Chuyen de 4 cac dang toan ve va cham

Chuyên đề VA CHẠM GIỮA CÁC VẬT I TÓM TẮT KIẾN THỨC Nội dung toán va chạm sau : biết khối lượng vận tốc vật trước va chạm, ta cần tìm vận tốc vật sau va chạm Xét hai vật có khối lượng m1 m2 chuyển động mặt phẳng nằm ngang (mặt phẳng xOy) ngược chiều đến va chạm trực diện với Vận tốc ban đầu vật   v1 v Trong mặt phẳng nằm ngang áp dụng định luật bảo tồn động lượng vật tham gia va chạm, tức :     m1v1  m v m1v '1  m v '2 (1)   v '1 v '2 vận tốc vật sau va chạm Va chạm hoàn toàn đàn hồi Va chạm hai vật hồn tồn đàn hồi q trình va chạm khơng có tượng chuyển phần động vật trước va chạm thành nhiệt công làm biến dạng vật sau va chạm Nói cách khác, sau va chạm đàn hồi cầu có hình dạng cũ khơng bị nóng lên Lưu ý va chạm xảy mặt phẳng nằm ngang tức độ cao so với mặt đất cầu không thay đổi nên chúng khơng thay đổi va chạm, bảo toàn trường hợp bảo tồn động Do vậy, ta có phương trình : 1 1 m1v12  m v22  m1v'12  m v'22 2 2 (2) Để giải hệ phương trình (1) (2) ta làm sau :     Vì vectơ v1 , v , v'1 , v'2 có phương nên ta chuyển phương trình vectơ (1) thành phương trình vơ hướng : m1v1  m v m1v '1  m v '2 ) biến đổi phương trình thành : m1 (v1  v '1 ) m (v '2  v ) (1’) Biến đổi (2) thành : m1 (v12  v '12 ) m (v '22  v 22 ) (2’) Chia (2’) cho (1’) ta có : (v1  v'1 ) (v'2  v ) Nhân hai vế phương trình với m1 ta có : m1 (v1  v'1 ) m1 (v'2  v ) (3) Cộng (3) với (1’) ta tìm vận tốc vật thứ hai sau va chạm : 113 v '2  2m1v1  (m1  m )v m1  m (4) Ta nhận thấy vai trò hai cầu m m2 hồn tồn tương đương nên cơng thức ta việc tráo số cho ta tìm vận tốc cầu thứ sau va chạm: v '1  2m v  (m  m1 )v1 m1  m (5) Ta xét trường hợp riêng biểu thức (4) (5) : Giả sử hai cầu hoàn toàn giống , tức m1 = m2 Từ (4) (5) ta có : v '2 v1  v '1 v2 Nghĩa hai cầu sau va chạm trao đổi vận tốc cho : cầu thứ có vận tốc cầu thứ hai trước có va chạm ngược lại 2) Va chạm mềm: Va chạm vật va chạm mềm sau va chạm hai vật dính liền với thành vật Trong va chạm mềm phần động cầu chuyển thành nhiệt công làm biến dạng vật sau va chạm Dĩ nhiên va chạm mềm ta khơng có bảo tồn vật Định luật bảo tồn động lượng dẫn đến phương trình :    m1v1  m v (m1  m )v  v vận tốc vật sau va chạm Từ đó, ta tính vận tốc vật sau va chạm :    m1v1  m v v m1  m (6) Phần động tổn hao trình va chạm : Động hai vật trước va chạm : 1 K  m1v12  m v 22 2 Động chúng sau va chạm :   (m1v1  m v ) 2 K  (m m )v  2(m m ) Phần động tổn hao m1m K K  K  (v1  v )  m1  m trình va chạm : (7) Biểu thức chứng tỏ động cầu luôn bị tiêu hao 114 thành nhiệt công làm biến dạng vật sau va chạm Muốn đập vỡ viên gạch, tức muốn chuyển động búa thành lượng biến dạng làm vỡ viên gạch theo (7) ta cần tăng vận tốc v búa trước va chạm, tức phải đập búa nhanh Ngược lại, đóng đinh ta phải làm giảm phần động tiêu hao ta muốn chuyển động búa thành động đinh ấn sâu vào gỗ Muốn vậy, phải tăng khối lượng m búa để đạt động búa lớn mà vận tốc v 10 búa không lớn , nhờ mà giảm phần động tiêu hao thành nhiệt 3/ Va chạm thật vật: Thực tế, va chạm vật khơng hồn tồn đàn hồi khơng phải va chạm mềm mà trường hợp trung gian hai trường hợp Trong trình va chạm, phần động vật chuyển thành nhiệt công biến dạng sau va chạm hai vật khơng dính liền mà chuyển động với vận tốc khác Từ thời Niutơn, thực nghiệm người ta xác định va chạm thật vật tỉ số e vận tốc tương đối ( tức hiệu hai vận tốc ) sau va chạm (v'1  v'2 ) vận tốc tương đối trước va chạm (v1  v2 ) phụ thuộc vào chất vật va chạm : e v1  v v10  v 20 Tỉ số e gọi hệ số đàn hồi Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi , từ biểu thức (3) ta suy : v'1  v'2  (v1  v ) Như vậy, va chạm hồn tồn đàn hồi e = Trong va chạm mềm sau va chạm hai vật chuyển động với vận tốc v nên vận tốc tương đối chúng sau va chạm khơng, e = 0.Đối với va chạm vật thật e có gia trị Biết hệ số đàn hồi e , ta xác định vận tốc sau va chạm vật phần động tiêu hao va chạm Thật , từ định nghĩa hệ số đàn hồi e định luật bảo tồn động lượng ta có hệ phương trình :  v'1  v'2  e(v1  v )  m1v'1  m v'2 m1v1  m v Muốn giải hệ phương trình này, nhân hai vế phương trình đầu với m2 cộng phương trình thu với phương trình thứ hai hệ ta : (m1  m )v'1 (m1  m )v1  m (e  1)(v1  v ) Từ tính : v'1 v1  m (e  1)(v1  v ) m1  m 115 Tương tự , ta tìm : v'2 v  m1 (e  1)(v  v1 ) m1  m Phần động tiêu hao va chạm : 1 1 K K  K  m1v12  m v 22  m1v'12 m v'22 2 2 1 K  m1 (v12  v'12 )  m (v 22  v'22 ) 2 1 K  m1 (v1  v'1 )(v1  v'1 )  m (v  v'2 )(v  v'2 ) 2 Từ biểu thức v1 v2 mà ta tìm ta có đẳng thức sau : m1 (v1  v'1 )  m (v  v'2 )  m1m (e  1)(v1  v ) m1  m Vậy : m1m (e  1)(v1  v )  (v1  v'1 )  (v  v'2 )  m1  m Mặt khác : (v1  v'1 )  (v  v'2 ) (v1  v )(1  e) m1m (1  e )(v1  v ) Cuối cùng: K  m1  m K  Từ biểu thức , ta thấy va chạm hồn tồn đàn hồi (e = 1) K = 0, tức khơng có tổn hao động cầu sau va chạm Trong va chạm mềm (e = 0) biểu thức hoàn toàn trùng với biểu thức (7) mà ta tính trước II CÁC DẠNG TỐN Dạng Va chạm hoàn toàn đàn hồi A Phương pháp giải  Lập phương trình bảo tồn động lượng bảo tồn động  Áp dụng cơng thức vận tốc vật sau va chạm Lưu ý: Khi giải toán va chạm, điều quan trọng phải nhận biết trình va chạm q trình khơng va chạm Trong q trình khơng va chạm (q trình trước va chạm sau va chạm) ta áp dụng định lí thiết lập cho q trình động lực khơng va chạm, cịn trình va chạm sử dụng cơng thức nêu Nói cách khác, việc giải toán va chạm kèm theo giải tốn khơng va chạm B VÍ DỤ MẪU Ví dụ Quả cầu I chuyển động mặt phẳng ngang trơn, với vận tốc không đổi đến đập vào cầu II đứng yên Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va 116 – – – – chạm vận tốc hai cầu ngược nhau, độ lớn Tính tỉ số khối lượng hai cầu Hướng dẫn Gọi m1 m2 khối lượng cầu I II; v vận tốc cầu I trước va chạm; v1 v2 vận tốc cầu I II sau va chạm Hai cầu đặt mặt phẳng ngang nhẵn nên lực ma sát, mặt khác   trọng lực P phản lực Q cân nên hệ hai cầu hệ kín va chạm Theo định luật bảo toàn động lượng (theo phương ngang), ta có: m1v0 = m1v1 + m2v2 (1) Sau va chạm vận tốc hai cầu ngược chiều nhau, độ lớn nên: v2 = – v1 (2) Thay (2) vào (1) ta được: m1v0 = m1v1 – m2v1 = (m1 – m2)v1 m1 v  v1 = (3) m1  m – Vì va chạm hồn tồn đàn hồi nên động bảo toàn: m1 v20 v2 v2 = m1 + m 2 2 – Thay (2) vào (4) ta được: m1  v12 = m1v20 m1  m (4) v20 v2 v2 v2 = m1 + m = (m1 + m2) 2 2 (5) m1 m1v20  m1v  – Từ (3) (5) suy ra:  =   = m1  m m1  m (m1  m )  m1  m   m2(m2 – 3m1) = m1  Vì m2   m2 – 3m1 =  m2 Vậy: Tỉ số khối lượng hai cầu m1  m2 Ví dụ Quả cầu khối lượng M = 1kg treo đầu dây mảnh nhẹ chiều dài  = 1,5m Một cầu m = 20g bay ngang đến đập vào M với v = 50 m/s Coi va chạm đàn hồi xun tâm Tính góc lệch cực đại dây treo M Hướng dẫn Gọi v1 v2 vận tốc cầu m M sau va chạm  – Chọn chiều dương theo chiều vận tốc v Theo phương ngang, động lượng bảo toàn nên: mv = mv1 + Mv2 (1) 117 – Vì va chạm đàn hồi xuyên tâm nên động bảo toàn: m v2 v2 v2 = m + M 2 2 (2) M v2 (3) m M v2 Từ (2) suy ra: v2 – v12 = (4) m O Chia theo vế (4) cho (3), ta được: v + v1 = v2 (5) Giải hệ (3) (5) ta được: B (m  M)v 2mv v1 = ; v2 = (6) mM m M Áp dụng định luật bảo toàn cho vật M vị trí AMvà B (gốc m trọng lực vị trí cân A): – Từ (1) suy ra: v – v1 = – – – –    v v2 M = Mgh = Mg  (1 – cos α ) A  v0  cos α = –  2mv  v22 =1– 2g  m  M  2g  cos α = –  2.0,02.50  = 0,87  α = 29,50 2.10.1,5  0,02   (7) Vậy: Góc lệch cực đại dây treo α = 29,50 Ví dụ Ba vật khối lượng m1, m2, m3 trượt khơng ma sát theo trục m1 nằm ngang (hình vẽ) m1, m3  m2 Ban đầu m1, m3 đứng yên cịn m2 có vận tốc v Va chạm hồn tồn đàn hồi Tìm vận tốc cực đại m1, m3 sau Hướng dẫn Giả sử m2 va chạm vào m3 trước (hình m1 vẽ) Va chạm m2 với m1 m3 xảy liên tiếp nhiều lần làm cho vận tốc m1 m3 tăng dần (m1 dịch chuyển sang trái m3 dịch chuyển sang phải), ngược lại vận tốc m giảm dần Quá trình va chạm kết thúc vận tốc cuối v2 m2 bắt đầu nhỏ  v1 m1 m3 m2 m2  v m3 Trước va chạm m2 Sau va chạm m3  v3 118 h vận tốc m1 m3 Khi vận tốc m1 m3 đạt cực đại Gọi vận tốc cực đại v1 v3  – Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (chiều dương theo chiều v ): m2v = – m1v1 + m3v3 + m2 v2 (1) – Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên bảo toàn: 1 v2 v2 v2 v/2 m2 = m1 + m3 + m2 (2) 2 2 / / v – Vì m1, m3 m2 v2 < v1; v3 nên động lượng cuối m2 m2 động v2/2 m2 m2 nhỏ, bỏ qua so với động ban đầu m2, động lượng động cuối m1 m3 Suy ra: v2 m2 v2 = 0; m2 = (3)  m2 m v  – v1  v3       m3  m3 – Thay (3) vào (1) (2) ta được:     m v2   m1 v2   v  m m3  m1 m2 1 – Đặt a = ;b = (4) m3 m3 cuối  bv  – av1  v3  v2  2 (5)     bv   av1   v3 – Từ (5) suy ra: v3 = bv + av1 (6) (7) – Thay (7) vào (6) ta được: bv = a v12 + (bv + av1)2  a(a + 1) v12 + 2abvv1 – bv2 + b2v2 = Vì b = m2  nên b2   b2v2  m3  a(a + 1) v12 + 2abvv1 – bv2 = (8) – Giải phương trình bậc hai (8) v1, ta được: 2 2  / = (abv) + ab(a + 1)v = ab(a + 1)v ; (abv)   v1 =  bv  abv  v ab(a  1) v ab(a  1) = + (a  1) a(a  1) a(a  1) 119 Vì b = m2  bv 0  nên m3 (a  1) ab(a  1) b v ab(a  1)  v1  =v =v a(a  1) a (a  1) a(a  1) (Loại nghiệm v2 < 0) – Thay (4) vào (9) ta được: v1  v m2 m3 (10) m1m  m12 – Thay (4) (10) vào (7) ta được: v3  v (9) m1 m m1m  m 32 Vậy: Vận tốc cực đại m1, m3 sau v1  v m2 m3 m1m  m v3  v m1m m1m  m 32 * Chú ý : Nếu m2 va chạm vào m1 trước ta có kết Ví dụ Cho hệ hình vẽ Hai vật khối lượng m đặt sàn nhẵn nằm ngang nối với lò xo độ cứng k Vật thứ ba khối lượng m đến đập vào hai vật với vận tốc v dọc theo phương song song với trục lò xo Coi va chạm tuyệt đối đàn hồi k m m m a) Chứng minh hai vật nối lị xo ln chuyển động hướng b) Tính vận tốc vật lò xo dãn tối đa Hướng dẫn a) Chứng tỏ hai vật nối lò xo chuyển động hướng Gọi v1 v3 vận tốc vật vật sau va chạm Chọn chiều  dương hướng sang phải theo chiều v (hình vẽ) Áp dụng định luật bảo toàn động lượng bảo toàn động cho hệ hai cầu 3, ta có: mv mv3  mv1 v v3  v1 m m k m  m m m   2  v  v3  v1 v v3  v1 2 2  v  v v  v3 v1 v1 v     2 v3 0 v  v3 v1 – Ngay sau va chạm, vật đứng yên vật chuyển động sang phải với vận tốc v Lúc lò xo chưa kịp biến dạng Gọi u1 u2 vận tốc vật vật thời điểm sau va chạm vật vào vật 1, x độ biến dạng lò xo – Áp dụng định luật bảo tồn động lượng bảo toàn lượng cho hệ hai vật 1, lò xo ta được: 120 v u1  u2  mv mu1  mu2   1 2 1   2 2 v u1  u2  kx  mv  mu1  mu2  kx 2 2  m v2 u12  u22  2u1u2    2 2 v u1  u2  kx  m  u1u2 = kx 2m (1) (2) (3) kx 0 nên u1 u2 dấu, nghĩa sau va chạm hai vật 2m chuyển động hướng, tức phía b) Vận tốc vật lò xo dãn tối đa kx Vì u1 + u2 = v khơng đổi nên theo bất đẳng thức Cơ–si u 1u2 = đạt cực 2m đại khi: v u1 = u2 = (4) – Vì – Khi (3) trở thành: kx 2max v2 m =  xmax = v 2k 2m v * Chú ý: Có thể giải câu b theo cách khác sau: Gọi G khối tâm hệ hai vật 2; vG vận tốc khối tâm G – Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm vật vật sau vật va chạm vào vật 2, ta có: mv v m1v1 = mGvG hay mv = 2mvG  vG   2m v Như vậy, khối tâm G chuyển động sang phải với vận tốc vG = – Khi lò xo dãn tối đa hai vật đứng yên hệ quy chiếu khối tâm, tức đứng yên so với khối tâm G Suy vận tốc hai vật (đối với mặt đất) vận tốc khối tâm Ta có: v u1 = u2 = (4) Vậy: Vận tốc vật lò xo dãn tối đa u1 = u2 = – Thay (4/) vào (3) ta được: xmax = v m 2k 121 Ví dụ Hịn bi sắt treo vào dây chiều dài  = 1,2m kéo cho dây nằm ngang thả rơi Khi dây hợp góc  = 300 với đường thẳng đứng, bi va chạm đàn hồi với bề mặt thẳng đứng sắt lớn cố định (hình vẽ) Hỏi bi nảy lên đến độ cao bao nhiêu? Hướng dẫn – Hịn bi bắt đầu chuyển động khơng vận tốc đầu từ A, va chạm đàn hồi với mặt thẳng đứng sắt B, sau nẩy lên đạt độ cao cực đại C (hình vẽ)  Gọi v1 vận tốc vật  trước va chạm với sắt B – Áp dụng định luật bảo toàn cho giai đoạn AB với gốc trọng lực B: WA = WB  mgh = O A  C  v2t h/ m v12 B 2  v1 = 2gh = 2g  cos  (1)    v2  – Vectơ v1 có phương tiếp tuyến với quỹ đạo trịn B, tức vng góc với bán kính OB có chiều hình vẽ h  v1  v 2n  Gọi v vận tốc vật sau va chạm với sắt B Vì va chạm   đàn hồi với tường phẳng nên v đối xứng với v1 qua mặt tường thẳng đứng Về độ lớn v2 = v1   + Thành phần pháp tuyến v 2n v có phương vng góc quỹ đạo trịn nên  khơng ảnh hưởng đến chuyển động tròn lên vật Thành phần v 2n có tác dụng kéo dãn dây treo vật làm phần động vật biến thành nhiệt 122