Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (2,0 điểm) a) Cho biểu thức: x b) Cho 2013 x y 2013 0 1 Tính giá trị A x A x x 2013 1 x 2013 y y 2013 2013 Chứng minh x x x x 2013 cho đa Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Chứng minh x x x 5 x a b c 2 b c a c ba , với a, b, c Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức thức x 10 x 21 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y x xy x y 2017 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC , A 90 , AB AC , đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) DE BH.HC b) AH BC BD.CE Cho tam giác ABC , BC a, AC b, AC c Chứng minh: sin A a b c Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 ab c b c a c a b a b c ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 20132014 Câu 1: (2,0 điểm) a) Cho biểu thức: A x x 2013 x 1 Tính giá trị A 1 x x 2013 y y 2013 2013 b) Cho 2013 x y 2013 0 Chứng minh Lời giải x 1 a) Ta có 1 3( 1) 3( 1 1) 1 1 1) 2 1 x A Thay vào biểu thức , ta có: A 2013 2014 3( x 1 Vậy x b) x 2013 x giá trị biểu thức A 2014 x 2013 y y 2013 2013 x y 2013 2013 x x 2013 x 2013 y y 2013 2013 x2 2013 y y 2 x 2013 y 2013 x x 2013 2 Tương tự x x 2013 y y 2013 2013 2013 0 Do x y 0 x y x y (đpcm) Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Chứng minh a) x x x 5 x a b c 2 b c a c ba , với a, b, c Lời giải x 5x x 5 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x x x 5 x x x x x x 0 x2 1 x 1 x x x2 1 x x 0 x 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 x x 2 x x (khơng có x thỏa mãn) x 0 x 5 x 25 x 24 TH1: TH2: bca b) Ta có b c a bc a bc 2a a Tương tự b c a 2a b c a a a 2a b c a b c b 2b c 2c , a c abc ba a bc 2 a b c a b c 2 bc a c ba a b c b c a , c a b , a b c , a, b, c (vơ lí) Dấu “=” xảy Vậy a b c 2 bc a c ba Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức thức x 10 x 21 x x x x 8 2013 cho đa 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y x xy x y 2017 Lời giải x x x x 2013 a) x 10 x 16 x 10 x 24 2013 x 10 x 21 x 10 x 21 2013 y 5 y 3 2013 , đặt y x 10 x 21 y y 1998 chia cho y dư 1998 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy số dư phép chia đa thức thức x 10 x 21 1998 x x x x 2013 cho đa 2 b) A 3y x xy x y 2017 2 y x 1 y 2014 2014 y x 0 x 0 y Dấu “=” xảy y Vậy A 2014 x 0, y Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC , A 90 , AB AC , đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) DE BH.HC b) AH BC BD.CE Cho tam giác ABC , BC a, AC b, AC c Chứng minh: Lời giải sin A a b c A E D B C H a) Vì D, E hình chiếu H AB, AC nên DH AB, HE AC Tứ giác ADHE có DAE ADH AEH 90 nên tứ giác ADHE hình chữ nhật AH DE Áp dụng hệ thức cạnh đường cao ABC vuông A , có AH đường cao , ta có AH BH HC Do DE BH.HC b) AH BH HC AH BH HC AH 2 Mặt khác AH.CB AB AC, BA BH BC, AC CH BC Do AH BC.BD.CE Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A I B C D Vẽ đường phân giác AD ABC BD DC BD DC BD DC BC a AB AC AB AC AB AC b c Ta có AB AC Vẽ BI AD BI BD Ta có Vậy sin sin A BI A BD sin AB AB AC A a b c Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 ab c b c a c a b a b c Lời giải 1 11 1 x y 4 xy x y xy x y x y (1) Với x 0, y ta có a, b, c ba cạnh tam giác nên a b c 0, a c b 0, c b a Áp dụng BĐT (1) với số x a b c, y a c b dương ta có: 1 a b c a c b a b c a c b a 1 b a c b c a c b a a b c b Tương tự 1 c b a c a b c b a c a b c 2 1 1 2 a b c Do a b c b c a c a b 1 1 1 ab c bc a c a b a b c (đpcm) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC