Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (2,0 điểm) ( ) A = x2 − x − + 2013 a) Cho biểu thức: Tính giá trị ( x+ b) Cho 2013 x + y2013 = Câu 2: A x= 3 + 1− )( + 1− ) Chứng minh (2,0 điểm) b) Chứng minh x2 + 5x + 1= ( x + 5) x2 + a b c + + >2 b+c a+c b+a , với a, b,c > (2,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức x2 + 10x + 21 thức ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) + 2013 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Câu 4: − x2 + 2013 y + y2 + 2013 = 2013 a) Giải phương trình: Câu 3: 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 2017 cho đa (3,0 điểm) µ = 90°, AB < AC A AH D E , đường cao Gọi lần H AB AC lượt hình chiếu Chứng minh: DE = BH.HC a) AH = BC.BD.CE b) µ A a sin ≤ ABC BC = a, AC = b, AC = c b+ c Cho tam giác , Chứng minh: Cho tam giác Câu 5: ABC , (1,0 điểm) a, b,c Cho ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + a + b− c b+ c − a c + a − b a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 20132014 Câu 1: (2,0 điểm) A = ( x2 − x − 1) + 2013 a) Cho biểu thức: A Tính giá trị ( x+ b) Cho 2013 x + y2013 = x= + 1− − )( + 1− ) x2 + 2013 y + y2 + 2013 = 2013 Chứng minh Lời giải x= a) Ta có + 1− − 3 + 1− x= A Thay vào biểu thức , ta có: A = 22 − 2− + 2013 = 2014 ( Vậy b) + + 1) − 3( +1−1 + − 1) ) x= ( x+ 3( = + + − + + 1) = =2 +1−1 3( = 3 + 1− − 3 + 1− )( ) )( )( giá trị biểu thức A 2014 x2 + 2013 y + y2 + 2013 = 2013 ( ) ( ) ⇔ x − x2 + 2013 x + x2 + 2013 y + y2 + 2013 = 2013 x − x2 + 2013 ) ( ) ( ⇔ −2013 y + y2 + 2013 = 2013 x − x2 + 2013 ⇔ − y − y2 + 2013 = x − x2 + 2013 − x − x + 2013 = y − y2 + 2013 Tương tự x + y = ⇒ x = − y ⇒ x2013 + y2013 = Do Câu 2: (đpcm) (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Giải phương trình: b) Chứng minh x2 + 5x + 1= ( x + 5) x2 + a b c + + >2 b+c a+c b+a , với a, b,c > Lời giải a) x2 + 5x + 1= ( x + 5) x2 + ⇔ x2 + 1+ 5x = ( x + 5) x2 + ⇔ x2 + 1+ 5x − x x2 + 1− x2 + = ( ⇔ x2 + ⇔ ( ) ( ) x2 + − x + x − x2 + = )( x2 + − x ) x2 + − = x2 + − x = ⇔ x2 + − = TH1: TH2: x ≥ x2 + − x = ⇔ x2 + = x ⇔ 2 x + 1= x x2 + − = ⇔ x2 + = ⇔ x2 + 1= 25 ⇔ x = ± 24 b) Ta có ⇔ (khơng có b+ c + a ≥ ( b + c) a ⇔ b+ c + a b+ c ≥ ⇔ 2a a Tương tự b+ c + a ≥ 2a a 2a ≥ b + c a + b+ c x thỏa mãn) ( b+ c) a a b 2b c 2c ≥ , ≥ a + c a + b+ c b+ a a + b+ c ( a + b + c) a b c + + ≥ =2 b+c a+c b+a a+b+c ⇔ b + c = a,c + a = b,a + b = c a, b,c > Dấu “=” xảy , (vơ lí) Vậy Câu 3: a b c + + >2 b+c a+c b+a (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Tìm số dư phép chia đa thức x2 + 10x + 21 thức ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) + 2013 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 2017 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải cho đa ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) + 2013 a) = x2 + 10x + 16 x2 + 10x + 24 + 2013 ( )( ( ) )( ) = x2 + 10x + 21− x2 + 10x + 21+ + 2013 = ( y − 5) ( y + 3) + 2013 y = x2 + 10x + 21 , đặt = y − 2y + 1998 chia cho y dư 1998 ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) + 2013 Vậy số dư phép chia đa thức cho đa x + 10x + 21 thức 1998 2 A = 3y + x + 2xy + 2x + 6y + 2017 b) = ( y + x + 1) + 2( 1+ y) + 2014 ≥ 2014 2 y + x + 1= x = ⇔ y = −1 y = −1 Dấu “=” xảy x = 0, y = −1 A = 2014 Vậy Câu 4: (3,0 điểm) µ = 90°, AB < AC A AH D E , đường cao Gọi lần H AB AC lượt hình chiếu Chứng minh: DE = BH.HC a) AH = BC.BD.CE b) µ A a sin ≤ ABC BC = a, AC = b, AC = c b+ c Cho tam giác , Chứng minh: Lời giải 1 Cho tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word ABC , mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AB, AC DH ⊥ AB, HE ⊥ AC H hình chiếu nên · · · ADHE ADHE DAE = ADH = AEH = 90° Tứ giác có nên tứ giác hình chữ nhật ⇒ AH = DE ∆ABC A Áp dụng hệ thức cạnh đường cao vng , có AH = BH.HC AH đường cao , ta có DE = BH.HC Do AH = BH.HC ⇒ AH = BH.HC.AH b) AH.CB = AB.AC, BA = BH.BC, AC2 = CH.BC Mặt khác AH = BC.BD.CE Do a) Vì D, E AD ∆ABC Vẽ đường phân giác BD DC BD DC BD + DC BC a = ⇒ = = = = AB AC AB AC AB + AC AB + AC b + c Ta có BI ⊥ AD ⇒ BI ≤ BD Vẽ µ µ A BI A BD sin = ⇒ sin ≤ AB AB + AC Ta có µ A a sin ≤ b+ c Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 5: (1,0 điểm) a, b,c Cho ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + a + b− c b+ c − a c + a − b a b c Lời giải 1 1 1 ⇒ ≤ + ÷ ( x + y) ≥ 4xy ⇒ + ≥ x y x+ y x+ y 4 x y x > 0, y > Với ta có (1) a, b,c a + b − c > 0, a + c − b > 0,c + b − a > ba cạnh tam giác nên x = a + b − c, y = a + c − b Áp dụng BĐT (1) với số dương ta có: 1 + ≥ = a +b−c a +c −b a+b−c+ a+c −b a 1 + ≥ = b+a−c b+c−a c+b−a+a+b−c b Tương tự 1 + ≥ = c+b−a c+a−b c+b−a+c+a −b c 2 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ a + b− c b+ c − a c + a − b a b c Do 1 1 1 ⇒ + + ≥ + + a + b− c b+ c − a c + a − b a b c (đpcm) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... x2 + 2 013 y + y2 + 2 013 = 2 013 ( ) ( ) ⇔ x − x2 + 2 013 x + x2 + 2 013 y + y2 + 2 013 = 2 013 x − x2 + 2 013 ) ( ) ( ⇔ −2 013 y + y2 + 2 013 = 2 013 x − x2 + 2 013 ⇔ − y − y2 + 2 013 = x − x2 + 2 013 −... CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2 0132 014 Câu 1: (2,0 điểm) A = ( x2 − x − 1) + 2 013 a) Cho biểu thức: A Tính giá trị ( x+ b) Cho 2 013 x + y2 013 = x= + 1− − )( + 1− ) x2 + 2 013 y + y2 + 2 013. .. 2 013 x − x2 + 2 013 ⇔ − y − y2 + 2 013 = x − x2 + 2 013 − x − x + 2 013 = y − y2 + 2 013 Tương tự x + y = ⇒ x = − y ⇒ x2 013 + y2 013 = Do Câu 2: (đpcm) (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word