Chuyên đề 5. Một số bài toán về số chính phương, số lập phương-đã chuyển đổi

Chun đề MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG – SỐ LẬP PHƯƠNG I Một số kiến thức cần nhớ Số phương • Định nghĩa Số phương số bình phương số ngun • Một số tính chất + Tính chất Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Suy số có chữ số tận 2, 3, 7, khơng phải số phương + Tính chất Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn + Tính chất Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + với n số nguyên + Tính chất Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + với n số nguyên + Tính chất Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ + Tính chất Số phương chia hết cho số nguyên tố chia hết cho bình phương số ngun tố Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 + Tính chất Nếu hai số nguyên dương ngun tố có tích số phương số đếu số phương + Tính chất Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích số phương hai số nguyên liên tiếp + Tính chất Hai số phương a ( a + 1) gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Số lập phương • Định nghĩa Một số nguyên gọi số lập phương viết thành lập phương số ngun • Một số tính chất cần nhớ + Tính chất Nếu số nguyên a chia có số dư a chia có số dư + Tính chất Nếu số nguyên a chia có số dư −1 a chia có số dư −1 + Tính chất Số lập phương chia hết cho số nguyên tố chia hết cho lập phương số ngun tố + Tính chất Nếu hai số nguyên dương nguyên tố có tích số lập phương số đếu số lập phương + Tính chất Hai số phương a ( a + 1) gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số lập phương liên tiếp khơng có số lập phương II Một số dạng toán liên quan đến số phương, số lập phương Dạng – Chứng minh số hay biểu thức số phương, số lập phương Cơ sở phương pháp Để chứng minh số A số phương, số lập phương ta có hướng sau + Hướng 1.Viết số A dạng bình phương số tự nhiên, lập phương số tự nhiên Ta cần để ý đến đẳng thức đáng nhớ ( A  B) ( A  B) = A  2AB + B2 = A  3A B + 3AB2 − B3 + Hướng Biến đổi số tự nhiên A thành tích m.n = a m.n = a chứng minh ( m; n ) = Ví dụ Cho số tự nhiên A = 11 11122 222 Chứng minh A số 2019 c/s 2020 c/s phương • Định hướng tư Để chứng minh A số phương ta cần viết A dạng bình phương số tự nhiên, điều đồng nghĩa với việc biến đổi A thành lũy thừa số tự nhiên khác Để ý 10n − = 999 99 nên ta biến đổi A làm xuất lũy thừa 10, từ áp dụng đẳng thức Lời giải Từ A = 111 11222 22 ta A = 111 11222 2215 = 111 11 + 111 110 + 2019 c/s 2019 c/s 2020 c/s 2020 c/s 4040 c/s 2020 c/s Do ta 9A = 9.111 11 + 9.111 110 + 9.4 = 999 99 + 999 10 + 36 4040 c/s 2020 c/s 2020 c/s 4040 c/s ( ) ( = 104040 − + 10 10 2020 − + 36 = 10 2020 ) ( + 2.10 2020 + 25 = 10 2020 + ) Do ta 9A số phương Mà số phương nên A số phương Ví dụ Cho số tự nhiên B = 111 11 + 111 11 + 666 66 + Chứng minh B 2n c/s n +1 c/s n c/s số phương • Định hướng tư Tương tự ta sử dụng biến đổi 10n − = 999 99 biến đổi B làm xuất lũy thừa 10, từ áp dụng đẳng thức Lời giải Ta có B = 111 11 + 111 11 + 666 66 + = 11 + 11 + 6.111 11 + 2n c/s n +1 c/s 2n c/s n c/s n +1 c/s n c/s Do ta 9B = 9.111 11 + 9.111 11 + 6.9.111 11 + 72 = 999 99 + 999 99 + 6.999 99 + 72 2n c/s n +1 c/s ( n c/s ) 2n c/s n +1 c/s ( = 102n − + 10 n +1 + 10 n − + 72 = 10 2n + 16.10 n + 64 = 10 n + n c/s ) Do 9B số phương Mà số phương nên suy B số phương Ví dụ Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương • Định hướng tư Để chứng minh dãy số dãy số phương ta cần chứng minh số tổng quát dãy số phương Muốn ta phân tích số thành bình phương số tự nhiên khác Chú ý đến biến đổi 999 = 10n − Ta chuyển số tổng n c/s quát dạng lũy thừa 10 sử dụng hẳng đẳng thức để phân tích bình phương Lời giải Xét số hạng tổng quát dãy số A = 444 888 Ta có n c/s n −1c/s8 A = 444 888 = 444 4.10 n + 888 88 + = 4.111 1.10 n + 8.111 + n c /s n −1 c /s n c /s n c /s n c /s n c /s  1 =  4.999 9.10 n + 8.999 +  = 4 10 n − 10 n + 10 n − +    9  n c /s n c /s  ( ) (  2.10 n +  1 = 4.10 2n + 4.10 n + = 2.10 n + =   9   ( ) Dễ thấy 2.10n + nên ta có ( ) ) 2.10 n + số tự nhiên Do ta A số phương Vậy tốn chứng minh Ví dụ Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1)( n + ) với n số tự nhiên khác Chứng minh 4S + số phương n ( n + 1)( n + )( n + ) • Định hướng tư Trước hết ta tính S = Như để 4S + số phương ta cần phân tích n ( n + 1)( n + )( n + ) + vể dạng bình phương tổng Lời giải Từ S = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1)( n + ) ta có 4S = 1.2.3.4 + 2.3.4 ( − 1) + 3.4.5 ( − ) + + n ( n + 1)( n + ) ( n + ) − ( n − 1)  = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − + n ( n + 1)( n + )( n + ) − ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) = n ( n + 1)( n + )( n + ) Do ta ( = ( n + 3n ) + ( n + 3n ) + = ( n )( ) 4S + = n ( n + 1)( n + )( n + ) + = n + 3n n + 3n + + 2 Vậy 4S + số phương 2 + 3n + ) Ví dụ Với số nguyên dương n ta kí hiệu Sn = 12 + 22 + + n2 Chứng minh 24 ( 2n + ) S n + số phương • Định hướng tư Tương tự ví dụ ta tính Sn = n ( n + 1)( n + ) − n ( n + 1) = n ( n + 1)( 2n + 1) Như để chứng minh 24 ( 2n + ) S n + số phương ta cần phân tích số tự nhiên 4n ( n + 1)( 2n + 1)( 2n + ) + vể dạng bình phương tổng Lời giải Trước hết ta chứng minh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + ) Thật vậy, ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n ( n + 1) = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + + 98.99 (100 − 97 ) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1)( n + )  − 1.2.3 + 2.3.4 + + ( n − 1) n ( n + 1)  = n ( n + 1)( n + ) Do ta A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + ) Từ ta S n = 12 + 2 + + n = ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + + n ( n + − 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1)  − ( + + + + n ) = n ( n + 1)( n + ) − n ( n + 1) = n ( n + 1)( 2n + 1) Từ đó ta 24 ( 2n + ) S n + = 24 ( 2n + ) n ( n + 1)( 2n + 1) + = 4n ( n + 1)( 2n + 1)( 2n + ) + = 2n ( 2n + 1)( 2n + )( 2n + ) + = 4n + 6n 4n + 6n + + ( ( ) ( ) ( = 4n + 6n + 4n + 6n + = 4n )( + 6n + 1) ) Vậy 24 ( 2n + ) S n + số phương Ví dụ Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh số a − b 2a + 2b + số phương • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi 2a + a = 3b2 + b  2a – 2b2 + a − b = b  ( a − b )( 2a + 2b + 1) = b Như để chứng minh số a − b 2a + 2b + số phương ta cần chứng minh số a − b 2a + 2b + nguyên tố Lời giải Từ 2a2 + a = 3b2 + b ta 2a2 – 2b2 + a − b = b2 hay ( a − b )( 2a + 2b + 1) = b Suy ( a − b )( 2a + 2b + 1) số phương Gọi ( a − b; 2a + 2b + 1) = d , ta a − b 2a + 2b + chia hết cho d Do ta ( a − b )( 2a + 2b + 1) d hay ta b2 d2 nên b d Mặt khác a − b d nên suy a d Mà ta lại có 2a + 2b + d nên d hay d = Suy ( a − b; 2a + 2b + 1) = nên a − b 2a + 2b + số phương Ví dụ Cho a b số nguyên cho tồn hai số nguyên liên tiếp c d thỏa mãn điều kiện a − b = a2c − b2d Chứng minh a − b số phương • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi ( ) a − b = a c − b d  a − b = a c − b ( c + 1)  a − b = c a − b − b  a − b = c ( a − b )( a + b ) − b  ( a − b ) c ( a + b ) − 1 = b Như để chứng minh a − b số phương ta cần chứng minh số a − b c ( a + b ) + nguyên tố Lời giải Do c d hai số nguyên liên tiếp nên ta có d = c + Từ ta ( ) a − b = a c − b d  a − b = a c − b ( c + 1)  a − b = c a − b − b  a − b = c ( a − b )( a + b ) − b  ( a − b ) c ( a + b ) − 1 = b Gọi d ước chung lớn a − b c ( a + b ) + a − b c ( a + b ) − chia hết cho d Suy ta ( a − b ) c ( a + b ) − 1 d Do từ ( a − b ) c ( a + b ) − 1 = b ta suy b2 d2 hay b chia chết cho d Mà ta có a − b d nên suy a d Do a + b d Kết hợp với c ( a + b ) − d ta suy d nên d = Từ ta có (a − b; c (a + b ) − 1) = Do a − b số phương Ví dụ Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m + n + ước nguyên tố ( ) m + n − Chứng minh m.n số phương • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi (m + n) ( − = ( m + n − 1)( m + n + 1) ( m + n + 1) ) Mà m + n − chia hết cho m + n + nên ( m − n ) ( m + n + 1) Lại m + n + số nguyên tố nên từ suy m − n ( m + n + 1) Đến ta cần m = n , tích mn số phương Lời giải Giả sử m n hai số nguyên dương khác Khi ta có (m + n) − = ( m + n − 1)( m + n + 1) ( m + n + 1) ( ) Mà theo giả thiết ta có m + n − chia hết cho m + n + ( ) 2 Suy ta có m + n − − ( m + n ) − 1 ( m + n + 1) Do ( m − n ) ( m + n + 1)   Lại m + n + số nguyên tố nên từ ta suy m − n ( m + n + 1) Không tính tổng quát ta giả sử m  n , ta có m − n ( m + n + 1) Từ suy m − n  m + n + hay 2n +  , điều vơ lí n số nguyên dương Do điều giả sử m n khác sai nên suy m = n Từ ta có m.n = m2 số phương Ví dụ Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a2 c2 2c + = Chứng minh 2 2 b+c a +b a +c bc số phương • Định hướng tư Để ý biến đổi giả thiết ta a2 c2 2c a2 c c2 c + =  − + − =0 2 2 b+c b+c a + b c +a a + b b+c c +a ( ) a − bc ( b − c ) a − bc  b c   − =0 =0 b + c  a + b2 a + c  ( b + c ) a + b2 a + c ( )( ) Từ ta a2 − bc = b − c = Hai kết cho kết bc số phương Lời giải Từ giả thiết ( )( ) a2 c2 2c ta suy ( b + c ) a + b2 a + c khác + = 2 2 b+c a + b c +a Khi ta có biến đổi giả thiết sau a2 c2 2c a2 c c2 c + =  − + − =0 2 2 2 2 b+c b+c a + b c +a a + b b+c c +a a ( b + c ) − c a + b2 c2 ( b + c ) − c c2 + a2  + =0 ( b + c ) a + b2 ( b + c ) a2 + c2  ( ( b a − bc ( b + c ) (a ( ) ) ) ( c bc − a + ( ) ( ) ) a − bc  b c  =0 − 2 =0  2 b+c a +b a +c  ) ( b + c ) (a + c ) a − bc b ( a + c ) − c ( a + b ) a − bc a ( b − c ) − bc ( b − c ) =0 =0 b+c b+c ( a + b )(a + c ) (a + b )(a + c ) ( a − bc ) ( b − c ) =  a − bc ( b − c ) =  ( ) ( b + c ) ( a + b )( a + c ) 2 + b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + Khi a2 − bc =  bc = a2 nên bc số phương + Khi b − c =  b = c nên bc số phương Ví dụ 10 Cho số tự nhiên A = 111 11777 77 999 + 111 11 + Chứng minh n c/s n c/s n c/s n +1 c/s 72A lập phương số tự nhiên • Định hướng tư Tương tự ta sử dụng biến đổi 10n − = 999 99 biến đổi A làm xuất lũy thừa 10, từ áp dụng đẳng thức Lời giải Từ A = 111 11777 77 999 + 111 11 + ta n c/s n c/s n c/s n +1 c/s   9A =  111 11777 77 999 + 111 11 +   n c/s  n c/s n c/s n +1 c/s     =  111 11 + 666 66 + 222 + 222 + 111 11 +   3n c/s  n c/s 2n c/s n +1 c/s     =  111 11 + 111 11 + 2.111 + 10.111 11 +   3n c/s  2n c/s n c/s n c/s     =  111 111 + 6.111 11 + 12.111 11 +  = 999 99 + 6.999 99 + 12.999 99 + 27  3n c/s  2n c/s n c/s 3n c/s 2n c/s n c/s   ( = 10 3n − + 6.10 2n − + 12.10 n − 12 + 27 = 10 3n + 6.10 2n + 12.10 n + = 10 n + ) Như ta 9A lập phương số tự nhiên Suy 72A lập phương số tự nhiên Ví dụ 11 Cho S = 1.2019 + 2.2018 + 3.2017 + + 2019.1 Chứng minh 6S + 2020 lập phương số tự nhiên • Định hướng tư Nhận thấy tổng S tổng dãy số có tính quy luật, ta cần tính tổng S trước Ta có phân tích tổng S sau S = 1.2019 + 2.2018 + 3.2017 + + 2018.2 + 2019.1 = 1.2109 + ( 2019 − 1) + + 2018 ( 2019 − 2017 ) + 2019 ( 2019 − 2018 ) = ( 1.2019 + 2.2019 + + 2018.2019 + 2019.2019 ) − ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 ) Dễ dàng tính hai tổng 1.2019 + 2.2019 + + 2019.2019 = 2019 (1 + + + + 2019 ) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 = Như ta có S = 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2020.2021 ta phân tích S − = thành lập phương số tự nhiên Lời giải S = 1.2019 + 2.2018 + 3.2017 + + 2018.2 + 2019.1 = 1.2109 + ( 2019 − 1) + + 2018 ( 2019 − 2017 ) + 2019 ( 2019 − 2018 ) = ( 1.2019 + 2.2019 + + 2018.2019 + 2019.2019 ) − ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 ) Ta có 1.2019 + 2.2019 + + 2019.2019 = 2019 (1 + + + + 2019 ) = Lại có 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 = Như ta S = 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2020.2021 − = Do 6S + 2020 = 2019.2020.2021 + 2020 = 2020 ( 2019.2021 + 1) Để ý 2109.2021 + = ( 2020 − 1)( 2020 + 1) + = 2020 − + = 2020 Do 6S + 2020 = 20203 nên ta có điều cần chứng minh Ví dụ 12 Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m + m = 12n + n Chứng minh m − n lập phương số nguyên • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi ( ) 4m + m = 12n + n  ( m − n ) 4m + 4mn + 4n + = 8n Như để chứng minh số m − n lập phương số nguyên ta cần chứng minh số m − n 4m + 4mn + 4n + nguyên tố Lời giải ( ) Ta có 4m + m = 12n + n  m − n + ( m − n ) = 8n ( ) Hay ta ( m − n ) 4m + 4mn + 4n + = 8n (1) Giả sử p ước nguyên tố chung m − n 4m + 4mn + 4n + Do 4m + 4mn + 4n + số lẻ nên p số lẻ Từ ( 1) suy 8n p mà p số nguyên tố lẻ nên n p suy m p Mặt khác p ước 4m + 4mn + 4n + nên ta p = , điều vơ lí p số ngun tố Do m − n 4m + 4mn + 4n + khơng có ước ngun tố chung Từ suy ( ) m − n, 4m + 4mn + 4n + = Do 8n = ( 2n ) nên suy m − n lập phương số nguyên Ví dụ 13 Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc  a  b  c Chứng minh A =  +  +  +  lập phương số tự nhiên b  c  a   ... có số lập phương II Một số dạng toán liên quan đến số phương, số lập phương Dạng – Chứng minh số hay biểu thức số phương, số lập phương Cơ sở phương pháp Để chứng minh số A số phương, số lập. .. Hai số phương a ( a + 1) gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Số lập phương • Định nghĩa Một số nguyên gọi số lập phương viết thành lập phương số ngun • Một. .. thiết tốn biến đổi biểu thức toán dạng đơn giản Dạng – Chứng minh số hay biểu thức khơng thể số phương, số lập phương Cơ sở phương pháp Để chứng minh số tự nhiên A số số phương, số lập phương ta