[r]
(1)Trang
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA
KIÊN GIANG NĂM 2015
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN TOÁN
Ngày thi thứ hai : 10/10/2015 (Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang) Bài
(6 điểm)
Thay x x f+ (0) y=0 vào giả thiết ta
( ) (0) ,
f x = − −x f = − + ∀ ∈x k x \ với k số
Thay lại giả thiết ta
2
x y k x y
− − + = − −
Do đó, k=
Thử lại, ( )
f x = − +x thỏa mãn tốn
Vậy có hàm số thỏa mãn toán ( ) f x = − +x
3,0đ
1,5đ
1,5đ
Bài (7 điểm)
Nếu ( , , )x y z nghiệm nguyên dương phương trình (4x− >1) (4y− >1) Gọi p ước nguyên tố (4x−1) p số nguyên tố lẻ
2
4z ≡−1 mod p Do đó,
1
2 2 2
(4 ) ( 1) mod
p p
z p
− −
≡ −
Cũng từ 4z2 ≡−1 mod p ta suy 2z không chia hết cho p Theo định lý Fermat,
( )2 p 1 mod ( )4 p21 1 mod
z p z p
− −
≡ ⇒ ≡
Do
1 ( 1) mod
p
p
−
≡ − Vì
2 p
k
− =
Hay p=4k+1
Suy 4x− =1 p p1 2 pm với pi=4ki+1 Vì 4x− ≡1 1mod Vơ lý ! Vì phương trình khơng có nghiệm ngun dương
PT có vơ số nghiệm nguyên dạng (0;−z z2; ) với z tùy ý thuộc Z
1,5đ
1,0đ
1,5đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
Bài (7 điểm)
a) Gọi E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) với cạnh AC, AB Ta có n 1800 n 1800 n n
MFB= −MFA= −MEA MEC= FBMn=nECM Do hai tam giác MFB MEC đồng dạng
Suy
BF MB BD MB EC =MC ⇒ DC = MC
Từ suy MD phân giác góc nội tiếp BMCn Vì đường thẳng MN qua trung điểm T cung BCq Tức M D T, , thẳng hàng
1,0đ
1,0đ
(2)Trang b) Ta chứng minh N, D, T thẳng hàng Thật vậy:
Xét hai tam giác DIT NAT có:
n n ( )
NAT =DIT AH DI&
nn
2 sin
sinBAC AT AT ABT
IT = TB = 1,0đ
n nn nn
2
.sin sin sin
sinBAC sinBAC AN AI AIN r AGB AGB
DI = r = r = 1,0đ
Mà n 1800 n n 1800 n n 1800 n
2 BAC ACB
ABT = −BAT BTA− = − + = −BGA Nên AT AN
TI = DI 1,0đ
Ta suy hai tam giác DIT NAT đồng dạng
n n , ,
ATD ATN N D T
⇒ = ⇒ thẳng hàng