Chuyên đề 5 một số bài toán về số chính phương, số lập phương đã chuyển đổi

Chun đề MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG – SỐ LẬP PHƯƠNG I Một số kiến thức cần nhớ Số phương • Định nghĩa Số phương số bình phương số ngun • Một số tính chất + Tính chất Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Suy số có chữ số tận 2, 3, 7, khơng phải số phương + Tính chất Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn + Tính chất Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + với n số nguyên + Tính chất Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + với n số nguyên + Tính chất Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ + Tính chất Số phương chia hết cho số nguyên tố chia hết cho bình phương số ngun tố Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 + Tính chất Nếu hai số nguyên dương ngun tố có tích số phương số đếu số phương + Tính chất Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích số phương hai số nguyên liên tiếp + Tính chất Hai số phương a ( a + 1) gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Số lập phương • Định nghĩa Một số nguyên gọi số lập phương viết thành lập phương số ngun • Một số tính chất cần nhớ + Tính chất Nếu số nguyên a chia có số dư a chia có số dư + Tính chất Nếu số nguyên a chia có số dư −1 a chia có số dư −1 + Tính chất Số lập phương chia hết cho số nguyên tố chia hết cho lập phương số ngun tố + Tính chất Nếu hai số nguyên dương nguyên tố có tích số lập phương số đếu số lập phương + Tính chất Hai số phương a ( a + 1) gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số lập phương liên tiếp khơng có số lập phương II Một số dạng toán liên quan đến số phương, số lập phương Dạng – Chứng minh số hay biểu thức số phương, số lập phương Cơ sở phương pháp Để chứng minh số A số phương, số lập phương ta có hướng sau + Hướng 1.Viết số A dạng bình phương số tự nhiên, lập phương số tự nhiên Ta cần để ý đến đẳng thức đáng nhớ ( A  B) ( A  B) = A  2AB + B2 = A  3A B + 3AB2 − B3 + Hướng Biến đổi số tự nhiên A thành tích m.n = a m.n = a chứng minh ( m; n ) = Ví dụ Cho số tự nhiên A = 11 11122 222 Chứng minh A số 2019 c/s 2020 c/s phương • Định hướng tư Để chứng minh A số phương ta cần viết A dạng bình phương số tự nhiên, điều đồng nghĩa với việc biến đổi A thành lũy thừa số tự nhiên khác Để ý 10n − = 999 99 nên ta biến đổi A làm xuất lũy thừa 10, từ áp dụng đẳng thức Lời giải Từ A = 111 11222 22 ta A = 111 11222 2215 = 111 11 + 111 110 + 2019 c/s 2019 c/s 2020 c/s 2020 c/s 4040 c/s 2020 c/s Do ta 9A = 9.111 11 + 9.111 110 + 9.4 = 999 99 + 999 10 + 36 4040 c/s 2020 c/s 2020 c/s 4040 c/s ( ) ( = 104040 − + 10 10 2020 − + 36 = 10 2020 ) ( + 2.10 2020 + 25 = 10 2020 + ) Do ta 9A số phương Mà số phương nên A số phương Ví dụ Cho số tự nhiên B = 111 11 + 111 11 + 666 66 + Chứng minh B 2n c/s n +1 c/s n c/s số phương • Định hướng tư Tương tự ta sử dụng biến đổi 10n − = 999 99 biến đổi B làm xuất lũy thừa 10, từ áp dụng đẳng thức Lời giải Ta có B = 111 11 + 111 11 + 666 66 + = 11 + 11 + 6.111 11 + 2n c/s n +1 c/s 2n c/s n c/s n +1 c/s n c/s Do ta 9B = 9.111 11 + 9.111 11 + 6.9.111 11 + 72 = 999 99 + 999 99 + 6.999 99 + 72 2n c/s n +1 c/s ( n c/s ) 2n c/s n +1 c/s ( = 102n − + 10 n +1 + 10 n − + 72 = 10 2n + 16.10 n + 64 = 10 n + n c/s ) Do 9B số phương Mà số phương nên suy B số phương Ví dụ Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương • Định hướng tư Để chứng minh dãy số dãy số phương ta cần chứng minh số tổng quát dãy số phương Muốn ta phân tích số thành bình phương số tự nhiên khác Chú ý đến biến đổi 999 = 10n − Ta chuyển số tổng n c/s quát dạng lũy thừa 10 sử dụng hẳng đẳng thức để phân tích bình phương Lời giải Xét số hạng tổng quát dãy số A = 444 888 Ta có n c/s n −1c/s8 A = 444 888 = 444 4.10 n + 888 88 + = 4.111 1.10 n + 8.111 + n c /s n −1 c /s n c /s n c /s n c /s n c /s  1 =  4.999 9.10 n + 8.999 +  = 4 10 n − 10 n + 10 n − +    9  n c /s n c /s  ( ) (  2.10 n +  1 = 4.10 2n + 4.10 n + = 2.10 n + =   9   ( ) Dễ thấy 2.10n + nên ta có ( ) ) 2.10 n + số tự nhiên Do ta A số phương Vậy tốn chứng minh Ví dụ Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1)( n + ) với n số tự nhiên khác Chứng minh 4S + số phương n ( n + 1)( n + )( n + ) • Định hướng tư Trước hết ta tính S = Như để 4S + số phương ta cần phân tích n ( n + 1)( n + )( n + ) + vể dạng bình phương tổng Lời giải Từ S = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1)( n + ) ta có 4S = 1.2.3.4 + 2.3.4 ( − 1) + 3.4.5 ( − ) + + n ( n + 1)( n + ) ( n + ) − ( n − 1)  = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − + n ( n + 1)( n + )( n + ) − ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) = n ( n + 1)( n + )( n + ) Do ta ( = ( n + 3n ) + ( n + 3n ) + = ( n )( ) 4S + = n ( n + 1)( n + )( n + ) + = n + 3n n + 3n + + 2 Vậy 4S + số phương 2 + 3n + ) Ví dụ Với số nguyên dương n ta kí hiệu Sn = 12 + 22 + + n2 Chứng minh 24 ( 2n + ) S n + số phương • Định hướng tư Tương tự ví dụ ta tính Sn = n ( n + 1)( n + ) − n ( n + 1) = n ( n + 1)( 2n + 1) Như để chứng minh 24 ( 2n + ) S n + số phương ta cần phân tích số tự nhiên 4n ( n + 1)( 2n + 1)( 2n + ) + vể dạng bình phương tổng Lời giải Trước hết ta chứng minh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + ) Thật vậy, ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n ( n + 1) = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + + 98.99 (100 − 97 ) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1)( n + )  − 1.2.3 + 2.3.4 + + ( n − 1) n ( n + 1)  = n ( n + 1)( n + ) Do ta A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + ) Từ ta S n = 12 + 2 + + n = ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + + n ( n + − 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1)  − ( + + + + n ) = n ( n + 1)( n + ) − n ( n + 1) = n ( n + 1)( 2n + 1) Từ đó ta 24 ( 2n + ) S n + = 24 ( 2n + ) n ( n + 1)( 2n + 1) + = 4n ( n + 1)( 2n + 1)( 2n + ) + = 2n ( 2n + 1)( 2n + )( 2n + ) + = 4n + 6n 4n + 6n + + ( ( ) ( ) ( = 4n + 6n + 4n + 6n + = 4n )( + 6n + 1) ) Vậy 24 ( 2n + ) S n + số phương Ví dụ Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh số a − b 2a + 2b + số phương • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi 2a + a = 3b2 + b  2a – 2b2 + a − b = b  ( a − b )( 2a + 2b + 1) = b Như để chứng minh số a − b 2a + 2b + số phương ta cần chứng minh số a − b 2a + 2b + nguyên tố Lời giải Từ 2a2 + a = 3b2 + b ta 2a2 – 2b2 + a − b = b2 hay ( a − b )( 2a + 2b + 1) = b Suy ( a − b )( 2a + 2b + 1) số phương Gọi ( a − b; 2a + 2b + 1) = d , ta a − b 2a + 2b + chia hết cho d Do ta ( a − b )( 2a + 2b + 1) d hay ta b2 d2 nên b d Mặt khác a − b d nên suy a d Mà ta lại có 2a + 2b + d nên d hay d = Suy ( a − b; 2a + 2b + 1) = nên a − b 2a + 2b + số phương Ví dụ Cho a b số nguyên cho tồn hai số nguyên liên tiếp c d thỏa mãn điều kiện a − b = a2c − b2d Chứng minh a − b số phương • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi ( ) a − b = a c − b d  a − b = a c − b ( c + 1)  a − b = c a − b − b  a − b = c ( a − b )( a + b ) − b  ( a − b ) c ( a + b ) − 1 = b Như để chứng minh a − b số phương ta cần chứng minh số a − b c ( a + b ) + nguyên tố Lời giải Do c d hai số nguyên liên tiếp nên ta có d = c + Từ ta ( ) a − b = a c − b d  a − b = a c − b ( c + 1)  a − b = c a − b − b  a − b = c ( a − b )( a + b ) − b  ( a − b ) c ( a + b ) − 1 = b Gọi d ước chung lớn a − b c ( a + b ) + a − b c ( a + b ) − chia hết cho d Suy ta ( a − b ) c ( a + b ) − 1 d Do từ ( a − b ) c ( a + b ) − 1 = b ta suy b2 d2 hay b chia chết cho d Mà ta có a − b d nên suy a d Do a + b d Kết hợp với c ( a + b ) − d ta suy d nên d = Từ ta có (a − b; c (a + b ) − 1) = Do a − b số phương Ví dụ Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m + n + ước nguyên tố ( ) m + n − Chứng minh m.n số phương • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi (m + n) ( − = ( m + n − 1)( m + n + 1) ( m + n + 1) ) Mà m + n − chia hết cho m + n + nên ( m − n ) ( m + n + 1) Lại m + n + số nguyên tố nên từ suy m − n ( m + n + 1) Đến ta cần m = n , tích mn số phương Lời giải Giả sử m n hai số nguyên dương khác Khi ta có (m + n) − = ( m + n − 1)( m + n + 1) ( m + n + 1) ( ) Mà theo giả thiết ta có m + n − chia hết cho m + n + ( ) 2 Suy ta có m + n − − ( m + n ) − 1 ( m + n + 1) Do ( m − n ) ( m + n + 1)   Lại m + n + số nguyên tố nên từ ta suy m − n ( m + n + 1) Không tính tổng quát ta giả sử m  n , ta có m − n ( m + n + 1) Từ suy m − n  m + n + hay 2n +  , điều vơ lí n số nguyên dương Do điều giả sử m n khác sai nên suy m = n Từ ta có m.n = m2 số phương Ví dụ Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a2 c2 2c + = Chứng minh 2 2 b+c a +b a +c bc số phương • Định hướng tư Để ý biến đổi giả thiết ta a2 c2 2c a2 c c2 c + =  − + − =0 2 2 b+c b+c a + b c +a a + b b+c c +a ( ) a − bc ( b − c ) a − bc  b c   − =0 =0 b + c  a + b2 a + c  ( b + c ) a + b2 a + c ( )( ) Từ ta a2 − bc = b − c = Hai kết cho kết bc số phương Lời giải Từ giả thiết ( )( ) a2 c2 2c ta suy ( b + c ) a + b2 a + c khác + = 2 2 b+c a + b c +a Khi ta có biến đổi giả thiết sau a2 c2 2c a2 c c2 c + =  − + − =0 2 2 2 2 b+c b+c a + b c +a a + b b+c c +a a ( b + c ) − c a + b2 c2 ( b + c ) − c c2 + a2  + =0 ( b + c ) a + b2 ( b + c ) a2 + c2  ( ( b a − bc ( b + c ) (a ( ) ) ) ( c bc − a + ( ) ( ) ) a − bc  b c  =0 − 2 =0  2 b+c a +b a +c  ) ( b + c ) (a + c ) a − bc b ( a + c ) − c ( a + b ) a − bc a ( b − c ) − bc ( b − c ) =0 =0 b+c b+c ( a + b )(a + c ) (a + b )(a + c ) ( a − bc ) ( b − c ) =  a − bc ( b − c ) =  ( ) ( b + c ) ( a + b )( a + c ) 2 + b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + Khi a2 − bc =  bc = a2 nên bc số phương + Khi b − c =  b = c nên bc số phương Ví dụ 10 Cho số tự nhiên A = 111 11777 77 999 + 111 11 + Chứng minh n c/s n c/s n c/s n +1 c/s 72A lập phương số tự nhiên • Định hướng tư Tương tự ta sử dụng biến đổi 10n − = 999 99 biến đổi A làm xuất lũy thừa 10, từ áp dụng đẳng thức Lời giải Từ A = 111 11777 77 999 + 111 11 + ta n c/s n c/s n c/s n +1 c/s   9A =  111 11777 77 999 + 111 11 +   n c/s  n c/s n c/s n +1 c/s     =  111 11 + 666 66 + 222 + 222 + 111 11 +   3n c/s  n c/s 2n c/s n +1 c/s     =  111 11 + 111 11 + 2.111 + 10.111 11 +   3n c/s  2n c/s n c/s n c/s     =  111 111 + 6.111 11 + 12.111 11 +  = 999 99 + 6.999 99 + 12.999 99 + 27  3n c/s  2n c/s n c/s 3n c/s 2n c/s n c/s   ( = 10 3n − + 6.10 2n − + 12.10 n − 12 + 27 = 10 3n + 6.10 2n + 12.10 n + = 10 n + ) Như ta 9A lập phương số tự nhiên Suy 72A lập phương số tự nhiên Ví dụ 11 Cho S = 1.2019 + 2.2018 + 3.2017 + + 2019.1 Chứng minh 6S + 2020 lập phương số tự nhiên • Định hướng tư Nhận thấy tổng S tổng dãy số có tính quy luật, ta cần tính tổng S trước Ta có phân tích tổng S sau S = 1.2019 + 2.2018 + 3.2017 + + 2018.2 + 2019.1 = 1.2109 + ( 2019 − 1) + + 2018 ( 2019 − 2017 ) + 2019 ( 2019 − 2018 ) = ( 1.2019 + 2.2019 + + 2018.2019 + 2019.2019 ) − ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 ) Dễ dàng tính hai tổng 1.2019 + 2.2019 + + 2019.2019 = 2019 (1 + + + + 2019 ) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 = Như ta có S = 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2020.2021 ta phân tích S − = thành lập phương số tự nhiên Lời giải S = 1.2019 + 2.2018 + 3.2017 + + 2018.2 + 2019.1 = 1.2109 + ( 2019 − 1) + + 2018 ( 2019 − 2017 ) + 2019 ( 2019 − 2018 ) = ( 1.2019 + 2.2019 + + 2018.2019 + 2019.2019 ) − ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 ) Ta có 1.2019 + 2.2019 + + 2019.2019 = 2019 (1 + + + + 2019 ) = Lại có 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2018.2019 = Như ta S = 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2019.2020 2018.2019.2020 2019.2020.2021 − = Do 6S + 2020 = 2019.2020.2021 + 2020 = 2020 ( 2019.2021 + 1) Để ý 2109.2021 + = ( 2020 − 1)( 2020 + 1) + = 2020 − + = 2020 Do 6S + 2020 = 20203 nên ta có điều cần chứng minh Ví dụ 12 Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m + m = 12n + n Chứng minh m − n lập phương số nguyên • Định hướng tư Để ý ta có biến đổi ( ) 4m + m = 12n + n  ( m − n ) 4m + 4mn + 4n + = 8n Như để chứng minh số m − n lập phương số nguyên ta cần chứng minh số m − n 4m + 4mn + 4n + nguyên tố Lời giải ( ) Ta có 4m + m = 12n + n  m − n + ( m − n ) = 8n ( ) Hay ta ( m − n ) 4m + 4mn + 4n + = 8n (1) Giả sử p ước nguyên tố chung m − n 4m + 4mn + 4n + Do 4m + 4mn + 4n + số lẻ nên p số lẻ Từ ( 1) suy 8n p mà p số nguyên tố lẻ nên n p suy m p Mặt khác p ước 4m + 4mn + 4n + nên ta p = , điều vơ lí p số ngun tố Do m − n 4m + 4mn + 4n + khơng có ước ngun tố chung Từ suy ( ) m − n, 4m + 4mn + 4n + = Do 8n = ( 2n ) nên suy m − n lập phương số nguyên Ví dụ 13 Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc  a  b  c Chứng minh A =  +  +  +  lập phương số tự nhiên b  c  a   n − = m  2 n + n + n + n + = p Giải hệ điều kiện ta có số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Lời giải Giả sử tồn số nguyên tố p thỏa mãn n5 − = p2 Từ ta 2m p2 + = n5 , m ( ) suy n số lẻ Khi ta 2m p2 = n − = ( n − 1) n + n + n + n + Do n số lẻ nên n − số chẵn n + n + n + n + số lẻ Do m số chẵn nên suy p số nguyên tố lẻ Lại để ý n + n + n + n +  n − nên ta suy n − = m  2 n + n + n + n + = p Ta tìm số nguyên dương n số nguyên tố p thỏa mãn n4 + n3 + n2 + n + = p2 Thật vậy, từ n4 + n3 + n2 + n + = p2 ta 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + = 4p2 Để ý ta có 4n4 + 4n3 + n  4p2  4n4 + 4n4 + 4n2 + 4n + + 5n2 nên ta ( 2n +n )  ( 2p)  ( 2n 2 +n+2 )  2n + n  2p  2n + n + Do suy 2p = 2n2 + n + Thế vào n4 + n3 + n2 + n + = p2 ta ( ) 4n + 4n + 4n + 4n + = 2n + n +  n − 2n − =  n = Thử lại ta thấy với n = p = 11 Khi thay vào n − = m ta m = Vậy số ( m; n ) = ( 1; ) thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ Cho số tự nhiên n ( n  ) số nguyên tố p thỏa mãn p − chia hết cho n đồng thời n − chia hết cho p Chứng minh n + p số phương ( ) • Định hướng tư Ta có n − chia hết cho p nên ( n − 1) n + n + chia hết cho p Lại có p − chia hết cho n nên p  n + Do ta n −  p n + n + chia hết cho p Đặt p − = n.a ta p = na + n + n + chia hết cho na + Lại thấy a  n + ta có na +  n ( n + 1) + , điều mâu thuẫn với n + n + chia hết cho ( ) na + Do suy a  n + nên ta có a n + n + − n ( an + 1) chia hết cho na + nên suy ( a − 1) n + a chia hết cho na + Mà a nguyên dương nên ( a − 1) n + a  nên từ suy ( a − 1) n + a  an + hay a  n + Kết hợp hai kết lại ta a = n + Như ta p = n ( n + 1) + nên có điều cần chứng minh Lời giải ( ) Theo giả thiết tốn n − chia hết cho p nên ( n − 1) n + n + chia hết cho p Cũng theo giả thiết p − chia hết cho n p số nguyên tố nên p −  n hay p  n + Do ta n −  p Mà p số nguyên tố nên suy n + n + chia hết cho p Từ p − chia hết cho n ta đặt p − = n.a với a số nguyên dương Khi ta p = na + n + n + chia hết cho na + Lại thấy a  n + ta có na +  n ( n + 1) + , điều mâu thuẫn với n + n + chia hết ( ) cho na + Do suy a  n + Mặt khác ta lại có a n + n + − n ( an + 1) chia hết cho na + nên suy ( a − 1) n + a chia hết cho na + Mà a nguyên dương nên ( a − 1) n + a  nên từ suy ( a − 1) n + a  an + hay a  n + Kết hợp hai kết lại ta a = n + Như ta p = n ( n + 1) + nên suy p + n = n ( n + 1) + + n = n + 2n + = ( n + 1) Vậy n + p số phương Ví dụ Tìm tất số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 1; 3n + số phương 2n + số nguyên tố Lời giải Do 2n + 1; 3n + số phương nên tồn số a, b nguyên dương thỏa mãn 2n + = a ; 3n + = b2 Từ ta n = − a ;1 = 3a − 2b2 Do ta suy ( ) ( ) 2n + = − a + 3a − 2b2 = 25a − 16b2 hay 2n + = ( 5a − 4b )( 5a + 4b ) Do a b số nguyên dương nên ta có 5a + 4b  5a − 4b Do để 2n + số nguyên tố ta cần có 5a − 4b = 1; 5a + 4b = 2n + Từ ta b = 5a − Thay vào hệ thức = 3a2 − 2b2 ta  5a −  3a −   =  a − 10a + =  a  1; 9   + Với a = ta b = , từ ta n = Ta thấy 2n + = số ngun tố Do a = khơng thỏa mãn + Với a = ta b = 11 , từ ta n = 40 Ta thấy 2n + = 89 số nguyên tố Do n = 40 thỏa mãn yêu cầy toán Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu tốn n = 40 Ví dụ Cho biểu thức A = ( m + n ) + 3m + n với m n số nguyên dương Chứng minh A số phương n + chia hết cho m • Định hướng tư Biến đổi ta ( m + n )  A  ( m + n + ) nên A số phương ta suy A = ( m + n + 1) Đến ta suy m = n + nên suy điều cần chứng minh Lời giải Do m n số nguyên dương nên ta có (m + n)  (m + n) + 3m + n  ( m + n + ) Do ( m + n )  A  ( m + n + ) Mà A số phương nên ta A = ( m + n + 1) Do ( m + n ) + 3m + n = ( m + n + 1) nên 3m + n = ( m + n ) + m = n + 2 ( ) ( ) Từ suy n + = ( n + 1) n − n + = m n − n + chia hết cho m Ví dụ Tìm hai số nguyên tố p q biết p + q p + 4q số phương Lời giải • Lời giải Theo đề tồn số nguyên dương a b thỏa mãn điều kiện p + q = a2 ; p + 4q = b2 Từ ta suy b − a = 3q  ( b − a )( b + a ) = 3q Từ q số nguyên tố a + b  nên ta có trường hợp sau + Trường hợp Với b − a = 1; b + a = 3q , ta b = a + 2a + = 3q Do suy q số lẻ Ta viết q = 2k + với k số nguyên dương Khi 2a = 3q − = 6k + hay a = 3k + p = a – q = 9k + 4k = k ( 9k + ) Do p số nguyên tố nên k = p = 13,q = + Trường hợp Với b − a = 3; b + a = q , ta b = a + q = 2a + Mà ta lại có p = a − q = a − 2a – = ( a + 1)( a – ) Do p số nguyên tố nên a = p = 5,q = 11 + Trường hợp Với b − a = q; b + a = b  a  Suy b = a = , ta q = khơng phải số nguyên tố Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán ( p; q ) = ( 5;11) , (13; ) • Lời giải Theo đề tồn số nguyên dương a b thỏa mãn hệ thức p + q = a2 ; p + 4q = b2 Từ ta suy b − a = 3q  ( b − a )( b + a ) = 3q Vì p, q số nguyên tố nên a  2; b  Do ta có trường hợp sau + Trường hợp Với b − a = 1; b + a = 3q Khi b = a + 2a + = 3q Suy q số lẻ Ta viết q = 2k + với k số nguyên dương Khi 2a = 3q − = 6k + hay ta a = 3k + p = a – q = 9k + 4k = k ( 9k + ) Do p số nguyên tố nên k = Từ suy p = 13; q = + Trường hợp Với b − a = 3; b + a = q Khi b = a + q = 2a + Mặt khác ta lại có p = a − q = a − 2a – = ( a + 1)( a – ) Do p số nguyên tố nên a = Từ ta suy p = 5; q = 11 Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán ( p; q ) = ( 5;11) , (13; ) Ví dụ Cho số tự nhiên z số nguyên x, y thỏa mãn x + y + xy = Tìm giá ( )( ) trị x, y,z cho 2z+1 + 42 x2 + y + + x y số phương lớn Lời giải ( )( ) ( )( )( ) Ta có 2z+1 + 42 x2 + y + + x2 y = 2 z + 21 + x + y Để ý + x = x + y + xy + x = ( x + y )( + x ) + y = x + y + xy + y = ( x + y )(1 + y ) = + = + x + y + xy = ( + x )(1 + y ) ( )( ) ( ) Khi ta z +1 + 42 x + y + + x y = z + 21 ( x + y ) (1 + x ) (1 + y ) ( )( 2 ) Do 2z+1 + 42 x2 + y + + x y số phương z + 21 số phương Nghĩa tồn số tự nhiên n cho 2z + 21 = n2 Ta có  −1 ( mod ) nên 2z  ( −1) ( mod ) z Nếu z lẻ z  −1 ( mod )  ( mod ) Khi n  ( mod ) , điều vơ lí số phương chia cho dư Từ suy z số chẵn Đặt z = 2k với k số nguyên dương Khi ta có ( ) n = 21 + 22k  n − 2k ( )( ) = 21  n − k n + k = 21 Vì 21 = 1.21 = 3.7 n − k  n + k nên ta có hai trường hợp sau: + Trường hợp Với n − 2k = 1; n + 2k = 21 nên 2k = 10 , khơng có giá trị k thỏa mãn trường hợp + Trường hợp Với n − 2k = 3; n + 2k = nên k = suy k = Từ giả thiết ta có = ( + x )( + y ) Không tổng quát, giả sử x +  y + suy x + = 1; y + = Giải ta x = 0; y = x = −2; y = −3 ( )( ) Nếu x = 0; y = 2z +1 + 42 x2 + y + + x2 y = 100 = 102 ( )( ) Nếu x = −2; y = −3 2z+1 + 42 x2 + y + + x y = 2500 = 50 Vậy x = −2; y = −3; z = thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 10 Cho x, y hai số tự nhiên thỏa mãn 3y2 + = 4x2 Chứng minh x tổng bình phương hai số tự nhiên liên tiếp Lời giải Ta có 3y + = 4x  3y = ( 2x − 1)( 2x + 1) Dễ có ước chung lớn 2x − 2x + hai số lẻ liên tiếp Suy ta 2x − 2x + số nguyên tố Do ta xét trường hợp sau + Trường hợp Với 2x − = m2 ; 2x + = 3n2 ; mn = y Khi m = ( 2k + 1)  2x = 4k + 4k +  x = k + ( k + 1) + Trường hợp Với 2x − = 3n2 ; 2x + = m2 ; mn = y Khi m2 = 2x − + = 3n2 + Số chia dư mà nên số phương Vậy với x, y số tự nhiên thỏa mãn 3y2 + = 4x2 x tổng bình phương hai số tự nhiên liên tiếp p2 + p+1 Ví dụ 11 Tìm số nguyên tố p để số phương 2 Lời giải p2 + p+1 = y2 Giả sử tồn số nguyên dương x y thỏa mãn = x 2 Khi ta p + = 2x2 ; p2 + = 2y2 Lấy hiệu theo vế hai đẳng thức ta thu phương trình p ( p − 1) = ( y + x )( y − x ) Suy ta ( y + x )( y − x ) p Mặt khác từ p + = 2x2 ta có p số lẻ x  Từ p + = 2x2 = x2 + x2  x + nên suy p  x Từ ( p2 + = 2y2 ta lại có y  nên p2 + = 2y2 = y2 + y2  y2 + suy p  y Từ p ( p − 1) = ( y + x )( y − x ) ta suy y  x Từ ta  y − x  p Chú ý p là số nguyên tố lẻ nên từ ( y + x )( y − x ) p ta suy x = y chia hết cho p Mà ta lại có  x + y  2p nên ta x + y = p Thay vào p ( p − 1) = ( y + x )( y − x ) ta p − = ( y − x ) Từ suy y − x = p+1 p+1 3p − nên ta x = ;y = 4  p+1 p+1 Thay x = vào (1) ta p + =   hay p =   Thay p = vào p ( p − 1) = ( y + x )( y − x ) ta + = 2y2 nên y = Vậy p = thỏa mãn yêu cầu tốn • Nhận xét Ngồi cách giải ta cịn giải cách xét khả p: p2 + ( 4k  1) + Với p chẵn không xẩy ra, với p = 4k + = = 8k  4k + Đến 2 ta tìm giá trị k để 8k2  4k + số phương Ví dụ 12 Chứng minh tồn số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện biểu thức ( x + 1)( 2x + 1) 2012 số phương x hợp số Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương x thỏa mãn tồn số nguyên dương q để ( x + 1)( 2x + 1) 2012 ( x + 1)( 2x + 1) = q 2012 số phương Khi hay ( x + 1)( 2x + 1) = 2012q Vì 2012 chia hết ( x + 1)( 2x + 1) chia hết cho Mà 2x + số lẻ nên x + chia hết cho Từ ta x = 4k − với k số nguyên dương Thay vào phương trình ta 4k ( 8k − 1) = 2012q  k ( 8k − 1) = 503q Để ý ( k,8k − 1) = 503 số nguyên tố Nên tồn số nguyên dương a b k = 503a k = a cho q = ab ( a, b ) = Từ ta có hệ   2 8k − = b 8k − = 503b + Với k = 503a ; 8k − = b2 hệ vơ nghiêm b2 chia có số dư 0, 1, + Với k = a ; 8k − = 503b2 Khi ta x = 4k − = 4a − = ( 2a − 1)( 2a + 1) Nếu a = x = , ta ( x + 1)( 2x + 1) = 2012 số nhính 503 phương Nếu a  x = ( 2a − 1)( 2a + 1) hợp số Vậy toán chứng minh Ví dụ 13 Tìm số ngun tố x, y, z thoả mãn đẳng thức x y + = z • Định hướng tư Từ đẳng thức toán ta thấy x z khác tính chẵn lẻ Như ta cần xét hai trường hợp x = z = Nhận thấy với z = ta thu x = 3; y = không thỏa mãn u cầu tốn Từ ta xét tốn với trường hợp x = ta có hai hướng sau + Hướng Ta quy toán y + = z hay y = z − = ( z − 1)( z + 1) Từ ý đến số nguyên ta suy z − = 2u ; z + = 2v với u + v = y + Hướng Xét tính chẵn lẻ y z Lời giải • Lời giải Từ giả thiết ta suy x y z khác tính chẵn lẻ dẫn đến x z khác tính chẵn lẻ Mà x z hai số nguyên tố nên ta xét trường hợp sau trường hợp + Với x = z  ta y + = z  y = ( z − 1)( z + 1) nên suy z − z + số luỹ thừa Đặt z − = 2u ; z + = 2v với u, v số tự nhiên khác v  u; u + v = y Khi ta có 2 u = u = 2v − 2u =  2u 2v −u − =   v −u  2 − = v = ( ) Vì v − u − số lẻ Suy z = y = Thử số ( 2; 3; ) vào phương trình ta thấy thỏa mãn + Với x  z = ta có xy + =  xy = Do x số lẻ nên từ đẳng thức suy x = 3; y = , khơng thỏa mãn y = khơng phải số nguyên tố Vậy số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu toán ( x; y; z ) = ( 2; 3; ) • Lời giải Ngồi xét ta xét tình chẵn lẻ x, y, z sau Nếu x số lẻ suy x y số lẻ suy z chẵn hay z = Từ suy xy = Mặt khác x, y số nguyên tố nên ta x  2; y  suy x y  2 = Từ ta có mâu thuẫn Do x số chẵn nên suy x = Khi đẳng thức cho trở thành y + = z Ta xét trường hợp sau + Trường hợp Xét y số nguyên tố chẵn Khi y = nên suy z2 = Không tồn z số nguyên tố thỏa mãn ( ) + Trường hợp Xét y số nguyên tố lẻ Khi y có dạng y = 2k + k  N* Khi y + = z2  22k+1 + = z2  2.4k + = z2  ( + 1) + = z Từ suy z chia k hết cho hay z hia hết cho 3, mà z số nguyên tố nên suy z = Từ ta lại có 2y + = 32 suy y = Thử lại ta thấy số ( x; y; z ) = ( 2; 3; ) thỏa mãn Vậy số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu toán ( x; y; z ) = ( 2; 3; ) Ví dụ 14 Chứng minh số tự nhiên abc số ngun tố b2 − 4ac khơng số phương • Định hướng tư Giả sử b2 − 4ac số phương, b2 − 4ac = k2 Từ ta 4ac = b2 − k2 nên 4a.abc = ( 20a + b ) − k = ( 20a + b + k )( 20a + b − k ) Dễ thấy 4a.abc có hai ước 4a abc Như ta 20a + b − k  4a số abc có hai ước khác hay abc hợp số Điều mâu thuẫn với giả thiết, tức toán chứng minh Lời giải Ta sử dụng phương pháp phản chứng để cứng minh toán Giả sử b2 − 4ac số phương, ta đặt b2 − 4ac = k2 với n số tự nhiên khác Từ ta 4ac = b2 − k2 Ta có 4a.abc = 4a ( 100a + 10b + c ) = 400a + 40ab + 4ac = 400a + 40ab + b − k = ( 20a + b ) − k = ( 20a + b + k )( 20a + b − k ) Do abc số nguyên tố nên c  nên suy ac  , từ 4ac = b2 − k2 ta suy b  k Từ dẫn đến 20a + b + k  20a + b − k  20a Từ ta suy abc = ( 20a + b + k )( 20a + b − k ) = m.n 4a Do 20a + b + k  4a 20a + b − k  4a nên ta suy m  n  Suy abc số nguyên tố Điều mâu thuẫn với giả thiết toán Vậy điều giả sử sai hay b2 − 4ac khơng thể số phương Dạng – Các toán suy luận tổ hợp liên quan đến số phương Các tốn suy luận tổ hợp liên quan đến số phương, số lập phương thường toán tồn hay khơng số phương, số lập phương hay sử dụng tính chất số phương, số lập phương để giải toán suy luận tổ hợp khác Ví dụ Cho hình vng có độ dài cạnh tính mét n + 1; n + 2; n + 3; n + 4; n + 5; n + 6; n + 7; n + 8; n + Với n số nguyên dương Gọi S tổng diện tích hình vng Có hay khơng hình vng diện tích S có độ dài cạnh số nguyên mét? Lời giải Giả sử tồn hình vng diện tích S có độ dài cạnh a nguyên dương Khi ta có tổng diện tích hinhg vng cho ( n + 1) + ( n + ) + ( n + 3) + ( n + ) + ( n + 5) + ( n + ) + ( n + ) + ( n + ) + ( n + ) 2 2 2 2 Do theo ta có 9n2 + 90n + 285 = a2 Chú ý 9n2 + 90n + 285 số nguyên chia cho dư Số phương a chia cho nhận số 0, 1, 4, Do ta có mâu thuẫn Vậy khơng tồn hình vng thỏa tốn Ví dụ Trên bảng có ghi hai số Ta ghi các số lên bảng thao quy tắc sau: Nếu có hai số phân biệt bảng ghi thêm số z = xy + x + y Trong số ghi bảng có số số phương không Lời giải Từ hai số bảng ta thấy có số chia dư Do hai số x y khác có x + y + chia hết cho 3, suy ( x + 1)( y + 1) chia hết cho Khi ta viết thêm số z = xy + x + y = ( x + 1)( y + 1) − ta z chia dư Như dãy số viết bảng trừ số chia dư hay số có dạng 3k + Mà số phương chia nhận số dư 0, Do số ghi bảng số phương Ví dụ Cho 20 số tự nhiên cho số có ước ngun tố khơng vượt Chứng minh chọn hai số thỏa mãn tích chúng số phương Lời giải Do số tự nhiên cho các ước nguyên tố không vượt nên số cho có dạng 2x.3y.5z.7 t với x, y, z, t số tự nhiên Mỗi số số x, y, z, t số chẵn số lẻ Như xét tính chẵn lẻ số ( x; y; z; t ) có 16 trường hợp xẩy Như với 20 số có dạng 2x.3y.5z.7 t tồn 20 số mũ ( x; y; z; t ) có tính chẵn lẻ theo ngun lý Dirichlet ln tồn hai số có tính chẵn lẻ Giả sử hai số mũ ( x1 ; y1 ; z1 ; t ) ( x ; y ; z ; t ) Khi ta có x1 + x ; y1 + y ; z1 + z ; t + t số chẵn tích hai số tự nhiên ứng với hai số mũ (2 ( x1 )( ) 3y1 5z1 t1 2x2 3y2 5z2 t2 = x1 +x2 3y1 + y2 5z1 +z2 t1 +t2 )( Do 2x1 3y1 5z1 t1 2x2 3y2 5z2 t2 ) số phương Ví dụ Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn 311 số cho khơng cố hai số có tổng 625 Chứng minh 311 chọn có số phương Lời giải Ta phân chia 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 thành 311 nhóm sau: Các nhóm n1 ; n ; ; n 310 nhóm có hai số có dạng ( k; 625 − k ) với k + 625 − k = 625 , tức hai số có tổng 625 cho k  49; k  225 Nhóm n 311 gồm số phương 49; 225; 400; 567; 625 Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm n 311 311 số chọn thuộc 310 nhóm n1 ; n ; ; n 310 Khi theo nguyên lý Dirichlet ta ln chọn hai số nhóm, tức hai số có tổng 625 Điều mâu thuẫn với giả thiết Do 311 số chọn có số thuộc nhóm n 311 Do 311 chọn có số phương Ví dụ Từ 2016 số 1; 2; 3; ; 2016 ta lấy 1009 số Chứng minh số lấy có hai số mà tích chúng khơng phải số phương Lời giải Gọi 1009 số lấy 2016 số a1 ; a ; a ; ; a 1009 Giả sử  a1  a  a   a1009  2016 Xét dãy số n1 = a − a1 ; n = a − a ; n = a − a ; ; n 1008 = a 1009 − a 1008 Khi ta có S = n1 + n + + n 1008 = a − a + a − a + + a 1009 − a 1008 = a 1009 − a  2016 − = 2015 Dễ thấy số n1 ; n ; n ; ; n1008 lớn S lớn 2016 Từ S  2015 nên số n1 ; n ; n ; ; n1008 tồn số Giả sử n i = (  i  1008 ) , ta có a i +1 − a i = , hay a i a i + hai số tự nhiên liên tiếp Điều dẫn đến a i a i + hai số nguyên tố Ta biết tích hai số tự nhiên liên tiếp khác khơng thể số phương Do ta có điều cần chứng minh   Ví dụ Cho tập hợp S = x  Z  x  50 Xét A tập hợp tập hợp S có tính chất: Khơng có ba phần tử tập hợp A số đo ba cạnh tam giác vng a) Tìm tập hợp A có 40 phần tử thỏa mãn điều kiện toán b) Có hay khơng tập hợp A có 41 phần tử thỏa mãn điều kiện toán? Hãy giải thích câu trả lời Lời giải a) Trước hết ta chứng minh nhận xét Trong ba số ngun dương thỏa mãn định lí Pitago ln có số chia hết cho Thật vậy, gọi a, b, c số nguyên đương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = c2 + Nếu hai số a b có số chia hết cho nhận xét hiển nhiên + Nếu hai số a b không chia hết cho Khi a b chia cho có số dư 1, 2, 3, nên a b2 chia cho có số dư Điều dẫn đến c2 chia cho có số dư 0, 2, Mà c2 số phương nên chia cho khơng thể có số dư Do c2 chia cho có số dư Do c chí hết cho Vậy nhận xét chứng minh Xét tập hợp A = S\5;10;15; ; 50 Khi tập hợp A thỏa mãn yêu cầu tốn theo nhận xét ba số nguyên dương thỏa mãn định lý Pitago phải có số chia hết cho b) Xét tập hợp A = S\5; 8; 9; 20; 24; 30; 35; 36; 50 Như số chia hết cho nằm tập hợp A 10; 15; 25; 40; 45 + Chỉ có ( 6; 8;10 ) ( 10; 24; 26 ) ba số nguyên dương thỏa mãn định lí Pitago mà số có chứa số 10 Mà ta thấy 24 không nằm tập hợp A Điều dẫn đến tập hợp A khơng có ba số thỏa mãn định lí Pitago mà có chứa số 10 + Chỉ có ( 8;15;17 ) , ( 9;12;15 ) , (15; 20; 25 ) ( 15; 36; 39 ) ba số nguyên dương thỏa mãn định lí Pitago mà số có chứa số 15 Mà ta thấy 8, 9, 20, 36 không nằm tập hợp A Điều dẫn đến tập hợp A khơng có ba số thỏa mãn định lí Pitago mà có chứa số 15 + Chỉ có ( 7; 24; 25 ) ( 15; 20; 25 ) ba số nguyên dương thỏa mãn định lí Pitago mà số có chứa số 25 Mà ta thấy 20 24 không nằm tập hợp A Điều dẫn đến tập hợp A khơng có ba số thỏa mãn định lí Pitago mà có chứa số 25 + Chỉ có ( 9; 40; 41) , ( 24; 32; 40 ) ( 30; 40; 50 ) ba số nguyên dương thỏa mãn định lí Pitago mà số có chứa số 40 Mà ta thấy 9, 24 30 không nằm tập hợp A Điều dẫn đến tập hợp A khơng có ba số thỏa mãn định lí Pitago mà có chứa số 40 + Chỉ có ( 27; 36; 45 ) ba số nguyên dương thỏa mãn định lí Pitago mà số có chứa số 45 Mà ta thấy 36 không nằm tập hợp A Điều dẫn đến tập hợp A khơng có ba số thỏa mãn định lí Pitago mà có chứa số 10 Như tập hợp A có 41 phân tử mà không chứa ba số thỏa mãn định lí Pitago nên tập hợp A thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Với số nguyên dương gán ba màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn số nguyên dương phân biệt x, y cho x, y giống màu thỏa mãn x − y số phương Lời giải Giải sử khơng tồn hai số x, y thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét: Với a  10 a số nguyên dương ba ( a; a − 9; a + 16 ) có tính chất trị tuyệt đối hiệu hai phần tử số phương Theo giả thiết phản chứng, ta có ( a; a − 9; a + 16 ) ba số đôi khác màu Mặt khác, ba ( a + 7; a − 9; a + 16 ) có tính chất ba ba đầu theo giả thiết phản chứng, ta có ( a + 7; a − 9; a + 16 ) ba số đôi khác màu Suy a a + màu Từ ta số a;a + 7;a + 14;a + 21; ;a + 49 Mặt khác a + 49 − a = 49 số phương Suy mâu thuẫn Vậy giả sử ban đầu sai, ln ln tồn số x, y cho x − y số phương x, y màu Đến ta có điều phải chứng minh Ví dụ Trên ô bàn cờ 8x8 người ta viết số nguyên cho số trung bình cộng số ô liền kề (hai ô liền kề hai có chung cạnh) Chứng minh tích ba số bàn cờ lập phương số tự nhiên Lời giải Ta thấy bàn cờ 8x8 có tất 64 ô có số ô có bốn ô liền kề số có liền kề Số số điền ô bàn cờ hữu hạn Khi số diền bàn cờ tôn số nhỏ Giả sử số nhỏ m Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp Nếu ghi số m có bốn liền kề Gọi số điền bốn ô liền kề với ô điền số m a, b, c, d.Khi theo ta có m = a+ b+c+d hay 4m = a + b + c + d Mặt khác theo cách chọn m số nhỏ nên ta có a  m; b  m; c  m;d  m Khi ta lại a + b + c + d  4m Kết hợp hai kết ta suy m = a = b = c = d Như điền số m liền kề ghi số m Do tất ghi số m • Trường hợp Nếu ghi số m có ba liền kề Lập luận hoàn toàn tương tự ta suy tất ô ghi số m Như tất số ghi bàn bàng nên tích ba số số lập phương Vậy tốn chứng minh Ví dụ Trong dãy số gồm số nguyên dương theo thứ tự tăng dần thỏa mãn số đứng sau bội số đứng trước tổng sáu số 79 Chứng minh số cho ta tìm hai số hai số lập phương Lời giải Giả sử sáu số nguyên dương a1 ; a ; a ; a ; a ; a thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có a1  a  a  a  a  a a1 + a + a + a + a + a = 79 Ta có nhận xét, a  12 a  2a = 24 a  2a = 48 Khi a1 + a + a + a + a + a  12 + 24 + 48  79 khơng thỏa mãn u cầu tốn Do ta a  12 Để ý trừ số số cịn lại dãy số bội số đứng trước nó, ta có cách chọn bốn số a1 = 1; a = 2; a = 4; a = Ta có a = ma = 8m a = na = 8mn với m, n số nguyên dương lớn Mặt khác ta lại có a1 + a + a + a + a + a = 79 Từ ta + + + + 8m + 8mn = 79  m (1 + n ) = Giải phương trình nghiệm nguyên kết hợp với điều kiện số thứ sáu dãy lớn ta m = 2; n = nên ta a = 48 Như sãy số cần tìm 1; 2; 4; 8; 16; 48 dãy số ta có hai số lập phương 1; MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN ... Giữa hai số lập phương liên tiếp khơng có số lập phương II Một số dạng toán liên quan đến số phương, số lập phương Dạng – Chứng minh số hay biểu thức số phương, số lập phương Cơ sở phương pháp Để... Hai số phương a ( a + 1) gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Số lập phương • Định nghĩa Một số nguyên gọi số lập phương viết thành lập phương số ngun • Một. .. phương Các toán số học liên quan đến số phương, số lập phương toán số nguyên tố, quan hệ chia hết, … có liên quan trực tiếp đến số phương, số lập phương Có thể thấy dạng toán tổng hợp toán số hoc,