chuyen de 4 cac bai toan ve chia het

65 Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: a b , b  Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a  bq Khi ta cịn nói: a bội b , b ước a Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên Các tính chất chung: 1) Bất số khác chia hết cho 2) Tính chất bắc cầu: a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c 3) Số chia hết cho số b khác 4) Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng hiệu 5) Nếu a b chia hết cho m a  b chia hết cho m , a  b chia hết cho m Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m a b chia hết cho m , số khơng chia hết cho m a  b không chia hết cho m , a  b không chia hết cho m 6) Nếu hai số Tính chất chia hết tích 7) Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m 8) Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n ab chia hết cho m.n Hệ quả: Nếu a chia hết cho b a n chia hết cho bn Một số dấu hiệu chia hết A  anan1 a2a1a0 a ;a ; ;a2 ;a1;a0 Đặt , với n n1 chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau:  AM2  a0 M2  a0   0; 2; 4;6;8  AM3   a0  a1   an 1  an  M3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com  AM4  a1 a0 M4  AM5  a0 M5  a0   0;5  AM  a2 a1 a0 M  AM9   a0  a1   an 1  an  M9  AM 11   a0  a2     a1  a3    M 11  AM25  a1 a0 M25  AM 125  a2 a1 a0 M 125 Dạng 1: Chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: 11 a, ab  ba M b, ab  ba M9 (a > b) Hướng dẫn giải c, abcabcM7,11,13 11 a, Ta có : ab  ba  10a  b  10b   11b  11b M b, Ta có : ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  9a  9b M9 c, Ta có : abcabc  abc.1001  abc.7.11.13M7,11,13 Bài 2: Chứng minh rằng: a, (n  10)(n  15)M2 b, n(n  1)(n  2) M2,3 c, n  n  không M4,2,5 Hướng dẫn giải a, Ta có: Nếu n số lẻ n  15M2 Nếu n số chẵn n  10M2 , Như với n số tự nhiên :  n  10   n  15  M2 n  n  1  n   b, Ta có: Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho c, Ta có : n(n  1)  số lẻ nên không chia hết cho 4,2 có chữ số tận khác Bài 3: Chứng minh rằng: a, (n  3)(n  6)M2 b, n  n  không M5 c, aaabbbM37 Hướng dẫn giải a, Ta có: Nếu n số chẵn n  6M2  n  3  n   M2 Nếu n lẻ n  3M2 , Như với n số tự nhiên b, Ta có : n  n   n  n  1  , Vì n  n  1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : 0, 2, 6, : n  n  1  có tận 6, 8, nên khơng M5 c, Ta có : aaabbb  aaa 000  bbb  a.11100  b.111  a.300.37  b.3.37 chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com b, ab(a  b) M2 Hướng dẫn giải a, aaa Ma ,37 c, abc  cbaM99 a, Ta có : aaa  a.111  a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có: Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ (a + b) số chẵn nhưu a + b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho c, Ta có: abc  cba  100a  10b  c   100c  10b  a   99a  99c  99  a  c  M99 Bài 5: Chứng minh : ab  8.ba M9 Hướng dẫn giải Ta có: Bài 6: Cho Ta có : ab  8.ba  10a  b   10b  a   18a  18b  18  a  b  M9 a, b  ¥ Chứng minh rằng: (4a  b)M5  (a  4b)M5 Hướng dẫn giải  4a  b  M5   4a  b  M5   16a  4b  M5  15a   a  4b  M5   a  4b  M5  dpcm  Bài 7: Chứng minh số có dạng : abcabc chia hết cho 11 Hướng dẫn giải Ta có : abcabc  a.105  b.104  c.103  b.10  c  a.102 103   b.10 103   c 103         103  1  a.102  b.10  c   1001  a.102  b.10  c   11.91.abc M 11  A   n  5  n  6 M6n Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: Hướng dẫn giải A  12n  n n  1  30 AM6n  n n  1  30M6n Ta có: , Để n n  1 Mn  30Mn  n  U  30   1;2;3;5;6;10;15;30 Ta có: n n  1 M6  n n  1 M3  n  1;3;6;10;15;30 Và n  1;3;10;30 Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu 17  a, b  ¢  17 10a  bM Bài 9: Chứng minh rằng: 3a  2bM ngược lại có khơng? Hướng dẫn giải a  b M 17  10 a  b M 17 * 17  27 a  18bM 17   17 a  17b    10a  b  M 17  10a  b M 17 17  9.(3a  2b)M Ta có: 3a  2bM *10a  bM 17  3a  2bM 17   10a  b  M17  20a  2bM17  17a  3a  2bM17  3a  2bM17 17 Ta có: 10a  bM Bài 10: Chứng minh rằng: 11 abcd M 11 a, Nếu ab  cd M Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word b, Cho abc  deg M7 cmr abc deg M7 Hướng dẫn giải toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com a, Thật   abcd  100.ab  cd  99.ab  ab  cd , chia hết cho 11 b, Ta có abc deg  1000abc  deg  1001abc  (abc  deg) mà abc  deg M7 1001M7 nên abc deg M7 Bài 11: Chứng minh rằng: a, Chứng minh ab = 2cd với a, b, c, d chữ số khác abcd chia hết cho 67 b, Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh bca chia hết cho 27 Hướng dẫn giải a, Ta có ab = 2cd abcd = ab.100 + cd = 2cd.100 + cd = cd.201 = cd.67.3 Vậy abcd chia hết cho 67 b, Ta có : abcM27  abc 0M27  1000a  bc0M27  999a  a  bc0M27  27.37 a  bca M27 27 nên bcaM27 Do 27.37 aM Bài 12: Chứng minh rằng: a, abc deg M23, 29 abc  2.deg 11 abc deg M 11 b, Cmr (ab  cd  eg )M Hướng dẫn giải a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  1000.2deg  deg  2001deg  deg.23.29.3 11 b, Ta có : abc deg  10000.ab  100cd  eg  9999ab  99cd  ( ab  cd  eg ) M Bài 13: Chứng minh rằng: 99 ab  cd M99 a, Cho abc  deg M37 cmr abc deg M37 b, Nếu abcdM Hướng dẫn giải a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  999abc  ( abc  deg)M37 abcd  100.ab  cd  99.ab  ab  cd M99  ab  cd M9 b, Ta có :   101 ab  cd M 101 Bài 14: Chứng minh rằng: Nếu abcd M Hướng dẫn giải abcd M 101  100.ab  cd  101.ab  ab  cd  101.ab  ab  cd M 101 Ta có : => ab  cd M 101 17 2a  5b  6c M 17 (a,b,c  Z) Bài 15: Chứng minh rằng: a  11b  3c M Hướng dẫn giải a  11b  3c M 17  2a  22b  6c M 17   2a  5b  6c   17b M 17  2a  5b  6c M 17 Ta có: Bài 16: Chứng minh rằng: a, abcd M29 a  3b  9c  27d M29 b, abcM21 a  2b  4c M21 Hướng dẫn giải  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo:  TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com a, Ta có : abcd  1000a  100b  10c  d M29  2000a  200b  20c  2d M29  2001a  a  203b  3b  29c  9c  29d  27 d M29   2001a  203b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29  a  3b  9c  27 d M29 abc M21  100a  10b  c M21   100a  10b  c  M21 b, Ta có:   a  2b  4c    399a  42b  M21   a  2b  4c   21 19a  2b  M21   a  2b  4c  M21 Bài 17: Chứng minh ab  cd  eg chia hết cho 11 abc deg chia hết cho 11 Hướng dẫn giải  abc deg  10000.ab  100  cd  eg  9999  ab  99  cd  ab  cd  eg  chia hết cho 11 13 Bài 18: Với a, b số nguyên, chứng tỏ rằng: a  4b M 10a  b M 13 Hướng dẫn giải 13 13  10  a  4b  M Ta có: a  4b M (1) Lại có: 10  a  4b   10a  40b  10a  b  39a 13 (2) Mà 39aM 13 Từ (1) (2)  10a  b M Bài 19: a) Cho abc  deg chia hết cho 37 Chứng minh abcdeg chia hết cho 37 b) Cho abc  deg chia hết cho Chứng minh chia hết cho Hướng dẫn giải a)   abcdeg  1000  abc  deg  999  abc  abc  deg M37 b) abcdeg  1000  abc  deg  1001  abc  (abc  deg ) chia hết cho Bài 20: Tìm chữ số a biết 20a 20a 20a chia hết cho Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com n  20a 20a 20a  20a 20a.1000  20a  (20a.1000  20a).1000  20a  1001.20a.1000  20a Theo đề n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết 20a chia hết cho Ta có 20a  196  (4  a ) , chia hết  a chia hết cho Vậy a  Bài 21: Cho ba chữ số khác khác Lập tất số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số Chứng minh tổng chúng chia hết cho 37 Hướng dẫn giải Gọi ba chữ số a , b , c Các số tự nhiên có chữ số gồm số là: abc, acb, bca, bac, cba, cab Tổng số theo đề bằng: abc  acb  bca  bac  cba  cab  222  a  b  c  chia hết cho 37 x  y   x  y   1002 Bài 22: Có hai số tự nhiên x y mà  hay không? Hướng dẫn giải Giả sử tồn số tự nhiên x y mà ( x  y )( x  y )  1002  1 Không thể xảy trường hợp x y có số chẵn, số lẻ xảy x  y x – y lẻ nên tích  x  y   x  y  số lẻ, trái với  1 Vậy x y phải chẵn lẻ Khi x  y x – y chẵn nên tích  x  y  x  y chia hết cho 4, 1002 khơng chia hết cho 4, vơ lí x  y   x  y   1002 Vậy không tồn số tự nhiên x y mà  Bài 23: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho viết tiếp sau số 1999 ta số chia hết cho 37 Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm ab  5402.37  26  ab : 37  26  ab : 37 Ta có:1999ab : 37  199900  ab : 37 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Vậy ab   11;48;85 Bài 24: Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: a) n  10   n  15 b) n  n  1  n   c) n  2n  7  7n  1 chia hết cho chia hết cho cho chia hết cho Hướng dẫn giải a) Nếu n số lẻ n + 15 chia hết n b) Nếu n số chẵn n + 10 chia hết cho  10   n  15  n c) Trong số n (7n + 1) phải có số chẵn nên Mà (3, 2) = nên ta cần chứng minh chia hết cho  10   n  15  chia hết n  2n  1  7n  1 M2 n  2n  1  7n  1 M3 Xét trường hợp: - Trường hợp 1: n = 3k n  2n  1  7n  1  3k  6k  1  21k  1 M3 - Trường hợp 2: n = 3k + - Trường hợp 3: n = 3k + 2n    6k  9 M3  n  2n  7  7n  1 M3 7n    21k  15 M3  n  2n  7  7n  1 M3 Từ trường hợp suy n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho Bài 25: Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2, Hướng dẫn giải Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2, Ta có 2019xy chia hết cho  y       x   M3   12  x  M3 Lại có 2019xy M3 nên  x   0; 3; 6; 9 Vậy  x; y     0;0  ;  3;0  ;  6;0  ;  9;0   Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Chứng minh rằng:  ab  1 M3 Hướng dẫn giải a  p  r , b  3q  r  p, q, r  Z , r  1,  Ta có: ab    p  r   3q  r    p  3q  r   r  p  r    pq  pr  3qr  r  Nếu r = r     0M3 Nếu r = r     3M3 ab  1 Vậy  chia hết cho Bài 27: Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho cho 27 biết hai chữ số số 97 Hướng dẫn giải Gọi n số phải tìm, n phải tận n phải chia hết cho Xét n  *975 chia hết cho nến * = Thử lại: 6975 không chia hết cho 27 Xét n  *970 chia hết *  Thử lại: 2970 chia hết cho 27 Số phải tìm 2970 Bài 28: Hai số tự nhiên a chia hết cho a 2a có tổng chữ số k Chứng minh Hướng dẫn giải Ta biết số tổng chữ số có số dư phép chia cho 9, hiệu chúng chia hết cho Như vậy: Và Suy ra: 2a – kM  9 a  k M9  2a  k    a  k  M9 a M9 Do Bài 29: Cho số tự nhiên ab lần tích chữ số a) Chứng minh b chia hết cho a   N ), chứng minh k ước 10 b) Giả sử b  ka ( k  c) Tìm số ab nói Hướng dẫn giải a) Theo đề bài: ab = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word 3ab tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com  10a  b  3ab  10a  ba Ma  b Ma (1) b) Do b  ka nên k  10 Thay b  ka vào (1): 10a  ka  3a.ka  10  k  3ak (2)  10 Mk c) Do k  10 nên k  {1 ; ; 5} Với k  , thay vào (2) : 11  3a, loại Với k  , thay vào (2) : 12  6a  a  2; b  ka  2.2  Ta có ab  24  3.2.4 Với k  , thay vào (2) : 15  5a  a  1; b  ka  5.1  Ta có ab  15  3.1.5 Đáp số: 24 15 Chú ý Cách giải câu c không thông qua câu a b ab  3ab   1 0a  b  3ab    1 0a  3ab – b  1 0 a  b  3a – 1 Ta thấy 10a chia hết cho 3a  , mà a 3a  nguyên tố (thật 3a   3a  1 a d 3a  vậy, chia hết cho d Md ,vậy d  ) nên 10 M3 a - 1 3a – chia hết cho , tức 10 3a 11 a Loại Loại b Đáp số: 15 24 Bài 30: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số chia hết cho tích chữ số Hướng dẫn giải 10a  b M ab (1) Gọi số phải tìm ab , ta có Suy Thay b Ma Đặt b  ka (2) k  10 (k    N) b  ka vào (1) ta có 10a  ka M akb    1 0a M   ka 1 0 Mk   k    1, 2, 5 a  11Ma  a  Nếu k  b  a Thay vào (1) ta 11a M Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Vậy ab = 11 Nếu k  b  2a Xét số 12, 24, 36, 48 ta có số 12, 24, 36 thỏa mãn đề Nếu k  b  5a  ab  15 thỏa mãn đề Kết luận: Có số thỏa mãn đề 11, 12, 15, 24, 36 Bài 31: Tìm số tự nhiên n cho 18n  chia hết cho Hướng dẫn giải Cách 18n  M7  14n  4n  M7  4n  M7  4n   M7  4n  M7   n 1  Ta lại có Vậy M7  4,   nên n  7k   k  ¥  n  1 M7 Cách 18n  M7  18n   21 M7  18n  18   18n  Ta lại có Vậy M7  M7  18,7   nên n –1M  7 n  7k   k  ¥  Nhận xét: Việc thêm bớt bội hai cách giải nhằm đến biểu thức chia hết cho mà hệ số n Bài 32: Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia dư 5, chia dư 4, chia dư Hướng dẫn giải Gọi số tự nhiên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đề a Vì a chia dư nên a  4M9  a   153M9  a  157 M9 Vì a chia dư nên a  3M7  a   154M7  a 157 M7 Vì a chia dư nên a  2M5  a   155M5  a  157 M5 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Bài tập 29: Tìm chữ số tận số: P = 51994 Hướng dẫn Ta có: 54 = 0625 tận 0625 55 tận 3125 56 tận 5625 57 tận 8125 58 tận 0625 59 tận 3125 510 tận 5625 511 tận 8125 512 tận 0625 Chu kỳ lặp Suy ra: 54m tận 0625 54m+1 tận 3125 54m+2 tận 5625 54m+3 tận 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2 Do M=51994 có chữ số tận 5625 Bài tập 30: Tìm ba chữ số tận 123101 Hướng dẫn Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác: 123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123100 - chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 Bài tập 31: Tìm ba chữ số tận 3399 98 Hướng dẫn Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1) Tương tự 11, ta có 9100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 9100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N) Vậy ba chữ số tận 399 98 ba chữ số tận 999 Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 100 001 mà 999 = 9100: => ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 99 9, sau dựa vào phép nhân ??9x9 = 001 để xác định ??9 = 889) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 Trường hợp 3: Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com B1: Tìm dư phép chia số cho 125 B2: Suy khả ba chữ số tận B3: Kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài tập 32: Tìm ba chữ số tận 2004200 Hướng dẫn Do (2004, 5) = (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư => 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chia hết tận 376 Bài tập 33: Tìm bốn chữ số tận 51992 Hướng dẫn 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =( 0625) Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 II/ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM Bài tập 34: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho n không chia hết cho Bài tập 35: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống Bài tập 36: Tìm hai chữ số tận của: a) 3999 b) 111213 Bài tập 37: Tìm hai chữ số tận của: S = 23 + 223 + + 240023 Bài tập 38: Tìm ba chữ số tận của: S = 12004 + 22004 + + 20032004 Bài tập 39: Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a 101 ba chữ số tận a Bài tập 40: Cho A số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200 Bài tập 41: Tìm ba chữ số tận số: 199319941995 2000 Bài tập 42: Tìm sáu chữ số tận 521 D/ VẬN DỤNG TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT CHO MỘT SỐ Bài tập 43: Chứng minh 8102 - 2102 chia hêt cho 10 Hướng dẫn Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tân 6.Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 -2102 tận nên chia hết cho 10 Bài tập 44: Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn Theo tính chất 1a => 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n2 + n + có chia hết cho khơng ? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp => Chữ số tận n2 + n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n + không chia hết cho Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Bài tập 45: Chứng minh 261570 chia hết cho Hướng dẫn Ta thấy :265= 11881376 ,số có tận 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 376.Do đó: 261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho 21 Bài tập 46: Chứng tỏ 17  24  13 chia hết cho 10 Hướng dẫn Tìm chữ số tận 17 ; 244 – 1321 => Chữ số tận 175  24  1321 21 => 17  24  13 ⋮ 10 Bài tập 47: Chứng minh với số tự nhiên n 4n a)  chia hết cho 5; n1 b)  chia hết cho 5; n1  chia hết cho 5; c) n  chia hết cho 5; d) e)  chia hết cho 10 Hướng dẫn n1 4n n n a)   (7 )   2401     , tận 4n Vậy  1M5 n 1 n n n b)   (3 )   81   1.3  , tận n1 Vậy  2M5 n 1 n n c)   (2 )   16   6.2  , tận n1  3M5 Vậy n  tận nên chia hết cho d) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com n 1 n n e)   (9 )   81   1.9  , tận n1 Vậy  chia hết cho 10 Bài tập 48 Chứng minh 261570 chia hết cho Hướng dẫn Ta thấy :265 = 11881376, số có tận 376 nâng lên lũy thừa Nào (khác 0) có tận 376 Do đó: 261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Bài tập 49: Chứng minh 19911997-19971996 10 Hướng dẫn Là chứng minh số có chữ số tận cùng: Ta có 19911997 19971996 có chữ số tận Suy 19911997-19971996 10 Bài tập 50: Tồn hay không số tự nhiên n cho số n2 + n + chia hết cho 20052005 Hướng dẫn Số 20052005 có tận nên chia hết cho Ta có n2 + n + = n(n + 1) + có chữ số tận 1, 3, nên không chia hết cho Vậy không tồn n Bài tập 51: Cho P số nguyên tố lớn chứng minh ( P8n + 3p4n - ) ⋮5 Hướng dẫn Vì P số nguyên tố lớn nên tận p chữ số: 1; 3; 7; Nếu P có tận P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu P có tận p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận p8n có tận nên: P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu p có tận tương tự tận p4n p8n có tận nên tổng chia hết cho Nếu p có tận thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận 1và p8n = có tận Nên tổng chia hết cho Tóm lại với p nguyên tố lớn tổng ln chia hết cho Nhận xét chung phương pháp: Tách an dạng (10k + a1)n với a1 = {0, 1, .9} Viết n dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) Sử dụng nhận xét 1, 2, chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Bài tập 52: Chứng minh n5 n có chữ số tận cung giống Hướng dẫn Để chứng minh n5 n có chữ số tận chứng minh n5 – n 10 Ta có: A = n5 – n = n(n4 - 1).(n2 + 1) = (n - 1).n(n + 1).(n2 + 1) Ta có 10 = 2.5 (2.5) = (n - 1), n, n + số tự nhiên liên tiếp Suy A Chứng minh A n Ạ Nếu n dư suy n-1 A n: dư suy n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+15 A5 n: dư suy n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+15 A5 n: dư suy n+1 A5 Vậy A2 A5 A 10 Vậy n5 n có chữ số tận Bài tập 53: Tìm số dư phép chia 3517 cho 25 Hướng dẫn Trước hết ta tìm hai chữ số tận 517 Do số lẻ => Ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - M100 Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + M50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) M 100 Mặt khác: 516 - M4 => 5(516 - 1) M20 => 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận 43 Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18 * Chú ý: Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp: B1: Tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận B2: Dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị 2018 2007 Q  72020  32008 Bài 54 : Cho Chứng minh Q số tự nhiên chia hết cho   Hướng dẫn giải 2018 2007 Vì 2020; 2008 bội nên 2020 2008 bội 2018  m  ¥ * ; 20082007  4n  n  ¥ * Đặt 2020  4m 2020 Khi 2018 2007  32008 4 m n  74 m  34 n        2401  81 m n m n m n Ta thấy 2401 81 có tận nên 2401  81 có tận Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Suy Q   2007 20202018  32008 có tận Vậy Q số tự nhiên chia hết cho Dạng 3: Nhóm hợp lý n2 n n n Bài 1: Chứng minh với n nguyên dương    chia hết cho 10 Hướng dẫn giải Ta có: 3n  2n  3n  2n   3n  3n    2n  2n   3n  32  1  2n  22  1  3n.10  2n.5  10. 3n  2n1  10. 3n  2n1  Vì chia hết cho 10 với n nguyên dương nên ta có điều phải chứng minh Bài 2: Chứng minh rằng: n n1 10 a, 8.2  M n3 n n 1 n b,    M6 Hướng dẫn giải a, Ta có: 8.2n  2n 1  8.2n  2n.2  2n     10.2 n M 10 n n n n n n b, Ta có: VT  27  3    30  12M6 n 1 2n 2 Bài 3: Chứng minh rằng:  M7 Hướng dẫn giải A  3.32 n  4.2 n      4.2n  M  7.2n M7 n Ta có : Bài 4: Chứng minh rằng: n n 81 a, 10  18n  1M27 b, D = 10  72n  1M Hướng dẫn giải a, Ta có: VT   10n  1  18n  999  18n VT  9.1111  9.2n   111  2n  M9 ( có n chữ số 9)  1111  n   3n mặt khác: 111  2n ( có n chữ số 1) = Xét: 111  n có tổng chữ số + + + + 1- n = nên chia hết cho 111 1+2n chia hết cho suy VT chia hết cho 27 b, Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com D  10n   72n  9.111  n  81n  9(111  n)  81n Xét 111 - n chia hết cho => D chia hết cho 81 n 1 n n3 Bài 5: Chứng minh :   chia hết cho 13 với n Hướng dẫn giải 3n 1  3n   3n3  3n.3  3n.9  3n.27  3n.3      3n 1.13M 13 Ta có: Bài 6: Chứng minh rằng: a,   M7 11 b,   M c, 10  10  10 M222 M555 d, 10  M59 Hướng dẫn giải a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có :  53  52   1  52.21M7  74    1  4.55M 11  107  102  10  1  107.111M222   2.5  57  56  26  1  56.59 M59 M555 d, Ta có : 13 Bài : Chứng minh : 81  27  M45 Hướng dẫn giải   34    33    32  Ta có : 13   9.5  45  328  327  326  326 32    326.5M Bài : Chứng minh rằng: Q  n  n chia hết cho 10 với n số tự nhiên Hướng dẫn giải Ta có Q  n  n  n  n  1   n  1 n  n  1  n  1 Trong số (n – 1) n ln có số chẵn nên Q chia hết cho (1) Do n số tự nhiên nên n có dạng sau: n  5k  1, n  5k  2, n  5k Nếu n = 5k Q chia hết cho Nếu n = 5k +1 n – = 5k chia hết cho Nếu n = 5k -1 n + = 5k chia hết cho Nếu n  5k  n2 = 5q + nên n2 +1 chia hết cho Do ta ln có Q chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy Q chia hết cho 10 a 3 a 5 a 7 Bài : Chứng minh: M     a  ¥  chia hết cho 42 Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com M  a   2a   2a   2a   23  25   2a     32   2a  2.42 a Ta có: 42M42 nên M M42 (đpcm) Bài 10: Cho Ta có: 10k  1M 19  k  1 2k 19 Chứng minh rằng: 10  1M Hướng dẫn giải 2k 2k k 10   10  10  10k   10k 10k   10k      k 19 Nhận thấy: 10  1M 4 Bài 11: Chứng minh rằng: n  n  M Hướng dẫn giải n  n   n  n  1  n  n  1 Ta có: , mà tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn Mà VP + nên số lẻ không chia hết cho 5 Bài 12: Chứng minh rằng: n  N , n  n  M Vì Vì n  n   n  n  1  n  n  1 Hướng dẫn giải , tích số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận 0; 2; n  n  1  Khi đó: có tận 6;8;2 nên khơng chia hết cho Bài 13: x 1 x2 x3 x 100 Chứng minh rằng:     chia hết cho 120  x  ¥  Hướng dẫn giải Ta có: 3x1  3x  3x3   3x100   3x1  3x  3x3  3x    3x5  3x6  3x  3x8     3x 97  3x98  3x 99  3x 100   3x   32  33  34   3x 4.  32  33  34   x96   32  33  34   3x.120  3x  4.120   3x 96.120  120. 3x  3x    3x 96  M 120  với số tự nhiên n Bài 14: Chứng minh rằng: n  n  M Hướng dẫn giải n  n   n  n  1  Ta có: số lẻ nên khơng chia hết cho Bài 15: Chứng minh rằng: 11 a,      M4 b,     M30 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải A       310  311    3  32   3   310   1 a, Ta có: A   32.4  34.4   310.4M4 B   52  53  54   58   52  53  54   57  58 b, Ta có: B  30  52.30   56.30 Bài 16: Chứng minh rằng: 60 119 15 13 a,     M b,      M Hướng dẫn giải C      260   2  23   25   28   257   260 a, Ta có: C  15  25   257 C        25        257      => 17 18 19 D           b, Ta có: D  13  33.13   317.13  13  33   317 M 13                       Bài 17: Chứng minh rằng: 60 a,     M3, 7,15 a, Ta có: 1991 13, 41 b,      M Hướng dẫn giải A     24   259  260       A      23      259     AM3 A    22  23    24  25  26     258  259  260  lại có: A    22  24   22   258   22 M7      2        A   22  23  26  27  28   257  258  259  260 Lại có: A  2.15  25.15   257.15M 15 B     33  34  35   31989  31990  31991 b, Ta có: B  13  33.13   31989.13M 13 B     36   33  35  37   31984  31986  31988  31990 Lại có:  31985  31987  31989  31991  820    31984  31095 M41                 Bài 18: Chứng minh rằng: 100 a,     M31 1998 12,39 b,     M Hướng dẫn giải a, Ta có: A   22  23  24  25  26  27  28  29  210   296  297  298  299  2100       A  2.31  26.31   296.31M 31 S    32    33  34     31997  31998  b, Ta có: S  12  32.12   31996.12M 12 S     34  35  36   31996  31997  31998 mặt khác:  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu   word toán  zalo:   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com S  39  33.39   31995.39M39 Bài 19: Chứng minh rằng: 1000 120 12 a,     M b, 11  11  11   11 M Hướng dẫn giải a, Ta thấy tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40 B    32  33  34     3997  3998  3999  31000      32  33    31997    32  33  M40 Như A M120 C  11  112  113  114   117  118 b, Ta có:       C  11  11  113   11   117  11  11 C  11.12  113.12   117.12M 12 Bài 20: Chứng minh rằng: 210 404 31 a,     M210 b,      M Hướng dẫn giải a, Tổng A hiển nhiên chia hết cho (1) Nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21 A    42    43  44     4209  4210  A      43      4209     4.5  43.5  4209.5 M A              4 A     16      16    4 208 208 4 209 4 210  (2)    16  M21 (3) Từ (1), (2) (3) ta thấy: A M210 B    52  53  54  55   5402  5403  5404 b, Ta có : B  31  53   52   5402   52 M31           Bài 21: Chứng minh rằng: 100 a,      M a, Ta có : 21 22 23 29 13 b,     M Hướng dẫn giải A     24   299  2100       A      23      299     2.3  23.3   299.3 M       22 23  24 25  26    329    B  3 3  3 3 b, Ta có : B  321   32  324   32  327   32 21 27 28  B  321.13  324.13  327.13M 13 A  75.(4 2004  2003     1)  25M 100 Chứng minh Bài 22: Hướng dẫn giải 2004 2003 Đặt B       , Tính B thay vào A ta : A  75 42005  :  25  25 42005   25  25 42005    25.42005 M100  Liên hệ tài 039.373.2038  liệu  word toán  zalo:   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com 2010 Bài 23: Chứng minh rằng: M  2012  2012  2012   2012 M2013 Hướng dẫn giải M  2012  2012  2012  20124   2012 2009  20121010      M  2012   2012   20123   2012    20122009   2012   M  2012.2013  20123.2013   2012 2009.2013M2013 2008 Bài 24: Cho A      , Tìm dư A chia cho Hướng dẫn giải A     22  23  24    25  26  27     22006  2007  22008  A   22    22   25    22    22006    22  A   22.7  25.7  2006.7 , Nhận thấy A chia dư 5n 3  25n   25n 1 chia hết cho 31 Bài 25: Chứng minh : A      n số nguyên dương Hướng dẫn giải A     22  23  24    25  26  27  28  29     25 n 5  25 n   25 n 3  25 n   25 n 1  A  31  25    22  23  24    25 n 5    22  23   A  31  25.31   25 n 5.31M 31 n Bài 26: Cho n số nguyên dương Chứng minh :  , bội 10 3n  bội 10 Hướng dẫn giải n n n Nếu  , Là bội 10  có tận số 0=> có tận n4 n 10 (đpcm) Mà   3   .9.81     0M 2012 Bài 27: Chứng minh : N      bội 30 Hướng dẫn giải 2011 N        52012       N  30           30  30   2 2010 2 2010 30M30 2004 Bài 28: Cho S      , Chứng minh S chia hết cho 10 3S+4 2004 chia hết cho Hướng dẫn giải 2003 S        2004       S      43      42003     4.5  43.5   2003.5  S M5, S M2  S M 10 2005 Mặt khác: S       4S  S  3S  42005   3S   42005 M42004 N  0, 2007 2009  20131999 Bài 29: Cho Chứng minh rằng: N số nguyên Hướng dẫn giải N   2007 2009  20131999  10 , Để chứng minh N số nguyên N chia hết cho 10 hay:  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com 2007 2009  20131999  2007 2008.2007  20131996.20133  1.2007     0M 10 Vậy N chia hết cho 10 Do N số nguyên 1   1 A  1.2.3 2018.       2017 2018  , chứng tỏ A số  Bài 30: Cho tự nhiên chia hết cho 2019 Hướng dẫn giải  1     1 1       1         1009 1010  2017 2018 =  2018   2017  Ta có : 1   2019      1009.1010   1.2018 2.2017  = 2019 2.3 2016.2017  1.3.4 2016.2018   1.2 1008.1011 2017.2018 1.2.3 2017.2018 1   1 A  1.2.3 2018.1       2017 2018  =  Do :  1.2.3 2018.2019 2.3 2016.2017  1.3.4 2016.2018   1.2 1008.1011 2017.2018 1.2.3 2017.2018  2019. 2.3 2016.2017  1.3.4 2016.2018   1.2 1008.1011 2017.2018  M2019 Vậy A số tự nhiên chia hết cho 2019 2008 2007 2006 Bài 31: Chứng minh : B    M31 Hướng dẫn giải 2006 B5    31.52006 M31 Ta có : 20 17 Bài 32: Chứng minh :  M Hướng dẫn giải   C   23   220  224  220  20   1  20.17 M 17 Ta có: Bài 33: Chứng minh rằng: D  313 299  313 36M7 Hướng dẫn giải D  313  299  313.36   3135  1567  M7 Ta có: n 1  n M400 Bài 34: Chứng minh rằng: A      Hướng dẫn giải 400     Ta có: , nhóm số hàng tổng A Bài 35: Chứng minh rằng:       2 99  2100 chia hết cho 31 Hướng dẫn giải 99 100 Đặt D         (có 100 số hạng) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com    22  23  24  25    26  27  28  29  210     296  297  298  299  2100  (có 20 nhóm) D  2.   22  23  24   26    2  23     296    2  23   D  2.31  26.31   296.31 D  31.  26   296  chia hết cho 31 99 100 Vậy D         chia hết cho 31 Bài 36: Cho S  17  17  17   17 Chứng tỏ S chia hết cho 307 Hướng dẫn giải S  17  17  17   17       17  17  17  174  17  172   1716  17  172   17.307  17 4.307   1716.307    307 17  17   1716 M 307 307 Vậy SM n2 n 1 Bài 37: Chứng minh : Số A  11  12 chia hết cho 133, với n¥ Hướng dẫn giải Ta có: A  11n  122 n1  112.11n  12. 12   121.11n  12.144 n n   133  12  11n  12.144n  133.11n  12.11n  12.144 n  133.11n  12. 144 n  11n  Ta thấy : 133.11n M 133  144 n  11n  M  144  11  133  12. 144n  11n  M133 Do suy 133.11n  12. 144n  11n  chia hết cho 133 n2 n 1 Vậy: số A  11  12 chia hết cho 133, với n  ¥ Bài 38: Chứng minh với n ngun dương ta ln có: 4n3  4n2  4n 1  4n chia hết cho 300 Hướng dẫn giải Với n nguyên dương, ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com 4n3  4n  4n1  4n  4n. 43  42   1  4n.75  4n 1.4.75  300.4 n1 n1 Mà 300.4 chia hết cho 300 (với n nguyên dương) n 3 n n 1 n Nên    chia hết cho 300 Bài 39: Cho biểu thức E  2018! Chứng minh rằng: 2018! 2018! 2018! 2018!     2017 2018 E M2019 Hướng dẫn giải Vì 2019  3.673 mà 673 hai số nguyên tố Để Chứng minh EM2019 ta chứng minh EM3 EM673 Ta xét số hạng E 2018!  1.2.3 2018 2018! 2018! có chứa thừa số 673 Do 2018!M3.673 có chứa thừa số 673 Do có chứa thừa số 673 Do 2018! M3.673 2018! M3.673 Lần lượt ta thấy tất số hạng lại (trừ 2018! 673 ) chứa thừa số 673 nên số hạng chia hết cho 673 Số 2018! 673 có chứa thừa số thừa số 1346 chia hết cho 673 Nên 2018! M3.673 673 Vậy tất số hạng E chia hết cho 3.673 Do đó: EM2019 Bài 40: Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : A  ab  a  b  chia hết cho 48 Hướng dẫn giải Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : a   2n  1 ; b   2n  1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  n¢ word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com Ta có : ab  a  b    ab  a    b  1  a  b  1   b  1   a  1  b  1 Do đó: 2 A  (a  1)  b  1   2n  1  1  2n  1  1  4n  n  1 4n  n  1  16n  n  1  n  1    mà n  n  1  n  1 M3 ( tích số nguyên liên tiếp)  AM 16.3  AM48  dpcm  x1 x x x100 Bài 41: Chứng minh rằng:     chia hết cho 120 với x số tự nhiên Hướng dẫn giải x1 x x x100      3x1  3x  3x3  3x  3x5  3x  3x  3x8   3x 97  3x98  3x 99  3x100        3      3       3    x x 4 x 96   3x.120  3x 4.120   3x96.120  120 3x  3x   3x 96 M 120  Liên hệ tài 039.373.2038  liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... = 343 có chữ số tận => 799 có chữ số tận b) Dễ thấy 141 4 = 4k + ( với k = 353) => 141 4 14 = 144 k + = 144 k 142 Theo tính chất 1d => 144 k có chữ số tận => 141 4 14 có chữ số tận chữ số tận 6. 142 ... (8+1)9 = 4k + => = 74k+1 = 7.74k = 49 2k có chữ số tận 7.1 = b/ Ta có 141 4 = 1967 = (49 .4) 7 = 4k 14 14 => 14 = 24k.74k = 16k. 240 1k nên tận 67 c/ Có =   1 67 = 4k+1 67 => = 34k+1 = 3.34k = 3.81k... 6. 142 = 1176 có chữ số tận => 141 4 14 có chữ số tận c) Ta có 567 = 4k + (với k = 141 ) => 45 67 = 44 k + = 44 k .43 Theo tính chất 1d => 44 k có chữ số tận => 45 67 có chữ số tận chữ số tận 6 .43 Mà 6 .43