022 đề HSG toán 7 huyện 2017 2018

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Câu (1,5 điểm) 2 1    0,25   0,4   11 : 2014 M    7  1,4    0,875  0,7  2015 11   a) x2  x   x2  x , b) Tìm biết : Câu (2,5 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: a b c b c a c  a b   c a b  b  a  c  B    1  1    a  c  b  Hãy tính giá trị biểu thức b) Ba lớp A,7 B,7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho lớp tỉ lệ với : : sau chia theo tỉ lệ : : nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x   x  2013 với x số nguyên b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y  z  xyz · Câu (3,0 điểm) Cho xAy  60 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM  Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK  2cm, Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương  a  b  c  Chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: 2 1    0,25   0,4   11 : 2014 M    7  1,4    0,875  0,7  2015 11   2 2    11   7     11  1 1  1         11  2014  :    7 2015   1         11  10     1     : 2014  1   2015     23 5    2  2014    : 0  7  2015 x  x 1     x  1 b) Vì x  x   nên  1  x  x   x  hay 2 Câu a) +Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a bc bc a c  a b a bc bc a c a b    1 c a b abc abc bca c  a b ab bc ca 1 1  1     2 c a b c a b Mà  b  a  c   b  a  c  a  b  c  B  1  1  1    8   a c b a c b         Vậy +Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a bc bc a c  a b a b c bc a c  a b    0 c a b abc abc bca cab ab bc ca 1  1  1 1    1 c a b c a b Mà  b  a  c   b  a  c  a  b  c  B    1  1    1   a c b a c b         Vậy b) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp A,7 B,7C lúc đầu là: a, b, c a b c abc x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia cho lớp a ', b ', c ' ta có: a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x 6x      a '  ;b '  ;c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có a  a ', b  b ', c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc ban đầu 6x 7x x  4   x  360 90 Vậy c ' c  hay 15 18 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu a) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013  x  2015 2013  x    2013  x    1  x  Dấu "  " xảy 2013 1  x  , x¢ Vậy MinA  2015 b) Vì x, y , z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z 1 1 1        x2   x  yz yx zx x x x x Theo Thay vào đầu ta có  y  z  yz  y  yz   z  1  y   z     z      y  1  z  1  TH 1: y    y   z    z  TH : y    y   z    z  Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn  1,2,3 ,  1,3,2  Câu   · · CAB  ·ACB  MAC  ABC a) cân B BK đường cao  BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b) ABH  BAK (cạnh huyền – góc nhọn)  BH  AK mà 1 AK  AC  BH  AC 2 CK  BH  AC Ta có BH  CM (tính chất đoạn chắn) mà  CM  CK  MKC tam giác cân (1) 0 · · · Mặt khác MCB  90 ACB  30  MCK  60 (2) Từ (1) (2)  MKC tam giác · c) Vì ABK vng K mà KAB  30  AB  AK  2.2  4cm Vì ABK vng K nên theo định lý Pytago ta có: AK  AB  BK  16   12 KC  AC  KC  AK  12 Mà KCM  KC  KM  12 Theo câu b, AB  BC  4; AH  BK  2; HM  BC ( HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM  Câu Vì  a  b  c  nên:  a  1  b  1   ab   a  b  a a  (2) bc  b  c Tương tự: ; 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b b b  ac  a  c (3) a b c a b c      Do đó: bc  ac  ab  b  c a  c a  b (4) 2 a  b  c a b c 2a 2b 2c        2(5) b  c a  c a  b a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c Mà: a b c     dfcm  Từ (4) (5) suy : bc  ac  ab  ... 0,25   0,4   11 : 2014 M    7  1,4    0, 875  0 ,7  2015 11   2 2    11   7     11  1 1  1         11  2014  :    7 2015   1         11  10... tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp A ,7 B,7C lúc đầu là: a, b, c a b c abc x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia... ;c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có a  a ', b  b ', c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc ban đầu 6x 7x x  4   x  360 90 Vậy c ' c  hay 15 18 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu