Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
754,2 KB
Nội dung
265 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A KiÕn thøc cÇn nhí Định nghĩa số phương Số phương số bình phương số nguyên (tức n số phương thì: n k2 k Z ) Một số tính chất cần nhớ 1- Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n N) 4- Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + ( n N ) 5- Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Mọi số phương chia cho 5, cho dư 1, 0, Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Nếu hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số số 10 Số ước số phương số lẻ Ngược lại, số có số ước số lẻ số số phương 11 Nếu n2 < k < (n + 1)2 ( n Z) k khơng số phương 12 Nếu hai số tự nhiên a b ngun tố có tích số phương số a, b số phương 13 Nếu a số phương, a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p 14 Nếu tích hai số a b số phương số a b có dạng a = mp ; b = mq B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh số số phương, tổng nhiều số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh số n số số phương ta thường dựa vào định n k2 k Z nghĩa, tức chứng minh : * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: A = n ( n +1) ( n + 2) ( n + 3) +1 số phương Hướng dẫn giải Ta có: A = ( n + 3n) ( n + 3n + 2) +1 = ( n + 3n) + ( n + 3n) +1 = ( n + 3n +1) 2 Vỡ n ẻ Ơ nờn n + 3n +1 ẻ Ơ Vy A l s chớnh phương B = 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k +1) ( k + 2) Bài toán Cho: với k số tự nhiên Chứng minh 4B + số phương Hướng dẫn giải Ta thấy biểu thức B tổng biểu thức nghĩ đến việc phải thu gọn biểu thức B trước : Ta có 1 n ( n +1) ( n + 2) = n ( n +1) ( n + 2) é = é n ( n +1) ( n + 2) ( n + 3) - ( n - 1) n ( n +1) ( n + 2) ù ( n + 3) - ( n - 1) ù ë û û 4ë Áp dụng: 1.2.3 = ( 1.2.3.4 - 0.1.2.3) 2.3.4 = ( 2.3.4.5 - 1.2.3.4) 3.4.5 = ( 3.4.5.6 - 2.3.4.5) k ( k +1) ( k + 2) = é k ( k +1) ( k + 2) ( k + 3) - ( k - 1) k ( k +1) ( k + 2) ù û 4ë Cộng theo vế đẳng thức ta được: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k +1) ( k + 2) = k ( k +1) ( k + 2) ( k + 3) Þ B +1 = k ( k +1) ( k + 2) ( k + 3) +1 Theo ví dụ ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word B +1 = ( k + 3k +1) toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Vì k ẻ Ơ nờn k + 3k +1 ẻ Ơ Vậy B +1 số phương C = 11 { +1 { + 44 Bài toán Chứng minh rằng: minh C số phương n 2n với n số tự nhiên Chứng Hướng dẫn giải Ta có: Đặt C = 11 100 { +1 { { +11 { + 44 n n a 11 { n n n 9a 99 { n n 99 { 10 9a Do n C = a.10n + a + 4a +1 = a ( 9a +1) + 5a +1 Þ C = 9a + 6a +1 = ( 3a +1) 2 Þ C = 33 34 { n- Vậy C số phương Nhận xét: Khi biến đổi số có nhiều chữ số giống thành số 11 { a phương ta nên đặt n n 99 { 10 9a n a 11 b 10 05 { { 2016 2015 Bài toán Cho , Chứng minh ab số tự nhiên Hướng dẫn giải Cách 1: b 10 05 10 { { 9 { 9a Ta có: 2015 2016 2016 ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ab (3a 1) 3a N Vậy ab Cách 2: Ta có: số tự nhiên a 11 { 2016 ab Mà 10 2016 10 2016 Liên hệ tài 039.373.2038 1 10 ab M3 102016 , b 102016 2016 2016 2 Do đó, liệu 102016 10 1 2016 4.102016 10 ab số tự nhiên word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Vậy ab số tự nhiên Bài toán Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số Chứng minh a - b số phương Hướng dẫn giải Cách 1: 1030 1060 a 11 b 22 { { 9 60 30 Ta có: , 2 30 1060 2(1030 1) 1060 2.1030 10 33 { a b 30 9 Cách 2: b 22 { 2.11 { 30 30 , 30 11 a 11 { { { 11 1.00 { { 11 { 11 1.10 60 30 30 30 30 30 9c 99 c 11 { 10 { 30 30 Đặt 30 Khi đó: a c 9c 1 c 9c 2c b 2c a b 9c 2c 2c 3c 33 { 30 Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số số tự nhiên b gồm k chữ số Chứng minh a b số phương 2 n2 Bài toán Cho n ¥ cho tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số phương liên tiếp Hướng dẫn giải n2 a a 1 Giả sử ta có: = 2 2 Từ có n 3a 3a 4n 12a 12a 2n 1 2n 1 2a 1 Vì 2n 1; 2n hai số lẻ liên tiếp nên ta có trường hợp: 2n p 2n q Trường hợp 1: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com 2 Khi q p ( Vơ lí ) Vậy trường hợp khơng xảy 2n p 2n 3q Trường hợp 2: p 2k Từ p số lẻ nên 2n 2k 1 n k k 1 Từ (đpcm) 2 Bài tốn Cho k số nguyên dương a = 3k + 3k +1 a) Chứng minh 2a a tổng ba số phương b) Chứng minh a ước số nguyên duong b b n tổng gồm ba số phương b tổng bà số phương Hướng dẫn giải a) Ta có 2a = 6k + 6k + = ( 2k +1) + ( k +1) + k 2 2 a = 9k +18k +15k + 6k +1 = ( k + k ) +( 2k + 3k +1) +( 2k + k ) = a12 + a22 + a32 b) Vì bMa nên đặt b = ca b = b12 + b22 + b32 Vì b tổng ba số phương nên đặt Khi b = c a = c ( a12 + a22 + a32 ) Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành sau: cho b p+1 = ( b p ) ( b12 +b22 + b32 ) n = p +2 bn = ( b n = p +1 p ) ta được: b ( a12 + a22 + a32 ) cho ta Dạng 2: Chứng minh số khơng số phương * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh n khơng số phương, tùy vào tốn ta sử dụng cách sau: 1) Chứng minh n khơng thể viết dạng bình phương số nguyên 2) Chứng minh k2 < n < (k + 1)2 với k số nguyên 3) Chứng minh n có tận 2; 3; 7; 4) Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 5) Chứng minh n có dạng 3k + 6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Một số tự nhiên có tổng chữ số 2018 số phương khơng ? sao? Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Gọi số tự nhiên có tổng chữ số 2018 n Ta có : 2018 = 3m + nên số tự nhiên n chia dư 2, số n có dạng 3k + với k số tự nhiên Mặt khác số phương trình khơng có dạng 3k + suy số tự nhiên n khơng số phương Bài toán Chứng minh số A = n + 2n + 2n + 2n +1 n N n > khơng phải số phương Hướng dẫn giải Ta có: A = n + 2n3 + 2n + 2n +1 = ( n + 2n3 + n ) + ( n + 2n +1) 2 = ( n + n) + ( n +1) > ( n + n) " n > 2 Þ A > ( n + n) " n > Mặt khác: ( n2 + n +1) = n + n3 + n + n + n +1 = ( n + 2n3 + 2n + 2n +1) + n = A + n > A " n > Þ A < ( n + n +1) ( n + n) 2 < A < ( n + n +1) Do Ta có (n2 + n) (n2 + n + 1) hai số tự nhiên liên tiếp nên A khơng thể số phương 33 Bài toán Cho A Hỏi A có số phương khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải Ta có A 2 23 24 25 230 231 232 233 22 2 23 230 2 23 2.30 29.30 29 3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận Do đó, A khơng số phương Vậy A khơng số phương 4n 4n 4n 4n Bài toán Chứng minh A 2012 2013 2014 2015 số phương với số nguyên dương n (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Ta có: 20124 n M4; 20144 n M4 n N * , 20134 n 20134 n 20134 n 1 20154 n 20154 n 1 4n 1 chia cho dư chia cho dư 4n Do đó, A 2012 2013 2014 2015 chia cho dư 2 Ta có: AM2 , A khơng chia hết cho , mà số nguyên tố Suy A khơng số phương Vậy A khơng số phương 4n 4n 4n Bài toỏn Cho Ê n ẻ Ơ , Chng minh A = n - n + 2n + 2n khơng thể số phương Hướng dẫn giải Ta có A = n - n + 2n3 + 2n = n ( n - n + 2n + 2) = n2 é n n - 1) + ( n +1) ù ê ú ë ( û ù = n2 é ê ën ( n - 1) ( n +1) + ( n +1) ú û = n ( n +1) ( n - 2n + 2) n - 2n + > n - 2n +1 = ( n +1) £ n ẻ Ơ Vi , ta cú V n - 2n + = n - ( n - 1) < n 2 Do ( n - 1) < n - 2n + < n 2 Như n - 2n + khơng phải số phương nên A khơng phải số phương Bài tốn Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Hướng dẫn giải Giả sử: a = 2m +1 , b = 2n +1 , vi m, n ẻ Ơ a + b = ( 2m +1) +( 2n +1) = ( m + m + n + n) + = 4k + 2 Ta cú: vi k ẻ Ơ 2 Khơng có số phương có dạng 4k + a + b khơng phải số phương Dạng 3: Điều kiện để số số phương * Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com - Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ - Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết chia có dư - Phương pháp 4: Sử dụng tính chất * Ví dụ minh họa: n ( n + 3) Bài tốn Tìm số ngun n cho số phương Hướng dẫn giải A = n ( n + 3) Để nhiên, đó: số phương n ( n + 3) = k với k số tự n + 3n = k Û 4n +12n = 4k Û 4n +12n + = 4k + 2 Û ( 2n + 3) - ( 2k ) = Û ( 2n + 2k + 3) ( 2n - 2k + 3) = Ta có ( 2n + 2k + 3) ³ ( 2n - 2k + 3) = 9.1 = 3.3 = ( - 1) ( - 9) = ( - 3) ( - 3) Và Trường hợp : Trường hợp : Trường hợp : ïìï 2n + 2k + = Û í ïỵï 2n - 2k + = ïìï n + k = Û í ïỵï n - k = - ïìï 2n + 2k + = Û í ïïỵ 2n - 2k + = ïìï n + k = Û í ïïỵ n - k = ùỡù n = ị A=4 ùợù k = ùỡù n = ị A=0 ùùợ k = ïìï 2n + 2k + = - ïìï n + k = - ïìï n = - Û í Û í Þ A=4 í ïỵï 2n - 2k + = - ïỵï n - k = - ïïỵ k = ìïï 2n + 2k + = - ìïï n + k = - ìïï n = - ị A=0 ùợù 2n - 2k + = - ïỵï n - k = - ïïỵ k = Trường hợp : Vậy n = - 4; - 3;0;1 ta có A số phương Bài tốn Tìm số ngun n cho n 1955 n 2014 số phương Hướng dẫn giải 2 Giả sử n 1955 a ; n 2014 b với a, b ¥ a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com b a a 29 b a 59 b a b a 59 b a 59 b 30 Khi Dễ dàng suy n 1114 Bài tốn Tìm số ngun dương n để biểu thức sau số phương: a) A = n2 - n + b) B = n - n + Hướng dẫn giải a) Với n = A = n2 – n + = khơng số phương Với n = A = n2 – n + = số phương Với n > A = n2 – n + khơng số phương ( n - 1) =n2 - ( 2n - 1) < n - ( n - 2) < n2 Vậy n = A số phương n5 - n = ( n - 1) n ( n +1) b) Ta có: Với n = 5k n chia hết cho Với n = 5k ±1 n - chia hết cho Với n = 5k ± n +1 chia hết cho 5 Do n - n ln chia hết cho 5 Nên n - n + chia cho dư nên n - n + có chữ số tận nên B = n - n + không số phương Vậy khơng có giá trị n thỏa để B số phương Bài tốn Tìm số ngun dương n nhỏ cho số n , 2n , 5n số phương Hướng dẫn giải k ¥ n 3k , không số phương Nếu n 3k Nếu n 3k 2n 6k , cho cho dư nên không số phương Vậy nM 2n số phương lẻ nên chia cho dư Suy 2nM8 n M4 n lẻ Do n số phương lẻ nên n chia cho dư 1, suy nM n chia hết cho số nguyên tố nên nM24 Với n 24 n 25 52 , 2n 49 , 5n 121 112 Giá trị nhỏ n phải tìm 24 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Bài tốn Tìm số tự nhiên n cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương (Đề thi HSG lớp - Phịng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc) Hướng dẫn giải Với n = 1! = = số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 số phương Với n ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = 1; n = A n 3 4n 14n Bài tốn Tìm số nguyên dương n cho số phương (Đề thi chọn HSG Tốn tỉnh Thái Bình) Hướng dẫn giải 4n 14n n 3 4n Ta có: n số nguyên dương nên n 4n 14n nguyên tố Vì vậy, để A số phương 4n 14n n + phải số phương 2n 3 4n 14n 2n Do n Z nên ta có 2 4n 14n 2n n Khi n + = số phương 2 Thử lại, với n , ta có A 10 Vậy số nguyên dương cần tìm n a a 1 a a 1 a aa a 1 Bài tốn Tìm a ¥ cho Hướng dẫn giải a a 1 a a 1 a aa a 1 a a 1 a aa a 1 Ta có (*) Vì VT(*) số phương nên VP(*) số phương Vì số phương có chữ số tận thuộc tập hợp 0;1; 4;5; 6;9 1; 2;5; 6;7; 0 nên a có chữ số tận thuộc tập hợp a 5;6; 7 Do a chữ số nên a Kết hợp với a ¥ nên Thử giá trị ta thu a thỏa mãn 76 5776 n Bài tốn Tìm số tự nhiên n cho số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Giả sử n 2n m , m ¥ m 3 m 3 m 2a , b m m m Vì nên với a, b ¥ a b Ta có 2b 2a 2a 2b a 1 2a 2b a 1 M2 2a 2b a 1 M4 Vì mà nên a Điều dẫn đến m n Dạng 4: Tìm số phương * Cơ sở phương pháp: Dựa vào định nghĩa số phương A = k , với k số nguyên u cầu tốn để tìm số phương thỏa tốn * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số phương abcd biết ab cd Hướng dẫn giải n abcd 100ab cd 100 cd cd 101cd 100 n Z Giả sử , 101.cd n 100 n 10 n 10 Vì n 100 101 số nguyên tố nên n 10 101 n 91 Thử lại: abcd 91 8281 có 82 81 Vậy abcd 8281 Bài toán Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Hướng dẫn giải Gọi A abcd k A abcd k B abcd 1111 m Theo đề ta có: * (với k , m N 31 k m 100 , a, b, c, d 1, ) m k 1111 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word (m - k)(m + k) = 1111 toán zalo: (*) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > nên m – k m + k số nguyên dương Và m – k < m + k < 200 nên (*) viết (m – k) (m + k) = 11.101 ïìï m - k = 11 ïì m = 56 ïìï A = 2025 Û ïí Û í í ïỵï m + k = 101 ïỵï k = 45 ïỵï B = 3136 Do đó: Vậy A = 2025, B = 3136 Bài tốn Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm abcd với a; b; c; d số tự nhiên a 9; b, c, d 0,1, 4, 5, 6, 9 Ta có abcd phương d Vì d số nguyên tố d = Đặt abcd = k < 10000 32 k < 100, k N Do k số có hai chữ số mà k2 có tận k tận Tổng chữ số k số phương k = 45 (vì k tận có chữ số) abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025 C BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho p abc bca cab số phương Câu 2: Tìm số nguyên tố ab(a b 0) , biết ab ba số phương 12 3x 1a 96 Câu 3: Tìm chữ số a số tự nhiên x cho Câu 4: Tìm số ngun tố có hai chữ số khác có dạng xy ( x y ) cho hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại số số phương 2019 Câu 5: Cho A Chứng tỏ A số phương Câu 6: Tìm số có ba chữ số, cho hiệu số số gồm ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại số phương 2 Câu 7: Cho x , y số nguyên thỏa mãn: x 2019 x 2020 y y Chứng minh rằng: x y số phương Câu 8: Cho n lẻ Chứng minh n Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: 2004 khơng số phương TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Câu 9: Website:tailieumontoan.com Một số phương có dạng abcd Biết ab cd Hãy tìm số abcd Câu 10 Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Câu 11 Tìm số tự nhiên ab cho ab (a b) Câu 12 Cho n số tự nhiên có hai chữ số Tìm n biết n 2n số phương 2012 2011 2010 2009 Câu 13 Cho A 10 10 10 10 Chứng minh A khơng phải số phương Câu 14 Chứng minh với số tự nhiên khác 0, có số lượng ước tự nhiên số lẻ số tự nhiên số phương Câu 15 M có số phương khơng : M = + + +…+ (2n-1) ( Với n N , n ) Câu 16 Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết hai số 2n + 3n + đồng thời hai số phương Bài 17: Tìm số phương có chữ số mà hai chử số đầu giống hai chữ số cuối giống Bài 18: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số bở hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Bài 19: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Bài 20: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Bài 21: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 số phương Bài 22: Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương Bài 23: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương Bài 24: Chứng minh tổng sau: P = + + 32 + 33 + + 361 + 362 không số phương 2010 2011 Bài 25: Cho A= Hỏi số A có phải số phương khơng? Bài 26: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + khơng có số số phương Bài 27: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + khơng thể số phương Bài 28: Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải số phương Bài 29: Chứng minh rằng: Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m + m = 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com a 111 2017 sè Bài 30: Cho phương b 1000 123 2016 sè Chứng minh số M ab số HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Ta có : p abc bca cab 100a 10 b c 100b 10 c a 100c 10a b 111 a b c 3.37 a b c p Để số a b c 27 a b c M37.3 phương a b c M37.3 mà Nên khơng có số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn yêu cầu đề Câu Ta có ab ba 10a b 10b a => ab ba 9(a b) => ab ba (a b) Để ab ba số phương số phương Do chữ số a, b a b => số phương ( a b) 1, 4 a b ab 21,32, 43,54, 65, 76,87,98 +Nếu mà ab số nguyên tố số lẻ => ab 43 +Nếu Vậy a b ab 51, 62, 73,84,95 mà ab số nguyên tố số lẻ => ab 73 ab 43;73 Câu Ta có: 12 3x 1a 96 x 1096 100a x 1089 100a 2 100a M9 a M9 a Vì 1089M9 nên x 12 x x 1296 x 144 x 12 x 16 Với a , Vì x số tự nhiên nên chọn x 2 Vậy a , x Câu Theo đề ta có: xy yx số phương Khi đó: 10 x y (10 y x ) 10 x y x y x y Suy ra: x y số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: số phương TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com x; y 1; 2; ; 9 Vì x y nên , ta xét trường hợp sau: + TH1: x y xy số nguyên tố nên xy 43 + TH2: x y xy số nguyên tố nên xy 73 + TH3: x y xy số nguyên tố nên khơng có số thoả mãn Vậy xy 43; 73 Câu Ta có: A 52 53 54 52020 A A 52020 A 52020 51010 Vậy A số phương Câu Gọi abc số tự nhiên có ba chữ số cần tìm Theo đề ta có: abc cba 100a 10b c 100c 10b a 99a 99c 9.11(a c) 32.11(a c) Để abc cba số phương a c 11 (không tồn tại) ac 0 a b a c 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Vậy số cần tìm có dạng abc với b 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 2 2 Câu Ta có: x 2019 x 2020 y y 2020 x 2020 y x y x 2020( x y ) ( x y ) x 2020( x y )( x y ) ( x y ) x ( x y )(2020 x 2020 y 1) x (1) Gọi d ước chung lớn x y 2020 x 2020 y (2020 x 2020 y 1) 2020( x y ) chia hết cho d 4040 x chia hết cho d 2 Mặt khác, từ (1) ta có: x chia hết cho d suy x chia hết cho d Từ 4040 x chia hết cho d mà x chia hết cho d ta có chia hết cho d d hay UCLN ( x y, 2020 x 2020 y 1) Từ suy x y 2020 x 2020 y số nguyên tố nhau, thỏa mãn (1) nên chúng số phương Vậy x y số phương (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com 2004 số phương với n số lẻ ta có: Câu Giả sử n n 2004 a (a ¥ *) a n1002 a n1002 a n1002 1M a n1002 a n1002 a n với n số lẻ điều vơ lý 1002 2004 khơng số phương với n số lẻ Vậy n Câu Ta có a, b, c, d số nguyên từ đến 9; a, c khác Là số phương nên abcd = n2 ab cd ab cd 100(cd 1) cd 101cd 100 Hay n2 = abcd = 100 Suy n2 – 100 = (n – 10)(n + 10) = 101 cd , n2 số có chữ số n m.b = n2 d => b Mn2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2 Mb => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Câu 11 Ta có: (a + b)3 = ab số phương nên a + b số phương * Đặt a + b = x2 (x N ) Suy ra: ab (a b ) = x6 => x3 = ab < 100 ab > => < x3 < 100 => < x < => x = 3; x N* - Nếu x = => ab (a b) = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = (nhận) - Nếu x = => ab (a b) = 46 = 4096 = 642 (6 + 4)3 = 1000 => x = (không thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: ab = 27 Câu 12 + Vì n số có hai chữ số nên n 100 18 2n 200 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com + Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36; 64; 100; 144; 196 + Với 2n 36 n 18 n 22 khơng số phương 2n 64 n 32 n 36 số phương 2n 100 n 50 n 54 không số phương 2n 144 n 72 n 76 không số phương 2n 196 n 98 n 102 khơng số phương + Vậy số cần tìm n 32 Câu 13 Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận 2012 2011 2010 2009 Nên A 10 10 10 10 có chữ số tận Vậy A số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Câu 14 Gọi số tự nhiên P (P ¹ 0) Nếu P = ta có = 12 Þ P số phương x Nếu P > Phân tích P thừa số nguyên tố ta có P = a b (với a, b, , c số nguyên tố) Khi số lượng ước P (x + 1).(y + 1) (z + 1) Theo (x + 1).(y + 1) (z + 1) số lẻ y .c z Þ x + , y + , , z + số lẻ Þ x, y , , z số chẵn Do x = 2.m ; y = 2.n ; ; z = 2.t Nên P = a 2.m b 2.n .c 2.t = ( a m b n .ct ) Þ P số phương Vậy chứng tỏ với số tự nhiên khác 0, có số lượng ước số lẻ số tự nhiên số phương Câu 15 M = + + +…+ (2n-1) ( Với n N , n ) Tính số số hạng = ( 2n - 1-1): + = n Tính tổng = ( 2n – + ) n : = 2n2 : = n KL: M số phương Câu 16 Ta có 10 n 100 nên 21 2n 201 Mặt khác 2n +1 số phương lẻ, 2n + 25; 49; 81; 121; 169 Từ n nhận giá trị tương ứng 12; 24; 40; 60; 84 3n + nhận giá trị 37; 73; 121; 181; 253 Trong số có 121 = 112 số phương Từ 3n + 1= 121 Suy n = 40 Bài 17: Giả sử xxyy số phương ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com 11 xxyy 1000 x 100 x 10 y y 1100 x 11 y 11 100 x y M Do 121 100 x y M 11 x y M 11 vi 99xM 11 xxyy số phương nên xxyy M xxyy 11 100 x y 11 99 x 11 112 x 1 Do x y 11 nên x + y = 11; Suy 9x + số phương suy x = 7, y = Bài 18: Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm ab (a, b N, a, b 9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta có ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11 a2 – b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 Vì < a – b 8, a + b 18 nên a + b 11 a + b = 11 Khi đó: ab - ba 2= 32 112 (a – b) Để ab - ba số phương a – b phải số phương a – b = a – b = Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11 a = 6, b = , ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11 a = 7,5 loại Vậy số phải tìm 65 Bài 19: Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n p > q a + 48 = 2p a – 48 = 2q 2p - 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3 q = p – q = p = n = + = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Bài 20: Giả sử 2010 + n2 số phương 2010 + n2 = m2 (m N ) Từ suy m2 - n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn (m + n) (m – n) 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 21:Vì chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n khơng phải số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com Bài 22 Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 không số phương Bài 23: Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà khơng chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà khơng chia hết cho 9, số khơng phải số phương Bài 24: P = (1 + + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362 = (40 + 34 40 + + 356 40) + 360 + 361 + 362 - Các số hạng ngoặc có tận - Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận - Số 361 = 3.360 => có chữ số tận - Số 362 = 9.360 => có chữ số tận Vậy tổng P có chữ số tận => P khơng số phương 2012 4.503 Bài 25: Tính A Vì SCP khơng có tận 3, nên A+8 SCP Bài 26: a) Ta có 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Có 2N M3 => 2N – ⋮ => 2N – = 3k => 2N - = 3k + (k N) => 2N – chia cho dư => 2N - khơng số phương b) 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn Ta có N lẻ (vì N tích số tự nhiên lẻ) => N không chia hết cho => Mặc dù 2N M2 2N không chia hết cho => 2N khơng số phương c) 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho dư => 2N + khơng số phương Bài 27: Vì p tích n số nguyên tố (trong có số ngun tố chẵn, cịn lại tất số nguyên tố lẻ) => p M2 p chia hết cho (1) a) Giả sử p + số phương Đặt p + = m2 ( m N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1) => p + khơng phải số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 265 Website:tailieumontoan.com b) p = 2.3.5 số chia hết cho => p – ⋮ => p – = 3k => p - = 3k + => p – chia cho dư => p - khơng số phương Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + khơng số phương Bài 28: a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Với k, m N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 chia cho dư => a2 + b2 số phương Bài 29: Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m số phương (*) Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chia hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Bài 30: Chú ý đến biến đổi lũy thừa 10 Ta có Khi ta 10n 111 12 n so a 111 123 2017 so 102017 ta phân tích số a b n b 1000 05 1000 10 2016 so 102017 102017 n M ab 1 10 1 2017 so 4.102017 102017 1 102017 N Đến ta cần ta ta có điều phải chứng minh 102017 N 2017 Tuy nhiên hiển nhiên 10 2M3 Vậy M ab số phương Chú ý Với dạng tốn chứng minh số phương ta ý đến phép biến đổi: n 101 1;99 102 1;999 103 1;999 10 n so Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Với dạng tốn chứng minh số phương ta ý đến phép biến đổi: n 101 1 ;99 102 1 ;99 9 103 1 ;99 9 10 n so Liên hệ tài 0 39. 373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 73,84 ,95 mà ab số nguyên tố số lẻ => ab 73 ab 43;73 Câu Ta có: 12 3x 1a 96 x 1 096 100a x 10 89 100a 2 100a M9 a M9 a Vì 1089M9 nên... Đặt C = 11 100 { +1 { { +11 { + 44 n n a 11 { n n n 9a 99 { n n 99 { 10 9a Do n C = a.10n + a + 4a +1 = a ( 9a +1) + 5a +1 Þ C = 9a + 6a +1 = ( 3a +1) 2 Þ C = 33 34 { n- Vậy C số phương