Bai 1 phuong trinh duong thang p1 dap an

Bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG • Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình đường thẳng Định nghĩa:   Véc tơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng véc tơ khác có giá vng góc với đường thẳng   Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng véc tơ khác có giá song song trùng với đường thẳng   Phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm I  x0 ; y0  có VTPT n  a; b  a  x  x0   b  y  y0   hay ax  by  c  với a  b   Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn qua hai điểm A  a;0  B  0; b  với a, b  x y   a b  Phương trình đường thẳng theo hệ số góc qua điểm I  x0 ; y0  có hệ số góc k  tan  Ox,   y  kx  m   x  x0  at  Phương trình tham số đường thẳng qua điểm I  x0 ; y0  có VTCP u  a; b   ,( y  y  bt  2 a  b  )  x  x0 y  y0  Phương trình tắc đường thẳng qua điểm I  x0 ; y0  có VTCP u  a; b  với  a b a, b  Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1   : a2 x  b2 y  c2   1 cắt   a1 b1  a2 b2  1 //   a1 b1 c1   a2 b2 c2  1    a1 b1 c1   a2 b2 c2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Định lý 1: (Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) Cho đường thẳng  : ax  by  c  điểm M  x0 ; y0  Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  tính theo cơng thức d  M ,    ax0  by0  c a  b2 Hệ 1: (Vị trí hai điểm đường thẳng) Cho đường thẳng  : ax  by  c  hai điểm M  xM ; y M    , N  xN ; y N    Khi Trang  M , N phía   axM  byM  c  axN  byN  c    M , N khác phía   axM  byM  c  axN  byN  c   Góc hai đường thẳng Định nghĩa 1: (Góc hai đường thẳng) Hai đường thẳng a b cắt tạo thành bốn góc Số đo góc nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng a b , hay đơn giản góc hai đường thẳng a b Khi a song song trung với b , ta quy ước góc chúng 0  (Cơng thức xác định góc hai đường thẳng) Góc hai đường thẳng 1  có phương trình 1 : a1 x  b1 y  c1   : a2 x  b2 y  c2  xác định công thức cos  1 ;    a1a2  b1b2 a12  b12 a22  b22  Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1   : a2 x  b2 y  c2  có phương trình a1 x  b1 y  c1 a b 2  a2 x  b2 y  c2 a22  b22 PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Viết phương trình tổng quát đường thẳng Tìm điểm I  x0 ; y0  thuộc đường thẳng  Tìm VTPT n  a; b  đường thẳng Viết phương trình a  x  x0   b  y  y0   suy dạng tổng quát ax  by  c  Hoặt viết phương trình tổng quát ax  by  c  , tìm c nhờ đường thẳng cho qua điểm I Đặc biệt  d //d : ax  by  c   d  : ax  by  c  (với c  c )  d   d : ax  by  c   d  : bx  ay  c   y  kx  m  kx  y  m  x y     bx  ay  ab  a b Câu Viết phương trình tổng quát a) Đường thẳng Ox b) Đường thẳng Oy c) Các đường phân giác góc xOy Lời giải  a) Đường thẳng Ox qua gốc tọa độ O có VTPT j   0;1 nên có phương trình  x    1 y     y   b) Đường thẳng Oy qua gốc tọa độ O có VTPT i  1;0  nên có phương trình 1 x     y     x  Trang c) Phân giác góc phần tư thứ I II qua gốc tọa độ O hợp thành với trục hoành góc nhọn 45 nên có hai phương trình y   tan 45  x  x  y  y   tan135  x  x  y  Câu Viết phương trình tổng quát đường thẳng a) Đi qua M  x0 ; y0  song song với Ox b) Đi qua M  x0 ; y0  vng góc với Ox c) Đi qua M  x0 ; y0  khác gốc O điểm O Lời giải  a) Đường thẳng qua M  x0 ; y0  song song với Ox có VTPT j   0;1 nên có phương trình:  x  x0   1 y  y0    y  y0  với điều kiện M  Ox  y0   b) Đường thẳng qua M  x0 ; y0  vng góc với Ox có VTPT i  1;0  nên có phương trình: 1 x  x0    y  y0    x  x0  với điều kiện M  Ox  x0  c) Đường thẳng OM qua O nên có phương trình dạnh ax  by  , a  b  Đường thằng M  x0 ; y0  qua điểm nên ax0  by0  Chọn a  y0 , b   x0 thỏa điềuu kiện a  b  x  y  nên có phương trình y0 x  x0 y  2 2 Câu Cho hai điểm M  x1 ; y1  , M  x2 ; y2  Lập phương trình tổng quát a) Đường thẳng qua M , M b) Đường trung trực đoạn thẳng M 1M Lời giải   a) Đường thẳng qua điểm M , M có VTCP u  M 1M   x2  x1 ; y2  y1  nên VTPT  n   y2  y1 ;   x2  x1   có phương trình  y2  y1  x  x1    x2  x1  y  y1   Đặc biệt, x1  x2 , y1  y2 có phương trình tắc x  x1 y  y1  x2  x1 y  y1 x x y y  b) Đường trung trực đoạn M 1M qua trung điểm M  ;  có VTPT    x x  y y    M 1M nên có phương trình  x2  x1   x     y2  y1   y          x2  x1  x   y2  y1  y  x22  x12  y12  y22  Câu Chứng minh đường thẳng qua hai điểm A  a;0  B  0; b  với a  b  có phương trình theo đoạn chắn x y   a b Lời giải   Vì AB   a; b  nên n   b; a  vng góc với AB VTPT Đường thẳng cần tìm có phương trình b  x  a   a  y    hay bx  ay  ab Chia hai vế cho ab ta x y   a b Trang Câu Một đường thẳng qua điểm M  5; 3 cắt trục Ox Oy A B cho M trung điểm AB Viết phương trình tổng qt đường thẳng Lời giải a0  5  a  10  Giả sử A   a;0  , B   0; b  Vì M  5; 3 trung điểm AB nên  b  6 3   b  Phương trình đường thẳng qua A , B x y   hay x  y  30  10 6 Câu Cho đường thẳng  có phương trình Ax  By  C  điểm M  x0 ; y0  Viết phương trình đường thẳng qua điểm M a) Song song với dường thẳng  b) Vng góc với đường thẳng   a)  có VTPT n   A; B    Vì // nên chọn VTPT n  n   A; B  Lời giải   : A  x  x0   B  y  y0    Ax  By   Ax0  By0    b) Vì    nên chọn VTPT n   B;  A    : B  x  x0   A  y  y0    Bx  Ay   Bx0  Ay0    Câu Lập phương trình tổng quát đường thẳng d qua M  3;  có VTPT n   2;1 Lời giải  Đường thẳng d qua M  3;  có VTPT n   2;1 Phương trình tổng quát d có dạng Ax  By  C  Thay A  2 , B  vào ta có: 2 x  y  C  M  d  6   C   C  Vậy phương trình tổng quát đường thẳng d là: 2 x  y   hay x  y   Câu Lập phương trình tổng quát đường thẳng a) qua A  2;0  B  0;3 b) qua M  5; 8  có hệ số góc k  3 Lời giải a) Phương trình theo đoạn chắn x y    3x  y   3 b) Phương trình theo hệ số góc: y  kx  m  3 x  m Đường thẳng qua M  5; 8  nên 8  15  m  m  23 Do phương trình tổng quát: y  3 x  23  x  y  23  Câu Viết phương trình tổng quát đường thẳng d Trang a) qua M  1; 4  song song với đường thẳng x  y   b) qua N 1;1 vng góc với đường thẳng x  y   Lời giải a) VTPT đường thẳng x  y   VTPT đường thẳng d nên phương trình d có dạng x  y  c  (c  2) Vì d qua điểm M  1; 4  nên 3  20  c   c  23 Vậy phương trình tổng quát d : x  y  23  b) Đường thẳng d vng góc với đường thẳng x  y   nên lấy VTCP  3; 2  làm VTPT d  d :  x  1   y  1   x  y   Câu 10 Cho hai điểm P  4;0  Q  0; 2  Viết phương trình tổng quát đường thẳng a) Qua điểm S song song với đường thẳng PQ b) Trung trực PQ Lời giải a) Đường thẳng PQ có phương trình theo đoạn chắn x y  1 x  2y   2 Đường thẳng d song song với PQ có phương trình x  y  c  với c  Vì d qua A nên  2.2  c   c  Vậy phương trình đường thẳng d : x  y   b) Đường trung trực đoạn PQ qua trung điểm I PQ I  2; 1 vuông góc với  đường thẳng PQ nên nhận PQ   4; 2  VTPT Phương trình đường trung trực PQ 4  x     y  1   x  y   Câu 11 Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC biết M  1;1 , N 1;9  , P  9;1 trung điểm ba cạnh tam giác Lời giải Giả sử M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh AB , AC BC tam giác ABC    Ta có MN   2;8  ; NP   8; 8  ; MP  10;0   Đường trung trực cạnh BC qua P nhận MN làm véc tơ phương nên có phương trình  x     y  1  hay x  y  13  Tương tự, ta phương trình đường trung trực cạnh AB , AC x  y   x   Câu 12 Cho điểm M 1;  Hãy lập phương trình đường thẳng qua điểm M chắn hai trục tọa độ hai đoạn thằng có độ dài Lời giải  Xét d qua gốc O d : y  kx  y  x Trang x y  Xét d khơng qua gốc O a, b  d :   a b Theo giả thiết a  b + Nếu b  a d : x  y  a Vì d qua điểm M 1;  nên a  , d : x  y  + Nếu b  a d : x  y  a Vì d qua điểm M 1;  nên a  1 , d : x  y  1 Vậy có đường thẳng: x  y  , x  y   , x  y   Câu 13 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  2;5  cách hai điểm P  1;  , Q  5;  Lời giải Xét d //PQ thỏa mãn điều kiện cách P Q   x   3t VTCP PQ   6;  nên d :  y  5t Xét d  không song song với PQ , để d  cách P, Q d  qua trung điểm I  2;3 PQ  x  VTCP MI   0; 2  nên d  :   y   2t Câu 14 Đường thẳng d : x  y   cắt trục tọa độ Ox Oy điểm A B Gọi M điểm chia đoạn AB theo tỉ số  Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với d Lời giải Cho x   y  , y   x  4 Do A  4;0  , B  0;8  x1  kx2 4    1 Vậy M  1;6  1 k  VTCP d : x  y   u  1;  Do phương trình đường thẳng d  qua điểm M Gọi M  x0 ; y0  x0  vng góc với d d  :1 x  1   y    hay x  y  11  Câu 15 Cho đường thẳng d1 : x  y   ; d : x  y   điểm M  3;0  Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M , cắt d1 d A B cho M trung điểm đoạn AB Lời giải A x A ; y A   d1  y A  x A  Bx B ; y B   d  y B   x B  Vì M trung điểm AB nên:  x A  xB  xM x A  xB   11 16   xA   yA   3 2 x A   x B    y A  yB  yM  11 16   ;  3 3 Đường thẳng  đường thẳng qua A M Từ suy : 8x – y – 24 = Vậy A = Câu 16 Cho tam giác ABC biết A  2; 1 , B  –1;  , C  0; 3 a)Viết phương trình tổng quát đường cao AH Trang b)Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB c)Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC d)Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với BC Lời giải a)Ta có đường cao AH qua A nhận BC (1;3) VTPT nên có phương trình tổng qt  x –    y –1  hay x  y –  b)Gọi I trung điểm AB x1  x B  xC y  yC 1 1  , y1  B   I  ;  Đường trung 2 2 2 2 trực đoạn thẳng AB qua I nhận AB(3;1) làm VTPT nên có phương trình tổng qt là: 1 1    3. x    1. y    hay x  y   2 2   c)Phương trình tổng qt đường thẳng BC có dạng x y   hay x – y   1 d)Đường thẳng BC có VTPT n(3;1) đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận n(3;1) làm VTPT có phương trình tổng qt là:  x –  –1  y –1  hay x – y –  Dạng Phương trình tham số đường thẳng Tìm điểm I  x0 ; y  thuộc đường thẳng Tìm VTPT n(a; b) đường thẳng  x  x0  at , a  b2  Phương trình tham số:   y  y  at   Đặc biệt, d qua A, B có VTPT u  x B  x A ; y B  y A  d’  d: ax + by + c = VTPT u '(a; b) d” // d: ax + by + c = VTPT u"  (b; a ) hay (b; –a) d có hệ số góc k’ VTPT u  (1; k ) Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua: a) M  x0 ; y  vng góc với đường thẳng Ax  By  C  b) M  x0 ; y  song song với đường thẳng Ax  By  C  Lời giải Đường thẳng Ax  By  C  có VTPT n  ( A; B) , VTCP u  ( B; A) a)Đường thẳng vng góc với đường thẳng Ax  By  C  có VTPT u  ( A; B) Vậy  x  x0  At phương trìnhm tha số đường thẳng là:   y  y  Bt Trang b)Đường thẳng song song với đường thẳng Ax  By  C  có VTCP u  ( B; A) Vậy  x  x0  Bt phương trình tham số đường thẳng là:   y  y  At Câu Lập phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M (2;1) có VTCP u  (3;7) Lời giải  x   3t Phường trình tham số d   y   7t Câu Lập phương trình tham số đường thẳng d : a)Đi qua điểm M (5;1) có hệ số góc k  b)Đi qua hai điểm A(3; 4) B (4; 2) Lời giải  x  5t a) d có hệ số góc k  nên có VTCP u  (1;8) Vậy phương trình tham số d là:   y   8t b) d qua A B nên d có VTCP u  AB  (1;2) Vậy phương trình tham số d là:  x  3t   y   2t Câu Viết phương trình tham số đường thẳng: a) x  y –  b) y  –4 x  Lời giải   a) d : x  y n  có VTPT n  (2;3)  VTCP u  (3; 2) Cho x  y  nên d qua điểm M (0; 2)  x  3t Vậy phương trình tham số d là:   y   2t  b) y  4 x  có hệ số k  4 nên có VTCP u  (1; 4) Cho x   y  nên d qua I (0;5)  xt Vậy phương trình tham số d là:   y   4t Câu Viết phương trình tham số đường thẳng: a) d : x  b)d: Trang x  y 1  3 Lời giải  a) d : x-3  qua I (3;0) có VTCP u  (0;1) x  Vậy phương trình tham số d là:  y  t b)Đặt x  y 1   t x   5t , y   -3t 3  x   5t Vậy phương trình tham số d là:   y  1  3t Dạng Phương trình tắc đường thẳng Tìm điểm I  x0 ; y  thuộc đường thẳng Tìm VTCP n(a; b) đường thẳng x  x0 y  y  Nếu a, b ≠ có dạng tắc: a b d’  d: ax + by + c = VTCP u '  (a; b) d” // d: ax + by + c = VTCP u"  (b; a ) hay (b; –a) d có hệ số góc k’ VTCP u  (1; k ) Câu Lập phương trình tắc đường thẳng: a)Qua A(-4;1) B (1; 4) b)Qua A(4;1) B (4; 2) Lời giải   x  4  5t a)VTCP AB  (5;3) nên có phương trình tham số :   y   3t Vì a, b ≠ nên có phương trình tắc : x  y 1    x4 b)VTCP AB  (0;1) nên có phương trình tham số :  y  1 t Vì a = khơng có phương trình tắc Câu Cho điểm A(-5; 2) đường thẳng d: x2 y3 Lập phương trình tắc đường thẳng  2 d’: a)Qua A song song với d b)Qua A vng góc với d Lời giải a)d có VTCP u  (1;2) VTCP d’ Vậy d’: x5 y2  2 Trang b)d vng góc với d’ nên có VTCP A(2;1) Vậy d’: x5 y2  Dạng Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng  : a1 x  b1 y  c1   : a x  b2 y  c  ta xét số  a1 x  b1 y  c1  nghiệm hệ phương trình  a x  b2 y  c  Hệ có nghiệm:  cắt  Hệ vô nghiệm:  //  Hệ có vơ số nghiệm:    Đặc biệt: Nếu a b2 c  thì: a b a b c a b c  cắt    ,  //     ,  =     a b2 a b2 c a b2 c Để tim giao điểm đường thẳng ta giải hệ phương trình Tìm hình chiếu điểm A lên đường thẳng d Cách 1: lập phương trình đường thẳng d’ qua A vng góc với d Hình chiếu H giao điểm d d’ Cách 2: điểm H thuộc d có tọa độ theo tham số t (hoặc x, y), cho điều kiện AH  d  AH u  để tìm t Tìm điểm đối xứng A’ A qua đường thẳng d: tìm hình chiếu H, dùng công thức tọa độ trung điểm để suy A’ Tìm đường thẳng d’ đối xứng đường thẳng d qua điểm I cho trước Cách 1: d’ song song trùng với d nên có VTPT Lấy điểm A thuộc d tìm điểm B đối xứng qua I B thuộc d’ Cách 2: Lấy M(x; y) thuộc d Gọi M’(x’; y’) điểm đối xứng M qua I, ta có: x  x'  x0 , y  y '  y  x  x0  x' , y  y  y ' Thế vào phương trình d thành phương trình d’ Câu Xét vị trí tương đối tìm giao điểm có hai đường thẳng: a) x  y   x  y   b) x  y   0,5 x  1,5 y   c) 10 x  y   x  y  1,5  Lời giải a)Ta có 5 nên hai đường thẳng cắt   2 x  y    x  Tọa độ giao điểm nghiệm hệ   5 x  y    y    21  Vậy hai đường thẳng cắt M  ;   29 29  b)Vì Trang 10 3   nên hai đường thẳng song song 0,5  1,5 29 21 29 Điểm B  d1 nên tọa độ B có dạng  3b  7; b   3b  b   Gọi M trung điểm AB , suy M  ;    3b  b  Mặt khác, M  d nên     b  3 2 Suy B  2; 3 Đường thẳng AC qua A vng góc d1 nên có phương trình x  y   3 x  y   Ta có C  AC  d nên tọa độ điểm C nghiệm hệ  , ta C  4; 5  x  y 1  Dạng Các yếu tố tứ giác Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 10;5  , B 15; 5  , D  20;0  đỉnh hình thang cân ABCD AB song song với CD Tìm tọa độ điểm C Lời giải A D I J B C  Đường thẳng CD qua D  20;  nhận AB   5; 10  làm véctơ phương nên có phương trình x  y  40  Gọi I , J trung điểm AB CD  25  Ta có I  ;0  IJ  CD   Phương trình đường thẳng IJ x  y  25  2 x  y  40   27  Mà J  IJ  CD nên tọa độ điểm J nghiệm hệ:  , ta J  ; 13    2 x  y  25  Theo tính chất hình thang cân J trung điểm CD , suy C  7; 26  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD với AB song song CD AB  CD Biết đỉnh A  0;  , D  2;  , giao điểm I hai đường chéo AC BD nằm đường thẳng d : x  y   cho  AID  450 Tìm tọa độ điểm B C Lời giải Do I  d nên I  t ;  t  Ta có AD  5, IA  2t  4t  , ID  2t  8t  40 Áp dụng định lý hàm số cô-sin cho tam giác AID ta Trang 29 cos  AID  IA2  ID  AD 2 IA.ID A B I D  C t  t  3t    t  t  4t  20 t  2t  Với t  ta I  2;  IA  2.ID    ID  Do ID   IB  2 2.IB suy B  2;  C  2;  IB         Tương tự với t  ta tìm B  2; C  2;  2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD , biết hai đường chéo AC CD nằm hai đường thẳng d1 : x  y   0, d : x  y   phương trình đường thẳng AB : x  y   Tìm tọa độ điểm C Lời giải Gọi I tâm hình bình hành Ta có I  AC  BD nên tọa độ điểm I  x; y  thỏa mãn hệ x  3y    I  3;   x  3y   x  y   Do A  AB  AC nên tọa độ điểm A  x; y  thỏa mãn hệ   A  9;0  x  3y   Hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên I trung điểm AC suy C  3;  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y   0, d :2 x  y   , hai điểm A  7;5  , B  2;3 Tìm điểm đường thẳng d1 điểm đường thẳng d cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải Do C  d1 nên C  c; c   D  d nên D  d ;  2d    Ta có AB   5;   , DC   c  d ; c  2d   Trang 30   c  d  5 c  2 Tứ giác ABCD hình bình hành AB  DC    c  2d   2 d  Vậy C  2;   , D  3;   Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A  0;  1 , B  2;1 tâm I thuộc đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ điểm C Lời giải   Do I  d nên I  t ;1  t  Ta có AI   t ;  t  , BI   t  2;  t    t  o Vì ABCD hình thoi, suy AI  BI nên AI  BI   t  t      t  t     t  Với t  I  0;1 Do trung điểm AC nên suy C  0;3 Với t  I  2;  1 Do trung điểm AC nên suy C  4;  1 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AB : x  y   , phương trình cạnh AD :2 x  y   Điểm M  2;  thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ đỉnh hình thoi Lời giải x  y    A  0;  Tọa độ đỉnh nghiệm hệ  x  y    Phương trình đường phân giác góc A d : x  y   x  2y  2x  y    5 d2 : x  y   Trường hợp d1 : x  y   Đường thẳng BD qua M vng góc với d1 nên có phương trình x  y  x  y  Do B  BD  AD nên tọa độ điểm B  x; y  nghiệm hệ   B  4;  x  y   x  y  Do I  BD  d1 nên tọa độ điểm I  x; y  nghiệm hệ   I 1;1 x  y   Vì C đối xứng với A qua I nên C  2;0  Trường hợp d : x  y   Tương tự trường hợp 1  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  2  Phương trình đường thẳng AB : x  y   AB  AD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, biết đỉnh A có hoành độ âm Lời giải Trang 31 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB  2.0  d  I , AB    1 H A Gọi d đường thẳng qua I vng góc với AB x B I nên d :2 x  y   Gọi B hình chiếu vng góc I AB Khi D C tọa độ điêm B thỏa mãn hệ x  y    H  0;1  2 x  y   Do A  AB nên A  2a  2; a  với a  Từ giả thiết AB  AD , suy AH  2d  I , AB     2a 2  1  a 2    a   a  a  (loại) Suy A  2;0  , H trung điểm AB nên B  2;  Hơn I trung điểm AC BD nên C  3;  , D  1;   Vậy A  2;0  , B  2;  , C  3;0  , D  1;   Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6;  giao điểm hai đường thẳng AC BD Điểm M 1;5  thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Do E  d nên E  t ;5  t  Gọi N trung , suy I trung điểm NE nên A Ta có N 12  t ; t  1   Do MN  11  t ; t   , IE   t  6;3  t  hình chữ nhật nên D N M điểm AB B ABCD I x E C   t  MN IE   11  t  t   t    t     t  * Với t  suy N  6;5  Đường thẳng AB qua hai điểm M N nên có phương trình AB : y  Trang 32 * Với t  suy N  5;  Đường thẳng AB qua hai điểm M N nên có phương trình AB : x  y  19  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có A 1;1 M  4;  trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ điểm B Lời giải  Giả sử n AB   a; b  với a  b  véc-tơ pháp tuyến đường thẳng AB Suy đường  thẳng BC có véc-tơ pháp tuyến nBC   b;  a   Đường thẳng AB qua A 1;1 có véc-tơ pháp tuyến n AB   a; b  nên AB : a  x  1  b  y  1  hay ax  by  a  b   Đường thẳng BC qua M  4;  có véc-tơ pháp tuyến nBC   b;  a  nên BC : b  x    a  y    hay bx  ay  2a  4b  Ta có AB  d  A, BC   a  3b a b BC  2d  M , AB   3a  b a b b   a Vì hình vng nên AB  BC  a  3b  3a  b   b  a Với b  a chọn a  suy b  1 Ta AB : x  y  BC : x  y   x  y  Tọa độ điểm B nghiệm hệ   B  3;3 x  y   Với b  a chọn a  suy b  Ta AB : x  y   BC :7 x  y  26  x  y    19  Tọa độ điểm B nghiệm hệ   B ;   5 7 x  y  26  Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD thuộc đường thẳng d1 : x  y   C, D nằm đường thẳng d :2 x  y   Tìm tọa độ điểm C , biết hình vng có diện tích có hồnh độ dương Lời giải Do A  d1 nên A  a;1  a  với a  Theo giả thiết tốn, ta có S ABCD   d  A, d    2a  1  a     a  a   (loại) Với a  , suy A 1;0  Đường thẳng AD qua A vng góc với CD nên có phương trình AD : x  y   x  y 1  Tọa độ điểm D nghiệm hệ:   D  1;1 2 x  y   Trang 33  Do C  d nên C  c; 2c  3 Suy CD   1  c;   2c  Ta có CD    1  c 2   2  2c 2 c    1  c    c  Vậy C  0;3 C  2;  1 Dạng 10: Câu toán cực trị Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   điểm A 1;  Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho MA nhỏ Lời giải: Điểm M  d nên có tọa độ dạng M   2m; m   2 Khi AM    2m; m   , suy AM    2m    m    5m  20m  25 5m  20m  25   m     Ta có Dấu "  " xảy m  Vậy M  0;  giá trị nhỏ AM Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;  B  3;5  Viết phương trình đường thẳng d qua A cách B khoảng lớn Lời giải:  Phương pháp đại số: Đường thẳng d qua A 1;  có véc tơ pháp tuyến n   a; b  với a  b  nên có phương trình d : a  x  1  b  y    ax  by  a  4b  2a  b Khoảng cách từ B đến đường thẳng d xác định d  B, d   a  b2 Nếu a  d  B, d   Nếu b  d  B, d   Khi a  b  ta chọn b  Suy d  B, d   2a  a2   f  a  , với f  a   2a  a2     Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz, ta có  2a  1  22  12 a  12  Vậy max f  a   , xảy a   So sánh trường hợp, ta d  B, d  lớn a  , b  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : x  y   Cách 2: Phương pháp hình học: Trang 34 2a  a2   Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng d Khi d  B, d   BK B Xét tam giác ABK vng K , ta có d  B, d   BK  AB  (BĐT tam giác mở rộng) Dấu "  " xảy K  A A K d  Khi d xác định qua A 1;  vng góc với AB nên nhận AB   2;1 làm vecto pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : x  y   Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   A 1;  , B  8;3 Tìm điểm M thuộc d cho MA  MB nhỏ Lời giải: Ta có: P  A, d  P  B, d    x A  y A   xB  yB    5.10  Suy hai điểm A B phía so với đường thẳng d Gọi A ' điểm đối xứng A qua d Khi tọa độ điểm A '  x; y  thỏa mãn hệ B A 2  x  1  1 y      A  1;0   x 1 y4  40   2 Khi MA  MB  MA  MB  AB  10 (BĐT tam giác mở rộng) Dấu "  " xảy khi: A , M , B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng AB Đường thẳng AB qua A  1;0  B  8;3 neen có phương trình AB : x  y   d M A' x  y    M  2;1 Mặt khác, theo giả thiết M thuộc d nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ  x  3y 1  ! Câu toán dùng cho hai điểm khác phía so với d Nếu đề cho A B khác phía với d ta không làm bước lấy đối xứng Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   hai điểm A 1;  , B  8;3 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Lời giải:  Ta có AB   7; 1 ; suy AB  50 Chu vi giác ABM là: CABM  MA  MB  AB  MA  MB  50 Để CABM nhỏ MA  MB nhỏ Bạn làm tương tự Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường d : x  y   hai điểm A 1;  , B  3;  điểm M thuộc d cho MA  MB lớn A M tam B đọc thẳng Tìm Trang 35 d Lời giải: Ta có P  A, d  P  B, d    x A  y A   xB  yB    5.3  Suy hai điểm A B phía so với đường thẳng d Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có MA  MB  AB  2 Dấu "  " xảy A, M , B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng AB Đường thẳng AB qua A 1;  B  3;  nên có phương trình AB : x  y   Mặt khác, theo giả thiết M thuộc d nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ x  y    M  6; 1  x  y   ! Câu toán dùng cho hai điểm phía so với d Nếu đề cho A B khác phía với d ta lấy đối xứng hai điểm A B qua d Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   hai điểm A 1;  ,   B  9;0  Tìm điểm M thuộc d cho MA  3MB nhỏ Lời giải: Điểm M  d nên có tọa độ dạng M   2m; m     Ta có MA   2m  3;  m  ; MB   2m  5; m  , suy 3.MB   6m  15; 3m    Do MA  3MB   8m  12;  4m  Ta có   2 MA  3MB   8m  12     4m   80m  160m  160  m  2m    m  1    Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   hai điểm A 1;  ,  1 B  8;  Tìm điểm M thuộc d cho 5MA2  MB nhỏ  2 Lời giải Điểm M  d nên có tọa độ dạng M   2m; m   2 Ta có MA   2m  3;  m  , suy 5MA2   2m  3    m   ;       1   MB   2m  4;  m  , suy MB   2m      m     2    315 245 Do 5MA2  MB  35m  70m   35  m  1  2 Dấu "  " xảy m  245 Vậy M  2;1 5MA2  MB đạt giá trị nhỏ Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   hai điểm A  3;  , B  1;  Tìm điểm M thuộc d cho MA2  2MB2 lớn Lời giải: Điểm M  d nên có tọa độ dạng M  2m  2; m   2 Ta có MA  1  2m;  m  , suy MA2  1  2m     m  ;  2 MB   3  2m;  m  , suy MB   3  2m     m     Trang 36 14  151 151   Do đó: MA  MB  5m  28m   5  m    5 5  14 Dấu "  " xảy m   151  18 14  Vậy M   ;   MA2  2MB2 đạt giá trị lớn 5  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A  2;1 Lấy điểm B thuộc Ox có hồnh độ khơng âm điểm C thuộc Oy có tung độ khơng âm cho tam giác ABC vng A Tìm tọa độ điểm B C cho diện tích tam giác ABC a)Lớn 2 b) Nhỏ Lời giải   Gọi B  b ;  , C  0; c  với điều kiện b  c  Suy AB   b – 2;1 , AC   2; c  1 Tam   giác ABC vuông A nên AB AC    b     c  1   2b  c   *  Từ *  suy b  S ABC  5c 5 , c  nên b  Vậy  b  Ta có: 2 1 AB AC  2 b  2    c  1  b  2    b    b  2  2  5 a) Khảo sát hàm số bậc hai f  b    b    0;  , ta tìm max f  b   f     2  5 0;    Với b  , suy c  Vậy B  0;  , C  0;5  diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn b) Ta có S ABC   b –    Dấu “ ” xảy b  , suy c  Vậy B  2;  , C  0;1 diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng qua M  3;  cắt tia Ox A tia Oy B cho diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ Lời giải Đường thẳng d qua M  3;  cắt tia Ox , Oy A B khác O , nên A  a ;  , B  0; b  với a  , b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  3;  nên Áp dụng BĐT Cauchy, ta  Dấu xảy x y   a b 1   Ta có S OAB  OA.OB  a b  ab a b 2 , suy S OAB  12  2 2 a b ab S OAB a     a b b  Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x y   Trang 37 Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  4;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B cho OA  OB nhỏ Lời giải  Cách Giả sử đường thẳng d có véc-tơ pháp tuyến n   a ; b  với a  b  nên có phương  4a  b  ;0  trình d : a  x –   b  y  1  hay ax  by  4a  b  Khi d  Ox  A   a   4a  b  d  Oy  B  0;  b   4a  b 4a  b  0;  a b Điều kiện: Ta có OA  OB  4a  b 4a  b 4a  b 4a  b b 4a b 4a     5   5  a b a b a b a b b 4a  b  4a Ta chọn a  , suy b  Vậy đường  a b thẳng cần tìm có phương trình d : x  y –  Dấu “ ” xảy Cách Đường thẳng d qua M  4;1 cắt chiều dương Ox , Oy A B nên A  a ;  , B  0; b  với a  , b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  4;1 nên x y   a b   Ta có OA  OB  a  b  a  b a b Áp dụng BDT Bunhiacopxki, ta   4 1 a b       a  b   a  b (do   )  b a b  a  a b  : a : b a6   a b Suy a  b  hay OA  OB  Dấu “ ” xảy   b  4  1  a b Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x y   Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  3;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B cho 12OA  9OB nhỏ Lời giải  Cách Giả sử đường thẳng d có véc-tơ pháp tuyến n   a ; b  với a  b  nên có phương trình d : a  x  3  b  y  1  hay ax  by  3a  b   3a  b   3a  b  ;0  d  Oy  B  0; Khi d  Ox  A   b  a    Điều kiện Ta có Trang 38 3a  b 3a  b 0; 0 a b 12OA  9OB  12  45  3a  b 3a  b 3a  b 3a  b 12b 27 a 9  12   45   a b a b a b 12b 27 a  81 a b Dấu “ ” xảy 12b 27 a  4b  9a Ta chọn a  , suy b   a b Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x  y   Cách Đường thẳng d qua M  3;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B nên A  a ;  , B  0; b  với a  , b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  3;1 nên x y   a b   a b Ta có: 12OA  9OB  12 a  b  12a  9b Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta   3 1 12a  b      12a  9b   12a  9b  b  a  a b Suy ra: 12a  9b  81 hay 12OA  9OB  81 Dấu “ ” xảy  : 12a  :3 b   a  a b     1 b   a b Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 2x y   Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  4;3 cắt trục Ox , Oy A B khác O cho 1 nhỏ  OA OB Lời giải Cách Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng d Tam giác OAB vuông nên 1 1     2 2 OA OB OH OM 25 Dấu “ ” xảy H  M Khi đường thẳng d qua M  4;3 vng góc  với OM nên nhận OM   4;3 làm véc-tơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng d : x – y  25  Cách Đường thẳng d qua M  4;3 cắt trục Ox , Oy A B khác O nên A  a ;  , B  0; b  với a  , b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  4;3 nên x y   a b 4 1 1   Ta có   2 2 a b OA OB a b Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta Trang 39 1  4         4        a b a b  1  25  4 :  : a   1 1   a b Suy Dấu “ ” xảy    2 2  2 OA OB a b 25  4   b  25  a b  4 x y   25 25  Cách Giả sử đường thẳng d có véc-tơ pháp tuyến n   a ; b  với a  b  nên có phương Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : trình d : a  x    b  y  3  hay ax  by  4a  3b   3b  4a   3b  4a  ;0  d  Oy  B  ; Khi d  Ox  A   Ta có: b  a    1 a2 b2 a  b2 a  b2       2 2 2 2 OA OB  3b  4a   3b  4a   3b  4a     b  a  25 Dấu “ ” xảy 4   3a  4b Chọn a  , suy b  3 b a Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x – y  25  Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  2;  1 cắt trục Ox , Oy A B khác O cho nhỏ  OA OB Lời giải Cách Đường thẳng d qua M  2;  1 cắt trục Ox , Oy A B khác O nên A  a ;  , B  0; b  với a  , b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  2;  1 nên x y   a b 9   Ta có   2 2 a b OA OB a b Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta 2                      a b   a b    a b  Suy 9 36   2 2 2 OA OB a b 25 25 2  :   : a   a  b  Dấu “ ” xảy  25   1 b    a b  8x y   25 25  Cách Giả sử đường thẳng d có véc-tơ pháp tuyến n   a ; b  với a  b  nên có phương Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : trình d : a  x    b  y  1  hay ax  by  2a  b  Trang 40  2a  b   2a  b  ;0  d  Oy  B  ; Khi d  Ox  A   Ta có: b  a    9a 4b 9a  4b 9a  4b 9a  4b 36        2 2 2 OA OB  2a  b   2a  b   2a  b   3a  2b      9a  4b  25   9 4 3  Dấu “ ” xảy : 3a   : 2b Chọn a  , suy b  9 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x – y – 25  Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M  0;  hai đường d1 : x  y   , d : x  y   Gọi A giao điểm d1 d Viết phương trình đường thẳng d qua M 1 cắt hai đường thẳng d1 , d B , C ( B C khác A ) cho đạt giá trị  AB AC nhỏ Lời giải 3 x  y   Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ   A  1;1 x  3y    Đường thẳng d1 có véc-tơ pháp tuyến n   3;1 ; Đường thẳng d có véc-tơ pháp tuyến  n  1; – 3   Ta có n1.n2  Suy d1  d Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng d Tam giác ABC vuông A nên 1 1    2 AB AC AH AM Dấu “ ” xảy H  M Khi đường thẳng d qua M  0;  vng góc với   AM nên nhận AM  1;1 làm véc-tơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng d : x y20 Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 1;1 , B  3;  C  7;10  Viết phương trình đường thẳng d qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến d lớn Lời giải Trường hợp Giả sử d cắt BC M Gọi H , K hình chiếu vng góc B C d Ta có d  B , d   d  C , d   BH  CK  BM  CM  BC Dấu “ ” xảy d vng góc với BC Trường hợp Trang 41 Giả sử d không cắt BC Gọi I trung điểm BC Gọi H , I , J hình chiếu vng góc B , C I d Ta có d  B , d   d  C , d   BH  CK  IJ  AI Dấu “ ” xảy d vng góc với AI Bây ta so sánh BC 2AI Vì I trung điểm BC nên I  5;  Ta có AI  41  BC  Vậy đường thẳng d cần tìm qua A 1;1  nhận AI   4;5  làm véc-tơ pháp tuyến nên d : x  y –   Chú ý: Nếu BC  AI đường thẳng d cần tìm qua A , có véc-tơ pháp tuyến BC Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB : x  y   , phương trình cạnh AC : x  y   , điểm M 1;  thuộc đoạn BC Tìm tọa độ   điểm D cho DB.DC có giá trị nhỏ Lời giải  Đường thẳng AB có véc-tơ pháp tuyến AB  1;  ; Đường thẳng AC có véc-tơ pháp tuyến   nAC   2;1 Giả sử đường thẳng BC có véc-tơ pháp tuyến nBC   a ; b  với a  b  Do BC : a  x  1  b  y –   hay ax  by – a – 2b  Tam giác ABC cân A nên cos  ABC  cos  ACB  | a  2b | a  b2       cos  nAB , nBC   cos  nAC , nBC   a  b  a  b2 a  b | 2a  b | • Với a  – b , chọn b  1 suy a  Ta BC : x – y   x  y   Tọa độ điểm B nghiệm hệ   B  0;1 x  y 1  2 x  y    1  C ;  Tọa độ điểm C nghiệm hệ   3 x  y 1    5   Ta có MB   1;  1 , MC    ;   Suy M không thuộc đoạn BC  3 • Với a  b , chọn a  suy b  Ta BC : x  y   x  y   Tọa độ điểm B nghiệm hệ   B  4;  1 x  y   2 x  y   Tọa độ điểm C nghiệm hệ   C  4;7  x  y     Ta có MB   3; 3 , MC   5;5  Suy M thuộc đoạn BC Trang 42 Gọi trung điểm BC I  0;3 Ta có       BC BC DB.DC  DI  IB DI  IC  DI   4   Dấu “ ” xảy D  I Vậy DB.DC nhỏ D  0;3    Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  0;1 , B  2;  1 hai đường thẳng có phương trình d1 :  m  1 x   m   y   m  , d :  – m  x   m  1 y  3m –  Chứng minh d1 d ln cắt P Tìm m cho PA  PB lớn Lời giải  m –1 x   m –  y  m – Xét hệ phương trình:   – m  x   m –1 y  3m  m 1 m  3  Ta có D    m     , m    m m 1 2  Vậy d1 d ln cắt Ta có A  0;1  d1 , B  2;  1  d d1  d Suy tam giác APB vuông P nên P nằm đường trịn đường kính AB Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  PA  PB   12  12  PA2  PB   AB  16 Suy PA  PB  Dấu “ ” xảy PA  PB Với PA  PB suy P trung điểm cung AB đường trịn đường kính AB Đường trịn đường kính AB có phương trình  C  :  x  1  y  Gọi  trung trực đoạn AB ,  suy  qua tâm I 1;0  có véc-tơ pháp tuyến AB   2;   nên có phương trình  : x – y –1   x – y –1  Khi tọa độ điểm P thỏa mãn hệ   P  2;1 P  0;  1 2  x  1  y  Với P  2;1 , thay vào d1 ta m  ; Với P  0;  1 , thay vào d1 ta m  Vậy PA  PB lớn m  m  Website chuyên cung cấp tài liệu file word chất lượng cao giá rẻ cho giáo viên https://Tailieuchuan.vn Trang 43 ... x2  x1 ; y2  y1  nên VTPT  n   y2  y1 ;   x2  x1   có phương trình  y2  y1  x  x1    x2  x1  y  y1   Đặc biệt, x1  x2 , y1  y2 có phương trình tắc x  x1 y  y1  ... định thức: m D  m   m  1? ??m  1? ?? m 2 = m +1 Dx  m  m ? ?1 m 2 Dy   m  m   m  1? ??m    m ? ?1 Vậy m  1, m  ? ?1 D  : hai đường thẳng cắt Trang 11 Nếu m  D  , D x  : hai đường... x1   B y  y1    Ax1  By1  Ax  By  Ax1  By1  C  Ax  By  C Mặt khác, điểm M  x1 ; y1  không nằm Ax  By  C  nên Ax1  By1  C  (đpcm) Câu Cho hai đường thẳng:  : (m  1)