Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 01/03/2012 Câu 1: (4 điểm) 96 97 98 99 a) Cho S 1 Chứng minh S chia hết cho 40 a b3 c 3abc a b b) Rút gọn phân thức 2 a c b c Câu 2: (4 điểm) 2 a) Thực phép tính : 2 2 2 2 b) Cho a b c 0; a, b, c 0 Chứng minh đẳng thức 1 1 1 2 a b c a b c Câu 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: x x 1 x 1 x y 9 x y b) Giải hệ phương trình : O; R có hai Câu 4: (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường chéo AC , BD vng góc với I kính CE a) Chứng minh ABDE hình thang cân I O Vẽ đường 2 2 b) Chứng minh AB CD BC DA 2 R c) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F , cắt AC K Chứng minh A, N , K , F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Câu 5: (3 điểm) Cho hai điểm A , B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH KM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 2011-2012 Câu 1: (4 điểm) 96 97 98 99 a) Cho S 1 Chứng minh S chia hết cho 40 a b3 c 3abc a b b) Rút gọn phân thức 2 a c b c Lời giải a) S 31 32 33 34 35 36 37 396 397 398 399 S 31 32 33 34 31 32 33 396 31 32 33 S 31 32 33 34 38 396 S 40 34 38 396 Vậy S chia hết cho 40 b) Ta có: a b3 c 3abc a b 3ab(a b) c3 3abc a b c 3ab.(a b) 3abc a b c a b (a b)c c 3ab(a b c ) a b c a 2ab b ac bc c 3ab a b c a b c ab bc ca Ta lại có: a b 2 a c b c a 2ab b2 a 2ac c b 2bc c 2(a b c ab bc ca ) Kết a b c 2 2 với a b c ab bc ca 0 Câu 2: (4 điểm) 2 a) Thực phép tính : 2 2 2 2 b) Cho a b c 0; a, b, c 0 Chứng minh đẳng thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1 2 a b c a b c Lời giải a) Ta có: 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 4 1 1 2 2 2 3 b) Ta có: 1 1 1 1 2 a b c a b c ab ac bc 1 c b a 1 2 2 a b c abc a b c 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c Câu 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: x x x x y 9 x y b) Giải hệ phương trình : Lời giải a) Điều kiện: x 0 x 1 Với điều kiện trên, phương trình trở thành: x x x x x 2 x 4x Liên hệ tài 039.373.2038 4 x 0 x 0 x 0 x 0 (thỏa) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y 9 1 x y b) Từ phương trình 2 y x 0 x Thế vào phương trình 1 ta có x x 9 x x 11 x x 9 x (vì x ) y 3 y 2 y 2 y Thế x vào phương trình : Vậy nghiệm hệ 3;3 ; 3; 1 O; R có hai Câu 4: (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường chéo AC , BD vng góc với I kính CE a) Chứng minh ABDE hình thang cân I O Vẽ đường 2 2 b) Chứng minh AB CD BC DA 2 R c) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F , cắt AC K Chứng minh A, N , K , F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Lời giải A I F D B C K a) Ta có: EAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AE AC Mà BD AC (gt) AE // BD ABDE hình thang Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O Mà ABDE nội tiếp đường tròn nên ABDE hình thang cân b) Ta có EDC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) DEC vng D ED CD EC R 4 R 2 2 Mà AB ED (vì ABDE hình thang cân) AB CD 4 R 2 Chứng minh tương tự BC DA 4 R AB CD BC DA2 8R AB CD BC DA2 2 R BC c) Ta có : BAC BDC (cùng chắn ) IAF BDC (góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy ra: BAC IAF ABF cân A Mà AI đường cao , nên AI đường trung tuyến IB IF Chứng minh tương tự IA IK ABKF hình bình hành Mà AK BF nên ABKF hình thoi Câu 5: (3 điểm) Cho hai điểm A , B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH KM Lời giải A K H M B Xét KAH KMB ta có: AKH MKB 90 KAH KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) KAH # KMB g g KH AK KH KM AK KB KB KM Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có: Do AK KB KH KM AK KB AB AK KB AB (không đổi) AB Dấu " " xảy AK KB Vậy giá trị lớn KH KM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC