Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (4,0 điểm) a) Tìm m để hàm số nghịch biến đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ y m 2m x m 2 b) Tìm giá trị nhỏ M 5 x y z x xy z 2 3 c) Cho x y x y 11 Tính x y Câu 2: (4,0 điểm) A a) Rút gọn: x2 5x x x2 3x x x x : 1 2x 3 x 1 1 b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c a b c Tính giá trị biểu thức Q a 27 b 27 b 27 c 27 c 27 a 27 Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x 10 17 x 3 b) Giải hệ phương trình: 2x y 5 2 2x y 5 3 x y 19 x ;y 5 với Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ AK // BC ( K CD ) qua B kẻ BI // AD ( I CD ); BI cắt AC F, AK cắt BD E a) Chứng minh KD CI EF // AB b) Chứng minh AB CD.EF Câu 5: (4,0 điểm) O; R M điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn di động cung BC đường tròn a) Chứng minh: MB MC MA b) Xác định vị trí điểm M để tổng MA MB MC đạt giá trị lớn c) Gọi H, K, Q hình chiếu M AB, BC , AC ; đặt diện tích tam giác ABC S diện tích tam giác MBC S ' Chứng minh rằng: MH MK MQ S 2S ' 3R M di động cung BC ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 Câu 1: (4,0 điểm) y m 2m x m m a) Tìm để hàm số nghịch biến đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 2 b) Tìm giá trị nhỏ M 5 x y z x xy z 2 3 c) Cho x y x y 11 Tính x y Lời giải a) Hàm số y m 2m x m 2 nghịch biến m 2m m m 2 1 0m2 Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ 2 m 3 m 2 Từ (1) (2) suy khơng có giá trị m thỏa mãn đề 2 b) M 5 x y z x xy z 1 x xy y x x z z 4 1 9 2 x y x 1 z 2 4 x y 0 x 0 x y z z 0 Dấu “=” xảy M x y z Vậy giá trị nhỏ c) Ta có: x y x y x y xy 11 xy 2 mà x y x y xy 25 11 xy 25 xy 7 Từ (1) (2) suy (1) (2) x y 11 20 Câu 2: (4,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A a) Rút gọn: x2 5x x x2 3x x x x : 1 2x 3 x 1 1 b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c a b c Tính giá trị biểu thức Q a 27 b 27 b 27 c 27 c 27 a 27 Lời giải a) Điều kiện: x A x 3 x x x x x 2 x x x x x 2x 3 x 3 x :2 x x x x x 3 x :2 3 x x x x x x 3 x 3 x :2 3 x 3 x 1 1 1 1 0 a b c a b c b) Ta có: a b c a b c a b a b 0 a b c a b c ab 0 ab c a b c a b c a c bc ab 0 a b c a c b c a 0 a b 0 b c 0 a c 0 a b a c b c 0 Thế vào tính Q 0 a b b c c a Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x 10 17 x 3 b) Giải hệ phương trình: 2x y 5 2 2x y 5 3 x y 19 x ;y 5 với Lời giải a) x 10 17 x 3 x 10 17 x 3 x 10 17 x x 10 17 x 27 27 3 x 10 17 x 27 x 10 17 x 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x 10 17 x 0 x 10 0 x 10 17 x 0 x 17 2x a y 5 (với a ), phương trình 2x y 5 2 y 5 2x có b) Đặt dạng a 2 a 2a 0 a 1 0 a 1 (thỏa mãn điều kiện) a 2x 1 x y 8 y 5 Với a 1 x y 8 4 x y 16 7 x 35 3 x y 19 3 x y 19 Do ta có hệ phương trình 3 x y 19 x 5 y 2 x, y 5; Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ AK // BC ( K CD ) qua B kẻ BI // AD ( I CD ); BI cắt AC F, AK cắt BD E a) Chứng minh KD CI EF // AB b) Chứng minh AB CD.EF Lời giải A B E D I F K C a) Ta có tứ giác ABID, ABCK hình bình hành (tứ giác có cạnh đối song song) DI CK AB DI IK CK IK DK CI AEB ∽ KED (g.g) AFB ∽ CFI (g.g) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word AE AB EK KD AF AB FC CI mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com AE AF EF // KC EK FC Mà KD CI (Định lý Ta let đảo AKC ) Vì KC // AB nên EF // AB b) Ta có KED ∽ AEB (g.g) DK DE DK AB DE EB DK KC DB DC DB AB EB AB EB AB EB AB EB (1) (Vì ABCK hình bình hành) Do EF // DI (theo chứng minh : EF // KC I KC ) DB DI DB AB EB EF mà DI AB EB EF DC AB AB DC EF AB EF Từ (1) (2) suy (2) Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R M điểm di động cung BC đường trịn a) Chứng minh: MB MC MA b) Xác định vị trí điểm M để tổng MA MB MC đạt giá trị lớn c) Gọi H, K, Q hình chiếu M AB, BC , AC ; đặt diện tích tam giác ABC S diện tích tam giác MBC S ' Chứng minh rằng: A D O B K H M S 2S ' 3R M di động cung BC Lời giải a) Trên MA lấy D cho MD MB suy MDB cân M BMD BCA 60 (cùng chắn cung AB ) suy MDB Xét MBC DBA có MB BD (vì MDB đều) BC AB (vì ABC đều) MBC DBA (cùng cộng DBC 60 ) MBC DBA (c.g.c) MC DA (hai cạnh tương ứng) Mà MD MB suy MB MC MA O; R suy MA 2 R b) Ta có MA dây cung MA MB MC 4 R (không đổi) Dấu “ =” xảy MA đường kính M điểm cung BC MH MK MQ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Q C Website:tailieumontoan.com MH AB MK BC MQ AC S MAB S MBC SMAC 2 c) Ta có AB MH MK MQ 2 S 2S ' MH MK MQ S 2S ' AB O; R Vì AB cạnh tam giác nội tiếp AB R Liên hệ tài 039.373.2038 liệu MH MK MQ word mơn tốn: S 2S ' 3R TÀI LIỆU TOÁN HỌC