022 đề hsg toán 7 huyện 2017 2018

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Câu (1,5 điểm)   0,4  M   1,4   a) 2 1    0,25  11   : 2014  7   0,875  0,7  2015 11  x  x  x  x , b) Tìm biết : Câu (2,5 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: a b  c b c  a c a  b   c a b a  c  b  B          a  c  b   Hãy tính giá trị biểu thức b) Ba lớp A,7 B,7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho lớp tỉ lệ với : : sau chia theo tỉ lệ : : nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x   x  2013 với x số nguyên b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y  z xyz  Câu (3,0 điểm) Cho xAy 60 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM  Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK 2cm, Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1 Chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: 2 1    0,25   0,4   11  : 2014 M    7  1,4    0,875  0,7  2015 11          2  11  7  11  1 1      2  2014 :    7 2015       7  10    1 1       2014 11  :  1   1   2015       11      2  2014    : 0  7  2015  x 3 x  2    x  b) Vì x  x   nên  1  x  x   x  hay 2 Câu a) +Nếu a  b  c 0 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b  c b c  a c a  b a b  c b c  a c a  b    1 c a b a b c a b  c bc  a ca b a b b c c a 1  1   2    2 c a b c a b Mà b  a  c   b  a  c  a  b  c   B              8 a c b a c b         Vậy +Nếu a  b  c 0 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b  c b c  a c a  b a b  c b c  a c a  b    0 c a b a b c a b  c bc a ca  b a b b c c a 1  1   1    1 c a b c a b Mà a  c   b  a  c  a  b  c   b  B              1 a c b a c b             Vậy b) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp A,7 B,7C lúc đầu là: a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia cho lớp a ', b ', c ' ta có: a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x 6x      a '  ;b '  ; c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có a  a ', b b ', c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc ban đầu 6x 7x x  4  4  x 360 90 Vậy c ' c 4 hay 15 18 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu a) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013  x 2015 2013  x    2013  x  0   x  Dấu " " xảy 2013  x  , x  Vậy MinA 2015 b) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử x  y z 1 1 1        x 3  x 1 yz yx zx x x x x Theo Thay vào đầu ta có  y  z  yz  y  yz   z 0 1  y   z     z   0   y  1  z  1 2 TH 1: y  1  y 2  z  2  z 3 TH : y  2  y 3  z  1  z 2 Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn  1,2,3 ,  1,3,2  Câu x z C B t K A M H     CAB  ACB MAC  ABC a) cân B BK đường cao  BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b) ABH BAK (cạnh huyền – góc nhọn)  BH  AK mà 1 AK  AC  BH  AC 2 CK BH  AC Ta có BH CM (tính chất đoạn chắn) mà  CM CK  MKC tam giác cân (1) 0    Mặt khác MCB 90 ACB 30  MCK 60 (2) Từ (1) (2)  MKC tam giác  c) Vì ABK vng K mà KAB 30  AB 2 AK 2.2 4cm Vì ABK vng K nên theo định lý Pytago ta có: y AK  AB  BK  16   12 KC  AC  KC  AK  12 Mà KCM  KC KM  12 Theo câu b, AB BC 4; AH BK 2; HM BC ( HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM 6 Câu Vì a b c 1 nên:  a  1  b  1 0  ab  a  b  a a  (2) bc  b  c Tương tự: ; 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b b b  ac  a  c (3) a b c a b c      Do đó: bc  ac  ab  b  c a  c a  b (4) 2 a  b  c a b c 2a 2b 2c       2(5) a bc Mà: b  c a  c a  b a  b  c a  b  c a  b  c a b c   2  dfcm  Từ (4) (5) suy : bc  ac  ab 