liên hệ tài 039.373.2038 ( S + 2S ' ) liệu ⇒ MH + MK + MQ = word mơn tốn: ( O; R ) ( S + 2S ') 3R TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2 013 Câu 1: (4,0 điểm) y = ( m − 2m ) x + m − m a) Tìm để hàm số nghịch biến đồ thị